微积分二期末复习

期末复习指导

第五章

不定积分

1.积分的概念、性质

若()()F x f x '

=，则称()F x 是()f x 的一个原函数。

不定积分与导数或微分互为逆运算。

（1） 不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）：

/

()()()()f x dx f x d f x dx f x dx

⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎰⎰或

（2） 对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与这个函数仅相差

一个积分常数：

/

()()()()F

x dx F x C dF x F x C

=+=+⎰⎰或。

2.不定积分和定积分的第一类换元法

()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'=⎡

⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰

()()()()()x t

f t dt F t C

t x F x C

ϕϕϕ==+=+⎡⎤⎣⎦⎰

()()()()

b b

a

a f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰

⎰

()()()()()

x t

f t dt F t F F β

β

αα

ϕβα===-⎰

注：（1）第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成；

（2）不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积

分变量无关，运算时不需要“回代”；

3.不定积分、定积分的第二类换元法 a 、根式代换

解题思路：“去根号”；

解题方法：令

t =m m

b dt x ct a -=-，有m m b dt dx dt ct a '⎛⎫-= ⎪-⎝⎭；

特别地，t =，解出n t b x a -=，有1n n dx t dt a -=；

代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； b 、代换

二次函数）

解题思路：“去根号”； 解题方法：

（1）

令sin x a t =，有cos dx a tdt =；

（2）

令tan x a t =，有2

sec dx a tdt =；

（3）

令sec x a t =，有sec tan dx a t tdt =； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； 例题：

注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。 4.不定积分、定积分的分部积分法

a 、不定积分的分部积分公式：udv uv vdu

=-⎰⎰； 定积分的分部积分公式：b

b

b

a a

a

udv uv vdu

=-⎰⎰。

b 、上式中的()v x 的“优先次序”： 例题：

1、()⎰

-dx x

x 212 2、

⎰-+-dx x x x 24611 3、⎰-dx x x 121

4、()⎰-dx x x 1ln 5．⎰

+-dx x x x 223 6．⎰-dx x x 1

1

7．()⎰-xdx x cos 1

第六章 定积分

1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。

函数()f x 的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。函数()f x 在[],a b 上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数()f x 及积分区间

[],a b 有关。

2. 理解并记住定积分的基本性质。

3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法：

()(),x

a d f t dt f x dx =⎰ []()

()()().

b x a d f t dt f b x b x dx '=⎰

4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。 牛—莱公式将定积分与不定积分这两个

截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ，再应用牛—莱公式即可。因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。

5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。

注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。

定积分适用分部积分的类型及u 、dv 的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出

a

uv b 的值。

6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。

7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。

8.广义积分的定义和求解。 例题：

1． 求

()⎰-2

1

dx x f ，其中()⎩⎨⎧>≤-=1

,1

,22x x x x x f ． 2． 1．已知()⎩⎨⎧≤>=-0

,00,t t e t f t , 求()⎰-=x

dt t f x F 1

)(．

3．判断

⎰

∞+-0

2dx xe x 的敛散性．若收敛，求其值．

4．判断

⎰∞-+0

212

dx x 的敛散性 ．若收敛，求其值．

5．已知()⎩⎨

⎧><≤≤=ππ

x x x x x f 或0,

00,sin ，对于给定的()+∞∞-∈,t ，计算()()⎰=Φt dx x f t 0．

6. 设函数()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰-=1

02

3dt t f x x x f ，试求()x f ．

7. 已知()x f 在()+∞∞-,上连续，试证：()()⎰⎰+=103

1212

1dx x f dx x f ．

8．曲线2x y =，x y =围成一封闭的平面图形，试求： 1）该图形的面积；

2）该图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积． 9． 1）写出定积分

()⎰b

a

dx x f 的数学定义；

2）已知某地区居民各自的税前收入（单位：十万元）介于0到4之间。收入为[]4,0∈x 的居民占总人数的比例为()

x x 43232--

，并且需要缴纳个人所得税5

x

，试求该地区居民的税后人均收入． 10. 按照“分割、近似代替、求和、取极限”的四个步骤，计算由抛物线2

x y =，直线0=x ，1=x 以及

x 轴所围成的平面图形的面积.(6分)

第八章 多元函数

1.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；

2.熟练掌握二元函数一阶及二阶偏导数的计算，会求二元函数的全微分；

3.熟练掌握多元复合函数的链式求导法，特别是抽象复合函数的偏导数求导法；

4.熟练掌握利用多元复合函数求导法导出的隐函数求导公式： 若(,,)0F x y z =可确定隐函数(,)z f x y =

则

,y x z z F F z z x F y F ''∂∂=-=-

''∂∂ 求 ,,x y z F F F '''

时，均视,,x y z 为地位平等的自变量。即求x F '时，视,y z 为

常数，其余类似。