2021年高三12月联考文科数学试题

2021年高三12月联考文科数学试题

一、选择题（把正确答案涂到答题卡上，每题5分，共60分）

1.定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为

( )

（A）0 （B）6 （C）12

（D）18

2. 三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为

a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则( )

A． B．

C．D．

3.“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的( )

（A）充分必要条件（B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

4. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )

A．B．C．D．

5. 设复数其中为虚数单位，，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

6. 为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（）

Ａ．9 Ｂ．8 Ｃ．7 Ｄ．6

7. 已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的n是( )

（A）21 （B）20 （C）19 （D）18

8. 设是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①②

③不与垂直④

中，是真命题的有（）

A.①②

B.②③

C.④

D.②④

9.若对使成立，则（）

A. B. C. D.

10.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（）

A.[,]

B.[,3]

C.[,3]

D.[-1,]

11. 已知是函数的一个零点,若,,则( )

（A）（B）

（C）（D）

12. 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是

(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共计16分

13. 过点（1，2）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直

线l的斜率k＝．

14.已知向量(x-1,2),=(4,y),若，则的最小值为 .

15. 设圆锥曲线r的两个焦点分别为，若曲线r上存在点P满足，则曲线r的离心率等于

16.已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：

①△ABC一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形

③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形

其中，正确的判断是

三、解答题

17.已知函数

（1）设，且，求x的值；

（2）在中，，且的面积为，求的值.

18.已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n与b n 的大小，并说明理由.

19.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB=5. 点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；

（II）求证：AC 1//平面CDB1；

（III）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

20. 设函数，曲线过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．

（I）求a，b的值；（II）证明：．

21.如图，椭圆的焦点在x轴上，左右顶点分别为，上顶点为B，抛物线分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，与相交于直线上一点P.

（1）求椭圆C及抛物线的方程；

（2）若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同的两点M,N，已知点，求的最小值.

22.已知函数，，且对于任意实数x，恒有.

（1）求函数的解析式；

（2）已知函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围；

（3）函数有几个零点？（注：）

DCBAD ABDBC BC

13.; 14. 6 ; 15. 或；16.（1）（4）

17.（1）==

由，得，

因为， 所以

于是或 所以或

（2）因为，由（1）知

又因 所以 于是

由余弦定理得 所以

所以

由正弦定理得

所以

18. （Ⅰ）由题设

（Ⅱ）若

当.02

)2)(1(,21>+-==-≥-n n S b S n n n n 时 故 若.4

9)21(2)1(2,212n n n n n S q n +-=--+=-=则 当,4

)10)(1(,21---==-≥-n n S b S n n n n 时 故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当

19. （I ）直三棱柱ABC －A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC ⊥BC ，

又因为 面ABC

又 面 面 AC ⊥BC 1；

（II ）设CB1与C1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC1的中点，∴ DE//AC1， ∵ DE 平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；

（III ）∵ DE//AC1，∴ ∠CED 为AC1与B1C 所成的

角，

在△CED 中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2，

∴ ，

∴ 异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值.

20. （I ）

由已知条件得，解得

（II ），由（I ）知

设

2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则

01,()0;1,()0.

()(0,1),(1,).x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少

而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即

21. 解：（Ⅰ）由题意，A （，0），B （0，），故抛物线C 1的方程可设为，C 2的方程为 (1)