弹性力学论文

悬臂梁在均布荷载下的应力状况

摘要：悬臂梁在现实生活中很常见，对于悬臂梁的分析采用弹性力学里的应力边界条件和平微分方程和相容方程进行求解计算分析，再结合材料力学的知识进行分析，深入系统的了解悬臂梁的手里特点。

关键词：静定梁、悬臂梁、弹性力学、材料力学、受力特点

现实生活中的房屋建筑中，存在很多的悬臂梁结构，身边的例子很多，例如

体育场的看台，城市里房屋的阳台，农村房屋中很多都有屋檐，而其都是靠悬臂梁的支撑才能结合上面的附属物件构成。现在我们就对悬臂梁的应力情况分别采用弹性力学和材料力学的相关知识进行分析

如图所示梁受荷载作用，求解其应力

1、弹性力学求解

解：本题是按应力求解的。

基本公式

x C xy h

q C y C y h

q y y x h

q xy y x 123213332362)46(+=+--=--=τσσ 1、在应力法中，应力分量在单连体中必须满足：

（1）平衡微分方程；00=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂y xy y x yx x f x

y f y x τστσ （2）相容方程 ()02=+∇y x σσ；

y ql x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-20222qh ql l 202qh q o h /2 h /2 （l ＞＞h ，δ＝1）

（3）应力边界条件（在σs s =上）。

将应力分量代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。

2、校核边界条件

（1）在主要边界上

04602123=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⋅=±=C h h q x h y xy ，即时，τ,由此得 h

q C 231-= q C h C h h q q h y y -=++⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=-=2133282,2即－时，σ，由此得 2

2q C -= 0==y h

h y σ时，，将C 1、C 2代入后满足。 将C 1、C 2代入式（a ），得到应力公式：

()

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--=14232232123222

23223h y h qx h y h y q y x h

qy xy y x τσσ （b ） （2）再将式（b ）代入次要边界条件

00==xy x τ时，

33

4h y q x =σ，其主矢量为 0)

(02

2==-⎰dy x h h x σ

而主矩为20

)(22

20qh ydy h h x x =⎰-=σ x =l 时，，其主矢量为； （2分）

)46(323y y l h q x --=σql dy h h x xy -=⎰-=2

20)(τ)14(2322-=h

y h ql xy τ，其主矢量为0， （1分） 而主矩为)202()(222

2qh ql ydy l

x h h x --==-⎰σ 由此可见，在次要边界上的积分条件均能满足。因此，式（b ）是图示问题之解。

2、材料力学求解:

受力图形可如下图分析:矩形梁

C

`

X F M s F C

取截面C-C 进行研究，对其左半边部分进行受力分析

由静力平衡方程

对于C 截面 ∑∑∑===0M 0F 0

F C

Y X

即 Fx=0

02

120qh 0

F q 22S =+-=+M qx x 则可得 20

21F 0

F 2

2S X qh qx M qx -=-==

又l 》h ，可按纯弯曲计算其S F 力

y ql

x

x 202qh q o h /2 h /2 （l ＞＞h ，δ＝1）

20

21M 623623)4(6

)4(2)4

(253612

)20qx 21I My 2

233232*22

211*3232

2Z X qh qx y bh qx bh qx y bh F bh F y h bh

F y h I F b I S F I y h b bdy y S bh qy bh

qx bh y qh S S S Z S Z Z S h y Z -=+-=-=-∙=-=∙=-==-=-==⎰则可得（σ

弹性力学解与材料力学解比较：

弹性力学是从平微分方程、边界条件、相容方程出发求解、材料力学是从静力平衡方程平衡方程进行求解，，弹性力学方法较材料力学方法更具有合理性。利用材料力学方法对悬臂梁应力求解，与弹性力学进行比较，可以得出以下结论：

一、 弹性力学和材料力学所得的答案略有差异，弯矩数值相反，这是由于他

们之间的正负方向假定不同造成的，所以说他们的玩具应力结果实质上是一样的。

二、 弹性力学求解的答案更加精确，更贴近悬臂梁的实际受力状况。 参考文献：

［1］徐芝纶，弹性力学简明教程，高等教育出版社

［2］孙训方，材料力学，高等教育出版社。