华师大版九年级数学上册全册教案

第22章一元二次方程

22.1 一元二次方程

【知识与技能】

1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.

2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.

【过程与方法】

通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.

【情感态度】

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.

【教学重点】

判定一个数是否是方程的根.

【教学难点】

由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

一、情境导入，初步认识

问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）

问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5

（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）

【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.

二、思考探究，获取新知

思考、讨论

问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

共同特点：

（1）都是整式方程

（2）只含有一个未知数

（3）未知数的最高次数是2

【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：

ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.

例1判断下列方程是否为一元二次方程：

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.

例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.

解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.

【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.

三、运用新知，深化理解

1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

（1）5x2-1=4x

（2）4x2=81

（3）4x（x+2）=25

（4）（3x-2）（x+1）=8x-3

解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；

（2）4x2-81=0；4，0，-81

（3）4x 2+8x-25=0；4，8，-25 （4）3x 2-7x+1=0；3，-7，1.

2.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ； （2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；

（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.

解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0； （2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0； （3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.

3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根，求a 的值. 解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根. ∴4a+8-5=0解得：a=-4

3. 四、师生互动，课堂小结

1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.

3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题2

2.1”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

22.2 一元二次方程的解法

1.直接开平方法和因式分解法

【知识与技能】

1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.

2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.

3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.

【过程与方法】

创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.

【情感态度】

鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.

【教学重点】

利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.

【教学难点】

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.

一、情境导入，初步认识

问：怎样解方程(x+1)2=256？

解：方法1：直接开平方，得x+1=±16

所以原方程的解是x

1=15,x

2

=-17

方法2：原方程可变形为：

（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0 即（x+17）（x-15）=0

所以x+17=0或x-15=0

原方程的解x

1=15,x

2

=-17

【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.

二、思考探究，获取新知

例1 用直接开平方法解下列方程

（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.