双曲线的定义及标准方程(优秀课件)

所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据 双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的 距离大，与 C1 的距离小)，其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.故点 M
2 y 的轨迹方程为 x2－ 8 ＝1(x≤－1பைடு நூலகம்.
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为 E，则 E(4，0).由 双曲线的定义及标准方程得 |PF| － |PE| ＝ 4 ，则 |PF| ＋ |PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得， 当 A， P， E 三点共线时， (|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为 9.
x2 2 B. 2 －y ＝1 y2 x2 D.11－11＝1 3
x2 2 【答案】 (1) 4 －y ＝1
(2)A
考点一 双曲线的定义及应用
【例 1】 (1)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9， 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程 为________. x2 y2 (2)已知 F 是双曲线 － ＝1 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线 4 12 右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为____________.
2 y 答案 (1)x2－ 8 ＝1(x≤－1)
(2)9
规律方法
双曲线定义的应用主要有两个方面：一是
判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而 根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中， 常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝ 2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
规律方法
求双曲线标准方程的一般方法：
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件， x2 y2 列出参数 a、b、c 的方程并求出 a、b、c 的值与双曲线a2－b2＝ x 2 y2 1 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为a2－b2＝λ(λ≠0). (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值， 由定点位置确定 c 的值.
解析
(1) 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆
C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，
得|MC1| －|AC1| ＝|MA|，|MC2| －|BC2| ＝|MB|，
因为|MA| ＝|MB| ，所以 |MC1| －|AC1| ＝|MC2| － |BC2| ，即 |MC2| － |MC1| ＝ |BC2| － |AC1| ＝ 2 ，
2 2 2 2 2 2 2 2 x y 所以 b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为 4 －12＝1，
故选 A. x2 y2 (2)法一 椭圆 ＋ ＝1 的焦点坐标是(0，±3)， 27 36 y2 x2 设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，
x2 y2 法二 椭圆 ＋ ＝1 的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程 27 36 y2 x2 为a2－b2＝1(a>0，b>0)，则 a2＋b2＝9，又点( 15，4)在双 16 15 曲线上，所以 a2 － b2 ＝1，解得 a2＝4，b2＝5. y2 x2 故所求双曲线的方程为 4 － 5 ＝1. x2 y2 法三 设双曲线的方程为 ＋ ＝1(27<λ<36)， 27－λ 36－λ 15 16 由于双曲线过点( 15，4)，故 ＋ ＝1， 27－λ 36－λ y2 x2 解得 λ1＝32，λ2＝0(舍去).故所求双曲线方程为 4 － 5 ＝1. y2 x2 答案 (1)A (2) 4 － 5 ＝1
x2 y2 【训练 2】 (1)已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点 a b 为 F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3 相切， 则双曲线的方程为( x2 y2 A. － ＝1 9 13 x2 2 C. 3 －y ＝1 ) x2 y2 B. － ＝1 13 9
2 y D.x2－ 3 ＝1
双曲线的定义及标准方程
知识梳理
1.双曲线的定义 平面内与两个定点 F1 ， F2(|F1F2| ＝ 2c ＞ 0) 的距离差的绝对值等于常数 ( 小于 |F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个 叫双曲线的焦点，两焦点
间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常 定点 数且a>0，c>0：
【训练 1】 (1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦 点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos ∠F1PF2＝( 1 A.4 3 B.5 3 C.4 4 D.5 )
5 (2)设椭圆 C1 的离心率为13，焦点在 x 轴上且长轴长为 26， 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对 值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为( x2 y 2 A. 2－ 2＝1 4 3 x2 y 2 C. 2－ 2＝1 3 4 x2 y2 B. 2－ 2＝1 13 5 x2 y2 D. 2－ 2＝1 13 12 )
(1)若 时，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c时，则集合P为
(3)若 时，则集合P为空集. a<c
；
两条射线 a>c
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
x2 y 2 y2 x2 a2－b2＝1(a>0，b>0) a2－b2＝1(a>0，b>0)
图
形
范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率
x≥a 或 x≤－a， y∈R 对称轴：
＝1，故选 D.
(2)∵x2＝24y，∴焦点为(0，6)， y2 x2 ∴可设双曲线的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0). a ∵渐近线方程为 y＝± bx，其中一条渐近线的倾斜角为 30°，
2 2 3 y x a ∴b＝ 3 ，c＝6，∴a2＝9，b2＝27.其方程为 9 －27＝1.
答案 (1)D (2)B
考点二
x 2 y2 (2)(2016· 沈阳四校联考)设双曲线与椭圆27＋36＝1 有共同 的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为( 15，4)，则 此双曲线的标准方程是________.
解析
(1)由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近
b 线方程为 y＝ax，因此可得点 A 的坐标为(a，b).设右焦点为 F(c， 0)，由已知可知 c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16， c 所以有(c－a) ＋b ＝c ，又 c ＝a ＋b ，则 c＝2a，即 a＝2＝2，
解析
b (1)由题意知， 双曲线的渐近线方程为 y＝± 即 bx± ay ax，
＝ 0 ，因为双曲线的渐近线与圆 (x － 2)2 ＋ y2 ＝ 3 相切，所以 |2b| 2 2 ＝ 3 ， 由双曲线的一个焦点为 F (2 ， 0) 可得 a ＋ b ＝4， 2 2 a ＋b
2 y 所以|b|＝ 3， 即 b2＝3， 所以 a2＝1， 故双曲线的方程为 x2－ 3
2 ，渐近线方程为________. 率为e＝____
y＝±x
共渐近线系双曲线方程
跟踪训练 1 (1)(2015· 课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4， 3)， 1 且渐近线方程为 y＝± 2x，则该双曲线的标准方程为________． (2)(2016· 河南郑州二模)经过点(2，1)，且渐近线与圆 x2＋(y －2)2＝1 相切的双曲线的标准方程为( x2 y2 A.11－11＝1 3 y2 x2 C.11－11＝1 3 )
(2)(2016· 郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为 30°，则 该双曲线的标准方程为( x2 y2 A. － ＝1 9 27 y2 x2 C. － ＝1 12 24 ) y2 x2 B. － ＝1 9 27 y2 x2 D. － ＝1 24 12
2
a2＋b2
共轭双曲线
共轭双曲线是以已知双曲线的 虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲 线，也可以看做把原方程中的正 负号交换了位置后 得到的新方程。
y x 2 1 2 a b
2 2
的共轭双曲线为
y 2 x2 2 1 2 b a
等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲 线，其方程为 x2 － y2 ＝ λ(λ ≠ 0) ，其离心
双曲线的标准方程的求法 x2 y2 【例 2】 (1)过双曲线 C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦
点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)， 则双曲线 C 的方程为( x2 y2 A. 4 －12＝1 x2 y2 C. 8 － 8 ＝1 ) x2 y2 B. 7 － 9 ＝1 x 2 y2 D.12－ 4 ＝1
坐标轴
x∈R，y≤－a或y≥a 原点
；对称中心：
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
b y＝± ax e＝
a y＝± bx
c a
，e∈(1，＋∞)
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| ＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 实虚轴 |B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫 做双曲线的虚半轴长 a， b， c 的关系 c＝
解析
(1)由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2.
由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 3 由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝ ＝4. 2|PF1|·|PF2| (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(－5，0)，F2(5，0)， 设曲线 C2 上的一点 P，则||PF1|－|PF2||＝8＜10＝|F1F2|. 由双曲线的定义知曲线 C2 为双曲线且 a＝4，b＝3. x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为 2－ 2＝1. 4 3 答案 (1)C (2)A