中国科学技术大学量子力学考研内部讲义一(01-06)

量子力学理论处理问题的思路

① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点；

④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；

⑤ 联系实际问题，应用所得结果。

有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动

量算符ˆp

和坐标算符ˆx 之间的关系是ˆx p i x

∂

=-∂，在动量表象中它们之间的关系为ˆˆx x i p ∂=∂，所以我们

在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。

这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！

针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。

第一部分 薛定谔方程与波函数

在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。所以说薛定谔方程和波函数是学好量子力学的基础！ 一．波函数（基本假设I ） 在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋运动的粒子的态，用波函数(,)r t ψ表示，

2(,)r t d ψτ表示t 时刻粒子处于空间r 处d τ体积元内的几率，即2

(,)r t ψ代表粒子的几率密度。

1. 根据波函数的物理意义，波函数(,)r t ψ应具有的性质为：

⑴有限性－在全空间找到粒子的几率

2

(,)r t d ψτ⎰取有限值，即(,)r t ψ是平方可积的；

粒子在全空间出现的几率和等于1，假如2

(,)1r t d ϕτ∞

≠⎰

，我们找到一个比例系数

使得2

(,)1C

r t d ϕτ∞

=⎰

，得到归(,)(,)r t r t ψ=

⑵ 单值性－(,)r t ψ是单值的；（粒子在空间某位置出现的几率是一定的）

⑶ 连续性－(,)r t ψ与(,)r t ψ∇是连续的。（根据体系所处的势场()V r 的性质决定的）？

注意：有很多题目间接的考到波函数的性质，比如说连续性，当求解一个粒子处于势阱中的波函数时

往往会利用波函数及其微商在边界的连续性！具体的例子我们会在以后薛定谔方程这一部分中讲解。

2. 态叠加原理 如果1ψ和2ψ是体系的可能状态则它们的线性叠加

1122c c ψψψ=+ （1c ，2c 是复数）

也是这个体系的一个可能状态。

即 一般情况下，一个体系的波函数可能是n 个本征波函数的叠加 n n

n

c ψψ

=

∑，根据波函数的归一性

有2

2

1n

n

C c

=∑(C 为归一化常数)，体系处于每个态的可能几率为

22

n

n

n

c c

∑。此处为一个常考点，主要

考查的方式是粒子处于某个态的几率、具有某个能量的几率、能量的平均值等等。

例1（92年） 在0t =时，氢原子的波函数为

100210211211(,0))r ϕϕϕ-=

+++ 其中下标分别是量子数,,n l m 的值，忽略自旋和辐射跃迁。 ① 求体系的平均能量；

② 在任意t 时刻体系处于1l =，1m =的态的几率是多少？ ③ 在任意t 时刻体系处于0m =的态的几率是多少？

解答: 氢原子定态能量为2

2

2s n e E an =-，1,2,

n

=

①

2

22221211]40e E E E a =+++=-

② 在任意t 时刻体系处于1l =，1m =的态的几率是15 ③ 在任意t 时刻体系处于0m =的态的几率是12

例2（91年、00年、02年） 一质量为μ的粒子在0到a 的一维无限深势阱中运动，已知0t =时，

粒子处于波函数(,0)(1cos )sin

x

x

x t a

a

ππψ==+所描写的状态中，

（i ）粒子处于基态的几率是多少？

（ii ）测得能量的平均值是多少？

（iii ）(,0)x t ψ=是否为定态波函数？

（iv ）t 时刻粒子的波函数(,)x t ψ，此时粒子的能量平均值是多少？ 解答：先进行归一化，设归一化系数为A ，则有

2

20

(,0)1a

A x t dx ψ==⎰

，求得A =

所以初始时刻的波函数为

12(,0)sin cos )()()

x x x x t a a a

x x πππψ==

+=

其中()n x ψ是一维无限深势阱中粒子的能量本征函数。

4

5=，处于第一激发态的几率为15，测得的能量平均

值22122414555E E E a πμ=+=，其中222

2

2n n E a πμ=为处于一维无限深势阱中粒子的能量本征值。

其实，这个知识点比较简单，但几乎每年都会涉及到，只是跟其他的知识点结合起来考察！

3.几率密度

这也是一个常考点，而且有时候还跟算符联系在一起考查！ 定义：在t 时刻在r 点周围单位体积内粒子出现的几率为

*

(,)(,)(,)r t r t r t ρψψ=

与此相对应的算符为密度算符()()()t t t ρψψ=

。

注意：这里的(,)r t ψ和()t ψ都是归一化的量子态！

一般单独考查几率密度的题目不多，大都是跟其他的知识点相结合起来。下面我们分别来看看几

率密度和密度算符随时间演化的规律： ⑴ 将几率密度*

(,)(,)(,)r t r t r t ρψψ=两边求导得

**t t t

ρψψψψ∂∂∂=+∂∂∂， 再利用薛定谔方程