等腰直角三角形存在性(通用版)(含答案)

等腰直角三角形存在性（通用版）

试卷简介:考查在动态框架和函数框架下等腰直角三角形存在性的处理原则，调用存在性问题的处理手段，分析定点、动点，从直角入手，确定分类，借助等腰三角形自身的性质或构造弦图模型解决问题。

一、单选题(共5道，每道20分)

1.如图，抛物线交x轴于A，C两点（点A在点C的右侧），交y轴于点B．点

D的坐标为（-1，0），若在直线AB上存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为( )

A. B.（-1，3）或（1，2）

C.（-1，4）或（1，2）

D.（-1，4），（1，2）或（5，-2）

答案：C

解题思路：1．解题要点

①观察题目特征，确定为等腰直角三角形存在性问题．

②分析定点、动点、不变特征．从直角入手，分类讨论．

③画图，表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式．

2．解题过程

由题意得，A（3，0），B（0，3），AO=BO=3．

在△ADP中，A，D为定点，P为直线AB上的动点．

①当点A是直角顶点时，在直线AB上不存在点P，使△ADP为等腰直角三角形．

②如图，当点D为直角顶点时，过点D作⊥DA，交直线AB于点．

由∠1=45°可得，为等腰直角三角形，点满足题意．

此时，点的坐标为（-1，4）．

③如图，当点P为直角顶点时，过点D作⊥AB于点．

易知为等腰直角三角形，点满足题意．

过点作轴于点M．

易得，OM=1，

∴点的坐标为（1，2）．

综上得，点P的坐标为（-1，4）或（1，2）．

试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性

2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．P是线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作平行于x轴的直线，交

BC于点Q，若在x轴上存在点R，使得△PQR是等腰直角三角形，则点R的坐标为( )

A. B.

C. D.

答案：C

解题思路：1．解题要点

①观察题目特征，确定为等腰直角三角形存在性问题．

②分析定点、动点、不变特征．从直角入手，分类讨论．

③画图，表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式．

2．解题过程

由题意，得A（-1，0），B（3，0），C（0，2），

则，．

设，

则，PQ=-2m+4．

①如图，当点Q为直角顶点时，PQ=RQ．

，，

由-2m+4=m，得，

∴．

②如图，当点P为直角顶点时，PQ=PR．

，，

由-2m+4=m，得，

∴．

③如图，当点R为直角顶点时，RP=RQ．

过点R作RD⊥于点D，则，

由，得m=1，

∴．

综上得，点R的坐标为．

试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性

3.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，P是x轴上的一动点（不与点A重合），连接DP，过点P作PE⊥DP交y轴于点E．当△PED是等腰直角三角形时，点P的横坐标为( )

A.-4

B.-3

C.-3或-4

D.-4或4

答案：D

解题思路：∵，∴A（-3，0），B（1，0）．

∵四边形ABCD是正方形，

∴D（-3，4）．

∵∠DPE=90°，

要使得△PED是等腰直角三角形，只能是DP=PE．设点P的横坐标为．

①如图，当时，

∵∠DAP=∠DPE=90°，

∴∠ADP+∠DPA=∠OPE+∠DPA，

∴∠ADP =∠OPE．

又∵∠DAP=∠POE=90°，DP=PE，

∴△ADP≌△OPE，

∴OP=AD=4，

∴．

②如图，当时，

易证△DAP≌△POE，

∴OP=AD=4，

∴（不合题意，舍去）．

③如图，当时，

易证△DAP≌△POE，

∴OP=AD=4，

∴．

综上得，当△PED是等腰直角三角形时，点P的横坐标为-4或4．

试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性

4.如图，已知直线经过A（0，1），B（1，0）两点，P是x轴正半轴上的一动点，且OP的

垂直平分线交直线于点Q，交x轴于点M，直线经过点A且与x轴平行．若在直线上

存在点C，使得

△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点C的坐标为( )

A.（1，1）

B.（1，1）或（2，1）

C.（2，1）

D.（1，1）或（0，1）

答案：A

解题思路：1．解题要点

①观察题目特征，确定为等腰直角三角形存在性问题．

②分析定点、动点、不变特征．

③从已知出发，借助等腰直角三角形的性质（直角和两腰相等）和坐标系处理斜放置直角的原则，构造弦图模型解决问题．

2．解题过程

由题意得，OA=OB=1，△AOB为等腰直角三角形，点C的纵坐标为1．

①如图，当点Q在x轴上方时，延长MQ交直线于点E，则ME⊥．

易证△CEQ≌△QMP，△QMB为等腰直角三角形，四边形AOME为矩形，

∴CE=QM=MB，AE=OM，

∴AC=AE+CE=OM+MB=OB=1，

∴点C的坐标为（1，1）．

②如图，当点Q在x轴下方时，延长QM交直线于点F．

同理，得CF=QM=MB，AF=OM，

∴AC=AF-CF=OM-MB=OB=1，

∴点C的坐标为（1，1）．

综上得，点C的坐标为（1，1）．