第六章 动态规划[46页]
动态规划
=MIN（3+12，4+10）=14
最短路线： A—— B2 ——C2——D2——E2——F 最优解： d1*(A)= B2，最短用时14
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
最优解： d2*(B1)= C1
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S2=B2，则下一步能取C2或C3，故
f2(B2)=MIN r(B2,C2)+ f3(C2)
r(B2,C3)+ f3(C3) =MIN（2+8，1+11）=10
最短路线： B2 ——C2——D2——E2——F
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S4=D3，则下一步只能取E2，故
动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
第6章动态规划
第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。
它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。
在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。
动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。
因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
运筹学额 第6章：动态规划
当指标函数满足 Vk , n v j ( s j ,u j ) 时，有：
n
f k (sk ) opt
uk Dk ( sk )
vk (sk , uk ) f k 1 (sk 1 )
j k
动态规划的求解有两种基本方法：逆序解法和顺序解法。 若寻优方向与实际行进方向相反，即从最后一阶段开始计 算，逐段前推，求得全过程的最优解，则称为逆序解法。 若寻优方向与实际行进方向相同，计算时从第一阶段开始 向后递推，计算后一阶段要用到前一阶段的结果，最后一阶段 的结果就是全过程的最优结果，则称为顺序解法。
下面我们用例6-4来说明顺序解法。 将求s至t的最短路问题视为一个四阶段决策问题，设： sk ——第k阶段的初始状态。 sk+1 ——第k阶段的终止状态。
uk ——第k阶段选择的路线。状态转移方程：sk＝uk(sk+1)
vk(sk+1，uk)——第k阶段选择路线uk时增加的距离，即从初 始状态sk到sk+1的距离。
【例6-2】设备更新问题。企业在使用设备时都要考虑设备 的更新问题，因为设备越陈旧所需的维修费用越多，但购买新 设备则要一次性支出较大的费用。现某企业要决定一台设备未 来8年的更新计划，已预测了第j 年购买设备的价格为Ki，设Gj 为设备经过j年后的残值，Cj为设备连续使用j-1年后在第j年的 维修费(j=1，2，…，n)，问应在哪些年更新设备可使总费用 最小。 【例6-3】投资决策问题。某公司现有资金Q万元，在今后5 年内考虑给A、B、C、D四个项目投资，这些项目投资的回收期 限、回报率均不相同，问该公司应如何确定这些项目每年的投 资额，使到第5年年末拥有资金的本利总额最大。这是一个5阶 段决策问题。
j k
第6章-动态规划
求解过程
由最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序逐步 向前一阶段扩展，并将后一阶段的优化结果带 到扩展后的阶段中去，以此逐步向前推进，直 至得到全过程的优化结果。
f1
(
A)
min
dd11
( (
A, A,
B1) B2 )
ff22((BB12))
min
4 9
9 11
13
d1( A, B3) f2 (B3)
5 13
其最短路线是A→ B1→C2 →D2 →E ，相应的决 策变量是u1(A)=B1
因此，最优策略序列是：
u1(A) =B1, u2(B1)=C2, u3(C2)=D2, u4(D2)=E
5 8 C2 4 6 4
4 C3 2
C3
D1 4 2 6
D2 9 7
D3 5
D4
E1 1 F
E2 2
E5
F
动态规划的逆序解法与顺序解法
逆序（递推）解法：即由最后一段到第一段逐步 求出各点到终点的最短路线,最后求出A点到E点 的最短路线。运用逆序递推方法的好处是可以始 终盯住目标,不致脱离最终目标。 顺序解法：其寻优方向与过程的行进方向相同， 求解时是从第一段开始计算逐段向后推进，计算 后一阶段时要用到前一段求优的结果，最后一段 的计算结果就是全过程的最优结果。
B1
A
4+9=13
d(u1)+f2
B2
B3
f1(s1) u1*
动态规划
动态规划内容要点：1、动态规划的基本概念2、各种动态规划问题建模与应用动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼等人在20世纪50年代提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支，即动态规划。
他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。
在实际的决策问题中，由于涉及的参数比较多，往往需要将问题分成若干个阶段，对不同阶段采取不同的决策，从而使整个决策过程达到最优。
显然，由于各个阶段的策略不同，对应的整个过程就可以有一系列不同的策略。
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。
这种方法并不困难得多阶段决策问题变换成一系列互相联系的比较容易的单阶段问题，解决了这一西里比较容易的单阶段问题，也就解决了困难得多阶段问题。
优势阶段可以用时间表示，在各个时间段，采用不同决策，他随时间而变动，这就有动态的含义。
同台规划就是要在时间的推移过程中，在每个时间段选择适当的决策，以使整个系统达到最优。
动态规划是把难解决的大问题分解为通常较为容易解决的子问题的一种解决问题的方法。
由于它独特的解题思路，在处理某些优化问题时，比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散性的问题，由于解析数学无法施展其术，而动态规划的方法就成为了非常有用的工具。
应该指出的是，动态规划师求解某类问题的一种求解方法，是考查问题的一种途径，而不是一种算法。
因而，他不想线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。
动态规划是现代企业管理中的一个重要决策方法，我们着重利用微软Excel软件在“公式”和“规划求解”两方面的强大功能，对装在问题、生产经营问题、资金管理问题和资源分配问题等进行分析、建模和求解，解决了实际经营中的优化问题，迅速准确地得出决策结果。
第6章_动态规划ppt课件
gg(u1)
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好 机器的数量为u，到年终时完好的机器就为au， 0<a<1。在低负荷下进行生产时，产品的年 产量和投入生产的机器数量u2的关系为
hh(u2)
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7
这时，机器的年完好率为b，0<b<1 。
假定开始生产时完好的机器数量为s，要求制定 一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配 完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在 五年内产品的总产量达到最高？
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15
2．在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把前一 段和未来各段分开，又把当前效益和未来效益结 合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策 的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答 案一般是不同的。
3．在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已 知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最 优策略所经过的各段状态便可逐次变换得到，从 而确定了最优路线。
因f3是x3线性单调下降函数，故得最优解 x3*=0，相应的有f3(s3)=18s3
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36
K=2时
f2(s2)0 m x 2 s2 [4 a x 2 x6 s2f3(s3) ]0 m x 2 s2(4 a x 2x 6 s2 1s3 8 ) 0 m x 2 s2 4 a x 2x 6 s2 1(5 4 8 s21 3x 0 2) 0 m x 2 s2(2 a5 2 0 x s27 5x 2)
sk1T k(sk,xk(sk))
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12
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14
§3 动态规划的基本方法
一、动态规划方法的基本原理
动态规划方法的基本思想：
第六章动态规划
库存容量为3单位，计划开始和期末库存量均为0。请制定
四个月的生产计划，在满足市场需求下总费用最小。
（1）阶段：k= 1, 2, 3, 4 每个月为一个阶段 （2）状态sk 表示第 k 月初的库存量，[0, 3] （3）决策xk 表示第 k 月的生产量，[0, 6]
（4）状态转移sk+1 =sk + xk – dk
能够达到总体最优的策略叫做最优策略。
5）指标函数
指标函数和最优值函数：用来衡量所实现过程优 劣的一种数量指标，为指标函数。指标函数的最优 值，称为最优值函数，记作f1(s1)或fk(sk) 。在不 同的问题中，指标函数的含义是不同的，它可能是 距离、利润、成本、产量或资源消耗等。
6）状态转移方程（状态转移率）
Sk xk vk
DE
5
1
DE
2
2
C1
D 1
3
D
9
2
C2
D 1
6
D
5
2
C3
D 1
8
D 10
2
C1 3
9 6 C2 5
D1 5 2E
8 10
D2
C3
vkn=vk+fk+1 fk
P
50 20
35 92 65 52 85 10 2
5
DE
1
2
DE
28C1D1E7C2D2E12
C3D2E
k
Sk xk vk vkn=vk+fk+1 fk
（5）阶段指标vk =C(xk) + E(sk) 表示第 k 月的费用
指标函数
4
v k4
v i
(
x i
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
ppt第六章动态规划
。最短时间为
最优决策
从B2到E有两种路线：
和
。
最短时间为
最优决策为
。
4（倒数第四段）
从 到 的路线有两种： 和
。
最短时间为：
最优决策为
。
至此求出了A到E的最短时间为9，最优路线
为
。在图6-1中用粗线表示。这里
，为决定最优路线进行了10次加法，比穷举法的
18次少了8次。当段数n更多时，节省计算将会更
n1=1 （倒数第一段）
考虑从 和 到 最短时间分别为
的路线，由定义可知，
2（倒数第二段）
考虑从 、 或 到 有两种路线： ， 时间由下式确定：
的路线。由 到 。两种路线中的最短
最优决策为
。
由 到 只有一种路线
，
其时间为
由 到E也只有一种路线 C3D2E ， 其时间为
3（倒数第三段）
考虑从B1或B2到E的路线。 B1到E有两种路线： 和
多。
从上面解题过程可见，动态规划解题的两个特
点：它是从最后一级往后倒着计算的；它把一个
级决策问题（这里是决定一整条路线）化为 个单
级决策问题，即把一个复杂问题化为多个简单问题
来求解。我们可看出 阶段与 阶段有下面的
关系（
）
（6-1） （表示最后一级）
(6-1)式称为函数方程，从(6-1)式可见,在选择了决
这说明只看下一步的“眼前利益”来作 决策是没有意义的。
（二）动态规划法
为将问题表达得清楚，引进下面的术语。
令 表示由某点 到终点的段数（如 到 为2 段）。
令 表示当前所处点的位置（如 为状态变量。
），称
令 为决策（控制）变量，它表示当处在 位置而还有 段要走时，所要选取的下一点。 例如，从 出发，下一点为 时，则表示为
动态规划
5 . 最短路问题：给定一个交通网络图如下，其 中两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A点 到G点的最短距离（总费用最小）。
1 C1 3 6 8 3 D1 1 2 2 2 5 E2 2 D2 E1 3
5
A 3
B1
6
8 B2 7 6
C2
5
3
5
F1
3
4
G
C3 8 C4
3
4 D3
3
3 4 E3
6
6
F2
3.航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运 动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞 行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞 行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目 的（如软着落问题）。
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一 次决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为 多阶段的决策问题用动态规划方法来解决。 4.线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可 以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法 加以解决。
f k sk min d k sk , uk sk f k 1 uk sk u k Dk s k f 6 s6 0或 写 成 5 s5 d 5 s5 , F f
k 5,4,3,2,1
动态规划的基本方程（二）
D4(D1)={E1,E2},D4(D2)= {E1,E2}
D5(E1)={F}, D5(E2)={F}
4 A 5
2 B1 3 5 B2 8 7 7
⑷状态转移方程 上例中的状态转移方程sk+1=uk(sk)
C1 5 8 C2 45 3 C3 4 84 C4
D1 3 5 E1 4 6 D2 2 3 E2 1 3 D3
动态规划新版
第6章动态规划动态规划是我们要介绍的几种算法设计方法中难度最大的一种，它建立在最优原则的基础上。
采用动态规划方法，可以高效地解决许多用贪婪算法或分而治之算法无法解决的问题。
在介绍动态规划的原理之后，将分别考察动态规划方法在解决背包问题、图象压缩、矩阵乘法链、最短途径、无交叉子集等方面的应用。
1算法思想和贪婪算法同样，在动态规划中，可将一个问题的解决方案视为一系列决策的结果。
不同的是，在贪婪算法中，每采用一次贪婪准则便做出一个不可撤回的决策，而在动态规划中，还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优子序列。
例6-1[最短路经]考察下图中的有向图。
假设要寻找一条从源节点s=1到目的节点d=5的最短途径，即选择此途径所通过的各个节点。
第一步可选择节点2，3或4。
假设选择了节点3，则此时所规定解的问题变成：选择一条从3到5的最短途径。
假如3到5的途径不是最短的，则从1开始通过3和5的途径也不会是最短的。
所以在最短途径问题中，假如在的第一次决策时到达了某个节点v，那么不管v是如何拟定的，此后选择从v到d的途径时，都必须采用最优策略。
例6-2[0/1背包问题]考察前面的0/1背包问题。
如前所述，在该问题中需要决定x1 … x n的值。
假设按i=1，2，…，n的顺序来拟定x i的值。
假如置x1=0，则问题转变为相对于其余物品（即物品2，3，…，n），背包容量仍为c的背包问题。
若置x1=1，问题就变为关于最大背包容量为c- w1的问题。
现设r {c，c-w1}为剩余的背包容量。
在第一次决策之后，剩下的问题便是考虑背包容量为r时的决策。
不管x1是0或是1，[x2，…，x n]必须是第一次决策之后的一个最优方案，假如不是，则会有一个更好的方案[y2，…，y n]，因而[x1，y2，…，y n]是一个更好的方案。
假设n=3,w=[100,14,10],p=[20,18,15],c=116。
若设x1=1，则在本次决策之后，可用的背包容量为r=116-100=16。
动态规划
2018/10/18
23
V1
V2 2
9 7 4 3
V3
V4
V5
6
2 4
6 5
9
4 2
3
7
1
3 2
7
4
11 11 1 5
3
10
12
5 6
8
8
11
5
5段图
2018/10/18 24
例6.6 0/1背包问题（向后处理策略）
设fi(x)是KNAP(1,i,X)的最优解。 则，fn(M) = KNAP(1,n,M)
2018/10/18 2
可行解：从问题开始阶段到最后阶段的一个合 理的决策序列都是问题的一个可行解。 目标函数：用来衡量可行解优劣的标准，通常 以函数形式给出。
最优解：能够使目标函数取极值的可行解。 多阶段决策过程的最优化问题就是：求能够获 得问题最优解的决策序列——最优决策序列。
2018/10/18
2018/10/18 1
讨论这一性质的问题： 任一阶段i以后的行为仅依赖于i阶段的过程状态，而 与i阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关（与此相 反的问题如回溯等）。
最优化问题： 每一决策都附有一定的“成本”，决策序列的成本是 序列中所有决策的成本之和。 设从阶段i到阶段i-1有pi种不同的选择，则从阶段0至阶 段n共有p1p2……pn种不同的路径（每条路路径对应一个 决策序列）。 问：这些路径里面，哪一条的成本的最小？ ——如何求取最优决策序列？
3 s 0 1 v2
1 2 2 v3
3 0 2 t
此时，问题存在最优的决策序列： s-3->v2-2->v3-3->t 但最优性原理不一定成立：最优决策序列上的 任一子决策序列不相对于当前子问题最优。
第6章动态规划PPT课件
动态规划问题实例
例6-1 给定一个线路网络，要从A向F铺设一条输油管，
各点间连线上的数字表示距离，问应选择什么路线，可
使总距离最短？
C1 6
5
1
B1 3
6
8
3
C2 5
D1 2
2
E1 3
5
F1 4
5
A
3
3
87
C3 3
1
D2
2
E2 2
6
G
3
F2
B2 6
8
C4 4
3
D3 3
6
E3
第5页/共55页
动态规划
所谓多阶段决策问题是指这样的决策问题:其过程可分 为若干个相互联的阶段，每一阶段都对应着一组可供选择 的决策，每一决策的选定即依赖于当前面临的状态，又影 响以后总体的效果。当每一阶段的决策选定以后，就构成 一个决策序列，称为一个策略，它对应着一个确定的效果。 多阶段决策问题就是寻找使此效果最好的策略。
最优指标函数 fk(xk) 表示从目前状态到E的最短路径。终 端条件为:
f7 (s7) = f7(G) = 0 其含义是从G到G的最短路径为0。 递推方程为:
fk (sk )
=
Min
ukDk ( sk
){Vk
(
sk
,
uk
)
+
fk+1(sk+1)}
第21页/共55页
贝尔曼最优化原理
作为一个全过程的最优策略具有这样的性质:对于最 优策略过程中的任意状态而言，无论其过去的状态和决 策如何，余下的诸决策必构成一个最优子策略。
第8页/共55页
动态规划问题实例
运筹学第章动态规划
x2(B2)C1
2019/9/16
17
f2(B1)=20
f3(C1)=8
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
A5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f2(B3)=19
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f2(B2)m id n d((B B22,,C C2 1)) ff3 3((C C12)) m i1n6 0 87 m i1 1n 7 414 d(B2,C3)f3(C3) 41 2 1 6
(4) 状态转移方程sk＋1 ＝T (sk,uk)：描述第k阶段与第k+1阶段 的状态变量的关系
2019/9/16
23
阶段函数
(5)指标 v(sk ,uk) ：第k阶段状态sk情况下采取决策uk得到的结 果（距离、得益、成本等）
指标函数是指各阶段指标的累计。即 V (sk,uk, …, sn,un, sn+1)=vk(sk,uk)*vk+1(sk+1,uk+1)…*vn(sn,un) 它表示从第k阶段的状态sk开始到第n阶段的终止状态的指标 累计。式中*表示某种运算符，一般为加法运算或者乘积运算。
2019/9/16
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综上所述可见，全枚举法虽可找出最优方案，但不是 个好算法，局部最优法则完全是个错误方法，只有动态规 划方法属较科学有效的算法。它的基本思想是，把一个比 较复杂的问题分解为一系列同类型的更易求解的子问题， 便于应用计算机。
《动态规划》课件
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划
状态 B1 在决策 u2 ( B1 ) 作用下的一个新的状态，记作u2 ( B1 ) C2 . 4、策略 策略是一个按顺序排列的决策组成的集合。由过程的第 k 阶段开始到 终止状态为止的过程，称为问题的后部子过程（或称为 k 子过程）。
返回 结束
动态规划
由每段的决策按照顺序排列组成的决策函数序列
k 1,2,, n.
对于动态规划模型的指标函数，应具有可分离性，并满足递推关系
Vk ,n k [ sk , uk ,Vk 1,n ( sk 1 ,, sn1 )]
在实际问题中指标函数都满足这个性质。 常见的指标函数有下列两种形式 （1）过程和任一子过程的指标是它所包含的各阶段指标的和，即
指标函数的最优值，称为最优值函数，记作 f k (sk ) 它表示从第 k 阶段 的状态 sk 开始到第 n 阶段的终止状态的过程，采取最优策略所得到的 指标函数值。即
f k ( sk ) opt Vk ,n ( sk , uk ,, sn1 )
uk ,,un
返回 结束
动态规划
在不同的问题中，指标函数的含义不同，它可能是距离，利润，成本 ，产品的产量，资源消耗等。 二、动态规划的基本思想和基本方程 结合最短路问题介绍动态规划的基本思想 。最短路线有一个重要特性，
这种递推关系式称为动态规划的基本方程。
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结束
动态规划
资源分配问题 某工业部门根据国家计划的安排，将某种高效率的设备 五台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂若获得 这种设备之后，可以为国家提供盈利如表2-2所示。
问这五台设备应如何分配给工厂，才能使国家得到的 盈利最大。
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结束
动态规划
表2-2
第6章 动态规划(1216)
关于阶段的划分、状态变量、决策变量、允 许决策集合和状态转移方程，应注意如下几点：
• 状态变量的确定是构造动态规划模型中最关键的一步， 状态变量首先应描述反映研究过程的演变特征，其次 它应包含到达这个状态前的足够信息，并具有无后效 性，还应具有可知性。 • 决策变量是对过程进行控制的手段，复杂的问题决策 变量也可以是多维的向量，允许决策集合相当于线性 规划问题中的约束条件。 • 状态转移律。当给出sk、xk的取值后，如果sk+1的取值 唯一确定，相应的决策过程称为确定性的多阶段决策 过程，否则称为随机性的多阶段决策过程。 • 指标函数是衡量决策过程效益高低的指标，它是一个 定义在全过程或从k到n阶段的子过程上的函数，指标 函数必须具有递推性。
第三阶段：
• 显然将s3(s3=0,1,2,3,4,5)台机器设备都分配给第3个工厂 时，也就是s3=x3时，第三阶段的指标值（即第3厂的盈 利）最大，即 max r3(s3,x3)=r3(s3,s3) 由于第3 阶段是最后的阶段，故有 f3(s3) =max r3(s3,x3)=r3(s3,s3) 其中x3可能取值为0，1，2，3，4，5.其数值计算见下 表：
[例1] 最短路线问题。设有一旅行者从下图中 的A点出发，途中要经过B、C、D等处，最后到 达终点E。从A到E有很多条路可以选择，各点之 间的距离如图所示，问该旅行者应选择哪一条路 线，使从A到E的总路程最短？
B1 2 A 3 5 B2 6 3 7 5 C1 4 2 C2 1 5 6 3 3 4 1
[例2] 设有某种机器设备，用于完成两类工作 A和B.若k年初完好机器的数量为sk，若以数量xk 用于A，余下的(sk-xk)用于工作B，则该年的预期 收入为g(xk)+h(sk-xk).这里g(xk)和h(sk-xk)是已知函 数，且g(0)=h(0)=0.又机器设备在使用中会有损坏， 设机器用于工作A时，一年后能继续使用的完好 机器数占年初投入量的a%；若用于B项工作时， 一年后能继续使用的完好机器数占年初投入量的 b%，即下一年初能继续用于完成这两项工作的设 备数为sk+1=axk+b(sk-xk).设第一年初完好的机器总 数为s0，问在连续三年内每年应如何分配用于A、 B两项工作的机器数，使三年的总收益最大？
动态规划
最优化原理1951年美国数学家R．Bellman等人，根据一类多阶段问题的特点，把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题，然后逐个加以解决。
一些静态模型，只要人为地引进“时间”因素，分成时段，就可以转化成多阶段的动态模型，用动态规划方法去处理。
与此同时，他提出了解决这类问题的“最优化原理”(Principle of optimality)：“一个过程的最优决策具有这样的性质：即无论其初始状态和初始决策如何，其今后诸策略对以第一个决策所形成的状态作为初始状态的过程而言，必须构成最优策略”。
简言之，一个最优策略的子策略，对于它的初态和终态而言也必是最优的。
这个“最优化原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是：假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决策D1，D2，…，Dn，如若这个决策序列是最优的，对于任何一个整数k，1 < k < n，不论前面k个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策Dk+1，Dk+2，…，Dn也是最优的。
最优化原理是动态规划的基础。
任何一个问题，如果失去了这个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。
能采用动态规划求解的问题都需要满足一定的条件：(1) 问题中的状态必须满足最优化原理；(2) 问题中的状态必须满足无后效性。
所谓的无后效性是指：“下一时刻的状态只与当前状态有关，而和当前状态之前的状态无关，当前的状态是对以往决策的总结”。
问题求解模式动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。
这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通常是求最优的活动路线)。
如图所示。
动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。
初始状态→│决策１│→│决策２│→…→│决策ｎ│→结束状态图1 动态规划决策过程示意图(1)划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。
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4
整数规划
第一节 动态规划的数学模型
一、多阶段决策问题
例6—3 旅行售货员问题。设某人想到城市1、2、3、4去旅游，四个城市之间 的距离可以用如下距离矩阵D=(dij)表示，其中dij表示从城市i到城市j之间的距 离，问此人从城市1出发经过其它城市依次且仅一次然后回到城市1如何走才 能使得距离最短。
) )
3 4 min 2 7
7
对应的路线为：
B2C1D1E；
d(B2 ,C3 ) f (C3 )
6 5
f (B3 )
min
dd((BB33
, C1 ,C2
) )
f f
(C1 (C2
) )
5 4 min 1 7
8
对应的路线为：
B3C2D2E；
d(B3 , C3 ) f (C3 )
9 5
0 8 5 6
D
6 7 9
0 9 7
8 0 8
5
5 0
5
整数规划
第一节 动态规划的数学模型
一、多阶段决策问题
例 4—1 （装载问题）有一辆卡车的最大载重量为b 吨,现有n 种货物可供装载。 设第j 种货物每件重吨,每件的装载费用为 元 (j=1,…n)。问应该采用怎样的装 载方案才能使卡车一次装载货物的收入最大?
第六章 动态规划
动态规划问题的数学模型 动态规划问题的求解方法 动态规划的软件求解方法 动态规划的应用案例分析
1
整数规划
第一节 动态规划的数学模型
一、多阶段决策问题
动态规划是一种用于处理多阶段决策问题的数学方法。所谓多阶段决策 问题是指这样一类问题：它可以分成若干个相互联系而且性质相同的阶 段，在每个阶段都需要做出决策，这个决策不仅决定这一阶段的效益， 而且决定下一阶段的初始状态。当每个阶段的决策确定以后，把各个阶 段的决策综合起来构成的决策序列就是解决整个问题的一个方案，称为 一个策略。不同的策略会产生不同的效果（效果可以用数值来衡量）， 多阶段决策问题就是在所有可行的策略中选择一个在给定标准下能达到 最好效果的最优策略。
解：设 x j为卡车装载第j 种货物的件数(j=1,2,…,,n), z表示卡车一次装载的收
入,则该问题的数学模型为：
max z c1x1 c2 x2 ... cn xn
s.t.
a1x1 a2 x2 ... an
x
j
0, 且为整数
xn
b
6
整数规划
第一节 动态规划的数学模型
二、动态规划问题的解题思路
一、多阶段决策问题
例6—2 机器负荷分配问题。 设有某种机器设备，可以在高低两种不同的负 荷下进行生产，若第k年初完好机器的数量为sk,若以数量xk用于高负荷生产，
余下的sk-xk用于低负荷生产，则该年的产量为 g(xk ) h(sk x，k )其中g(xk ) 和 h(sk xk )是已知函数，并且g(0) h(0) 0。设机器用于高负荷生产时，一年
1．考虑一个阶段的选择。
f (D1) d (D1, E) 2 D1 E
f (D2 ) d (D2 , E) 4 D2 E
2．联合考虑两个阶段的最优选择。
f
(C1
)
min
dd((CC11,,
D1 D2
) )
f f
( (
D1 D2
) )
min
2 1
2
4
4对应的路线为C1D1E；
f (C2 )
3．再联合起来考虑三个阶段的最优选择。
f (B1 )
min
dd((BB11,,CC21
) )
f f
(C1 (C2
) )
7 4 min 5 7
11对应的路线为：
B1C1D1E；
d(B1,C3 ) f (C3 )
8 5
f
(B2 )
min
dd((BB22
, C1 ,C2
) )
f f
(C1 (C2
三、动态规划的基本概念
1． 阶段与阶段变量
阶段是指一个问题需要做出决策的步数。动态规划是求解多阶段决策问题的，首 先要根据问题需要作出决策的步数，把问题恰当地分成若干相互联系的阶段，以 便按次序求解。阶段一般是根据时间和空间的自然特征来划分的。描述阶段的变 量称为阶段变量，常用k表示。
2．状态与状态变量
min
dd((CC22
, ,
D1 D2
) )
f f
( (
D1 D2
) )
min
7 3
2 4
7 对应的路线为：C2D2E；
f
(C3
)
min
dd((CC33
, ,
D1 D2
) )
f f
( (
D1 D2
) )
3 2 min 2 4
5
对应的路线为：为C3D1E；
7
整数规划
第一节 动态规划的数学模型
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整数规划
第一节 动态规划的数学模型
一、多阶段决策问题
例6—1 最短路径问题。设有一个旅行者从图中的A点出发，途中要经过B、C、 D等处，最后到达终点E。从A到E有很多条路可以选择，各点之间的距离如 图所示，问该旅行者应该选择哪一条路线，使从A到E的总路程最短。
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整数规划
第一节 动态规划的数学模型
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整数规划
第一节 动态规划的数学模型
4．四个阶段联合考虑时从A到E的最优选择。
f ( A)
min
d( d (
A, A,
B1 B2
) )
f f
( (
B1 B2
) )
2 11
min
4
7
11
d( A, B3 ) f (B3 )
6 8
对应的路线为：AB2C1D1E；
9
整数规划
第一节 动态规划的数学模型
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整数规划
第一节 动态规划的数学模型
三、动态规划的基本概念
3．决策和决策变量
当过程处于某一阶段的某一状态时，决策者在面临的若干种不同方案中
作出选择，这种选择称为决策。描述决策的变量称为决策变量，用xk（sk） 表示第k阶段状态下的决策变量。第k阶段状态为时决策变量允许的取值
状态表示每个阶段开始所处的自然状况和客观条件，它描述了研究问题 过程的状况，是动态规划中最关键的一个参数。状态是动态规划问题各 阶段信息的传递点和结合点，既反映前面各阶段决策的结局，又是本阶 段作出决策的出发点和依据。随着每个阶段决策的选择，状态就会发生 转移。描述状态的变量称为状态变量，常用sk表示，它的取值可以是一 个数、一个数组或一个向量。状态变量所有可能的取值构成的集合称为 允许状态集，用Sk表示。
后能继续使用的完好机器数占年初投入量的a倍 (0 a 1) ，若用于低负荷生 产，一年后能继续使用的完好机器数占年初投入量的b倍 (0 b 1) ，即下一 年初能继续用于生产的机器数为 sk1 axk b(sk xk )。设第一年初完好的机器
数为 s1 ，问在连续三年内，每年应如何分配在两种负荷下进行生产的完好