【2021模块复习】第十二章 第1节 第2课时 参数方程+参考答案

1 第2课时 参数方程

最新考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

知 识 梳 理

1.曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t

的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，

并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.

2.参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，

那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )

就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致.

3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹

普通方程 参数方程 直线 y －y 0＝tan α(x －x 0)

⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α

(t 为参数)

2 圆

x 2＋y 2＝r 2

⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)

⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 温馨提醒 直线的参数方程中，参数的系数的平方和为1时，才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．

[微点提醒]

1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.

2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式cos 2 θ＋sin 2 θ＝1，1＋tan 2 θ＝

1cos 2 θ.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )

中的x ，y 都是参数t 的函数.( ) (2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α

(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有

向线段M 0M →的数量.( )

(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ

(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )