习题五 阿贝尔群与循环群.
离散数学22
推论2 设G是有限群, |G| = n, a∈G, 则 an=e.
证明思路 设a 的阶为r, 由推论1, n = rk, 则 an = ark =(ar)k = ek = e.
练习
1. aH = H a∈H.
2. b∈aH aH=bH. 这说明陪集中任何一
个元素都可以作为代表元.
四、拉格朗日定理 1. 拉格朗日定理的证明 定理 (Lagrange) 设G为有限群, H是G的子群,
则 |G| = |H| [ G: H ] .
证明 设 [ G: H ] = m, 于是存在 a1,…,am∈G,
使
G ai H
i 1
m
且 aiH ∩ajH =φ(i≠ j), 而每一个陪集的元素个数 均为 | aiH | = |H|, 所以
T为所有小于等于n次多项式的集合. 在多项式加法
下,〈S, +〉,〈T, +〉是否定义 定义 设 <G, * > 是群，若在 G 中存在 一个元素 a，使得 G 中的任意元素都是 a的 幂，则称该群为循环群，元素 a 称为循环群 G 的生成元. 一般地，生成元 a 不是幺元 e.
2. 循环群的例题
例1 任何一个循环群一定是阿贝尔群. 因为 ar a s = ar+s = as+r = as ar 例2 设 <G, * > 是有限循环群，由a 生 成，若 G 的阶数是 n，则 an = e, 且 G = { a, a2, a3,…, an-1, an = e }
三、培集
1. 培集的定义 首先利用群G的一个子群H来作G的一个分
(1) 证明 f 是映射: 设aH=bH, 则 a=bh, h∈H,
有限生成阿贝尔群的结构定理
有限生成阿贝尔群的结构定理有限生成阿贝尔群的结构定理，是群论中的一个重要定理，它描述了有限生成的阿贝尔群的结构。
本文将详细介绍该定理的内容和证明过程。
在群论中，阿贝尔群是指满足交换律的群。
有限生成阿贝尔群是指可以由有限个元素生成的阿贝尔群。
有限生成阿贝尔群的结构定理告诉我们，任意一个有限生成的阿贝尔群都可以分解为一些循环群的直积。
具体来说，设G是一个有限生成的阿贝尔群，可以写为G = <a1, a2, ..., an>，其中a1, a2, ..., an是G中的元素。
根据有限生成群的定义，G中的每个元素都可以由这n个元素通过群运算得到。
根据结构定理，我们可以将G分解为一些循环群的直积。
循环群是指由一个元素生成的群。
设H1, H2, ..., Hm是G的一些循环子群，它们分别由元素b1, b2, ..., bm生成。
那么根据结构定理，我们有G = H1 × H2 × ... × Hm。
接下来，我们需要证明这个分解是唯一的。
换句话说，我们需要证明如果G = H1 × H2 × ... × Hm = K1 × K2 × ... × Kn，则m = n，并且存在一个置换σ将H1, H2, ..., Hm重新排列，使得Hi = Ki对于所有的i。
为了证明这个定理，我们首先需要了解循环群的性质。
循环群的性质告诉我们，循环群中的元素的阶数是相等的。
所以，如果Hi和Kj是循环群，且Hi = Kj，则它们的阶数必须相等。
假设Hi的阶数为mi，Kj的阶数为nj。
接下来，我们考虑循环群的生成元。
根据循环群的定义，如果Hi由元素bi生成，Kj由元素cj生成，则对于任意的i和j，存在一个整数ki和kj，使得bi^ki = cj^kj。
这意味着bi和cj的阶数也必须相等。
我们可以得出结论：如果G = H1 × H2 × ... × Hm = K1 × K2 × ... × Kn，则m = n，并且存在一个置换σ将H1, H2, ..., Hm重新排列，使得Hi = Ki对于所有的i。
5-5 阿贝尔群
例题1 设S={a,b,c,d}，在S上定义一个双射函 数 f: f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a, 对于任一xS，构造复合函数 f2(x)=f o f(x)=f(f(x)) f3(x)=f o f2(x)=f(f2(x)) f4(x)=f o f3(x)=f(f3(x)) 如果用f0表示S上的恒等映射，即f0(x)=x xS 很明显地有f4(x)=f0(x)，记f1=f，构造集合 F={f0 ,f1 ,f2, f3 } ，那么<F，o>是一个阿贝尔群。
任取x，y∈G，则x*y∈G
因为x*y=（x*y）-1=y-1*x-1=y*x
所以<G，*>是一个阿贝尔群。
此题的推论：若群中每个元素的逆元 都是它自己，则该群必是可交换群。
例题2 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合， 矩阵乘法运算ο 作为定义在集合G上的二元运 算，则<G, ο >是一个不可交换群。 解 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个 非奇矩阵，所以运算ο 是封闭的。 矩阵乘法运算ο 是可结合的。 N阶单位阵E是G中的幺元。 任意一个非奇矩阵A存在唯一的逆阵A-1，使 A-1οA=AοA-1=E。 但矩阵乘法运算ο 是不可交换的，因此<G, ο > 是一个不可交换群。
3、定义5-5.3 设<G,>为群，aG，如果an= e, 且n为满足此式的最小正整数,则称 a 的阶(order) 为n，如果上述n不存在时,则称a有无限阶. 4、定理 5-5.3 设<G,>为循环群，aG是该群 的生成元，如果G的阶数是n ，即| G |= n ，则 an = e,且 G={a, a2, a3,..., an-2, an-1, an=e} 其中， e是群<G,>的幺元。 n是使an=e的最小 正整数。
5.5 阿贝尔群与循环群
习题讲评
P197.证<HK, >是子群的充要条件是HK=KH 若HK=KH,
证:充分性:
h kHK, k’ h’KH有hk=k’h’成立。
i)h1k1, h2 k2HK h1 k1 h2 k2=h1 h2’k1’ k2HK(∵<H, >,<K, >是群) ii)hkHK,则k-1h-1是h k的逆元。 又∵k-1h-1=(h-1) ’(k-1) ’ HK <HK, >是一个子群。 必要性: 若<HK, >是一个子群 k hKH，则k-1 h-1KHk h=(h-1 k-1)-1HKKHHK xHK,x-1HK x-1=hk x=(x-1)-1=(h k)-1=k-1 h-1KH HKKH， KH=HK。
定义5-6.2:<Sn,>的任何子群称为集合S上的一个置
换群。<Sn,>称为S上的对称群。 例: S上对称群Sn={p0,p1,p2,p3,p4,p5}的置换群：
以p1为生成元的置换群为<{p1,p0},>，
以p2为生成元的置换群为<{p2,p0},>，
以p3为生成元的置换群为<{p3,p0},>,
123 123 123 = 321 213 231
右复合
123 123 123 = 321 213 312
证:(1)封闭性p1,p2Sn，须证p1p2Sn， 当c,d被p1置换为e,f时,必有ef。
<Sn,>是一个群
∵若a,bS且ab则当a,b被p2置换为c,d时,必有cd。 p1p2将S中任二个不同元素映射到S中的二个不同元素， p1p2Sn(有限集A上的单射必为满射)。 (2)运算满足结合律 p1，p2，p3Sn,xS有p3(x)=y ，p2(y)=z, p1(z)=u, 则(p1p2)p3(x)=u,p1(p2p3)(x)=p1(z)=u
组合数学第四章习题解答
12345 13524 14253 15432
5
2
翻转
12534 21345 32415 51423 41235
4
3
c ( a1 ) c(a2 ) 1 c ( ag ) l [m m ... m ] G
G×G’的单位元素是(e,e’),试证G×G’是群 (1)封闭性显然 (2)结合律显然 (3)逆元素显然
(4)单位元显然
4.27 一个项链由7颗珠子装饰成的，其中两颗珠 子是红的，3颗是蓝的，其余两颗是绿的，问有多少 种装饰方案，试列举之。
1
G (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (1234567),(1357246), (1473625),(1526374), (1642753),(1765432)
4.5 试证循环群的子群也是循环群。 显然。 4.6 若H是G的子群，x和y是G的元素，试证： xH∩yH或为空，或xH=yH。 设a,b∈H,xa=yb,xH≠yH 存在m∈H,xm属于xH但不属于yH
x=yba-1,xm=yba-1m,由H是G的子群，因此 ba-1m∈H, yba-1m∈yH
4.23 凸多面体中与一个顶点相关的各角之和与2 的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶点欠 角之和为4
证：设V,S,E分别为顶点集，面集，边(棱)集。 由欧拉定理 |V|+|S|－|E|=2. 设aij为与顶点vi， 面Sj为相关的面角，ej为Sj的的边数， 给定Sj则∑aij=(ej－2)π 欠角和为∑(2π－∑aij)=∑2π－∑ ∑aij =2|V|π－∑ ∑aij=2|V|π－∑(ej－2)π =2|V|π－∑ejπ+2|S|π =2|V|π+2|S|π－2|E|π=4π
抽象代数循环群
抽象代数循环群定义1.5.1，设 G 为群，若∃a∈G 使得 G={an|n∈Z} 则 G 为循环群。
记为 G=<a>.我们称 a 为生成元。
其实我们知道对任何 {an|a∈G,n∈Z}≤G (由于群对运算封闭）,也就是说循环群其实是 {an}=G 。
例1. {Z;+} , 1,−1 为其生成元。
2. Um={c∈C∗|cm=1} 对乘法成循环群，本原根为生成元。
|Um|=m如： U2={1,−1} , −1 为生成元U3={1,ς,ς2}(ς=−1+3i2) 以ς为生成元。
U4={1,−1,i,−i} , −i 为生成元。
命题1.5.1:循环群为阿贝尔群。
aman=am+n=anam命题1.5.2:循环群的子群也为循环群。
令 G=<a>,H<G , H≠G 设 H≠{e} , m=min{k∈N|ak∈H}下证 H=<am> ,设 al∈H ，由带余除法可得 l=qm+r ( 0≤r<m ) ⇒ar=al−qm=al(am)−q∈H ，故 r=0 否则 ar∈H 且 r<m 则与 m 的定义相反。
推论1.5.3 {Z;+} 的任何子群，一定形如 mZ ， m≥0证： G<{Z;+} 若 G=Z ,取 m=1 ，若 G={0} 取 m=0 ,否则令 m=min{k∈N|k∈G}用命题1.5.2的方法证明。
G=<m>=mZ循环群分类定理：设 G 为循环群，且 |G|=∞ ,则 G≃{Z;+} ，若 |G|=m>0 则 G≃Z/mZ=Zm≃Um思路：证明一个群和一个商群同构，很容易想到同态基本定理。
证：设 G=<a> 定义ϕ:Z→G 使得ϕ(k)=ak 则ϕ(k+l)=ak+l=akal=ϕ(k)ϕ(l) 所以ϕ为同态。
因为 G 中所有元素都可以用 a 的次幂表示，自然ϕ为满射。
由同态基本定理得到： G≃Z/kerϕ。
试题集：抽象代数基础
1.在群论中，如果一个群G的运算满足结合律，那么对于所有a,b,c∈G，下列哪个等式总是成立的？o A. (a⋅b)⋅c=a⋅(b+c)o B. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)o C. a⋅(b⋅c)=(a+b)⋅co D. a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)参考答案：B解析：群论中的结合律保证了(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)对于群G中的所有元素a,b,c都成立。
2.设R是一个环，如果R中存在一个元素e，对于所有a∈R，都有e⋅a=a⋅e=a，那么e被称为R的什么？o A. 零元o B. 逆元o C. 单位元o D. 生成元参考答案：C解析：在环R中，满足e⋅a=a⋅e=a的元素e被称为单位元。
3.在域F中，如果a,b∈F且a≠0，那么下列哪个选项总是成立的？o A. a⋅b=b⋅ao B. a+b=b+ao C. 存在c∈F使得a⋅c=1o D. 所有选项都成立参考答案：D解析：域F的定义包含了交换律、结合律、分配律以及每个非零元素都有乘法逆元的性质。
4.设G是一个群，如果G中所有元素的阶都是有限的，那么G被称为？o A. 无限群o B. 有限群o C. 循环群o D. 阿贝尔群解析：如果群G中所有元素的阶都是有限的，那么G被称为有限群。
5.在群G中，如果对于所有a,b∈G，都有a⋅b=b⋅a，那么G被称为？o A. 非交换群o B. 交换群o C. 循环群o D. 阿贝尔群参考答案：B 或 D解析：满足a⋅b=b⋅a的群被称为交换群或阿贝尔群。
6.设R是一个环，如果R中存在一个元素a，对于所有b∈R，都有a⋅b=b⋅a=0，那么a被称为R的什么？o A. 单位元o B. 零元o C. 逆元o D. 零因子参考答案：B解析：在环R中，满足a⋅b=b⋅a=0的元素a被称为零元。
7.在域F中，如果a∈F且a≠0，那么下列哪个选项描述了a的性质？o A. a没有乘法逆元o B. a有唯一的乘法逆元o C. a有多个乘法逆元o D. a的乘法逆元是a本身参考答案：B解析：域F中每个非零元素都有唯一的乘法逆元。
离散数学结构试题集5-6
第5章一.填空题1. 群中有唯一的（）。
2. 如果群运算是可交换的，则群为（）。
3. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y∈A，则称二元运算*在A上是（）。
4. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是（）。
5. 设★是定义在有理数集合Q上的二元运算，如果对于Q中任意的两个元素x,y，都有x★y=x+y-x*y，其中*表示普通乘法元算，则二元运算★在Q上是（）。
（填写可交互/不可交换）6. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)*z=x*(y*z) ，则称二元运算*在A上是（）。
7. 设★是定义在非空集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y，则二元运算★在A上是（）。
（填写可结合/不可结合）8. 设*，★是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y) ★z=（x★z）*(y★z)，z★(x*y)=(z★x)*(z★y),则称二元运算★对于*在A上是（）。
9. 设*，★是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y，都有x*(x★y)=x, x★(x*y)=x,则称二元运算*对于★在A上满足（）。
10. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x，都有x*x=x，则称二元运算*是（）。
11. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素el，对于A中任意的元素x，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的（）。
12. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素ol，对于A中任意的元素x，都有ol*x=x，则称ol为A中关于运算*的（）。
13. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素er，对于A中任意的元素x，都有x*erl =x，则称er为A中关于运算*的（）。
交换群与循环群的关系
交换群与循环群的关系交换群和循环群是抽象代数学中的两个重要概念，它们之间存在着密切的联系和相互关系。
首先，我们来介绍一下交换群和循环群的概念。
交换群，也叫做阿贝尔群，是由一组元素以及一个二元运算组成的代数结构。
这个二元运算通常表示为“+”，并且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意的元素a、b∈G，有a+b∈G。
2. 结合律：对于任意的元素a、b、c∈G，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 存在单位元素：存在一个元素0∈G，使得对于任意的元素a ∈G，有a+0=a。
4. 存在逆元素：对于任意的元素a∈G，存在一个元素-b∈G，使得a+b=0。
5. 交换律：对于任意的元素a、b∈G，有a+b=b+a。
而循环群则是由一个生成元a和一个二元运算组成的群，这个二元运算通常表示为“×”，并且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意的元素ai、aj∈G，有ai×aj=ak∈G。
2. 结合律：对于任意的元素ai、aj、ak∈G，有(ai×aj)×ak=ai ×(aj×ak)。
3. 存在单位元素：存在一个元素e∈G，使得对于任意的元素ai ∈G，有ai×e=ai。
4. 存在逆元素：对于任意的元素ai∈G，存在一个元素aj∈G，使得ai×aj=e。
5. 生成性：对于任意的元素ai∈G，都可以表示成a的幂次方的形式，即ai=a^k，其中k为整数。
从定义可以看出，循环群是一种特殊的群，它的元素都可以表示成生成元的幂次方。
而交换群则是一种满足交换律的群，它的元素之间的运算顺序不影响最终结果。
接着，我们来探讨一下交换群和循环群的关系。
首先，循环群是一种群，因此它也是一种交换群。
因为循环群中的运算满足交换律，即ai×aj=aj×ai，所以循环群也是一个交换群。
另外，交换群和循环群之间还存在着更为深刻的联系，即任意一个有限交换群都可以表示成循环群的直积的形式。
离散数学 第五-六章
例 题4
设集合A={ ,}, A上定义的二元运算如表所示. 对*可分配吗? * 对 ?
代数结构 >运算性质
定义5-2.6 设,△是定义在集合A上的两个二元运 算,如果对 x y∈A,都有 x (x△y) = x x△(x y) =x 则称运算和运算△满足吸收律。
代数系统 >代数系统的引入
二元运算的例子 • N上 +, 是N上二元运算,而-, 不是. • 整数集I上 +,-, 是I上的二元运算, 而 不是. • R-{0}上的 , 是R-{0}上的二元运算,而+,-不是. • 矩阵的 +, 是N阶实矩阵集合上的二元运算,但不是 全体实矩阵集合上的二元运算. • ,,, 是真值集合{0,1}上 的二元运算. • ,, 是幂集P(A)上的二元运算. 一元运算的例子 • R上的 求绝对值|X|运算. • 整数 I上求负运算是一元运算,但不是N上的一元运算.
n 例如 实数集上的+, ; 集合上的运算, ;,命题 集合P上的,都是可结合的.
例题3
A为非空集合,*定义为:对任意的a,bA,有 a*b=b. 证*可结合的.
代数结构 >运算性质
定义5-2.4 设是定义在集合A上的一个二元运算, x∈A,若xx=x,称x是等幂元; 若对x∈A,都有
2 独异点(monoid)
定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点。 独异点的判定: 对给定集合S 及运算*, 1)是封闭的, 即对x,y∈S, 有 xy∈S (是代数系统) 2)是可结合的,即对x,y,z∈S, 有(x y) z= x (y z) 3) 有幺元,即e∈S, 对x∈S,有ex=xe=x. 例如 <R, +>是独异点,幺元为0, <I+,+ >不是. <R, * >, <I, * >都是独异点,幺元为1 <{0,1}, > , <{0,1}, >都是独异点,幺元分别为0和1. < P(S), >和 < P(S), >是独异点?
三、阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构
k
k
ห้องสมุดไป่ตู้
又因为，H中任意两个不同的元素h1，h2，必有 a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。 因此 n=|G|=
k
aiH
=
i1
k
i 1
a i H =mk
推论1
推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。 设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。 证明见书Ｐ210
b*b*b=e
定理2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。
证明 设<G，*>是一个循环群，生成元为a， 那么对于任意的x,y∈G，
必有r,s∈I，使得x=ar 和 y=as
且 x * y= ar * as= ar+s = as+r = as * ar =y * x 因此<G,*>是一个阿贝尔群。
代数系统(习题课)
即 a, b ∈ S
（3） S 中含幺元：设 e 是 G 中的幺元，因为对任意的
x ∈ G 有 e ∗ x = x ∗ e ，所以 e ∈ S .
（4）可逆性：对任意的 a∈ S ，所以对任意的 x∈ G 有
a ∗ x = x ∗ a ⇒ a ∗ ( a ∗ x) ∗ a = a ∗ ( x ∗ a ) ∗ a
6阶群不可能有 阶子群.( 阶群不可能有4 8. 6阶群不可能有4阶子群.(
) )
若群中每个元素以自身为逆,则是交换群.( 9. 若群中每个元素以自身为逆,则是交换群.( 10. 为整数集合, 为普通加法. 10. 设V=<I, +>, I为整数集合,＋为普通加法. 则命题为假的是 I,+>是群 A. < I,+>是群 I,+>是循环群 B. < I,+>是循环群 I,+>交换群 C. < I,+>交换群 不是A,B,C D. 不是A,B,C
代数结构
代数系统又称为代数结构(抽象代数,近世代数), 代数系统又称为代数结构(抽象代数,近世代数), 它是在一个抽象集合上定义了若干抽象代数运算后所组 成的系统. 成的系统. 不同的数学结构常常具有相同的代数运算性质, 不同的数学结构常常具有相同的代数运算性质,把 这 些 共 同 的 性 质 抽 象 出 来 加 以 统 一 研 究 就形成了代数系统这门学科. 就形成了代数系统这门学科. 代数系统的理论在逻辑电路设计,形式语言, 代数系统的理论在逻辑电路设计,形式语言,自动 机,数据结构,编码理论等的研究中有广泛的应用. 数据结构,编码理论等的研究中有广泛的应用.
−1 −1 −1
因此， < G ,∗ > 是个阿贝尔群.
代数系统习题
代数系统习题第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若⼀个元素的逆元是唯⼀的，其运算*必定可结合。
( )2.每⼀个有限整环⼀定是域，反之也对。
( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨⼀定为有补分配格。
( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。
( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数⼀定为偶数。
( )7.群中可以有零元（对阶数⼤于⼀的群）。
( )8.循环群⼀定是阿贝尔群。
( )9.每⼀个链都是分配格。
( )1. 对⾃然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不⼀定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的⽣成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设是环，则下列正确的是 ( )A. 是交换群B. 是加法群C. 对*是可分配的D. *对是可分配的5. 下⾯集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G ?*?，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G ?*?的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023? C. e ＝2×3 D. e ＝1123--?8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不⼀定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在⾃然数集N 上，下⾯哪个运算是可结合的，对任意a,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q ?*?的⼳元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下⾯哪⼀种运算不是实数集R 上的⼆元运算？（）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G ?*?是群，则对* ( )A. 满⾜结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满⾜结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21 C. n m n m 2+= D. 22n m n m +=14. 下⾯哪⼀种运算不是实数集R 上的⼆元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环⼀定是域B. 域下⼀定是整环C. 域⼀定是整环D. 域⼀定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ? (其中?为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则,,I +是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因⼦环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *=，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对⾃然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的⼦群，下⾯哪个代数系统仍是,G 的⼦群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -? ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的⼦群D. (2)与(3)都正确25. 在⾃然数集N 上，下⾯哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有⽣成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何⼀个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪⼀个可以构成群？（）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。
5-4阿贝尔群和循环群
定义5-9.4：设<A ,+, · > 是一个代数系统，如果满足： 1．<A,+>是阿贝尔群。
2．<A-{} , · >是阿贝尔群。
3．运算 ·对于运算 + 是可分配的。 则称<A ,+, · >是域。 例如，<Q ,+, · >，<R ,+, · >，<I ,+, · >，
定理5-9.：域一定是整环。
则称<A ,+, · >是整环。
例5 Z5= { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法与乘法
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 2 3 4 3 4 0 4 0 1 0 1 2
4 4 0 1 2 3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
定理5-4.7设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一 个有限集，那么，只要运算*在B上封闭，<B,*>必定是<G,*> 的子群。 证明：设b是B的任一个元素。若*在B上封闭，则元素 b2=b*b,b3=b2*b,…都在B中。由于B是有限集，所以必存在 正整数i和j,不妨假设i<j,使得 bi = b j 即 bi = bi * bj-i.
因此，<S,Δ>是<G,Δ>的子群。
例题4：设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群， 试证明<H∩K，*>也是<G,*>的子群。 证明：设任意的a,b∈H∩K, 因为<H,*>和<K,*>都是子群， 所以b-1∈H∩K, 由于*在H和K中的封闭性， 所以a*b-1∈H∩K, 由定理5-4.8即得<H∩K,*>是<G,*>的子 群。
阿贝尔群和循环群
2021/3/26
5
定理5-5.2：任何一个循环群必定是阿贝尔群。
证明： 设<G,*>是一个循环群，它的生成元是 a, 那么，对于任意的x,y∈G,必有r,s∈Z， 使得x=ar 和 y=as 而且 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 因此， <G,*>是一个阿贝尔群。
2021/3/26
1
解： 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一 个非奇矩阵，所以运算 是封闭的。
矩阵乘法运算是可结合的。 n阶单位阵E是G中的幺元。 任意一个非奇阵A存在着唯一的逆阵，使 A A-1=A-1 A=E 但矩阵乘法是不可交换的，因此，<G, >是一个不可交换群。
2021/3/26
2
对于有限循环群，有下面的定理。
2021/3/26
6
定理5-5.3： 设<G,*>是一个由元素a∈G生成的有限 循环群。如果G的阶数是n,即|G|=n,则an=e且 G={a，a2，a3，…，an-1,an=e}，其中，e是<G,*> 中的幺元，n是使an=e的最小正整数（称n为元素a 的阶）。
证明： 假设对于某个正数m，m<n，有am=e。那么， 由于<G,*>是一个循环群，所以G中的任何元素都 能写为ak(k∈Z)，而且k=mq+r其中，q是某个整数， 0≤r<m。这就有ak=amq+r=(am)q*ar=ar
2021/3/26
19
例题2：任何一个四阶群只能是四阶循环群或者 Klein四元群。
离散数学第十一章群和环习题答案
下表中所列运算定义在实数集R上，该运算是否具 有指定的性质：
+ max min |x-y|
封闭性 可结合性 可换性 存在幺元 存在零元 每元有逆元
习题十四 4
习题十五 30
设<G, · >是群，a是G中一个固定元素，定义映射f:G → G使得对任何x G，f(x)=a· a-1. 求证：f是G的 x· 自同构映射。
证明： 容易证明f是G的同态映射， f(x· =a· y· -1 =a· a-1· y· -1 y) x· a x· a· a =f(x) ·f(y) 再证明f是双射， 证单射：f(x)=f(y), a· a-1 = a· a-1 x=y x· y· 证满射：令a· a-1 = y, x=a-1· a x· y·
设S={a,b,c},运算“·”由下表定义，判断代数系统 <S, · >是否广群、半群，是否含幺半群、群。 解：由运算表可知，” · ”封闭。 · a b a a b 至于结合性，由表可知： b a b x,y A, x·y=y, 所以 (x·y)·z=z c a b x·(y·z)=y·z=z, 所以结合律成立。 最后由表可知，a,b,c皆为左幺元，故无幺元。 所以<S, · >是半群。
习题十五
31
证明：循环群的同态像也是循环群。
证明： 因为把生成元映成生成元.
<A, · >的生成元是a, f是同态映射，要证<f(A), · >也是循环群
f(a)=f(a· )=f(a) · e f(e)=f(a) f(a2)= f(a)2 f(a3)= f(a)3 … f(ak)= f(a)k