习题五 阿贝尔群与循环群.

习题五: 阿贝尔群与循环群

1．设*〉〈,G 是一个独异点，并且对于G 中的每一个元素x 都有e x x =*，其中e 是幺元，证明*〉〈,G 是一个阿贝尔群。

2．证明任何阶数分别为1，2，3，4的群都是阿贝尔群。并举一个6阶群，它不是阿贝尔群。

3．设*〉〈,G 是一个群，证明：如果对任意的G b a ∈,都有

555444333)()(,)(b a b a b a b a b a b a *=**=**=*和，则*〉〈,G 是一个阿贝尔群。

4．设[][][][][][]{}6,5,4,3,2,1=G ，G 上的二元运算7⨯，如表5-5.3所示。 问〉⨯〈7,G 是循环群吗？若是，试找出它的生成元。

5．证明：循环群的任何子群必定也是循环群。

表 5-5.3