微积分二期末复习

期末复习指导第五章不定积分1.积分的概念、性质若()()F x f x '=，则称()F x 是()f x 的一个原函数。

不定积分与导数或微分互为逆运算。

（1） 不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）：/()()()()f x dx f x d f x dx f x dx⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎰⎰或（2） 对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与这个函数仅相差一个积分常数：/()()()()Fx dx F x C dF x F x C=+=+⎰⎰或。

2.不定积分和定积分的第一类换元法()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()()x tf t dt F t Ct x F x Cϕϕϕ==+=+⎡⎤⎣⎦⎰()()()()b baa f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()()x tf t dt F t F F ββααϕβα===-⎰注：（1）第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成；（2）不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积分变量无关，运算时不需要“回代”；3.不定积分、定积分的第二类换元法 a 、根式代换解题思路：“去根号”；解题方法：令t =m mb dt x ct a -=-，有m m b dt dx dt ct a '⎛⎫-= ⎪-⎝⎭；特别地，t =，解出n t b x a -=，有1n n dx t dt a -=；代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； b 、代换二次函数）解题思路：“去根号”； 解题方法：（1）令sin x a t =，有cos dx a tdt =；（2）令tan x a t =，有2sec dx a tdt =；（3）令sec x a t =，有sec tan dx a t tdt =； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； 例题：注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。

4.不定积分、定积分的分部积分法a 、不定积分的分部积分公式：udv uv vdu=-⎰⎰； 定积分的分部积分公式：bbba aaudv uv vdu=-⎰⎰。

b 、上式中的()v x 的“优先次序”： 例题：1、()⎰-dx xx 212 2、⎰-+-dx x x x 24611 3、⎰-dx x x 1214、()⎰-dx x x 1ln 5．⎰+-dx x x x 223 6．⎰-dx x x 117．()⎰-xdx x cos 1第六章 定积分1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。

函数()f x 的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。

函数()f x 在[],a b 上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数()f x 及积分区间[],a b 有关。

2. 理解并记住定积分的基本性质。

3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法：()(),xa d f t dt f x dx =⎰ []()()()().b x a d f t dt f b x b x dx '=⎰4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。

牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ，再应用牛—莱公式即可。

因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。

5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。

注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。

定积分适用分部积分的类型及u 、dv 的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出auv b 的值。

6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。

7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。

8.广义积分的定义和求解。

例题：1． 求()⎰-21dx x f ，其中()⎩⎨⎧>≤-=1,1,22x x x x x f ． 2． 1．已知()⎩⎨⎧≤>=-0,00,t t e t f t , 求()⎰-=xdt t f x F 1)(．3．判断⎰∞+-02dx xe x 的敛散性．若收敛，求其值．4．判断⎰∞-+0212dx x 的敛散性 ．若收敛，求其值．5．已知()⎩⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0,00,sin ，对于给定的()+∞∞-∈,t ，计算()()⎰=Φt dx x f t 0．6. 设函数()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰-=1023dt t f x x x f ，试求()x f ．7. 已知()x f 在()+∞∞-,上连续，试证：()()⎰⎰+=10312121dx x f dx x f ．8．曲线2x y =，x y =围成一封闭的平面图形，试求： 1）该图形的面积；2）该图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积． 9． 1）写出定积分()⎰badx x f 的数学定义；2）已知某地区居民各自的税前收入（单位：十万元）介于0到4之间。

收入为[]4,0∈x 的居民占总人数的比例为()x x 43232--，并且需要缴纳个人所得税5x，试求该地区居民的税后人均收入． 10. 按照“分割、近似代替、求和、取极限”的四个步骤，计算由抛物线2x y =，直线0=x ，1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积.(6分)第八章 多元函数1.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；2.熟练掌握二元函数一阶及二阶偏导数的计算，会求二元函数的全微分；3.熟练掌握多元复合函数的链式求导法，特别是抽象复合函数的偏导数求导法；4.熟练掌握利用多元复合函数求导法导出的隐函数求导公式： 若(,,)0F x y z =可确定隐函数(,)z f x y =则,y x z z F F z z x F y F ''∂∂=-=-''∂∂ 求 ,,x y z F F F '''时，均视,,x y z 为地位平等的自变量。

即求x F '时，视,y z 为常数，其余类似。

5.掌握二元函数极值的概念及判断法,能熟练用拉格朗日乘数法求多元(二, 三元)函数的条件极值. 6. 理解二重积分的概念，掌握并理解二重积分的基本性质；7.熟练掌握二重积分在直角坐标系下化为二次积分进行计算的方法，并能熟练把一种次序的二次积分交换为另一种次序的二次积分。

8.会用二重积分求平面区域的面积。

例题：1.设()y x z 2cos =，求yx z∂∂∂2．2. 已知()y x y z 2ln 2+=∂∂，求xy z ∂∂∂2． 3．设()y x z z ,=由方程zye z x =2所确定，求()0,0,1dz4．求⎰⎰-Ddxdy x y ，其中(){}21,20,≤≤≤≤=y x y x D ．5．试求由曲面()22y x ez +-=，422=+y x ，0=z 所围成的封闭立体的体积．6．设()y x f z ,=由方程125=-+y xz z 所确定．试求：（7分） 1）dz ；2）()05.0,05.0f 的近似值（结果保留至小数点后两位）．7．求()xy y x y x f 3,33-+=的极值，并指明极大值还是极小值．（6分）8．求⎰⎰Dxdxdy ，其中D 由x y =，x y =围成．（6分） 9．交换积分次序⎰⎰1102xy dy e dx ，并计算出结果．（6分） 10．（8分）漂流到孤岛上的鲁滨逊为了生存，需要在椰子采摘与捕鱼两项食物获取活动上分配精力。

鲁滨逊的健康水平记为U ，其收获的椰子和鱼的数量分别记为x 和y ，三者之间满足3231y x U =。

受制于自身的技能与自然资源，他能够获取的椰子和鱼在数量上满足1222=+y x 。

试问：椰子采摘量x 和鱼的捕捞量y 各自多少时，能为鲁滨逊带来最高的健康水平？11. 某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入固定成本10（万元）。

设该企业生产甲、乙两种型号的产品分别为x （件）和y （件），且这两种产品的边际成本分别为200.5x +（万元/件）和6y +（万元/件）,两种产品的总收益为y xy x x y x R 92243),(2+++-=. （1）求甲、乙两种型号产品的总成本(,)C x y 。

（2）当甲、乙两种型号的产品分别为多少件时，总利润最大，并求出最大利润。

第七章 无穷级数1. 理解级数的基本概念； 记住级数的基本性质，特别是：若级数1nn u∞=∑收敛，则必有lim 0n n u →∞=，但lim 0n n u →∞=时，级数1nn u∞=∑未必收敛。

2. 熟记等比级数 1n n aq ∞=∑的敛散性：当|q|<1时，等比级数1n n aq ∞=∑收敛到1aqq -；当|q|≥1时，等比级数1nn aq∞=∑发散。

3. 熟记p 级数 11pn n ∞=∑ 的敛散性： 当p>1时，p 级数11pn n ∞=∑收敛； 当p ≤1时，p 级数11pn n ∞=∑发散。

4. 熟练掌握正项级数收敛性的判定。

(1)首先考察是否有lim 0n n u →∞≠，若有则1nn u∞=∑必发散；(2)通常可先考虑用比值判别法判定正项级数的1nn u∞=∑收敛性，特别是n u 中含n !n 或na 的情形。

(3)考虑用比较判别法时，应先对通项n u 作初步估计，再用适合的p 级数的通项与之比较作出判定。

5.熟练掌握交错级数1(1)(0)nnn n uu ∞=->∑ 绝对收敛还是条件收敛的判定。

(1)先考查1nn u ∞=∑是否收敛，若1nn u ∞=∑收敛，则1(1)nnn u∞=-∑ 是绝对收敛； (2)若1nn u ∞=∑ 发散，则用莱布尼兹判别法判定1(1)n nn u ∞=-∑ 是否收敛，若收敛，则为条件收敛。

6. 会求幂级数的收敛域。

(1) 对不缺项的幂级数0nnn a x∞=∑（允许缺有限项），取其后项与前项系数之比的绝对值取极限：1limn n na l a +→∞=确定收敛半径1R l =及收敛区间(,)R R -。

对有缺项的幂级数（指缺无限多项），则直接取其后项与前项之比的绝对值取极限：1()lim ()n n nu x l u x +→∞=然后根据定理,确定收敛半径R 及收敛区间(,)R R -。

(2) 讨论(-R, R)的端点x R =- 及x R =处级数0nnn a x∞=∑的收敛性，并写出收敛域(收敛区间加收敛的端点)。