科学研究的结果和数据处理讲义
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
科学研究的结果和数据 处理讲义
路漫漫其悠远 2020/4/5
第1节 试验数据的误差分析
※ 试验的目的是获得规律，规律的表现形式在 于数据
※ 误差存在的客观性
※ 误差范围的可控性和数据的可靠性
※本章的主要内容：
1. 误差来源 2. 误差表示 3. 误差估计 4. 误差传递
路漫漫其悠远
1.1 真值与平均值
，用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和 随机误差合成的大小程度。
路漫漫其悠远
1.5 试验数据误差的估计与检验
※1 随机误差的估计 对试验值精密度高低的判断：
(1) 极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。
R＝xmax - xmin
(2)标准差：总体标准差σ、样本或子样标准差s
反映试验数据的分散程度：
• 适用场合：试验数据取对数后分布曲线更加对称时 。
（5）调和平均值
• 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，它们的调和平均 值为：
• 适用场合：试验值的倒数服从正态分布 。
路漫漫其悠远
1.2 误差的基本概念
• 1. 绝对误差 绝对误差 = 试验值－真值 △x = x – xt
• 真值一般是未知的，通常用最大的绝对误差来估计其 大小范围：
均误差定义式为：
之间的偏差为di，则算术平
（1-23)
• 求算术平均误差时，偏差di可能为正也可能为负，所 以一定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一 组试验数据的误差大小，但是无法表达出各试验值间 的彼此符合程度。
路漫漫其悠远
4. 标准误差 • 标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。 • 当试验次数n无穷大时，称为总体标准差σ，其定义为：
– σ或s越小，则数据的分散性越低，精密度越高，随机误差
越小，试验数据的正态分布曲线也越尖。
(3)方差：方差即为标准差的平方
– 方差也反映了数据的分散性，即随机误差的大小。
※ 真值─客观值或实际值。
真值一般是未知的; 但从相对的意义上来说，真值又是已知的:
理论真值 约定真值 相对真值
※ 平均值─真值的近似值或估计值 。
路漫漫其悠远
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）算术平均值
设有n个试验值：x1，x2，…，xn，则它们的算术平均值为：
• 适用场合：等精度的试验、试验值服从正态分布。 – 等精度的试验指试验人员、试验方法、试验场合、试 验条件相同的试验。
– 在测量进行中受到突然的冲击、震动、干扰的影响等。
※ 含有过失误差的实验数据是不能采用的，必须设法从 测得的数据中剔除。
路漫漫其悠远
1.4 试验数据的精准度
• 精准度包含三个概念：精密度 、正确度 、准确度 。
1. 精密度：反映随机误差的大小程度（集中程度）。 2. 正确度：反映系统误差的大小程度（正确程度）。 3. 准确度：又称精确度，简称精度，含有精密、正确两重含义
路漫漫其悠远
（3）对数平均值
• 设值有为两：个数值x1、x2，都为正数，则它们的对数平均
• 注意： • 如果0.5≤x1/x2 ≤2时，可用 代替 ，误差≤4.4％ • 适用场合：试验数据的分布曲线具有对数特性。
路漫漫其悠远
（4）几何平均值
• 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则它们的几何平 均值为：
• 最大绝对误差的估算： – 用仪器的精度等级估算； – 用仪器最小刻度估算
路漫漫其悠远
2. 相对误差
• 由于真值一般为未知，所以相对误差也不能准确求出， 通常也用最大相对误差来估计相对误差的大小范围：
• 在实际计算中，常常将绝对误差与试验值或平均值之比 作为相对误差，即： 或
路漫漫其悠远
3. 算术平均误差 • 设试验值xi与算术平均值
• ②如果试验值是在同样的试验条件下但来源于不同的 组，则以各组试验值的出现的次数作为权数。
– 加权平均值即为总算术平均值。（见例1-1）
• ③根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数。
• 例1-2 权数的计算：
• x1的绝对误差为0.1； x2的绝对误差为0.02，则： • x1的权数为 w1=1/0.12=100 • x2的权数为 w2=1/0.022=2500
• 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号 的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；
• 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差 的算术平均值趋于零。
※ 随机误差的来源：偶然因素 ※ 随机误差具有一定的统计规律：
(1) 有界性； (2) 正误差和负误差出现的频数大致相等； (3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。 (4) 当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性） 。 路漫漫其悠远
※ 2. 系统误差
• 系统误差是指在一定试验条件下，由某个或某些因 素按照某一确定的规律起作用而形成的误差。
※ 特点：
• 系统误差的大小及其符号在同一试验中是恒定的，或在试 验条件改变时按照某一确定的规律变化。
• 当试验条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值 ，它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值 的平均值而减小。
• 当试验次数为有限时，称为样本标准差，其定义为：
• 标准差与每一个数据有关，而且对其中较大或较小的 误差敏感性很强，能明显地反映出较大的个别误差。
• 它常用来表示试验值的精密度：
路漫漫–其悠标远 准差越小，试验数据精密度越好。
1.3 试验数据误差的来源及分类
※1. 随机误差
指在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差。 ※ 特点：
路漫漫其悠远
（2）加权平均值
• 设有n个试验值：x1，x2，…，xn，w1, w2,…，wn代表 单个试验值对应的权，则它们的加权平均值为：
• 适用场合：非等精度的试验、试验值服从正态分布。
路漫漫其悠远
权数或权值的确定 ：
一般有三种方法
• ①当试验次数很多时，以试验值xi在测量中出现的频 率ni / n作为权数。
※ 系统误差的来源：
• 仪器（如砝码不准或刻度不均匀等）； • 操作不当； • 个人的主观因素（如观察滴定终点或读取刻度的习惯）； • 试验方法本身的不完善。
路漫漫其悠远
※ 3. 过失误差
• 粗差、人为误差： 是一种显然与事实不符的误差。
※ 特点： 没有一定的规律。
※ 过失误差的来源：
– 由于实验人员粗心大意造成的， 如读数错误、记录错误或 操作失误等。
路漫漫其悠远 2020/4/5
第1节 试验数据的误差分析
※ 试验的目的是获得规律，规律的表现形式在 于数据
※ 误差存在的客观性
※ 误差范围的可控性和数据的可靠性
※本章的主要内容：
1. 误差来源 2. 误差表示 3. 误差估计 4. 误差传递
路漫漫其悠远
1.1 真值与平均值
，用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和 随机误差合成的大小程度。
路漫漫其悠远
1.5 试验数据误差的估计与检验
※1 随机误差的估计 对试验值精密度高低的判断：
(1) 极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。
R＝xmax - xmin
(2)标准差：总体标准差σ、样本或子样标准差s
反映试验数据的分散程度：
• 适用场合：试验数据取对数后分布曲线更加对称时 。
（5）调和平均值
• 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，它们的调和平均 值为：
• 适用场合：试验值的倒数服从正态分布 。
路漫漫其悠远
1.2 误差的基本概念
• 1. 绝对误差 绝对误差 = 试验值－真值 △x = x – xt
• 真值一般是未知的，通常用最大的绝对误差来估计其 大小范围：
均误差定义式为：
之间的偏差为di，则算术平
（1-23)
• 求算术平均误差时，偏差di可能为正也可能为负，所 以一定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一 组试验数据的误差大小，但是无法表达出各试验值间 的彼此符合程度。
路漫漫其悠远
4. 标准误差 • 标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。 • 当试验次数n无穷大时，称为总体标准差σ，其定义为：
– σ或s越小，则数据的分散性越低，精密度越高，随机误差
越小，试验数据的正态分布曲线也越尖。
(3)方差：方差即为标准差的平方
– 方差也反映了数据的分散性，即随机误差的大小。
※ 真值─客观值或实际值。
真值一般是未知的; 但从相对的意义上来说，真值又是已知的:
理论真值 约定真值 相对真值
※ 平均值─真值的近似值或估计值 。
路漫漫其悠远
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）算术平均值
设有n个试验值：x1，x2，…，xn，则它们的算术平均值为：
• 适用场合：等精度的试验、试验值服从正态分布。 – 等精度的试验指试验人员、试验方法、试验场合、试 验条件相同的试验。
– 在测量进行中受到突然的冲击、震动、干扰的影响等。
※ 含有过失误差的实验数据是不能采用的，必须设法从 测得的数据中剔除。
路漫漫其悠远
1.4 试验数据的精准度
• 精准度包含三个概念：精密度 、正确度 、准确度 。
1. 精密度：反映随机误差的大小程度（集中程度）。 2. 正确度：反映系统误差的大小程度（正确程度）。 3. 准确度：又称精确度，简称精度，含有精密、正确两重含义
路漫漫其悠远
（3）对数平均值
• 设值有为两：个数值x1、x2，都为正数，则它们的对数平均
• 注意： • 如果0.5≤x1/x2 ≤2时，可用 代替 ，误差≤4.4％ • 适用场合：试验数据的分布曲线具有对数特性。
路漫漫其悠远
（4）几何平均值
• 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则它们的几何平 均值为：
• 最大绝对误差的估算： – 用仪器的精度等级估算； – 用仪器最小刻度估算
路漫漫其悠远
2. 相对误差
• 由于真值一般为未知，所以相对误差也不能准确求出， 通常也用最大相对误差来估计相对误差的大小范围：
• 在实际计算中，常常将绝对误差与试验值或平均值之比 作为相对误差，即： 或
路漫漫其悠远
3. 算术平均误差 • 设试验值xi与算术平均值
• ②如果试验值是在同样的试验条件下但来源于不同的 组，则以各组试验值的出现的次数作为权数。
– 加权平均值即为总算术平均值。（见例1-1）
• ③根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数。
• 例1-2 权数的计算：
• x1的绝对误差为0.1； x2的绝对误差为0.02，则： • x1的权数为 w1=1/0.12=100 • x2的权数为 w2=1/0.022=2500
• 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号 的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；
• 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差 的算术平均值趋于零。
※ 随机误差的来源：偶然因素 ※ 随机误差具有一定的统计规律：
(1) 有界性； (2) 正误差和负误差出现的频数大致相等； (3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。 (4) 当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性） 。 路漫漫其悠远
※ 2. 系统误差
• 系统误差是指在一定试验条件下，由某个或某些因 素按照某一确定的规律起作用而形成的误差。
※ 特点：
• 系统误差的大小及其符号在同一试验中是恒定的，或在试 验条件改变时按照某一确定的规律变化。
• 当试验条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值 ，它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值 的平均值而减小。
• 当试验次数为有限时，称为样本标准差，其定义为：
• 标准差与每一个数据有关，而且对其中较大或较小的 误差敏感性很强，能明显地反映出较大的个别误差。
• 它常用来表示试验值的精密度：
路漫漫–其悠标远 准差越小，试验数据精密度越好。
1.3 试验数据误差的来源及分类
※1. 随机误差
指在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差。 ※ 特点：
路漫漫其悠远
（2）加权平均值
• 设有n个试验值：x1，x2，…，xn，w1, w2,…，wn代表 单个试验值对应的权，则它们的加权平均值为：
• 适用场合：非等精度的试验、试验值服从正态分布。
路漫漫其悠远
权数或权值的确定 ：
一般有三种方法
• ①当试验次数很多时，以试验值xi在测量中出现的频 率ni / n作为权数。
※ 系统误差的来源：
• 仪器（如砝码不准或刻度不均匀等）； • 操作不当； • 个人的主观因素（如观察滴定终点或读取刻度的习惯）； • 试验方法本身的不完善。
路漫漫其悠远
※ 3. 过失误差
• 粗差、人为误差： 是一种显然与事实不符的误差。
※ 特点： 没有一定的规律。
※ 过失误差的来源：
– 由于实验人员粗心大意造成的， 如读数错误、记录错误或 操作失误等。