河北省邯郸市曲周县2020届高三数学上学期12月质量检测试题(四) 文

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2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}2230,21M x x x N x x =--<=-<<，则()R M C N ⋂=（）A ．[]2,1-B ．(]1,1-C ．[)1,3D ．()2,3-【答案】C【解析】首先分别求出{}13M x x =-<<和{}21R C N x x x =≤-≥或，利用交集定义运算即可. 【详解】2230x x --<得13x -<<，所以{}13M x x =-<<，又{}21R C N x x x =≤-≥或，所以(){}13R M C N x x ⋂=≤<，故选：C 【点睛】本题主要考查集合的补集和集合的交集运算，同时考查了二次不等式，属于简单题. 2．已知复数z 满足 (1)i z i -=(其中i 为虚数单位)，则z =（）A ．12B ．2C ．1D【答案】B【解析】将复数化简为1122z i =-+，再求模长即可. 【详解】()1i z -=i ，则()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+，2z ==. 故选B 【点睛】本题主要考查了复数运算，同时考查了复数的模长公式，属于简单题.3．已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（）【解析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可. 【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A ．22B ．25C ．26D ．42 【答案】C【解析】将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可. 【详解】由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥11 A BCC B -如图所示.其中AC 为最长棱.由勾股定理得【点睛】本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题. 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3121222?··224n a a a a n +++++=+，则10S =( )A ．55B ．56C ．57D ．58【答案】C【解析】分别求出2n ≥和1n =的通项公式，在求10S 即可. 【详解】因为3121222224n a a a a n +++++=+……①，所以2n ≥时，3112222224n a a a a n -++++=+……②，②-①得12222n a n n n +=-=，所以2n ≥时，n a n =. 当1n =时，1232242a =+=. 所以13a =不合适n a n =，所以3,1,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩所以103231057S =++++=……. 故选：C 【点睛】本题主要考查由数列前n 项和求通项公式，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 6．函数2()(1)sin 21xf x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断出()f x 是偶函数，排除C 、D ，再由()1f 的正负排除B ，从而得到答案. 【详解】因为()()21sin 21xf x x -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭2221sin 1sin ()1221x xx x x f x ⎛⎫⋅⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当1x =时，1(1)sin103f =-<，排除B ，故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题. 7．如图，在平行四边形ABCD 中,11,,33AE AB CF CD G ==为EF 的中点，则DG =u u u r （）A ．1122AB AD -u u ur u u u rB ．1122AD AB -u u ur u u u rC ．1133AB AD -u u ur u u u rD ．1133AD AB -u u ur u u u r【答案】A【解析】利用向量的加减法的几何意义将DG u u u r转化为AB u u u r ，AD u u u r 即可.【详解】1122DG DE DF =+u u u r u u u r u u u r112()223DA AE DC =++⋅u u ur u u u r u u u r 111()AD AB AB =-++u u ur u u u r u u u r1122AB AD =-u u ur u u u r 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题. 8．执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（）A ．3-B ．13C ．12-D ．2【答案】D【解析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a 的值，可发现周期为4，即可得到2020i =，2a =，2021i =，此时输出2a =. 【详解】1i =，3a =-.2i =，12a =-.3i =，13a =.4i =，2a =.5i =，3a =-.可发现周期4，2020i =，2a =，2021i =. 此时输出2a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键，属于简单题.9．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O 为圆心的大圆直径为4,以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A ．384ππ++B ．684ππ++C ．342ππ++D ．642ππ++【答案】B【解析】分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可. 【详解】上方阴影部分的面积等于AOB V 的面积12222AOB S =⨯⨯=V . 下方阴影部分面积等于212122214422πππ⎛⨯⨯--=+ ⎝. 所以根据几何概型得所求概率：21624284P ππππ+++==++. 故选：B 【点睛】本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题.10．已知双曲线()2222:0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F 过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线,垂足为M ,若三角形12MF F 的面积为22a ，则C 的离心率为（） A 2 B 3C ．2D 5【答案】D【解析】将三角形12MF F 的面积转化成1212MF F MOF MOF S S S =+V V V ，分别计算1MOF S V ，2MOF S V ，得到等式22ab a =，再化简计算离心率即可.由题得()2,0F c ，不妨设:0l bx ay -=，则222bc MF b a b==+（也可记住结论).2221,OM OF OF a =-=因为1221122MOF MOF S S OM MF ab ===V V . 所以12122222MF F MOF MOF MOF S S S S ab a =+===V V V V ，即：2b a =.所以22225c a b a =+=，所以25e =，即：5e =.故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，将已知三角形12MF F 的面积为22a 转化为数学等式22ab a =，是常见的求离心率的方法，属于中档题.11．已知正六棱锥 P ABCDEF -的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（）A ．3B ．163C ．83D ．32327【答案】B【解析】首先过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =.然后计算出正六棱锥的体积()232V h h h =-.设()()232f x x x x =-，利用导数求出设()f x 最大值即可得到正六棱锥体积的最大值. 【详解】过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =. 在Rt AOM V 中有()2211h a -+=，即222a h h =-. 正六棱锥的体积()221113362332V Sh h h h ==⨯⨯=-. 设()()232f x x x x =-. 由()233'302f x x x =-=得43x =.()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当43x =时()f x 163. 163. 故选：B 【点睛】题的关键，属于难题. 12．已知()cos31cos x f x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】首先通过三角化简得到()2cos2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈，通过平移变换得到()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.再进一步求出()g x 的周期、奇偶、值域、对称即可得到答案. 【详解】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+， cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x xx x-=+=.即：()2cos2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈. ①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确. ②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误. ③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确 ④因为,62k x k Z ππ≠+∈.故()g x 图象不是中心对称图形,故④错误.. 综上,正确的个数为2.【点睛】本题为三角函数的章内综合题，考查了三角函数的化简、周期、奇偶、对称、以及平移变换.属于难题.二、填空题13．已知函数()()()21310log 0x e x f x x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】1-【解析】首先求出1ln 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，再代入1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】()2ln 2ln 41ln ln 21132f f e e ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭， ()131ln 3log 312f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了分段函数和对数的运算，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题. 14．设函数()()21ln g x x x =++，则曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为________．【答案】510--=x y【解析】首先求导，然后代入切点横坐标得到斜率，再求出切点纵坐标，用点斜式即可得到切线方程. 【详解】()()21ln g x x x =++，()()121g x x x'=++. 因为4(1)g =，(1)5g '=，所以曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为510--=x y .故答案为：510--=x y本题主要考查导数的几何意义：切线问题，同时考查了直线方程的点斜式，属于简单题. 15．如图，以Ox 为始边作钝角α,角α的终边与单位圆交于点11(),P x y ，将角α的终边顺时针旋转3π得到角β.角β的终边与单位圆相交于点22(,)Q x y ，则21x x -的取值范围为__________．【答案】1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】首先把21x x -根据三角函数的定义以及两角和差公式表示为21x x -sin 6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据α的范围求值域即可.【详解】由已知得3πβα=-，1cos x α=，2cos cos 3x πβα⎛⎫==- ⎪⎝⎭.所以21cos cos cos cos 3x x πβααα⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭13cos 2αα=-sin 6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为2παπ<<，所以5366πππα<-<. 所以1sin ,162πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 即：21x x -的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，两角和差公式，以及三角函数的值域问题，属于中档题. 16．已知过抛物线26y x =焦点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点， 3 ,AF FB =u u u r u u u r抛物线的准线l 与x 轴交于点,C AM l ⊥于点M ，则四边形ABCM 的面积为__________．【答案】153【解析】首先过B 作BN l ⊥于，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =.再算出BNMA S V ，BCN S V ，相减即可得到ABCM S V . 【详解】过B 作BN l ⊥于，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =.60BAM ∴∠=o ，332CF p m ∴===. 2m ∴=，36AM m ==.3sin 60443MN AB m ===o 3sin 60333MC AF m ===o 3NC MN MC =-.()1115322ABCM BNMA BCN S S S BN AM MN BN CN ∴=-=+-=V V V g g g 故答案为：153【点睛】本题主要考查了抛物线的几何意义，将不规则图形转换为规则图形的差是解决本题的关键，考查了学生的转换能力，属于难题.三、解答题17．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =;(2)若1,c a ==求S .【答案】(1)证明解析,(2)2【解析】（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos AA A=代入即可.（2）因为1c =，a =3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22cos 3A =，cos A =tan A ⇒=，b =16622S =⨯⨯=. 【详解】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b Ac A A=，又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =. （2）由（1）得3b ccosA =.因为1c =，a =3b cosA =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2229cos 16cos A A =+-,解得：22cos 3A =.因为3b cosA =，所以cos 0A >，cos A =.tan 2A ⇒=，b =.211tan 66622S b A ==⨯⨯=.本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题.18．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为1551,,2n S a S a =+是4433;S a S a ++的等差中项.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设222log n n n b a a =+,求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)12n n a = (2)n T ()111134n n n ⎛⎫=--+⎪⎝⎭【解析】（1）由已知得到()5544332S a S a S a +=+++，化简即可得到12q =，12n n a =. （2）将n b 化简得到124n nb n =-，利用分组求和即可得到n T . 【详解】因为55S a +是44S a +，33S a +的等差中项，所以()5544332S a S a S a +=+++.5453345()()2S S S S a a a -+-=+-， 5453452a a a a a a ++=+-，解得：253144a a q =⇒=. 因为{}n a 为正项数列，所以12q =. 所以1112n n n a a q -==g. （2）222211log 2224n n n n n b a a n n ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ()11122441214n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-- ()111134n n n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.本题第一问主要考查等差，等比数列综合问题，第二问考查了数列求和中的分组求和，计算是解决本题的关键，属于中档题.19．垃圾种类可分为可回收垃圾、干垃圾、湿垃圾、有害垃圾等，为调查中学生对垃圾分类的了解程度，某调查小组随机从本市一中高一的2000名学生(其中女生900人)中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行调查,已知抽取的n名学生中有男生110人、(1)求n值及抽到的女生人数;(2)调查小组请这n名学生指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”，调查结果如下:求m值,完成如下22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关?(3)在(2)条件下,从抽取的“比较了解”的学生中仍采用分层抽样的方法抽取6名.再从这6名学生中随机抽取2人作义务讲解员,求抽取的2人中至少一名女生的概率.参考数据:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++， .n a b c d =+++ 【答案】(1)90,(2) 没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.(3)45【解析】（1）由题知：11020001100n =，解方程即可. （2）根据抽取的女生人数为90人，得到152********m m ++++++=，解得5m =.再填表，带入2K 公式即可.（3）首先算出“比较了解”的学生男女人数，再列出全部基本事件和至少一名女生的基本事件，带入古典概型公式即可. 【详解】（1）由题知：11020001100n =，解得：200n =，女生人数为：20011090-=. （2）由已知得抽取的女生人数为90人，所以152********m m ++++++=，解得5m =. 根据题意得列联表如下：()2220060505040 2.020 2.70610010090110K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关. （3）从100名“比较了解”的学生中采用分层抽样的方法抽取6名，抽取的男女生各3人.记样本中的3名女生为,,A B C ，3名男生为,,a b c . 从这6人中随机抽取2人，基本事件分别为：共,, ,,,, ,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc ab ac bc 15种.至少一名女生的基本事件为,, ,,,, ,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 共12种，故所求的概率为124155P ==. 【点睛】本题第一问考查了分层抽样，第二问考查了独立性检验，第三问考查了古典概型，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.20．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,侧棱1BB ⊥底面,ABC D 为1AA 中点,,M N 分别为11,BB CC 上的点，且满足1BM C N =.(1)求证:平面DMN ⊥平面11BCC B , ;(2)若三棱锥1A DMN -的体积为3,求三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析,(2)6【解析】（1）分别取,MN BC 中点,E F ，连接,,DE AF EF ，首先证明AF BC ⊥，1BB AF ⊥，得到AF ⊥平面11BCC B .再证明//DE AF ，可得到DE ⊥平面11BCC B .又因为DE ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B . （2）将1A DMN V -转化为1M A DN V -，计算即可得到m 的值. 【详解】（1）分别取,MN BC 中点,E F ，连接,,DE AF EF . 因为ABC V 为正三角形，F 为BC 中点所以AF BC ⊥.又因为1BB ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC . 所以1BB AF ⊥，1BB BC B =I ，所以AF ⊥平面11BCC B . 因为,E F 分别为,MN BC 中点，所以//EF CN 且()12EF BM NC =+, 又因为1BM C N =，1BM NC CC += 所以112EF CC =. 因为D 为1AA 中点，所以112AD AA =. 因为11//AA CC 且11AA CC =，所以1//AD CC 且112AD CC =. 所以//AD EF 且 AD EF =，所以四边形ADEF 为平行四边形. 所以//DE AF因为AF ⊥平面11BCC B ⇒DE ⊥平面11BCC B .DE ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B .（2）设侧棱长为m ，则1AA m =，112A D m =. 11112222A DN S m m =⨯⨯=V过B 作BH AC ⊥于H ，与（1）同理可证BH ⊥平面11ACC A . 因为//BM平面11ACC A .所以M 到平面11ACC A 的距离B =到平面11ACC A 的距离BH =.因为ABC V 为正三角形，所以22BH =⨯=.11113A DMN M A DN A DN V V S BH --==⨯⨯==V 解得：6m =. 【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查求三棱锥的体积，等体积转化是解决三棱锥体积的常用方法，属于中档题.21．椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上、下顶点分别为,'A A ，离心率为2,'OA 的中点为P ，1',2A P O =为坐标原点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)ABCD Y 的顶点,B C 在椭圆E 上运动，且直线BC 经过点P ,求ABCD Y 的面积的最大值.【答案】(1) 2214x y +=,(2)【解析】（1）由题知得到221a c -=①，c a =程.（2）首先将平行四边形ABCD 的面积转化为2个ABC V 的面积，然后求ABC V 的面积的最大值即可求出平行四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意得'1A O =，即1b =，则221a c -=①.22c c a =⇒=Q ②.联立①②得2,a c ==∴椭圆E 的标准方程为2214x y +=. ()2如图，连接AC ，则1(0,)2P -.由题意知直线BC 的斜率存在. 设直线BC 的方程为12y kx =-，11(,)B x y ，22(,)C x y . 联立221412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2214430k x kx +--=122414k x x k ∴+=+，122314x x k-=+. ()()()222121212224163414k x x x x x x k +-=+-=+.又32AP =，()()221241631133163222214ABC k k S AP x x k ++∴=-==+V g g 令22231633(3)16m m k k m -=+≥⇒=≥，ABCS ∴=V 2361321416m m m m =⎛⎫-++ ⎪⎝⎭g . 令()(13g m m m m=+≥，易知()g m 在)3,+∞单调递增.3m ∴=()min 43g m =，()min33ABC S =V 又2ABCD ABC S S =Y V ，()min 33ABCD S ∴=Y ∴平行四边形ABCD 面积的最大值为33【点睛】本题第一问考查椭圆的基本概念和标准方程，第二问考查了直线与椭圆的位置关系，将平行四边形ABCD 的面积转化为2个ABC V 的面积，是解决第二问的关键，属于难题.22．已知函数()()()ln xe f x a x x a R x=--∈ (1)若()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求证()0f x ≥;(2)若()0f x ≥,求a 的取值范围，【答案】(1) ()f x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增()()10f x f ≥=,(2) (,]e -∞【解析】（1）首先根据()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求出a 的值，然后要证明()0f x ≥，只需证明min ()0f x ≥即可. （2）将()0f x ≥转化为()ln x e a x x x ≤-，求()()ln xe h x x x x =-的最小值即可. 【详解】（1）因为()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，所以()10f e a =-=，解得：a e =.函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()21e e x x x f x x --'=. 令()x g x e ex '=-，则()e e x g x '=-. 令()0g x '=，1x =.当1x <时，()'0g x <.当1x >时，()'0g x >.所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.所以()(10)g x g ≥=.即0x e ex -≥，仅当1x =时取等号.所以当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.()() 10f x f ≥=，即证.（2）由（1）知x e ex ≥，所以当0x >时，()ln ln xe ex ≥，得10x lnx -≥>.由()()ln 0xe f x a x x x=--≥，得()ln x e a x x x ≤-. 问题转化为()minln xe a x x x ⎛⎫≤ ⎪ ⎪-⎝⎭.令()()ln xe h x x x x =- ，则()()()()2211ln ln x e x x x h x x x x ---'=-. 因为0x e >，1ln 0x x --≥(仅当1x =时取等号)，()22ln 0x x x ->. 所以当01x <<时，'()0h x <，当1x >时，'()0h x >.所以()h x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞.所以()()min 1h x h e ==.所以a 的取值范围是(,]e -∞.【点睛】本题第一问和第二问都考查了导数应用中的最值以及恒成立问题，同时考查了学生的转化思想，属于难题.。

河北省部分高中2024届高三上学期12月期末数学试题(解析版)

数学试卷第I 卷（选择题共60分本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 总分150分，考试时间120分钟.）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{11},02A x x B x x =-<<=≤≤∣∣，则A B = （）A.[)0,1 B.(]1,2- C.(]1,2 D.()0,1【答案】A 【解析】【分析】直接利用集合的交运算法则进行运算即可.【详解】因为集合{}{11},02A xx B x x =-<<=≤≤∣∣，故{|01}A B x x ⋂=≤<，故选：A.2.已知直线1l ：30ax y +-=和直线2l ：3230x y -+=垂直，则=a （）A.32-B.32C.23-D.23【答案】D 【解析】【分析】由直线垂直的充要条件列出关于a 的方程，解方程即可.【详解】因为直线1l ：30ax y +-=和直线2l ：3230x y -+=垂直，所以()3120a ⨯+⨯-=，解得23a =.故选：D.3.已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（）A.4πB.12πC.16πD.π3【答案】B 【解析】【分析】由圆锥的侧面展开图扇形基本量与圆锥基本量间的关系可得.【详解】已知圆锥的底面半径2r =，高h =则母线长6l ==，圆锥的侧面展开图为扇形，且扇形的弧长为圆锥底面圆周长2πr ，扇形的半径为圆锥的母线长l ，则圆锥侧面积12ππ26π12π2S rl rl =⨯==⨯=.故选：B.4.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则()1f -=（）A.1-B.2- C.2D.0【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义计算得解.【详解】定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()()1f x x x =+，所以()1(1)2f f -=-=-.故选：B5.已知α是第一象限角，cos 5α=，则cos cos2sin ααα-=（）A.135-B.75-C.135D.110【答案】B 【解析】【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简求值.【详解】因为α是第一象限角，25 cos5α=，所以sin5α==，所以22cos cos2575cos22cos121sin sin555αααααα⎛⎫-=--=⨯---⎪⎪⎝⎭，故选：B.6.记n S为等比数列{}()0n na a>的前n项和，且13123,3116,42,a a S S S=成等差数列，则6S=（）A.126 B.128 C.254 D.256【答案】A【解析】【分析】根据可得2132132161322a a aS S S⎧==⎪⎨+=⎪⎩，整理得232428aa a=⎧⎨==⎩，进而可得122aq=⎧⎨=⎩，结合等比数列的求和公式运算求解.【详解】设等比数列{}n a的公比为q，则10,0a q>>，由题意可得2132132161322a a aS S S⎧==⎪⎨+=⎪⎩，即()()211231241322aa a a a a a=⎧⎪⎨+++=+⎪⎩，整理得232428aa a=⎧⎨==⎩，则12148a qa q=⎧⎨=⎩，解得122aq=⎧⎨=⎩，所以()6621212612S⨯-==-.故选：A.7.直线20x y++=分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆()2222x y-+=上，则ABP面积的取值范围是A.[]26， B.[]48，C.D.⎡⎣【答案】A【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB = 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．8.设2ln0.99a =，ln0.98b =，1c =，则（）B.b<c<a D.c b a<<【分析】根据对数的运算法则及对数函数的单调性，直接比较a 和b 的大小；构造函A.a =，令()0.02,ln 1,1x b x c ==-=，令()()ln 11f x x =--1(2x <，()f x '=()22112120x x x x -=-+≥->，所以1x -≥，即()0f x '≥，故()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()0.0200f f >=，即b c >，综上，a b c >>.故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A.{}n a 是递增数列B.1014a =-C.当4n >时，0n a < D.当3n =或4时，n S 取得最大值【答案】CD 【解析】【分析】根据n S 表达式及2n ≥时，1nn n a S S -=-的关系，算出数列{}n a 通项公式，即可判断A 、B 、C选项的正误.27n S n n =-+的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当2n ≥时，128n n n a S S n -=-=-+，又116218===-⨯+a S ，所以28n a n =-+，则{}n a 是递减数列，故A 错误；1012=-a ，故B 错误；当4n >时，820n a n =-<，故C 正确；因为27n S n n =-+的对称轴为72n =，开口向下，而n 是正整数，且3n =或4距离对称轴一样远，所以当3n =或4时，n S 取得最大值，故D 正确.故选：CD.10.已知函数()()2e xf x x =-，则下列说法错误的是（）A.()f x 的图象在2x =处的切线斜率大于0B.()f x 的最大值为eC.()f x 在区间()1,+∞上单调递增D.若()f x a =有两个零点，则e a <【答案】ACD 【解析】【分析】利用函数的导数逐项判断求解即可.【详解】由题得()()()e 2e 1e x x x f x x x '=-+-=-，则()22e 0f '=-<，故A 错误；当1x <时，()()0,f x f x '>在区间(),1-∞上单调递增；当1x >时，()()0,f x f x '<在区间()1,+∞上单调递减，所以()f x 的极大值即最大值为()1e f =，故B 正确，C 错误；令()()g x f x a =-，则()()1e xg x x =-'，由B 知()g x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，所以()g x 的极大值为()e 1g a =-，且当x 趋向于-∞时，()g x 趋向于a -，当x 趋向于+∞时，()g x 趋向于-∞，所以若()f x a =有两个零点，则e 00a a ->⎧⎨-<⎩，即0e a <<，故D 错误.故选：ACD11.已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C.若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2【答案】ABC 【解析】【分析】先求出函数()f x 的解析式，然后逐项判断即可求解.【详解】对A ：若()πsin (03f x x ωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，π2ϕ<为偶函数，则πππ,32k k ϕ+=+∈Z ，π2ϕ<，所以π6ϕ=，A 选项正确；对B ：若()g x 的最小正周期为3π，则2π3πT ω==，所以23ω=，故B 正确；对C :由()0,πx ∈，得πππ,π666x ωω⎛+∈⎫+ ⎪⎝⎭，若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7ππ262ω<+≤，得71033ω<≤，故C 正确；对D ：因为()πsin 6g x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，若πππsin 4462g ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ2π463k ω+=+或ππ2π2π463k ω+=+，得283k ω=+或28,k k ω=+∈Z ，又0ω>，所以ω的最小值为23，故D 错误.故选：ABC.12.如图，在ABC 中，2B π∠=，AB =，1BC =，过AC 中点M 的直线l 与线段AB 交于点N ．将AMN 沿直线l 翻折至A MN '△，且点A '在平面BCMN 内的射影H 在线段BC 上，连接AH 交l 于点O ，D 是直线l 上异于O 的任意一点，则（）A.A DH A DC ''∠≥∠B.A DH A OH ''∠≤∠C.点O 的轨迹的长度为6πD.直线A O '与平面BCMN 所成角的余弦值的最小值为13-【答案】BCD 【解析】【分析】A 、B 选项结合线面角最小，二面角最大可判断;对于C ，先由旋转，易判断出MN AO ⊥，故其轨迹为圆弧，即可求解.对于D 求直线与平面所成角的余弦值，即求OH OH A O AO ='，,32AMN ππθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，用θ表示,AO OH ，再结合三角恒等变换求出函数的最值即可【详解】依题意，将AMN 沿直线l 翻折至A MN '△，连接AA ',由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分，故AA MN '⊥，又A '在平面BCMN 内的射影H 在线段BC 上，所以A H '⊥平面BCMN ，MN ⊂平面BCMN ，所以A H MN '⊥，AA A H A '''⋂=，AA '⊂平面A AH '，A H '平面A AH'所以MN ⊥平面A AH '.AO ⊂平面A AH '，A O '⊂平面A AH '，A H '⊂平面A AH '，,,AO MN A O MN A H MN ''⊥⊥⊥，AOM ∴∠=90 ，且A OH '∠即为二面角A MN B '--的平面角对于A 选项，由题意可知，A DH '∠为A D '与平面BCMN 所成的线面角，故由线面角最小可知A DH A DC ''∠≤∠，故A 错误；对于B 选项，A OH '∠ 即为二面角A MN B '--的平面角，故由二面角最大可知A DH A OH ''∠≤∠，故B 正确；对于C 选项，MN AO ⊥ 恒成立，故O 的轨迹为以AM 为直径的圆弧夹在ABC 内的部分，易知其长度为1236ππ⨯=，故C 正确；对于D 选项，如下图所示设,32AMN ππθ⎛⎫∠=∈⎪⎝⎭，在AOM 中，AOM ∠=90 ，sin sin AO AM θθ∴==，在ABH 中，2B π∠=，cos cos 3AB AH BAH πθ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3sin cos 3OH AH AO θπθ=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线A O '与平面BCMN 所成角为α，则3sin cos 3cos 11sin sin cos 332OH AO θπθαπθθθ-⎛⎫- ⎪⎝⎭===-=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭1132≥=，当且仅当523212πππθθ-=⇒=时取等号，故D 正确．故选：BCD ．第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()52,1,,2a b k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，若//a b ，则k =__________.【答案】5-【解析】【分析】根据向量平行关系得到方程，求出答案.【详解】因为//a b，所以5122k -⨯=⨯，故5k =-.故答案为：-514.写出一个圆心在y x =上，且与直线y x =-和圆()()22332x y -+-=都相切的圆的方程：______.【答案】()()22112x y -+-=（答案不唯一）【解析】【分析】由题设，设圆心为(,)m m，则半径||r m =，讨论所求圆与圆()()22332x y -+-=外切、内切，分别求出对应m 即可得结果.【详解】设圆心为(,)m m ，则半径|r m ==，假设与圆()()22332x y -+-=||m =，所以||3|1|m m -=+，故22692||1m m m m -+=++，则3||4m m +=，若0m >，则441m m =⇒=，则圆心为(1,1)，半径为r =()()22112x y -+-=；若0m <，则242m m =⇒=，不满足前提；假设与圆()()22332x y -+-=内切，又(3,3)与y x =-=>，此时，圆()()22332x y -+-=|m =所以1||3||m m --=，故22692||1m m m m -+=-+，则3||4m m -=，若0m >，则242m m =⇒=，则圆心为(2,2)，半径为r =()()22228x y -+-=；若0m <，则441m m =⇒=，不满足前提；综上，()()22112x y -+-=或()()22228x y -+-=.故答案为：()()22112x y -+-=（答案不唯一）15.表面积为100π的球面上有四点S ､A ､B ､C ，△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若面SAB ⊥面ABC ，则棱锥S ABC -体积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】求出球半径及球心到平面ABC 的距离，进而求出ABC 外接圆半径，利用面面垂直结合球的截面小圆性质，求出SAB △的外接圆半径，确定点S 到平面ABC 的最大距离即可作答.【详解】依题意，球O 的半径5R =，令正ABC 的中心为O '，则3OO '=，且OO '⊥平面ABC ，ABC外接圆半径4r CO ==='，连接'CO 并延长交AB 于D ，则D 为AB 的中点，且122O D r '==，显然CD AB ⊥，而平面SAB ⊥平面ABC ，平面SAB 平面ABC AB =，有CD ⊥平面SAB ，令SAB △的外接圆圆心为E ，则OE ⊥平面SAB ，有//OE O D '，又OO '⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以OO AB '⊥，由OO CD O ''⋂=,所以AB ⊥平面OO DE '，所以ED AB ⊥，而平面SAB ⊥平面ABC ，平面SAB 平面ABC AB =，ED ⊂平面SAB ，则ED ⊥平面ABC ，即有//ED OO '，因此四边形OO DE '为平行四边形，则3ED OO '==，2OE O D '==，SAB △的外接圆半径r '==，SAB △的外接圆上点S 到直线AB 距离最大值为3r ED '+=，而点S 在平面ABC 上的射影在直线AB 上，于是点S 到平面ABC 距离的最大值3h =+，又正ABC的面积2233444ABC S r =⨯=⨯⨯= 所以棱锥S ABC -的体积最大值13)133ABC S ABC V S h -⨯⋅===+ .故答案为：【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.16.数列{}n a 满足()2*114,13n n n a a a a n N +==-+∈，则122017111a a a +++ 的整数部分是__________．【答案】2【解析】【详解】因为()2*114,13n n n a a a a n N +==-+∈，所以211(1)0n n n n n a a a a a ++-=->⇒>，数列{}n a 单调递增，所以1(11)0n n n a a a +-=->，所以111(1)1111n n n n na a a a a +--=--=，所以121122111111111111()()()11111n n n n n S a a a a a a a a a a a =+++=-+-++-=------ ，所以20172017131m S a ==--，因为143a =，所以22223444131313133133133()1,()1()12,33999818181a a a =-+==-+==-+> ，所以20172016201542a a a a >>>>> ，所以201711a ->，所以20171011a <<-，所以201512331a <-<-，因此m 的整数部分是2．点睛：本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为111111n n na a a +=---，再借助数列的单调性是解答的关键．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin 2A Cc b C +=.（1）求角B ；（2）设BD 是AC 边上的高，且1BD =，b =，求ABC 的周长.【答案】（1）π3B =（2）3+【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角以及诱导公式化简已知等式，可得sin 2B的值，即可求得答案；（2）根据三角形面积相等可推出2ac =，再利用余弦定理即可求得a c +的值，即可得答案.【小问1详解】因为sinsin 2A Cc b C +=，所以πsin sin sin sin 22B C B C ⎛⎫-=⎪⎝⎭，因为(0,π),sin 0C C ∈≠，所以cossin 2BB =，即cos 2sin cos 222B B B =.因为π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 02B≠，所以1sin22B =，解得π3B =.【小问2详解】因为π3B =，b =，所以1131222ABC S b BD =⋅=⨯=.又由1πsin 234ABC S ac == ，可得42ac =，所以2ac =.由余弦定理222π2cos3b ac ac =+-，可得223a c ac =+-，即()233a c ac +=+，即()2369a c +=+=，所以3a c +=，所以ABC 的周长为3.18.如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =．（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解答（2）5【解析】【分析】（1）通过证明//OF DE ，得证//DE 平面ACF ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】证明：如图，连接OF ，因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，可得O 点为BD 的中点，又F 为BE 的中点，所以OF 为BDE △的中位线，可得//OF DE ，又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ，可得//DE 平面ACF ；【小问2详解】以CB ，CE 所在直线为y ，z 轴，过C 作CB 的垂线所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，因为ABCD 是菱形，60ADC ∠=︒，ADC △为等边三角形，不妨设2AB CE ==，则)1,0D-，()0,2,0B ，()0,0,2E，)A ，()0,1,1F ，可得(DB = ，(0,2,2)BE =-，设平面EBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，可得30220DB n y BE n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，不妨取1y =，则1x z ==，可得)n =.又(AF =，可得AF与平面EBD 所成角的正弦值为：n AFn AF⋅=19.已知数列{}n a 是各项都为正整数的等比数列，13,a =且3a 是2a 与434a 的等差中项，数列{}n b 满足111,21n n b b b +==+.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式;（2）若582242n n b k a n k +⋅-≥+-对任意*n ∈N 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）132n n a -=⨯，21nn b =-；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质求得公比，进而得到数列{}n a 的通项公式；由已知得到数列{1}n b +是以2为首项，2为公比的等比数列，求得其通项公式，进而得到数列{}n b 的通项公式；（2）等价转化为33162n k n --≥对任意*n ∈N 恒成立，然后令()32n f n n =-，利用作差法研究单调性，得到最大值，进而求解得到k 的取值范围.【详解】()1设数列{}n a 的公比为q ，则*q N ∈，3a 是2a 与434a 的等差中项，32432,4a a a ∴=+23214q q ∴=+，解得2q =或23q =(舍去)，132n n a -∴=⨯()1121,121n n n n b b b b ++=+∴+=+ ，又112b +=，∴数列{1}n b +是以2为首项，2为公比的等比数列，12,21n n n n b b ∴+=∴=-；()2由582242n n b k a n k +⋅-≥+-，整理可得()()112232832n n k n k --+-⨯≥-+，即()()13283n k n --⋅≥-，33162n k n --∴≥对任意*n ∈N 恒成立，令()32n f n n =-，则()()()()11122323412222n n n n n n n n nf n f n +++------+=-==-∴当4n ≤时，()()1f n f n +≥，当5n ≥时，()()1,f n f n +<∴当4n =或5时，()f n 取得最大值，()()416max f n f ==∴116316k -∴≥.解得4k ≥.故实数k 的取值范围是[)4,+∞.20.已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到()10B ,的距离的2倍.（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，过B 的直线与点Q 的轨迹Γ交于E ，F 两点，探索BE BF ⋅ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）()2224x y -+=（2）是定值，3BE BF ⋅=-【解析】【分析】(1)设点(),P x y ，根据两点坐标求距离公式计算化简即可；(2)设()00,Q x y ，根据中点坐标公式代入圆P 方程中可得Q 的轨迹方程，直线l 的方程、()11,E x y ，()22,F x y ，联立圆Q 方程，利用韦达定理表示出12x x +,12x x ，结合向量数量积的坐标表示化简计算即可；【小问1详解】设点(),P x y ，由题意可得2PA PB ==化简可得()2224x y -+=.【小问2详解】设点()00,Q x y ，由（1）P 点满足方程:()2224x y -+=，00210x x y y +=⨯⎧⎨+=⎩，代入上式消去可得22004x y +=，即Q 的轨迹方程为224x y +=，当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l 的方程为()1y k x =-，由()2241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得()22221240k x k x k +-+-=，显然0∆>，设()11,E x y ，()22,F x y 则212221k x x k+=+，212241k x x k -=+，又()111,BE x y =- ，()221,BF x y =-，则()()()()21212121212121111BE BF x x x x y y x x x x k x x ⋅=-+++=-+++-- ()()()()()()()222222221212224211111111k k k x x k x x k k k k k k-=+-++++=+-+++++42424222234222133311k k k k k k k k k----+++--===-++.当直线l 的斜率不存在时，(E ，(1,F ，3BE BF ⋅=-.故BE BF ⋅是定值，即3BE BF ⋅=- .21.已知函数()()e sin 1xf x a x a =--∈R ．（1）当1a =时，讨论函数()()xf xg x =e 在π3π,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性；（2）当3a =-时，证明：对()0,x ∀∈+∞，有()2e 12exxf x x -<++-．【答案】（1）()g x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在3π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导函数符号变化，分区间讨论单调性；（2）不等式等价变形，构造函数()()2e3sin 2xF x x x =--，求解导函数并利用sin x x >放缩，再结合辅助角公式转化利用有界性判断导函数符号，得到函数单调性证明不等式.【小问1详解】当1a =时，()e sin 1sin 11e e x x xx x g x --+==-，()e π1cos sin e 14x xx x x g x ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭'=-=-，当π02x -<<时，ππππ,cos 44442x x ⎛⎫-<+<+> ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 单调递减；当3π02x <<时，ππ7ππ,cos 44442x x ⎛⎫<+<+< ⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x 单调递增．所以()g x 在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在3π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增．【小问2详解】要证()2e 12exxf x x -<++-，只要证23sin 22e x x x ---<-，即证()2e3sin 22xx x --<-．令()()2e3sin 2xF x x x =--，()()2e 6sin 23cos 5x F x x x x '=-+-．所以()()()22e6sin 23cos 5e 6sin 2sin 3cos 5xx F x x x x x x x '当x >0时，令h (x )=x -sin x ，h '(x )=1-cos x ≥0，所以h (x )在(0,+∞)单调递增，所以h (x )>h (0)=0，即x >sin x ，从而-2x <-2sin x ．=-+-<-+-，()()22e 4sin 3cos 5e 5sin 50x x x x x ϕ=+-=+-≤⎡⎤⎣⎦，其中，ϕ为辅助角，且满足34sin ,cos 55ϕϕ==即可.所以()F x 在()0,∞+单调递减，即()()02F x F <=-．故()2e 12exxf x x -<++-成立．22.如图①，在ABC中，134,,,13BC AB B E D ===分别为,BC AC 的中点，以DE 为折痕，将DCE △折起，使点C 到达点1C 的位置，且12BC =，如图②.（1）设平面1ADC ⋂平面1BEC l =，证明：l ⊥平面1ABC ；（2）P 是棱1C D 的中点，过,,P B E 三点作该四棱锥的截面，与1C A 交于点Q ，求1AQAC ；（3）P 是棱1C D 上一点（不含端点），过,,P B E 三点作该四棱锥的截面与平面1BEC 所成的锐二面角的正切值为32，求该截面将四棱锥分成上､下两部分的体积之比.【答案】（1）证明见解析（2）123AQ AC =（3）45【解析】【分析】（1）延长,AD BE 交于点C ，连接1CC ，确定1111,CC AC CC BC ⊥⊥得到1CC ⊥平面1ABC ，得到证明.（2）延长,AD BE 交于点C ，连接CP 并延长交1AC 于点Q ，连接,EP BQ ，平面EPQB 即为所求截面，根据相似即中位线的性质得到比例关系.（3）过1C 作1C H BE ⊥，确定AB EB ⊥，得到BE ⊥平面1AHC ，得到13tan 2C HQ ∠=，勾股定理计算得到11HC AC ⊥，132C Q =，Q 为1AC 的中点，得到P 是1ACC △的重心，计算14C BQPE C DPE V V --=四棱锥三棱锥，5ABEDQP C DPE V V -=几何体三棱锥，得到答案.【小问1详解】在图②中延长,AD BE 交于点C ，连接1CC ，因为,E D 分别为,BC AC 的中点，所以11,CE C E EB CD C D DA ====，所以11,ACC BCC 分别是以,AC BC 为斜边的直角三角形，即1111,CC AC CC BC ⊥⊥，又1111,AC BC C BC ⋂=⊂平面11,ABC AC ⊂平面1ABC ，所以1CC ⊥平面1ABC ，又平面1ADC ⋂平面11BEC l CC ==，所以l⊥平面1ABC.【小问2详解】在图②中延长,AD BE 交于点C ，连接CP 并延长交1AC 于点Q ，连接,EP BQ ，所以平面EPQB 即为所求截面，取M 为1AC 的中点，连接PM ，则1124PM AD AC ==，QPM QCA △△，故14QM PM QA AC ==，故()1422413AQ AC ==⨯-.【小问3详解】过1C 作1C H BE ⊥，因为11C E C B =，所以H 为EB 的中点，所以1BH =，连接AH，因为13BH AB B AB ===，所以AB EB ⊥，又1,AH C H H AH ⋂=⊂平面11,AHC C H ⊂平面1AHC ，所以BE ⊥平面1AHC ，连接HQ ，则1C HQ ∠是截面EPQB 与平面1BEC 所成二面角的平面角，即13tan 2C HQ ∠=，在直角1BCC 中，12,4BC BC ==，所以1CC =，在ABC中，由余弦定理可得：222132,cos 1316242113AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯=，所以在直角1ACC △中，2221121129AC AC CC =-=-=，所以13AC =，所以22211AH AC HC =+，所以11HC AC ⊥，因为111tan 2C Q C HG HC ∠===，因为132C Q =，即Q 为1AC 的中点，又D 是AC 的中点，所以P 是1ACC △的重心，所以1122,33C P CD CP CQ ==，211323CPE CQB S S =⨯=△△，故1124C BQPE C CPE C DPE V V V ---==四棱锥三棱锥三棱锥，又1C AQB C BQC V V --=三棱锥三棱锥，故15ABEDQP C ABQ C DPE C BQC C DPE C DPE V V V V V V -----=-=-=几何体三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥，所以145C BQPEABEDQP V V -=四棱锥几何体.。

2020年12月高三质检数学试题及答案

2020年12月高三质检数学试题及答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合A 满足{}{}1,21,2,3,4A ⊆⊆，则集合A 的个数为（） A.2 B.3 C.4 D.8解析：选C 由题可得，集合A 的可能性有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,所以有4个.故选C.2.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（） A.3210x y +-= B.3270x y ++= C.2350x y -+= D.2380x y -+=解析：选A 设所求直线方程为:320l x y n ++=过点(1,2)A -，所以340n -++=，解得1n =-，所以:3210l x y +-=.故选A.3.下列各函数中，与函数y x =是同一个函数的是（）A.2y =B.y =C.yD.0y x x =⋅解析：选 C 通过化简后可知，选项A中2,(0)y x x ==≥，选项B中,(0)y x x ==≥，选项C中y x ==，选项D 中0,(0)y x x x x =⋅=≠.故选C.4.已知tan(3)2x π+=-，则sin cos 2sin 3cos x xx x-+的值为（）A.4B.3C.3-D.4-解析：选B 由tan(3)2x π+=-可得tan 2x =-，所以sin cos tan 12sin 3cos 2tan 3x x x x x x --=++2132(2)3--==⨯-+.故选B. 5.下列各式化简错误的是（） A.21153151a a a-= B.269463()a b a b ---=C.122111333442()()()x y x y x y y --= D.113324115324153525a b cac a b c---=-解析：选D 由题得，2112110531553151a a aaa --++===，所以成立；2226()9()69333()a b ab-⨯--⨯--=46a b -=，所以成立；12212211111101333333442442()()()x y x y x y xyx y y--++-+-===，所以成立；113111135324()2332244115324151533255525a b ca b c ac ac a b c---------=-=-≠-，所以不成立.故选D.6.若实数,x y 满足约束条件3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则y z x =的取值范围是（）A.14[,]23B.1[,2]2C.4[,2]3D.3[,2]4解析：选B 由题可得，该约束条件表示的平面区域是一个三角形区域，其三个顶点坐标分别为(1,2),(3,4),(2,1)，代入目标函数，求得函数值分别为412,,32，所以该目标函数的取值范围是1[,2]2.故选B.7.已知直线,m n 是异面直线，则过直线n 且与直线m 垂直的平面（）A.有且只有一个B.至多有一个C.有一个或无数多个D.不存在解析：选B 若两条异面直线互相垂直，则过直线n 且与直线m 垂直的平面存在，且只有一个；若两条异面直线不垂直，则过直线n 且与直线m 垂直的平面不存在.所以满足的条件的平面至多有一个.故选B.8.设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 由21x -<解得13x <<，由220x x +->解得2x <-或1x >.因为(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的子集，所以“21x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件.故选A.9..若函数()f x 是偶函数，当10x -≤<时，2()41f x x x =-+，则当01x <≤时，函数()f x 的解析式为（）A.241x x ++B.241x x -++C.241x x --D.241x x ---解析：选 A 因为函数是偶函数，所以满足()()f x f x -=.因为01x <≤，所以10x -≤<，所以22()()4()141()f x x x x x f x -=---+=++=.所以当01x <≤，2()41f x x x =++.故选A.10.首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则( ) A.21n n S a =- B.32n n S a =- C.43n n S a =- D.32n n S a =-解析：选D 由题可得，21()2333()2313nn n S -==-⋅-，12()3n n a -=，所以32n n S a =-.故选D.11.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（） A.9π B.10π C.11π D.12π解析：选D 由题可得，该几何体是一个圆柱与球的组合体，所以该几何体的表面积为422312S ππππ=++⨯=.故选D.12.若两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a 的夹角为（） A.6πB.3πC.32π D.65π 解析：选B 因为2a b a b a +=-=，所以a b ⊥且3b a =，所以()cos a b a a b aθ+⋅=+22122aa==，所以夹角为3π.故选B.13.如图所示，已知正四棱锥S ABCD -侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（）A.90B.60C.45D.30解析：选B 连接,AC BD 交于点O ，连接EO ，则//EO SC .所以OEB ∠为所求角.OEB ∆是直角三角形，26,2OE OB ==，所以tan 3OBOEB OE∠==，所以60OEB ∠=.故选B.俯视图正(主)视图侧(左)视图 2 32 214.若函数()y g x =的定义域为[3,5]-，则(21)y g x =+的定义域为（） A.[5,11]- B.[3,5]- C.[2,2]- D.[2,3]- 解析：选C 由题可得，3215x -≤+≤，解得22x -≤≤，所以函数的定义域为[2,2]-.故选C.15.已知双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若1253AF AF =，则双曲线的离心率等于（） A.2 B.3解析：选A 由双曲线的定义式可知：122AF AF a -=，因为1253AF AF =，所以可得：125,3AF a AF a ==，因为122F F c =，由2AF x ⊥轴可知12AF F ∆是以21AF F ∠为直角的直角三角形.故有2224925c c a +=，解得2224c e a==，即2e =.故选A.16.函数2log 1y x =-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：选D 由题可得，令2log 10x -=，解得2log 1x =±，当2log 1x =时，解得2x =，即2x =±；当2log 1x =-，解得12x =，即12x =±.所以函数的零点有4个.故选D.17.若,x y≤恒成立，则实数a 的最小值为（）A.2B.1解析：选 C≤恒成立，即a ≥恒成立，即max a ≥恒成立.因为21112==+≤+=，≤a ≥所以实数a，故选C.18.如图，在长方形ABCD 中，3,1AB BC ==，E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C 时，则K 所形成的轨迹的长度为（）A.2π B.3πC.32D.233解析：选B 由题可得，'D K AE ⊥，所以K 的轨迹是以'AD 为直径的一段圆弧'D K .设'AD 的中点为O ，因为长方形'ABCD 中，3AB =，1BC =，所以'3D AC π∠=，所以'23D OK π∠=，所以K 所形成的轨迹的长度为3π.故选B .非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.已知抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)A ，则p = ，其准线方程为 . 解析：2;1x =- 由题可得，24p =，解得2p =.所以准线方程为12px =-=-. 20.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179d -<<-，则当nS 取最大值时，n 的值为 .解析：9 因为等差数列{}n a 的公差d 满足21179d -<<-，所以{}n a 是递减数列.又因为11a =，0d <，所以令1(1)0n a a n d =+->，即111d a n d d-<=-，因为21179d -<<-，所以19.5110n d <=-<，所以9n ≤.即9n ≤时，0n a >，当10n ≥时，0n a <.所以当9n =时，n S 取到最大值.21.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积4222c b a S -+=，则角C =____________．解析：4π 因为2221sin 42a b c S ab C+-==，所以2222sin 2cos a b c ab C ab C +-==，所以sin cos C C =，即tan 1C =，解得4C π=.22.设,0a b >，且满足21a b +=.若不等式(2)(1)3abt t a t b t +-+-≤-恒成立，则实数t 的取值范围是 .解析：94t ≤ 因为对于任意的正数,0a b >，不等式(2)(1)3abt t a t b t +-+-≤-恒成立，即不等式可转化为1211t a b +≥++恒成立.因为121211()111142a b a b a b ++⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭51159142(1)2(1)44b a a b ++=++≥+=++，当且仅当112(1)2(1)b a a b ++=++，即13a b ==时，取到最小值.因为1211t a b +≥++恒成立，所以有94t ≤. 三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()22C f =，且2c ab =，试判断ABC ∆的形状.解：(1)2()2cos cos 1f x x x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+所以22T ππ==. 所以函数的最小正周期为π. (2)()2sin()226C f C π=+=，因为02C π<<，所以解得3C π=.又因为222222cos c ab a b ab C a b ab ==+-=+-，所以2()0a b -=，即a b =所以ABC ∆是正三角形.24.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点(2,3)P ，且它的离心率21=e . (1)求椭圆的标准方程；(2)与圆1)1(22=++y x 相切的直线:l y kx t =+交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足ON OM λ=+，求实数λ的取值范围.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知得：22222491,1,2a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得4,23,2a b c ===所以椭圆的标准方程为：1121622=+y x . (2)因为直线:l y kx t =+与圆22(1)1x y ++=相切，所以211t kd k-==+，解得212(0)t k t t -=≠. 把y kx t =+代入1121622=+y x 并整理得222(34)8(448)0k x ktx t +++-=. 设1122(,),(,)M x y N x y ，则有122834ktx x k+=-+， 121226()234ty y k x x t k +=++=+，因为1212(,)OC x x y y λ=++所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC 又因为点C 在椭圆上，所以1)43(3)43(4222222222=+++λλk t k t k ，解得22222211134()()1t k t tλ==+++ 因为02>t ，所以 11)1()1(222>++tt 所以102<<λ所以λ的取值范围为)1,0()0,1( -. 25.设函数()(,)f x x x a b a b R =-+∈. (1)当0a >时，求函数()y f x =的单调区间；(2)若不存在正数a ，使得不等式()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数b 的取值范围.解：(1)当0a >时，22,,(),x ax b x a f x x x a b x ax b x a⎧-+≥=-+=⎨-++<⎩当x a ≥时，函数2()f x x ax b =-+在[,)a +∞上单调递增；当x a ≤时，函数2()f x x ax b =-++在(,]2a -∞上单调递增，在[,)2a a 上单调递减. 所以函数()y f x =的单调递增区间为(,]2a -∞和[,)a +∞，单调递减区间为[,)2a a . (2)由题可得，0b ≥时显然成立；当0b <时，()0f x <即b x a x -<-，即b b x a x x<-<-，所以有,b x a xb x a x ⎧+<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩.所以不等式()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立即为max min ,b x a x b x a x ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩由maxb x a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可得1b a +<，由minb x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭可得当10b -<<时，a >；当1b <-时，1b a ->.所以当1b <-时，11b a b +<<-，符合题意的正数a 总是存在的. 当10b -<<时，当1b +≥时符合题意的正数a 不存在，此时解得30b -+≤<.综上可得，3b ≥-+。

河北省邯郸市高三数学12月质量检测试题文新人教A版

注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟。

2、全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。

3.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.集合}22|{<<-=x x A ,}02|{2≤-=x x x B ,则=B A A ．)2,0( B ．]2,0( C. ]2,0[ D. )2,0[ 2.复数1ii -的共轭复数为 A ．i 2121+- B ．i 2121+ C. i 2121-- D. i 2121-3.抛物线的准线方程为4-=y ，则抛物线的标准方程为A ．y x 162=B ．y x 82= C. x y 162= D. x y 82= 4.某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为 A ．4?k > B ．5?k > C ．6?k > D ．7?k > 5.等差数列中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，则该数列前13项的和是 A ．13 B ．26 C ．52 D ．156 6.下列说法正确的是A ．若q p ∧为假，则q p 、均为假.B ．若01,:2>++∈∀x x R x p ，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≤. C ．若1=+b a ，则ba 11+的最小值为4. D ．线性相关系数||r 越接近1，表示两变量相关性越强.7.函数212sin 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为2π的奇函数 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．2π B ．22π C ．3πD ．23π9.如图所示，一游泳者自游泳池边AB 上的D 点，沿DC 方向游了10米,60CDB ∠=,然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池AB 边的概率是A ．16 B ．14 C ．13 D ．1210.若函数x x f y cos )(+=在]43,4[ππ-上单调递减，则)(x f 可以是A ．1B ．x cosC ．x sin -D ．x sin11.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若||||OF OP =，则双曲线的离心率为101010212.若直角坐标平面内B A 、两点满足条件：①点B A 、都在)(x f 的图象上；②点B A 、关于原点对称，则对称点对)(B A 、是函数的一个“兄弟点对”(点对()A B ,与()B A ,可看作一个“兄弟点对”).已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(lg )0(cos )(x x x x x f , 则)(x f 的“兄弟点对”的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高三12月大联考数学(文)试题 pdf版含答案

7.设 a Z ，函数 f (x) ex x a ，命题 p :“ x (1,1), f (x) 0 ”是假命题，则 a 的
取值个数有 A. 4 个 B.3 个 C.2 个 D. l 个
8.已知 m > 0 ,执行如图所本程序框图，若输入的 x = 2020,输出的 y = l2,则 m
n
(xi x)( yi y)
bˆ i1 n
, aˆ y bˆx
(xi x)2
i1
18. (12 分）
已知数列{ an
}满足 a1
1,
(an
an an1 1)(an1 1)
1 2
.
（1）证明数列{
1 an
1
}是等差数列,并求数列{
an
}的通项公式;
（2）设 bn
an an
1 3
，证明 b1b2
A.0 B.1 C.2 D.e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x 3y 6 0 13.已知 x, y 满足约束条件 x y 2 0 ，则 z 2x y 的最大值为 .
x 3
14. 为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节、元宵节、清明节、
某种新型嫁接巨丰葡萄，在新疆地区种植一般亩产不低于 5 千斤，产量高的达到上万斤，受嫁接年限的影响，其产量一般逐年衰减，若在新疆地区不均亩产量低于 5 千斤，则从新嫁接.以下是新疆某地区从 2014 年开始嫁接后每年的不均亩产量单位：千斤）的数据表：
（1）求 y 关于 x 的线性回归方程. （2）利用(1)中的回归直线方程，预计哪一年开始从新嫁接. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
∵PO∩CO＝O，∴AB⊥平面 POC，∴AB⊥PC.(4 分)

河北省邯郸市2020届高三上学期期末考试数学(文)试题

邯郸市2019- 2020学年度第一-学期期末教学质量检测高三文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,21M x x x N x x =--<=-<<，则()R M C N ⋂=（） A ．[]2,1- B ．(]1,1- C ．[)1,3 D ．()2,3- 2. 已知复数z 满足 (1)i z i -=(其中i 为虚数单位)，则z =（）A ．12B ． 2C ． 1 D3.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ． c a b <<D ． b c a << 4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A ．B ．C.D ．5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3121222?··224naa aan +++++=+，则10S =A ．55B ．56 C. 57 D ．586.函数()21sin 21xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭在[]2,2-上的图像大致是（）A ．B ． C. D ．7. 如图，在平行四边形ABCD 中,11,,33AE AB CF CD G ==为EF 的中点，则DG =（）A ．1122AB AD - B ．1122AD AB - C. 1133AB AD - D ．1133AD AB - 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（）A ．3-B ．13 C.12- D ．2 9. 公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O 为圆心的大圆直径为4,以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A ．384ππ++ B ．684ππ++ C. 342ππ++ D ．642ππ++10. 已知双曲线()2222:0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F 过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线,垂足为M ,若三角形12MF F 的面积为22a ，则C 的离心率为（）A ．B C. 2 D 11. 已知正六棱锥 P ABCDEF -的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（）A ．27 B ．27C.9 D ．2712. 已知()cos31cos x f x x =+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐cOs x6 标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（） ①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]2,2-;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()()21310log 0x e x f x x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 14.设函数()()21ln g x x x =++，则曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为． 15.如图，以Ox 为始边作钝角α,角α的终边与单位圆交于点11(),P x y ，将角α的终边顺时针旋转3π得到角β.角β的终边与单位圆相交于点22(),Q x y ，则21x x -的取值范围为．16. 已知过抛物线26y x =焦点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点， 3 ,AF FB =抛物线的准线l 与x 轴交于点,C AM l ⊥于点M ，则四边形ABCM 的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分10分)ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC 的面积21tan 6S b A =(1)证明: 3 b ccos A =; (2)若1,c b ==求S .18. (本小题满分 12分)设正项等比数列{}n a 的前n 项和为1551,,2n S a S a =+是4433;S a S a ++的等差中项. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设222log n n n b a a =+,求{}n b 的前n 项和n T .19. (本小题满分12分)垃圾种类可分为可回收垃圾、干垃圾、湿垃圾、有害垃圾等，为调查中学生对垃圾分类的了解程度，某调查小组随机从本市一中高一的2000名学生(其中女生900人)中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行调查,已知抽取的n 名学生中有男生110人、 (1)求n 值及抽到的女生人数;(2)调查小组请这n 名学生指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”，调查结果如下:求m 值,完成如下22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关?(3)在(2)条件下,从抽取的“比较了解”的学生中仍采用分层抽样的方法抽取6名.再从这6名学生中随机抽取2人作义务讲解员,求抽取的2人中至少一名女生的概率. 参考数据:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++， .n a b c d =+++20. (本小题满分12分)如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,侧棱1BB ⊥底面,ABC D 为1AA 中点,,M N 分别为11,BB CC 上的点，且满足1BM C N =. (1)求证:平面DMN ⊥平面11BCC B , ;(2)若三棱锥1A DMN -,求三棱柱的侧棱长.21. (本小题满分12分)椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上、下顶点分别为,'A A ，离心率为2,'OA 的中点为P ，1',2A P O=为坐标原点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)ABCD 的顶点,B C 在椭圆E 上运动，且直线BC 经过点P P ,求ABCD 的面积的最大值. 22. (本小题满分12分)已知函数()()()ln xe f x a x x a R x=--∈ (1)若()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求证()0f x ≥; (2)若()0f x ≥,求a 的取值范围，高三文科数学参考答案.一、选择题1-5:CBBCC 6-10:AADBD 11、12：BB1.C 2230x x --<得13x -<<，所以{}13M x x =-<<，又{}21R C N x x x =≤-≥或，所以(){}13R M C N x x ⋂=≤<，故选C2.B ()1i z -i =，则()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+，2z ∴==，故选B 3.B00.222log 0.2log 10sin 2122,a c b <=<<=<∴<<，故选B4.C 由题意.该几何体的直观图是一个四棱锥11 A BCC B -.如图所示。

2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}2230,21M x x x N x x =--<=-<<，则()R M C N ⋂=（）A ．[]2,1-B ．(]1,1-C ．[)1,3D ．()2,3-【答案】C【解析】首先分别求出{}13M x x =-<<和{}21R C N x x x =≤-≥或，利用交集定义运算即可. 【详解】2230x x --<得13x -<<，所以{}13M x x =-<<，又{}21R C N x x x =≤-≥或，所以(){}13R M C N x x ⋂=≤<，故选：C 【点睛】本题主要考查集合的补集和集合的交集运算，同时考查了二次不等式，属于简单题. 2．已知复数z 满足 (1)i z i -=(其中i 为虚数单位)，则z =（）A ．12B ．2C ．1 D【答案】B【解析】将复数化简为1122z i =-+，再求模长即可. 【详解】()1i z -=i ，则()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+，2z ==. 故选B 【点睛】本题主要考查了复数运算，同时考查了复数的模长公式，属于简单题.3．已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（）【解析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可. 【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A ．22B ．25C ．26D ．42 【答案】C【解析】将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可. 【详解】由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥11 A BCC B -如图所示.其中AC 为最长棱.由勾股定理得【点睛】本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题. 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3121222?··224n a a a a n +++++=+，则10S =( )A ．55B ．56C ．57D ．58【答案】C【解析】分别求出2n ≥和1n =的通项公式，在求10S 即可. 【详解】因为3121222224n a a a a n +++++=+……①，所以2n ≥时，3112222224n a a a a n -++++=+……②，②-①得12222n a n n n +=-=，所以2n ≥时，n a n =. 当1n =时，1232242a =+=. 所以13a =不合适n a n =，所以3,1,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩所以103231057S =++++=……. 故选：C 【点睛】本题主要考查由数列前n 项和求通项公式，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 6．函数2()(1)sin 21xf x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断出()f x 是偶函数，排除C 、D ，再由()1f 的正负排除B ，从而得到答案. 【详解】因为()()21sin 21xf x x -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭2221sin 1sin ()1221x xx x x f x ⎛⎫⋅⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当1x =时，1(1)sin103f =-<，排除B ，故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题. 7．如图，在平行四边形ABCD 中,11,,33AE AB CF CD G ==为EF 的中点，则DG =u u u r （）A ．1122AB AD -u u ur u u u rB ．1122AD AB -u u ur u u u rC ．1133AB AD -u u ur u u u rD ．1133AD AB -u u ur u u u r【答案】A【解析】利用向量的加减法的几何意义将DG u u u r转化为AB u u u r ，AD u u u r 即可.【详解】1122DG DE DF =+u u u r u u u r u u u r112()223DA AE DC =++⋅u u ur u u u r u u u r 111()AD AB AB =-++u u ur u u u r u u u r1122AB AD =-u u ur u u u r 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题. 8．执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（）A ．3-B ．13C ．12-D ．2【答案】D【解析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a 的值，可发现周期为4，即可得到2020i =，2a =，2021i =，此时输出2a =. 【详解】1i =，3a =-.2i =，12a =-.3i =，13a =.4i =，2a =.5i =，3a =-.可发现周期4，2020i =，2a =，2021i =. 此时输出2a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键，属于简单题.9．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O 为圆心的大圆直径为4,以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A ．384ππ++B ．684ππ++C ．342ππ++D ．642ππ++【答案】B【解析】分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可. 【详解】上方阴影部分的面积等于AOB V 的面积12222AOB S =⨯⨯=V . 下方阴影部分面积等于212122214422πππ⎛⨯⨯--=+ ⎝. 所以根据几何概型得所求概率：21624284P ππππ+++==++. 故选：B 【点睛】本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题.10．已知双曲线()2222:0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F 过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线,垂足为M ,若三角形12MF F 的面积为22a ，则C 的离心率为（） A ．2 B 3C ．2D 5【答案】D【解析】将三角形12MF F 的面积转化成1212MF F MOF MOF S S S =+V V V ，分别计算1MOF S V ，2MOF S V ，得到等式22ab a =，再化简计算离心率即可.由题得()2,0F c ，不妨设:0l bx ay -=，则222bc MF b a b==+（也可记住结论).2221,OM OF OF a =-=因为1221122MOF MOF S S OM MF ab ===V V . 所以12122222MF F MOF MOF MOF S S S S ab a =+===V V V V ，即：2b a =.所以22225c a b a =+=，所以25e =，即：5e =.故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，将已知三角形12MF F 的面积为22a 转化为数学等式22ab a =，是常见的求离心率的方法，属于中档题.11．已知正六棱锥 P ABCDEF -的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（）A ．83B ．3C ．83D ．32327【答案】B【解析】首先过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =.然后计算出正六棱锥的体积()232V h h h =-.设()()232f x x x x =-，利用导数求出设()f x 最大值即可得到正六棱锥体积的最大值. 【详解】过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =. 在Rt AOM V 中有()2211h a -+=，即222a h h =-. 正六棱锥的体积()221113362332V Sh h h h ==⨯⨯=-. 设()()232f x x x x =-. 由()233'302f x x x =-=得43x =.()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当43x =时()f x 163. 163. 故选：B 【点睛】题的关键，属于难题. 12．已知()cos31cos x f x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】首先通过三角化简得到()2cos2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈，通过平移变换得到()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.再进一步求出()g x 的周期、奇偶、值域、对称即可得到答案. 【详解】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+， cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x xx x-=+=.即：()2cos2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈. ①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确. ②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误. ③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确 ④因为,62k x k Z ππ≠+∈.故()g x 图象不是中心对称图形,故④错误.. 综上,正确的个数为2.【点睛】本题为三角函数的章内综合题，考查了三角函数的化简、周期、奇偶、对称、以及平移变换.属于难题.二、填空题13．已知函数()()()21310log 0x e x f x x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】1-【解析】首先求出1ln 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，再代入1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】()2ln 2ln 41ln ln 21132f f e e ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭， ()131ln 3log 312f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了分段函数和对数的运算，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题. 14．设函数()()21ln g x x x =++，则曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为________．【答案】510--=x y【解析】首先求导，然后代入切点横坐标得到斜率，再求出切点纵坐标，用点斜式即可得到切线方程. 【详解】()()21ln g x x x =++，()()121g x x x'=++. 因为4(1)g =，(1)5g '=，所以曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为510--=x y .故答案为：510--=x y本题主要考查导数的几何意义：切线问题，同时考查了直线方程的点斜式，属于简单题. 15．如图，以Ox 为始边作钝角α,角α的终边与单位圆交于点11(),P x y ，将角α的终边顺时针旋转3π得到角β.角β的终边与单位圆相交于点22(,)Q x y ，则21x x -的取值范围为__________．【答案】1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】首先把21x x -根据三角函数的定义以及两角和差公式表示为21x x -sin 6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据α的范围求值域即可.【详解】由已知得3πβα=-，1cos x α=，2cos cos 3x πβα⎛⎫==- ⎪⎝⎭.所以21cos cos cos cos 3x x πβααα⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭13cos 2αα=-sin 6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为2παπ<<，所以5366πππα<-<. 所以1sin ,162πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 即：21x x -的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，两角和差公式，以及三角函数的值域问题，属于中档题. 16．已知过抛物线26y x =焦点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点， 3 ,AF FB =u u u r u u u r抛物线的准线l 与x 轴交于点,C AM l ⊥于点M ，则四边形ABCM 的面积为__________．【答案】153【解析】首先过B 作BN l ⊥于，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =.再算出BNMA S V ，BCN S V ，相减即可得到ABCM S V . 【详解】过B 作BN l ⊥于，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =.60BAM ∴∠=o ，332CF p m ∴===. 2m ∴=，36AM m ==.3sin 60443MN AB m ===o 3sin 60333MC AF m ===o 3NC MN MC =-.()1115322ABCM BNMA BCN S S S BN AM MN BN CN ∴=-=+-=V V V g g g 故答案为：153【点睛】本题主要考查了抛物线的几何意义，将不规则图形转换为规则图形的差是解决本题的关键，考查了学生的转换能力，属于难题.三、解答题17．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =;(2)若1,c a ==,求S .【答案】(1)证明解析,(2)2【解析】（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos AA A=代入即可.（2）因为1c =，a =3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22cos 3A =，cos A =tan A ⇒=，b =16622S =⨯⨯=. 【详解】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b Ac A A=，又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =. （2）由（1）得3b ccosA =.因为1c =，a =3b cosA =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2229cos 16cos A A =+-,解得：22cos 3A =.因为3b cosA =，所以cos 0A >，cos A =.tan 2A ⇒=，b =.211tan 66622S b A ==⨯⨯=.本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题.18．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为1551,,2n S a S a =+是4433;S a S a ++的等差中项.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设222log n n n b a a =+,求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)12n n a = (2)n T ()111134n n n ⎛⎫=--+⎪⎝⎭【解析】（1）由已知得到()5544332S a S a S a +=+++，化简即可得到12q =，12n n a =. （2）将n b 化简得到124n nb n =-，利用分组求和即可得到n T . 【详解】因为55S a +是44S a +，33S a +的等差中项，所以()5544332S a S a S a +=+++.5453345()()2S S S S a a a -+-=+-， 5453452a a a a a a ++=+-，解得：253144a a q =⇒=. 因为{}n a 为正项数列，所以12q =. 所以1112n n n a a q -==g. （2）222211log 2224n n n n n b a a n n ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ()11122441214n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-- ()111134n n n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.本题第一问主要考查等差，等比数列综合问题，第二问考查了数列求和中的分组求和，计算是解决本题的关键，属于中档题.19．垃圾种类可分为可回收垃圾、干垃圾、湿垃圾、有害垃圾等，为调查中学生对垃圾分类的了解程度，某调查小组随机从本市一中高一的2000名学生(其中女生900人)中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行调查,已知抽取的n名学生中有男生110人、(1)求n值及抽到的女生人数;(2)调查小组请这n名学生指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”，调查结果如下:求m值,完成如下22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关?(3)在(2)条件下,从抽取的“比较了解”的学生中仍采用分层抽样的方法抽取6名.再从这6名学生中随机抽取2人作义务讲解员,求抽取的2人中至少一名女生的概率.参考数据:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++， .n a b c d =+++ 【答案】(1)90,(2) 没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.(3)45【解析】（1）由题知：11020001100n =，解方程即可. （2）根据抽取的女生人数为90人，得到152********m m ++++++=，解得5m =.再填表，带入2K 公式即可.（3）首先算出“比较了解”的学生男女人数，再列出全部基本事件和至少一名女生的基本事件，带入古典概型公式即可. 【详解】（1）由题知：11020001100n =，解得：200n =，女生人数为：20011090-=. （2）由已知得抽取的女生人数为90人，所以152********m m ++++++=，解得5m =. 根据题意得列联表如下：()2220060505040 2.020 2.70610010090110K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关. （3）从100名“比较了解”的学生中采用分层抽样的方法抽取6名，抽取的男女生各3人.记样本中的3名女生为,,A B C ，3名男生为,,a b c . 从这6人中随机抽取2人，基本事件分别为：共,, ,,,, ,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc ab ac bc 15种.至少一名女生的基本事件为,, ,,,, ,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 共12种，故所求的概率为124155P ==. 【点睛】本题第一问考查了分层抽样，第二问考查了独立性检验，第三问考查了古典概型，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.20．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,侧棱1BB ⊥底面,ABC D 为1AA 中点,,M N 分别为11,BB CC 上的点，且满足1BM C N =.(1)求证:平面DMN ⊥平面11BCC B , ;(2)若三棱锥1A DMN -的体积为3,求三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析,(2)6【解析】（1）分别取,MN BC 中点,E F ，连接,,DE AF EF ，首先证明AF BC ⊥，1BB AF ⊥，得到AF ⊥平面11BCC B .再证明//DE AF ，可得到DE ⊥平面11BCC B .又因为DE ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B . （2）将1A DMN V -转化为1M A DN V -，计算即可得到m 的值. 【详解】（1）分别取,MN BC 中点,E F ，连接,,DE AF EF .因为ABC V 为正三角形，F 为BC 中点所以AF BC ⊥.又因为1BB ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC . 所以1BB AF ⊥，1BB BC B =I ，所以AF ⊥平面11BCC B . 因为,E F 分别为,MN BC 中点，所以//EF CN 且()12EF BM NC =+, 又因为1BM C N =，1BM NC CC += 所以112EF CC =. 因为D 为1AA 中点，所以112AD AA =. 因为11//AA CC 且11AA CC =，所以1//AD CC 且112AD CC =. 所以//AD EF 且 AD EF =，所以四边形ADEF 为平行四边形. 所以//DE AF因为AF ⊥平面11BCC B ⇒DE ⊥平面11BCC B .DE ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B .（2）设侧棱长为m ，则1AA m =，112A D m =. 11112222A DN S m m =⨯⨯=V过B 作BH AC ⊥于H ，与（1）同理可证BH ⊥平面11ACC A . 因为//BM平面11ACC A .所以M 到平面11ACC A 的距离B =到平面11ACC A 的距离BH =.因为ABC V 为正三角形，所以22BH =⨯=.11113A DMN M A DN A DN V V S BH --==⨯⨯==V 解得：6m =. 【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查求三棱锥的体积，等体积转化是解决三棱锥体积的常用方法，属于中档题.21．椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上、下顶点分别为,'A A ，离心率为2,'OA 的中点为P ，1',2A P O =为坐标原点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)ABCD Y 的顶点,B C 在椭圆E 上运动，且直线BC 经过点P ,求ABCD Y 的面积的最大值.【答案】(1) 2214x y +=,(2)【解析】（1）由题知得到221a c -=①，c a =，联立①②即可求出椭圆的标准方程.（2）首先将平行四边形ABCD 的面积转化为2个ABC V 的面积，然后求ABC V 的面积的最大值即可求出平行四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意得'1A O =，即1b =，则221a c -=①.22c c a =⇒=Q ②.联立①②得2,a c ==∴椭圆E 的标准方程为2214x y +=. ()2如图，连接AC ，则1(0,)2P -.由题意知直线BC 的斜率存在. 设直线BC 的方程为12y kx =-，11(,)B x y ，22(,)C x y . 联立221412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2214430k x kx +--=122414k x x k ∴+=+，122314x x k-=+. ()()()222121212224163414k x x x x x x k +-=+-=+.又32AP =，()()221241631133163222214ABC k k S AP x x k ++∴=-==+V g g 令22231633(3)16m m k k m -=+≥⇒=≥，ABCS ∴=V 2361321416m m m m =⎛⎫-++ ⎪⎝⎭g . 令()(13g m m m m=+≥，易知()g m 在)3,+∞单调递增.3m ∴=()min 43g m =，()min33ABC S =V 又2ABCD ABC S S =Y V ，()min 33ABCD S ∴=Y ∴平行四边形ABCD 面积的最大值为33【点睛】本题第一问考查椭圆的基本概念和标准方程，第二问考查了直线与椭圆的位置关系，将平行四边形ABCD 的面积转化为2个ABC V 的面积，是解决第二问的关键，属于难题.22．已知函数()()()ln xe f x a x x a R x=--∈ (1)若()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求证()0f x ≥;(2)若()0f x ≥,求a 的取值范围，【答案】(1) ()f x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增()()10f x f ≥=,(2) (,]e -∞【解析】（1）首先根据()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求出a 的值，然后要证明()0f x ≥，只需证明min ()0f x ≥即可. （2）将()0f x ≥转化为()ln x e a x x x ≤-，求()()ln xe h x x x x =-的最小值即可. 【详解】（1）因为()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，所以()10f e a =-=，解得：a e =.函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()21e e x x x f x x --'=. 令()x g x e ex '=-，则()e e x g x '=-. 令()0g x '=，1x =.当1x <时，()'0g x <.当1x >时，()'0g x >.所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.所以()(10)g x g ≥=.即0x e ex -≥，仅当1x =时取等号.所以当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.()() 10f x f ≥=，即证.（2）由（1）知x e ex ≥，所以当0x >时，()ln ln xe ex ≥，得10x lnx -≥>.由()()ln 0xe f x a x x x=--≥，得()ln x e a x x x ≤-. 问题转化为()minln xe a x x x ⎛⎫≤ ⎪ ⎪-⎝⎭.令()()ln xe h x x x x =- ，则()()()()2211ln ln x e x x x h x x x x ---'=-. 因为0x e >，1ln 0x x --≥(仅当1x =时取等号)，()22ln 0x x x ->.所以当01x <<时，'()0h x <，当1x >时，'()0h x >.所以()h x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞.所以()()min 1h x h e ==.所以a 的取值范围是(,]e -∞.【点睛】本题第一问和第二问都考查了导数应用中的最值以及恒成立问题，同时考查了学生的转化思想，属于难题.。

2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}2230,21M x x x N x x =--<=-<<，则()R M C N ⋂=（）A ．[]2,1-B ．(]1,1-C ．[)1,3D ．()2,3-【答案】C【解析】首先分别求出{}13M x x =-<<和{}21R C N x x x =≤-≥或，利用交集定义运算即可. 【详解】2230x x --<得13x -<<，所以{}13M x x =-<<，又{}21R C N x x x =≤-≥或，所以(){}13R M C N x x ⋂=≤<，故选：C 【点睛】本题主要考查集合的补集和集合的交集运算，同时考查了二次不等式，属于简单题. 2．已知复数z 满足 (1)i z i -=(其中i 为虚数单位)，则z =（）A ．12B 2C ．1D 2【答案】B【解析】将复数化简为1122z i =-+，再求模长即可. 【详解】()1i z -=i ，则()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+，22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选B 【点睛】本题主要考查了复数运算，同时考查了复数的模长公式，属于简单题.3．已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（）A ．a b c <= 所以a c b <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题. 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A ．22B ．25C ．26D ．42 【答案】C【解析】将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可. 【详解】由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥11 A BCC B -如图所示.其中1AC 为最长棱.由勾股定理得222142226AC =++=故选：C 【点睛】本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3121222?··224n a a a a n +++++=+，则10S =( ) A ．55 B ．56C ．57D ．58【答案】C【解析】分别求出2n ≥和1n =的通项公式，在求10S 即可. 【详解】因为3121222224n a a a a n +++++=+……①，所以2n ≥时，3112222224n a a a a n -++++=+……②，②-①得12222n a n n n +=-=，所以2n ≥时，n a n =. 当1n =时，1232242a =+=. 所以13a =不合适n a n =，所以3,1,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩所以103231057S =++++=……. 故选：C 【点睛】本题主要考查由数列前n 项和求通项公式，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 6．函数2()(1)sin 21xf x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断出()f x 是偶函数，排除C 、D ，再由()1f 的正负排除B ，从而得到答案. 【详解】因为()()21sin 21xf x x -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭2221sin 1sin ()1221x xx x x f x ⎛⎫⋅⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当1x =时，1(1)sin103f =-<，排除B ，故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题. 7．如图，在平行四边形ABCD 中,11,,33AE AB CF CD G ==为EF 的中点，则DG =u u u r （）A ．1122AB AD -u u ur u u u rB ．1122AD AB -u u ur u u u rC ．1133AB AD -u u ur u u u rD ．1133AD AB -u u ur u u u r【答案】A【解析】利用向量的加减法的几何意义将DG u u u r转化为AB u u u r ，AD u u u r 即可.【详解】1122DG DE DF =+u u u r u u u r u u u r112()223DA AE DC =++⋅u u ur u u u r u u u r 111()233AD AB AB =-++u u ur u u u r u u u r 1122AB AD =-u u ur u u u r 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题. 8．执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（）A ．3-B ．13C ．12-D ．2【答案】D【解析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a 的值，可发现周期为4，即可得到2020i =，2a =，2021i =，此时输出2a =.【详解】1i =，3a =-.2i =，12a =-.3i =，13a =.4i =，2a =.5i =，3a =-.可发现周期4，2020i =，2a =，2021i =. 此时输出2a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键，属于简单题.9．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O 为圆心的大圆直径为4,以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A ．384ππ++B ．684ππ++C ．342ππ++D ．642ππ++【答案】B【解析】分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可. 【详解】上方阴影部分的面积等于AOB V 的面积12222AOB S =⨯⨯=V .下方阴影部分面积等于212122214422πππ⎛⎫⨯⨯--⨯⨯=+ ⎪⎝⎭. 所以根据几何概型得所求概率：21624284P ππππ+++==++. 故选：B 【点睛】本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题.10．已知双曲线()2222:0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F 过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线,垂足为M ,若三角形12MF F 的面积为22a ，则C 的离心率为（） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D【解析】将三角形12MF F 的面积转化成1212MF F MOF MOF S S S =+V V V ，分别计算1MOF S V ，2MOF S V ，得到等式22ab a =，再化简计算离心率即可. 【详解】由题得()2,0F c ，不妨设:0l bx ay -=，则222bc MF b a b==+（也可记住结论).2221,OM OF OF a =-=因为1221122MOF MOF S S OM MF ab ===V V . 所以12122222MF F MOF MOF MOF S S S S ab a =+===V V V V ，即：2b a =.所以22225c a b a =+=，所以25e =，即：5e =.故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，将已知三角形12MF F 的面积为22a 转化为数学等式22ab a =，是常见的求离心率的方法，属于中档题.11．已知正六棱锥 P ABCDEF -的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（）A ．8327 B ．327C 83D 323【答案】B【解析】首先过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =.然后计算出正六棱锥的体积()232V h h =-.设()()2322f x x x x =-，利用导数求出设()f x 最大值即可得到正六棱锥体积的最大值. 【详解】过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =. 在Rt AOM V 中有()2211h a -+=，即222a h h =-. 正六棱锥的体积()22111336233222V Sh a h h h h ==⨯⨯⨯=-. 设()()2322f x x x x =-. 由()233'230f x x x =-=得43x =. ()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当43x =时()f x 163. 所以正六棱锥体积的最大值为16327. 故选：B 【点睛】本题主要考查了正六面体的外接球和体积，将体积的最大值用导数的方法求解是解决本题的关键，属于难题. 12．已知()cos31cos x f x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（） ①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】首先通过三角化简得到()2cos2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈，通过平移变换得到()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.再进一步求出()g x 的周期、奇偶、值域、对称即可得到答案. 【详解】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+， cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x xx x-=+=.即：()2cos2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈. ①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确. ②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误. ③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确 ④因为,62k x k Z ππ≠+∈.故()g x 图象不是中心对称图形,故④错误.. 综上,正确的个数为2. 故选：B 【点睛】本题为三角函数的章内综合题，考查了三角函数的化简、周期、奇偶、对称、以及平移变换.属于难题.二、填空题13．已知函数()()()21310log 0x e x f x x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】1-【解析】首先求出1ln 2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，再代入1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】()2ln 2ln 41ln ln 21132f f e e ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭， ()131ln 3log 312f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了分段函数和对数的运算，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题. 14．设函数()()21ln g x x x =++，则曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为________．【答案】510--=x y【解析】首先求导，然后代入切点横坐标得到斜率，再求出切点纵坐标，用点斜式即可得到切线方程. 【详解】()()21ln g x x x =++，()()121g x x x'=++. 因为4(1)g =，(1)5g '=，所以曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为510--=x y .故答案为：510--=x y 【点睛】本题主要考查导数的几何意义：切线问题，同时考查了直线方程的点斜式，属于简单题.15．如图，以Ox 为始边作钝角α,角α的终边与单位圆交于点11(),P x y ，将角α的终边顺时针旋转3π得到角β.角β的终边与单位圆相交于点22(,)Q x y ，则21x x -的取值范围为__________．【答案】1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】首先把21x x -根据三角函数的定义以及两角和差公式表示为21x x -sin 6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据α的范围求值域即可. 【详解】由已知得3πβα=-，1cos x α=，2cos cos 3x πβα⎛⎫==-⎪⎝⎭. 所以21cos cos cos cos 3x x πβααα⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭13cos 22αα=-+sin 6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为2παπ<<，所以5366πππα<-<. 所以1sin ,162πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.即：21x x -的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：1,12⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了三角函数的定义，两角和差公式，以及三角函数的值域问题，属于中档题.16．已知过抛物线26y x =焦点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点， 3 ,AF FB =u u u r u u u r抛物线的准线l 与x 轴交于点,C AM l ⊥于点M ，则四边形ABCM 的面积为__________．【答案】3【解析】首先过B 作BN l ⊥于，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =.再算出BNMA S V ，BCN S V ，相减即可得到ABCM S V . 【详解】过B 作BN l ⊥于，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =.60BAM ∴∠=o ，332CF p m ∴===. 2m ∴=，36AM m ==.3sin 604432MN AB m ==⨯=o 3sin 603332MC AF m ==⨯=o 3NC MN MC =-=()1115322ABCM BNMA BCN S S S BN AM MN BN CN ∴=-=+-=V V V g g g 故答案为：3【点睛】本题主要考查了抛物线的几何意义，将不规则图形转换为规则图形的差是解决本题的关键，考查了学生的转换能力，属于难题.三、解答题17．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =; (2)若1,3c a ==求S .【答案】(1)证明解析,(2)22【解析】（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos A A A=代入即可. （2）因为1c =，3a =3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22cos 3A =，6cos 3A =2tan 2A ⇒=，6b =⇒1226622S =⨯⨯=. 【详解】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b Ac A A=，又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =. （2）由（1）得3b ccosA =. 因为1c =，3a =3b cosA =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2223)9cos 16cos A A =+-,解得：22cos 3A =. 因为3b cosA =，所以cos 0A >，6cos A =. 2tan A ⇒=，6b =. 21122tan 66622S b A ==⨯⨯=. 【点睛】本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题. 18．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为1551,,2n S a S a =+是4433;S a S a ++的等差中项. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设222log n n n b a a =+,求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)12n n a =(2)n T ()111134n n n ⎛⎫=--+⎪⎝⎭【解析】（1）由已知得到()5544332S a S a S a +=+++，化简即可得到12q =，12n n a =. （2）将n b 化简得到124n nb n =-，利用分组求和即可得到n T . 【详解】因为55S a +是44S a +，33S a +的等差中项，所以()5544332S a S a S a +=+++.5453345()()2S S S S a a a -+-=+-， 5453452a a a a a a ++=+-，解得：253144a a q =⇒=. 因为{}n a 为正项数列，所以12q =. 所以1112n n na a q -==g. （2）222211log 2224n n n n n b a a n n ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ()11122441214n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-- ()111134n n n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题第一问主要考查等差，等比数列综合问题，第二问考查了数列求和中的分组求和，计算是解决本题的关键，属于中档题.19．垃圾种类可分为可回收垃圾、干垃圾、湿垃圾、有害垃圾等，为调查中学生对垃圾分类的了解程度，某调查小组随机从本市一中高一的2000名学生(其中女生900人)中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行调查,已知抽取的n 名学生中有男生110人、 (1)求n 值及抽到的女生人数;(2)调查小组请这n 名学生指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”，调查结果如下:0项1项2项3项4项5项5项以上男生（人） 4 22 34 18 16 10 6 女生（人） 0 1520+m20169m求m 值,完成如下22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关?不太了解比较了解合计男生女生合计(3)在(2)条件下,从抽取的“比较了解”的学生中仍采用分层抽样的方法抽取6名.再从这6名学生中随机抽取2人作义务讲解员,求抽取的2人中至少一名女生的概率. 参考数据:()20P K k ≥0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.0763.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++， .n a b c d =+++ 【答案】(1)90,(2) 没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.(3)45【解析】（1）由题知：11020001100n =，解方程即可. （2）根据抽取的女生人数为90人，得到152********m m ++++++=，解得5m =.再填表，带入2K 公式即可.（3）首先算出“比较了解”的学生男女人数，再列出全部基本事件和至少一名女生的基本事件，带入古典概型公式即可. 【详解】（1）由题知：11020001100n =，解得：200n =，女生人数为：20011090-=. （2）由已知得抽取的女生人数为90人，所以152********m m ++++++=，解得5m =. 根据题意得列联表如下：不太了解比较了解合计男生 60 50 110 女生 405090 合计 100 100200()2220060505040 2.020 2.70610010090110K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关. （3）从100名“比较了解”的学生中采用分层抽样的方法抽取6名，抽取的男女生各3人.记样本中的3名女生为,,A B C ，3名男生为,,a b c . 从这6人中随机抽取2人，基本事件分别为：共,, ,,,, ,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc ab ac bc 15种.至少一名女生的基本事件为,, ,,,, ,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 共12种，故所求的概率为124155P ==. 【点睛】本题第一问考查了分层抽样，第二问考查了独立性检验，第三问考查了古典概型，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.20．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,侧棱1BB ⊥底面,ABC D 为1AA 中点,,M N 分别为11,BB CC 上的点，且满足1BM C N =.(1)求证:平面DMN ⊥平面11BCC B , ;(2)若三棱锥1A DMN -3求三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析,(2)6【解析】（1）分别取,MN BC 中点,E F ，连接,,DE AF EF ，首先证明AF BC ⊥，1BB AF ⊥，得到AF ⊥平面11BCC B .再证明//DE AF ，可得到DE ⊥平面11BCC B .又因为DE ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B .（2）将1A DMN V -转化为1M A DN V -，计算即可得到m 的值. 【详解】（1）分别取,MN BC 中点,E F ，连接,,DE AF EF . 因为ABC V 为正三角形，F 为BC 中点所以AF BC ⊥.又因为1BB ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC . 所以1BB AF ⊥，1BB BC B =I ，所以AF ⊥平面11BCC B . 因为,E F 分别为,MN BC 中点，所以//EF CN 且()12EF BM NC =+, 又因为1BM C N =，1BM NC CC += 所以112EF CC =. 因为D 为1AA 中点，所以112AD AA =. 因为11//AA CC 且11AA CC =，所以1//AD CC 且112AD CC =. 所以//AD EF 且 AD EF =，所以四边形ADEF 为平行四边形.所以//DE AF因为AF ⊥平面11BCC B ⇒DE ⊥平面11BCC B .DE ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B .（2）设侧棱长为m ，则1AA m =，112A D m =. 11112222A DN S m m =⨯⨯=V过B 作BH AC ⊥于H ，与（1）同理可证BH ⊥平面11ACC A . 因为//BM平面11ACC A .所以M 到平面11ACC A 的距离B =到平面11ACC A 的距离BH =. 因为ABC V 为正三角形，所以323BH ==1111333A DMN M A DN A DN V V S BH --==⨯⨯==V 解得：6m =. 【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查求三棱锥的体积，等体积转化是解决三棱锥体积的常用方法，属于中档题.21．椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上、下顶点分别为,'A A ，3'OA 的中点为P ，1',2A P O =为坐标原点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)ABCD Y 的顶点,B C 在椭圆E 上运动，且直线BC 经过点P ,求ABCD Y 的面积的最大值.【答案】(1) 2214x y +=,(2) 33【解析】（1）由题知得到221a c -=①，32c a =②，联立①②即可求出椭圆的标准方程. （2）首先将平行四边形ABCD 的面积转化为2个ABC V 的面积，然后求ABC V 的面积的最大值即可求出平行四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意得'1A O =，即1b =，则221ac -=①.3322c c a =⇒=Q ②. 联立①②得2,3a c ==.∴椭圆E 的标准方程为2214x y +=. ()2如图，连接AC ，则1(0,)2P -.由题意知直线BC 的斜率存在. 设直线BC 的方程为12y kx =-，11(,)B x y ，22(,)C x y . 联立221412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2214430k x kx +--=122414k x x k ∴+=+，122314x x k-=+. ()()()222121212224163414k x x x x x x k +-=+-=+.又32AP =，()()221241631133163222214ABC k k S AP x x k ++∴=-==+V g g 令22231633(3)16m m k k m -=+≥=≥，ABCS ∴=V 2361321416m m m m =⎛⎫-++ ⎪⎝⎭g . 令()(13g m m m m=+≥，易知()g m 在)3,+∞单调递增.3m ∴=()min 433g m =，()min332ABC S =V . 又2ABCD ABC S S =Y V ，()min 33ABCD S ∴=Y ∴平行四边形ABCD 面积的最大值为33【点睛】本题第一问考查椭圆的基本概念和标准方程，第二问考查了直线与椭圆的位置关系，将平行四边形ABCD 的面积转化为2个ABC V 的面积，是解决第二问的关键，属于难题.22．已知函数()()()ln xe f x a x x a R x=--∈(1)若()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求证()0f x ≥; (2)若()0f x ≥,求a 的取值范围，【答案】(1) ()f x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增()()10f x f ≥=,(2) (,]e -∞ 【解析】（1）首先根据()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求出a 的值，然后要证明()0f x ≥，只需证明min ()0f x ≥即可.（2）将()0f x ≥转化为()ln x e a x x x ≤-，求()()ln xe h x x x x =-的最小值即可.【详解】（1）因为()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，所以()10f e a =-=，解得：a e =. 函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()21e e x x x f x x --'=.令()xg x e ex '=-，则()e e xg x '=-.令()0g x '=，1x =.当1x <时，()'0g x <.当1x >时，()'0g x >. 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 所以()(10)g x g ≥=.即0x e ex -≥，仅当1x =时取等号.所以当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.()() 10f x f ≥=，即证.（2）由（1）知x e ex ≥，所以当0x >时，()ln ln xe ex ≥，得10x lnx -≥>. 由()()ln 0xe f x a x x x=--≥，得()ln x e a x x x ≤-. 问题转化为()minln xe a x x x ⎛⎫≤ ⎪ ⎪-⎝⎭.令()()ln xe h x x x x =- ，则()()()()2211ln ln x e x x x h x x x x ---'=-. 因为0x e >，1ln 0x x --≥(仅当1x =时取等号)，()22ln 0x x x ->.所以当01x <<时，'()0h x <，当1x >时，'()0h x >.所以()h x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞.所以()()min 1h x h e ==.所以a 的取值范围是(,]e -∞.【点睛】本题第一问和第二问都考查了导数应用中的最值以及恒成立问题，同时考查了学生的转化思想，属于难题.。

2020届高三数学上学期12月阶段性检测卷

Read xIf x ≤0Theny ←x 2＋1Elsey ←ln x EndIf Print y（第4题）2020届高三数学上学期12月阶段性检测卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则A B ⋂=▲．2.设i 是虚数单位，若ai iz ++=11是实数，则实数=a ▲．3.在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为▲．4.根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为▲．5.若从2，3，6三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，则“ab是整数”的概率为___▲_____．6.在等差数列{a n }中，若a 5＝12，8a 6＋2a 4＝a 2，则{a n }的前6项和S 6的值为__▲______．7.已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为___▲_____．8.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，P 为△ABC 所在平面内的一点，满足CP →＝32PB →＋2PA →，则CP →·AB →的值为▲．9.若函数)2()2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称，则)4(πf =▲．10.已知点(),P x y 在由不等式组301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩确定的平面区域内，O 为坐标原点，点()1,2A -，则AOP OP ∠cos 的最大值是▲．11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为▲．12.已知x ，y 为正实数，则4x4x ＋y ＋y x ＋y的最大值为▲．CABD PE第16题hrh（第17题）4513.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为▲．14.已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则x 1+x 2的取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222()tan 3b c a A bc +-=．（1）求角A ；（2）若2a =，ABC ∆的面积=3S ，求11b c+的值．16．（本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点.(1)求证:∥PD面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .17．（本小题满分14分）如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1cm ，母线与底面所成的角为o45；圆柱的高为h 2cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，圆锥侧面造价为2a 元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？（第18题）xyBMO F 2F 1A 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且MA OM =．若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．19．（本小题满分16分）已知函数(),()ln xxf x e axg x e x =+=（e 是自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-的切线，求a 的值；（2）若对于任意,()0x f x ∈>R 恒成立，试确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由.20．本小题满分16分）已知数列{a n }满足2*12(n N )n a a a n +++=∈L .（1）求数列{a n }的通项公式；（2）对任意给定的*k N ∈，是否存在*,(k p r)p r N ∈<<，使得111,,k p ra a a 成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a .(附加题)（满分40分，考试时间30分钟）1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.3、如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，BC ＝233，AB ＝1，BD ＝PA ＝2．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（2）求二面角A －PD －C 的余弦值．4、已知抛物线2:4C y x =，过直线:2l x =-上任意一点A 向抛物线C 引两条切线,AS AT （切点为,S T ，且点S 在x 轴上方）.（1）求证：直线ST 过定点，并求出该定点；（2）抛物线C 上是否存在点B ，使得BS BT ⊥？。

河北省邯郸市曲周县高三数学上学期12月质量检测试题(

河北省邯郸市曲周县2018届高三数学上学期12月质量检测试题（四）文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1345}A =，，，，集合2{|450}B x x x =∈--<Z ，则A B 的元素个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.复数2i 1iz -=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（）A ．π4 B ．4π C ．4π4- D ．π 4.设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a b ⊥的充分条件为（） A ．a c ⊥，b c ⊥ B ．αβ⊥，a α⊂，b β⊂ C.a α⊥，b α∥ D ．a α⊥，b α⊥5.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点与抛物线220y x =的焦点重合，且渐近线方程为43y x =±，则双曲线C 的方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C.2213664x y -= D ．2216436x y -=6.已知函数1()cos 2f x x =的图象向右平移π个单位得到函数()y g x =的图象，则π3g ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A B ．12 C. D ．12- 7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．．0 D 8.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）A ．π22+B ．π23+ C.π43+ D ．π42+9.已知函数()f x x =0x >），()x g x x e =+，()ln h x x x =+的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（）A ．123x x x <成立，则（） A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B ．3(ln 2)2(ln3)f f =C.3(ln 2)2(ln3)f f < D ．3(ln 2)f 与2(ln3)f 的大小不确定12.如图，已知F 为抛物线22y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，3OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与BFO △面积之差的最小值是（）A ．2B ．3 C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2sin 1)a θ=，，(cos 1)b θ=-，，ππ2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且a b ∥，则tan θ等于．14.若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩，，，≥≤≤则y x 的最大值为．15.已知ABC △的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22223a b c a b +=+，若ABC△ABC △面积的最大值为． 16.已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的表面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 等差数列{}n a 中，公差0d <，268a a +=-，367a a = （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列{}n b 前n 项的和，其中||n n b a =，*n ∈N ，若1464n T ≥，求n 的最小值． 18. 为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n 名学生的数学成绩（百分制）作为样本，按成绩分成5组：[5060)，，[6070)，，[7080)，，[8090)，，[90100]，，频率分布直方图如图所示．成绩落在[7080)，中的人数为20．（Ⅰ）求a 和n 的值；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高三年级学生数学成绩的平均数x 和中位数m ；（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[5080)，中的男、女生人数比为1:2，成绩落在[80100]，中的男、女生人数比为3:2，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，2AD AP ==，AB DP ==E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上．（Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）当三棱锥B EFC -的体积等于四棱锥P ABCD -体积的16时，求PF PB的值． 20. 已知圆1C ：2260x y x ++=关于直线1l ：21y x =+对称的圆为C ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点(10)-，作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB （AB 和OS 为对角线）中||||OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数1()f x x x=-，()2ln g x a x =（x ∈R ）．（Ⅰ）求()()()F x f x g x =-的单调递增区间；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，且()h x 有两个极值点1x ，2x ，其中1103x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，求12()()h x h x -的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy ，曲线1C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:1C ρ=．（Ⅰ）写出1C ，2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）点P ，Q 分别是曲线1C ，2C 上的动点，且点P 在x 轴的上侧，点Q 在y 轴的左侧，PQ 与曲线2C 相切，求当||PQ 最小时，直线PQ 的极坐标方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|f x x m x n =++-（其中0m >，0n >）．（Ⅰ）若2m =，1n =，求不等式()6f x >的解集；（Ⅱ）若141n m+=，求证：()|2|16f x x n +-≥．文科数学答案一、选择题1-5:CAACA 6-10:BDACB 11、12：CC 二、填空题13.12- 14.315.5π三、解答题17.【解析】（Ⅰ）∵35268a a a a +=+=-，联立353587a a a a +=-⎧⎨=⎩，解得3571a a =-⎧⎨=-⎩，（舍去）或3517.a a =-⎧⎨=-⎩，∴31a =-，57a =- ∴38n a n =-+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知15b =，22b =，3|1|1b =-=，4|4|4b =-=， 151464T =<，271464T =<，381464T =<，4121464T =<，∴231314146422n n n T =-+≥，(3100)(29)0n n -+≥，1003n ≥，∴n 的最小值为34． 18.【解析】（Ⅰ）由题意可得101(0.0050.010.0150.02)10a =-+++⨯，∴0.05a =，∴2040100.05n ==⨯．（Ⅱ）由题意，各组的频率分别为0.05，0.2，0.5，0.15，0.1， ∴550.05650.2750.5850.15950.175.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．设中位数为m ，则(70)0.050.5(0.050.2)m -⨯=-+，∴75m =．（Ⅲ）由题意，优秀的男生为6人，女生为4人，不优秀的男生为10人，女生为20人，22⨯列联表由表可得2240(620410) 2.222 3.84116241030K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为数学成绩优秀与性别有关．19.【解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =，2BC =，45ABC ∠=︒，由余弦定理28422cos454AC =+-⋅⋅︒=，得2AC =，所以90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥，又AD BC ∥，所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =，所以PA AD ⊥，AP AC A =，所以AD ⊥平面PAC ，所以AD PC ⊥（Ⅱ）因为E 为CD 的中点，∴14BEC ABCD S S =四形△边，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，PA AD ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ．设F 到平面ABCD 的距离为h ，∵16B EFC F BEC P ABCD V V V ---==，∴111363BEC ABCD S h S PA ⋅⨯=⋅⋅⋅四形△边，∴23h PA =，所以13PF PB =．20.【解析】（Ⅰ）圆1C 化为标准方程为22(3)9x y ++=，设圆1C 的圆心1(30)C -，关于直线1l ：21y x =+的对称点为()C a b ，，则11C C t k k =-，且1CC 的中点322a b M -⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1l ：21y x =+上，所以有213(3)102ba b a ⎧⨯=-⎪⎪+⎨⎪--+=⎪⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为22(1)(2)9x y -++=．（Ⅱ）由||||||OS OA OB BA =-=，所以平行四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥．要使OA OB ⊥，必须使0OA OB ⋅=，即：12120x x y y +=．①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆C ：22(1)(2)9x y -++=交于两点(12)A -，(12)B --，．因为(1)(1)2)(2)0OA OB ⋅=--+=，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不存在时，直线l ：1x =-满足条件． ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =+．设11()A x y ，，22()B x y ，由22(1)(2)9(1)x y y k x ⎧-++=⎨=+⎩得：2222(1)(242)440k x k k x k k +++-++-=．由于点(10)-，在圆C 内部，所以0∆>恒成立，21222421k k x x k +-+=-+，2122441k k x x k +-=+，要使OA OB ⊥，必须使0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，也就是：21212(1)(1)0x x k x x +++=整理得：22222244242(1)011k k k k k k k k +-+-+-⋅=++ 解得：1k =，所以直线l 的方程为1y x =+存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交于A ，B 两点，且平行四边形OASB 对角线相等．点睛：在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意．21.【解析】（Ⅰ）由题意得1()2ln F x x a x x=--，0x >，2221(0)x ax F x -+'=，令2()21m x x ax =-+，24(1)a ∆=-①当1a ≤时，()0F x '≥，()F x 在(0)+∞，上单调递增； ②当1a >时，令()0F x '=，得1x a =2x a =∴()F x 的单调递增区间为(0a ，，()a +∞ 综上所述，当1a ≤时，()F x 的单调递增区间为(0)+∞，当1a >时，()F x 的单调递增区间为(0a ，，()a ++∞（Ⅱ）1()2ln h x x a x x =-+，2221()x ax h x x ++'=（0x >），由题意知1x ，2x 是2210x ax ++=的两根，∴121x x =，122x x a +=-，211x x =，1112a x x =--， 12111()()()h x h x h x h x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11111112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1111111()2ln H x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21()21ln H x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭22(1)(1)ln x x x x +-= 当103x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，()0H x '<，()H x在103⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，()H x的最小值为120ln31633H -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即12()()h x h x -的最小值为20ln 3163-22.【解析】（Ⅰ）曲线1C 的直角坐标方程为22194x y +=；曲线2C 的直角坐标方程为221x y +=．（Ⅱ）连结PO ，OQ ．因为PQ 与单位圆2C 相切于点 Q ，所以PQ OQ ⊥．所以||PQ =因为||2PO =又因为点P 在x 轴的上侧，所以当且仅当P 点位于短轴上端点时||PQ 最小．此时(02)P，，在POQ△中，||2||OP OQ=，所以π6 OPQ∠=，又因为点Q在y轴的左侧，所以直线PQ所以直线PQ20y-+=．所以直线PQcos sin20θρθ-+=．23.【解析】（Ⅰ）若2m=，1n=，则函数3(1) ()|22||2|4[12)3[2)x xf x x x x xx x-∈-∞-⎧⎪=++-=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，，可得()6f x>的解集为(2)(2)-∞-+∞，，．（Ⅱ）证明：()|2||2||24|f x x n x m x n+-=++-|4|4m n m n+=+≥14(4)m nn m⎛⎫=++⎪⎝⎭168816m nn m=+++=≥。

2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}2230,21M x x x N x x =--<=-<<，则()R M C N ⋂=（）A ．[]2,1-B ．(]1,1-C ．[)1,3D ．()2,3-【答案】C【解析】首先分别求出{}13M x x =-<<和{}21R C N x x x =≤-≥或，利用交集定义运算即可. 【详解】2230x x --<得13x -<<，所以{}13M x x =-<<，又{}21R C N x x x =≤-≥或，所以(){}13R M C N x x ⋂=≤<，故选：C 【点睛】本题主要考查集合的补集和集合的交集运算，同时考查了二次不等式，属于简单题. 2．已知复数z 满足 (1)i z i -=(其中i 为虚数单位)，则z =（）A ．12B ．2C ．1 D【答案】B【解析】将复数化简为1122z i =-+，再求模长即可. 【详解】()1i z -=i ，则()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+，2z ==. 故选B 【点睛】本题主要考查了复数运算，同时考查了复数的模长公式，属于简单题.3．已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（）【解析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可. 【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A ．22B ．25C ．26D ．42 【答案】C【解析】将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可. 【详解】由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥11 A BCC B -如图所示.其中AC 为最长棱.由勾股定理得【点睛】本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题. 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3121222?··224n a a a a n +++++=+，则10S =( )A ．55B ．56C ．57D ．58【答案】C【解析】分别求出2n ≥和1n =的通项公式，在求10S 即可. 【详解】因为3121222224n a a a a n +++++=+……①，所以2n ≥时，3112222224n a a a a n -++++=+……②，②-①得12222n a n n n +=-=，所以2n ≥时，n a n =. 当1n =时，1232242a =+=. 所以13a =不合适n a n =，所以3,1,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩所以103231057S =++++=……. 故选：C 【点睛】本题主要考查由数列前n 项和求通项公式，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 6．函数2()(1)sin 21xf x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断出()f x 是偶函数，排除C 、D ，再由()1f 的正负排除B ，从而得到答案. 【详解】因为()()21sin 21xf x x -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭2221sin 1sin ()1221x xx x x f x ⎛⎫⋅⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当1x =时，1(1)sin103f =-<，排除B ，故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题. 7．如图，在平行四边形ABCD 中,11,,33AE AB CF CD G ==为EF 的中点，则DG =u u u r （）A ．1122AB AD -u u ur u u u rB ．1122AD AB -u u ur u u u rC ．1133AB AD -u u ur u u u rD ．1133AD AB -u u ur u u u r【答案】A【解析】利用向量的加减法的几何意义将DG u u u r转化为AB u u u r ，AD u u u r 即可.【详解】1122DG DE DF =+u u u r u u u r u u u r112()223DA AE DC =++⋅u u ur u u u r u u u r 111()AD AB AB =-++u u ur u u u r u u u r1122AB AD =-u u ur u u u r 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题. 8．执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（）A ．3-B ．13C ．12-D ．2【答案】D【解析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a 的值，可发现周期为4，即可得到2020i =，2a =，2021i =，此时输出2a =. 【详解】1i =，3a =-.2i =，12a =-.3i =，13a =.4i =，2a =.5i =，3a =-.可发现周期4，2020i =，2a =，2021i =. 此时输出2a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键，属于简单题.9．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O 为圆心的大圆直径为4,以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A ．384ππ++B ．684ππ++C ．342ππ++D ．642ππ++【答案】B【解析】分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可. 【详解】上方阴影部分的面积等于AOB V 的面积12222AOB S =⨯⨯=V . 下方阴影部分面积等于212122214422πππ⎛⨯⨯--=+ ⎝. 所以根据几何概型得所求概率：21624284P ππππ+++==++. 故选：B 【点睛】本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题.10．已知双曲线()2222:0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F 过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线,垂足为M ,若三角形12MF F 的面积为22a ，则C 的离心率为（） A ．2 B 3C ．2D 5【答案】D【解析】将三角形12MF F 的面积转化成1212MF F MOF MOF S S S =+V V V ，分别计算1MOF S V ，2MOF S V ，得到等式22ab a =，再化简计算离心率即可.由题得()2,0F c ，不妨设:0l bx ay -=，则222bc MF b a b==+（也可记住结论).2221,OM OF OF a =-=因为1221122MOF MOF S S OM MF ab ===V V . 所以12122222MF F MOF MOF MOF S S S S ab a =+===V V V V ，即：2b a =.所以22225c a b a =+=，所以25e =，即：5e =.故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，将已知三角形12MF F 的面积为22a 转化为数学等式22ab a =，是常见的求离心率的方法，属于中档题.11．已知正六棱锥 P ABCDEF -的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（）A ．83B ．3C ．83D ．32327【答案】B【解析】首先过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =.然后计算出正六棱锥的体积()232V h h h =-.设()()232f x x x x =-，利用导数求出设()f x 最大值即可得到正六棱锥体积的最大值. 【详解】过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =. 在Rt AOM V 中有()2211h a -+=，即222a h h =-. 正六棱锥的体积()221113362332V Sh h h h ==⨯⨯=-. 设()()232f x x x x =-. 由()233'302f x x x =-=得43x =.()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当43x =时()f x 163. 163. 故选：B 【点睛】题的关键，属于难题. 12．已知()cos31cos x f x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】首先通过三角化简得到()2cos2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈，通过平移变换得到()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.再进一步求出()g x 的周期、奇偶、值域、对称即可得到答案. 【详解】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+， cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x xx x-=+=.即：()2cos2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈. ①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确. ②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误. ③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确 ④因为,62k x k Z ππ≠+∈.故()g x 图象不是中心对称图形,故④错误.. 综上,正确的个数为2.【点睛】本题为三角函数的章内综合题，考查了三角函数的化简、周期、奇偶、对称、以及平移变换.属于难题.二、填空题13．已知函数()()()21310log 0x e x f x x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】1-【解析】首先求出1ln 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，再代入1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】()2ln 2ln 41ln ln 21132f f e e ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭， ()131ln 3log 312f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了分段函数和对数的运算，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题. 14．设函数()()21ln g x x x =++，则曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为________．【答案】510--=x y【解析】首先求导，然后代入切点横坐标得到斜率，再求出切点纵坐标，用点斜式即可得到切线方程. 【详解】()()21ln g x x x =++，()()121g x x x'=++. 因为4(1)g =，(1)5g '=，所以曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为510--=x y .故答案为：510--=x y本题主要考查导数的几何意义：切线问题，同时考查了直线方程的点斜式，属于简单题. 15．如图，以Ox 为始边作钝角α,角α的终边与单位圆交于点11(),P x y ，将角α的终边顺时针旋转3π得到角β.角β的终边与单位圆相交于点22(,)Q x y ，则21x x -的取值范围为__________．【答案】1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】首先把21x x -根据三角函数的定义以及两角和差公式表示为21x x -sin 6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据α的范围求值域即可.【详解】由已知得3πβα=-，1cos x α=，2cos cos 3x πβα⎛⎫==- ⎪⎝⎭.所以21cos cos cos cos 3x x πβααα⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭13cos 2αα=-sin 6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为2παπ<<，所以5366πππα<-<. 所以1sin ,162πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 即：21x x -的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，两角和差公式，以及三角函数的值域问题，属于中档题. 16．已知过抛物线26y x =焦点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点， 3 ,AF FB =u u u r u u u r抛物线的准线l 与x 轴交于点,C AM l ⊥于点M ，则四边形ABCM 的面积为__________．【答案】153【解析】首先过B 作BN l ⊥于，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =.再算出BNMA S V ，BCN S V ，相减即可得到ABCM S V . 【详解】过B 作BN l ⊥于，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =.60BAM ∴∠=o ，332CF p m ∴===. 2m ∴=，36AM m ==.3sin 60443MN AB m ===o 3sin 60333MC AF m ===o 3NC MN MC =-.()1115322ABCM BNMA BCN S S S BN AM MN BN CN ∴=-=+-=V V V g g g 故答案为：153 【点睛】本题主要考查了抛物线的几何意义，将不规则图形转换为规则图形的差是解决本题的关键，考查了学生的转换能力，属于难题.三、解答题17．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =;(2)若1,c a ==,求S .【答案】(1)证明解析【解析】（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos AA A=代入即可.（2）因为1c =，a =3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22cos 3A =，cos A =tan A ⇒=，b =166S =⨯=【详解】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b Ac A A=，又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =. （2）由（1）得3b ccosA =.因为1c =，a =3b cosA =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2229cos 16cos A A =+-,解得：22cos 3A =.因为3b cosA =，所以cos 0A >，cos 3A =.tan 2A ⇒=，b =.211tan 666S b A ==⨯=. 【点睛】本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题.18．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为1551,,2n S a S a =+是4433;S a S a ++的等差中项.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设222log n n n b a a =+,求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)12n n a =(2)n T ()111134n n n ⎛⎫=--+⎪⎝⎭【解析】（1）由已知得到()5544332S a S a S a +=+++，化简即可得到12q =，12n n a =. （2）将n b 化简得到124n n b n =-，利用分组求和即可得到n T . 【详解】因为55S a +是44S a +，33S a +的等差中项，所以()5544332S a S a S a +=+++.5453345()()2S S S S a a a -+-=+-， 5453452a a a a a a ++=+-，解得：253144a a q =⇒=. 因为{}n a 为正项数列，所以12q =. 所以1112n n n a a q -==g. （2）222211log 2224n n n n n b a a n n ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ()11122441214n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-- ()111134n n n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题第一问主要考查等差，等比数列综合问题，第二问考查了数列求和中的分组求和，计算是解决本题的关键，属于中档题.19．垃圾种类可分为可回收垃圾、干垃圾、湿垃圾、有害垃圾等，为调查中学生对垃圾分类的了解程度，某调查小组随机从本市一中高一的2000名学生(其中女生900人)中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行调查,已知抽取的n 名学生中有男生110人、 (1)求n 值及抽到的女生人数;(2)调查小组请这n 名学生指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”，调查结果如下:求m 值,完成如下22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关?(3)在(2)条件下,从抽取的“比较了解”的学生中仍采用分层抽样的方法抽取6名.再从这6名学生中随机抽取2人作义务讲解员,求抽取的2人中至少一名女生的概率. 参考数据:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++， .n a b c d =+++【答案】(1)90,(2) 没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.(3)45【解析】（1）由题知：11020001100n =，解方程即可. （2）根据抽取的女生人数为90人，得到152********m m ++++++=，解得5m =.再填表，带入2K 公式即可.（3）首先算出“比较了解”的学生男女人数，再列出全部基本事件和至少一名女生的基本事件，带入古典概型公式即可. 【详解】（1）由题知：11020001100n =，解得：200n =，女生人数为：20011090-=. （2）由已知得抽取的女生人数为90人，所以152********m m ++++++=，解得5m =. 根据题意得列联表如下：()2220060505040 2.020 2.70610010090110K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关. （3）从100名“比较了解”的学生中采用分层抽样的方法抽取6名，抽取的男女生各3人.记样本中的3名女生为,,A B C ，3名男生为,,a b c . 从这6人中随机抽取2人，基本事件分别为：共,, ,,,, ,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc ab ac bc 15种.至少一名女生的基本事件为,, ,,,, ,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 共12种，故所求的概率为124155P ==. 【点睛】本题第一问考查了分层抽样，第二问考查了独立性检验，第三问考查了古典概型，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.20．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,侧棱1BB ⊥底面,ABC D 为1AA 中点,,M N 分别为11,BB CC 上的点，且满足1BM C N =.(1)求证:平面DMN ⊥平面11BCC B , ;(2)若三棱锥1A DMN -的体积为3,求三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析,(2)6【解析】（1）分别取,MN BC 中点,E F ，连接,,DE AF EF ，首先证明AF BC ⊥，1BB AF ⊥，得到AF ⊥平面11BCC B .再证明//DE AF ，可得到DE ⊥平面11BCC B .又因为DE ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B . （2）将1A DMN V -转化为1M A DN V -，计算即可得到m 的值. 【详解】（1）分别取,MN BC 中点,E F ，连接,,DE AF EF . 因为ABC V 为正三角形，F 为BC 中点所以AF BC ⊥.又因为1BB ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC . 所以1BB AF ⊥，1BB BC B =I ，所以AF ⊥平面11BCC B . 因为,E F 分别为,MN BC 中点，所以//EF CN 且()12EF BM NC =+, 又因为1BM C N =，1BM NC CC += 所以112EF CC =. 因为D 为1AA 中点，所以112AD AA =. 因为11//AA CC 且11AA CC =，所以1//AD CC 且112AD CC =. 所以//AD EF 且 AD EF =，所以四边形ADEF 为平行四边形. 所以//DE AF因为AF ⊥平面11BCC B ⇒DE ⊥平面11BCC B .DE ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B .（2）设侧棱长为m ，则1AA m =，112A D m =. 11112222A DN S m m =⨯⨯=V过B 作BH AC ⊥于H ，与（1）同理可证BH ⊥平面11ACC A . 因为//BM平面11ACC A .所以M 到平面11ACC A 的距离B =到平面11ACC A 的距离BH =.因为ABC V 为正三角形，所以2BH ==.111136A DMN M A DN A DN V V S BH m --==⨯⨯==V 解得：6m =. 【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查求三棱锥的体积，等体积转化是解决三棱锥体积的常用方法，属于中档题.21．椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上、下顶点分别为,'A A ，离心率为2,'OA 的中点为P ，1',2A P O =为坐标原点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)ABCD Y 的顶点,B C 在椭圆E 上运动，且直线BC 经过点P ,求ABCD Y 的面积的最大值.【答案】(1) 2214x y +=,(2)【解析】（1）由题知得到221a c -=①，c a =，联立①②即可求出椭圆的标准方程.（2）首先将平行四边形ABCD 的面积转化为2个ABC V 的面积，然后求ABC V 的面积的最大值即可求出平行四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意得'1A O =，即1b =，则221a c -=①.22c c a =⇒=Q ②.联立①②得2,a c ==∴椭圆E 的标准方程为2214x y +=. ()2如图，连接AC ，则1(0,)2P -.由题意知直线BC 的斜率存在. 设直线BC 的方程为12y kx =-，11(,)B x y ，22(,)C x y . 联立221412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2214430k x kx +--=122414kx x k∴+=+，122314x x k -=+. ()()()222121212224163414k x x x x x x k +-=+-=+.又32AP =，()()221241631133163222214ABC k k S AP x x k ++∴=-==+V g g 令22231633(3)16m m k k m -=+≥⇒=≥，ABCS ∴=V 2361321416m m m m =⎛⎫-++ ⎪⎝⎭g . 令()(13g m m m m=+≥，易知()g m 在)3,+∞单调递增.3m ∴=()min 43g m =，()min33ABC S =V 又2ABCD ABC S S =Y V ，()min 33ABCD S ∴=Y ∴平行四边形ABCD 面积的最大值为33【点睛】本题第一问考查椭圆的基本概念和标准方程，第二问考查了直线与椭圆的位置关系，将平行四边形ABCD 的面积转化为2个ABC V 的面积，是解决第二问的关键，属于难题.22．已知函数()()()ln xe f x a x x a R x=--∈ (1)若()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求证()0f x ≥;(2)若()0f x ≥,求a 的取值范围，【答案】(1) ()f x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增()()10f x f ≥=,(2) (,]e -∞【解析】（1）首先根据()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求出a 的值，然后要证明()0f x ≥，只需证明min ()0f x ≥即可. （2）将()0f x ≥转化为()ln x e a x x x ≤-，求()()ln xe h x x x x =-的最小值即可. 【详解】（1）因为()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，所以()10f e a =-=，解得：a e =.函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()21e e x x x f x x --'=. 令()x g x e ex '=-，则()e e x g x '=-. 令()0g x '=，1x =.当1x <时，()'0g x <.当1x >时，()'0g x >.所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.所以()(10)g x g ≥=.即0x e ex -≥，仅当1x =时取等号.所以当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.()() 10f x f ≥=，即证.（2）由（1）知x e ex ≥，所以当0x >时，()ln ln xe ex ≥，得10x lnx -≥>.由()()ln 0xe f x a x x x=--≥，得()ln x e a x x x ≤-. 问题转化为()minln xe a x x x ⎛⎫≤ ⎪ ⎪-⎝⎭.令()()ln xe h x x x x =- ，则()()()()2211ln ln x e x x x h x x x x ---'=-. 因为0x e >，1ln 0x x --≥(仅当1x =时取等号)，()22ln 0x x x ->.所以当01x <<时，'()0h x <，当1x >时，'()0h x >.所以()h x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞.所以()()min 1h x h e ==.所以a 的取值范围是(,]e -∞.【点睛】本题第一问和第二问都考查了导数应用中的最值以及恒成立问题，同时考查了学生的转化思想，属于难题.。

2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}2230,21M x x x N x x =--<=-<<，则()R M C N ⋂=（）A ．[]2,1-B ．(]1,1-C ．[)1,3D ．()2,3-【答案】C【解析】首先分别求出{}13M x x =-<<和{}21R C N x x x =≤-≥或，利用交集定义运算即可. 【详解】2230x x --<得13x -<<，所以{}13M x x =-<<，又{}21R C N x x x =≤-≥或，所以(){}13R M C N x x ⋂=≤<，故选：C 【点睛】本题主要考查集合的补集和集合的交集运算，同时考查了二次不等式，属于简单题. 2．已知复数z 满足 (1)i z i -=(其中i 为虚数单位)，则z =（）A ．12B 2C ．1D 2【答案】B【解析】将复数化简为1122z i =-+，再求模长即可. 【详解】()1i z -=i ，则()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+，22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选B 【点睛】本题主要考查了复数运算，同时考查了复数的模长公式，属于简单题.3．已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（）A ．a b c <= 所以a c b <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题. 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A ．22B ．25C ．26D ．42 【答案】C【解析】将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可. 【详解】由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥11 A BCC B -如图所示.其中1AC 为最长棱.由勾股定理得222142226AC =++=故选：C 【点睛】本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3121222?··224n a a a a n +++++=+，则10S =( ) A ．55 B ．56C ．57D ．58【答案】C【解析】分别求出2n ≥和1n =的通项公式，在求10S 即可. 【详解】因为3121222224n a a a a n +++++=+……①，所以2n ≥时，3112222224n a a a a n -++++=+……②，②-①得12222n a n n n +=-=，所以2n ≥时，n a n =. 当1n =时，1232242a =+=. 所以13a =不合适n a n =，所以3,1,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩所以103231057S =++++=……. 故选：C 【点睛】本题主要考查由数列前n 项和求通项公式，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 6．函数2()(1)sin 21xf x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断出()f x 是偶函数，排除C 、D ，再由()1f 的正负排除B ，从而得到答案. 【详解】因为()()21sin 21xf x x -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭2221sin 1sin ()1221x xx x x f x ⎛⎫⋅⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当1x =时，1(1)sin103f =-<，排除B ，故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题. 7．如图，在平行四边形ABCD 中,11,,33AE AB CF CD G ==为EF 的中点，则DG =u u u r （）A ．1122AB AD -u u ur u u u rB ．1122AD AB -u u ur u u u rC ．1133AB AD -u u ur u u u rD ．1133AD AB -u u ur u u u r【答案】A【解析】利用向量的加减法的几何意义将DG u u u r转化为AB u u u r ，AD u u u r 即可.【详解】1122DG DE DF =+u u u r u u u r u u u r112()223DA AE DC =++⋅u u ur u u u r u u u r 111()233AD AB AB =-++u u ur u u u r u u u r 1122AB AD =-u u ur u u u r 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题. 8．执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（）A ．3-B ．13C ．12-D ．2【答案】D【解析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a 的值，可发现周期为4，即可得到2020i =，2a =，2021i =，此时输出2a =.【详解】1i =，3a =-.2i =，12a =-.3i =，13a =.4i =，2a =.5i =，3a =-.可发现周期4，2020i =，2a =，2021i =. 此时输出2a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键，属于简单题.9．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O 为圆心的大圆直径为4,以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A ．384ππ++B ．684ππ++C ．342ππ++D ．642ππ++【答案】B【解析】分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可. 【详解】上方阴影部分的面积等于AOB V 的面积12222AOB S =⨯⨯=V .下方阴影部分面积等于212122214422πππ⎛⎫⨯⨯--⨯⨯=+ ⎪⎝⎭. 所以根据几何概型得所求概率：21624284P ππππ+++==++. 故选：B 【点睛】本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题.10．已知双曲线()2222:0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F 过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线,垂足为M ,若三角形12MF F 的面积为22a ，则C 的离心率为（） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D【解析】将三角形12MF F 的面积转化成1212MF F MOF MOF S S S =+V V V ，分别计算1MOF S V ，2MOF S V ，得到等式22ab a =，再化简计算离心率即可. 【详解】由题得()2,0F c ，不妨设:0l bx ay -=，则222bc MF b a b==+（也可记住结论).2221,OM OF OF a =-=因为1221122MOF MOF S S OM MF ab ===V V . 所以12122222MF F MOF MOF MOF S S S S ab a =+===V V V V ，即：2b a =.所以22225c a b a =+=，所以25e =，即：5e =.故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，将已知三角形12MF F 的面积为22a 转化为数学等式22ab a =，是常见的求离心率的方法，属于中档题.11．已知正六棱锥 P ABCDEF -的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（）A ．8327 B ．327C 83D 323【答案】B【解析】首先过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =.然后计算出正六棱锥的体积()232V h h =-.设()()2322f x x x x =-，利用导数求出设()f x 最大值即可得到正六棱锥体积的最大值. 【详解】过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =. 在Rt AOM V 中有()2211h a -+=，即222a h h =-. 正六棱锥的体积()22111336233222V Sh a h h h h ==⨯⨯⨯=-. 设()()2322f x x x x =-. 由()233'230f x x x =-=得43x =. ()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当43x =时()f x 163. 所以正六棱锥体积的最大值为16327. 故选：B 【点睛】本题主要考查了正六面体的外接球和体积，将体积的最大值用导数的方法求解是解决本题的关键，属于难题. 12．已知()cos31cos x f x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（） ①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】首先通过三角化简得到()2cos2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈，通过平移变换得到()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.再进一步求出()g x 的周期、奇偶、值域、对称即可得到答案. 【详解】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+， cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x xx x-=+=.即：()2cos2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈. ①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确. ②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误. ③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确 ④因为,62k x k Z ππ≠+∈.故()g x 图象不是中心对称图形,故④错误.. 综上,正确的个数为2. 故选：B 【点睛】本题为三角函数的章内综合题，考查了三角函数的化简、周期、奇偶、对称、以及平移变换.属于难题.二、填空题13．已知函数()()()21310log 0x e x f x x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】1-【解析】首先求出1ln 2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，再代入1ln 2f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】()2ln 2ln 41ln ln 21132f f e e ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭， ()131ln 3log 312f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了分段函数和对数的运算，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题. 14．设函数()()21ln g x x x =++，则曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为________．【答案】510--=x y【解析】首先求导，然后代入切点横坐标得到斜率，再求出切点纵坐标，用点斜式即可得到切线方程. 【详解】()()21ln g x x x =++，()()121g x x x'=++. 因为4(1)g =，(1)5g '=，所以曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为510--=x y .故答案为：510--=x y 【点睛】本题主要考查导数的几何意义：切线问题，同时考查了直线方程的点斜式，属于简单题.15．如图，以Ox 为始边作钝角α,角α的终边与单位圆交于点11(),P x y ，将角α的终边顺时针旋转3π得到角β.角β的终边与单位圆相交于点22(,)Q x y ，则21x x -的取值范围为__________．【答案】1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】首先把21x x -根据三角函数的定义以及两角和差公式表示为21x x -sin 6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据α的范围求值域即可. 【详解】由已知得3πβα=-，1cos x α=，2cos cos 3x πβα⎛⎫==-⎪⎝⎭. 所以21cos cos cos cos 3x x πβααα⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭13cos 22αα=-+sin 6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为2παπ<<，所以5366πππα<-<. 所以1sin ,162πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.即：21x x -的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：1,12⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了三角函数的定义，两角和差公式，以及三角函数的值域问题，属于中档题.16．已知过抛物线26y x =焦点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点， 3 ,AF FB =u u u r u u u r抛物线的准线l 与x 轴交于点,C AM l ⊥于点M ，则四边形ABCM 的面积为__________．【答案】3【解析】首先过B 作BN l ⊥于，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =.再算出BNMA S V ，BCN S V ，相减即可得到ABCM S V . 【详解】过B 作BN l ⊥于，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =.60BAM ∴∠=o ，332CF p m ∴===. 2m ∴=，36AM m ==.3sin 604432MN AB m ==⨯=o 3sin 603332MC AF m ==⨯=o 3NC MN MC =-=()1115322ABCM BNMA BCN S S S BN AM MN BN CN ∴=-=+-=V V V g g g 故答案为：3【点睛】本题主要考查了抛物线的几何意义，将不规则图形转换为规则图形的差是解决本题的关键，考查了学生的转换能力，属于难题.三、解答题17．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =; (2)若1,3c a ==求S .【答案】(1)证明解析,(2)22【解析】（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos A A A=代入即可. （2）因为1c =，3a =3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22cos 3A =，6cos 3A =2tan 2A ⇒=，6b =⇒1226622S =⨯⨯=. 【详解】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b Ac A A=，又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =. （2）由（1）得3b ccosA =. 因为1c =，3a =3b cosA =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2223)9cos 16cos A A =+-,解得：22cos 3A =. 因为3b cosA =，所以cos 0A >，6cos A =. 2tan A ⇒=，6b =. 21122tan 66622S b A ==⨯⨯=. 【点睛】本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题. 18．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为1551,,2n S a S a =+是4433;S a S a ++的等差中项. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设222log n n n b a a =+,求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)12n n a =(2)n T ()111134n n n ⎛⎫=--+⎪⎝⎭【解析】（1）由已知得到()5544332S a S a S a +=+++，化简即可得到12q =，12n n a =. （2）将n b 化简得到124n nb n =-，利用分组求和即可得到n T . 【详解】因为55S a +是44S a +，33S a +的等差中项，所以()5544332S a S a S a +=+++.5453345()()2S S S S a a a -+-=+-， 5453452a a a a a a ++=+-，解得：253144a a q =⇒=. 因为{}n a 为正项数列，所以12q =. 所以1112n n na a q -==g. （2）222211log 2224n n n n n b a a n n ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ()11122441214n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-- ()111134n n n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题第一问主要考查等差，等比数列综合问题，第二问考查了数列求和中的分组求和，计算是解决本题的关键，属于中档题.19．垃圾种类可分为可回收垃圾、干垃圾、湿垃圾、有害垃圾等，为调查中学生对垃圾分类的了解程度，某调查小组随机从本市一中高一的2000名学生(其中女生900人)中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行调查,已知抽取的n 名学生中有男生110人、 (1)求n 值及抽到的女生人数;(2)调查小组请这n 名学生指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”，调查结果如下:0项1项2项3项4项5项5项以上男生（人） 4 22 34 18 16 10 6 女生（人） 0 1520+m20169m求m 值,完成如下22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关?不太了解比较了解合计男生女生合计(3)在(2)条件下,从抽取的“比较了解”的学生中仍采用分层抽样的方法抽取6名.再从这6名学生中随机抽取2人作义务讲解员,求抽取的2人中至少一名女生的概率. 参考数据:()20P K k ≥0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.0763.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++， .n a b c d =+++ 【答案】(1)90,(2) 没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.(3)45【解析】（1）由题知：11020001100n =，解方程即可. （2）根据抽取的女生人数为90人，得到152********m m ++++++=，解得5m =.再填表，带入2K 公式即可.（3）首先算出“比较了解”的学生男女人数，再列出全部基本事件和至少一名女生的基本事件，带入古典概型公式即可. 【详解】（1）由题知：11020001100n =，解得：200n =，女生人数为：20011090-=. （2）由已知得抽取的女生人数为90人，所以152********m m ++++++=，解得5m =. 根据题意得列联表如下：不太了解比较了解合计男生 60 50 110 女生 405090 合计 100 100200()2220060505040 2.020 2.70610010090110K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关. （3）从100名“比较了解”的学生中采用分层抽样的方法抽取6名，抽取的男女生各3人.记样本中的3名女生为,,A B C ，3名男生为,,a b c . 从这6人中随机抽取2人，基本事件分别为：共,, ,,,, ,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc ab ac bc 15种.至少一名女生的基本事件为,, ,,,, ,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 共12种，故所求的概率为124155P ==. 【点睛】本题第一问考查了分层抽样，第二问考查了独立性检验，第三问考查了古典概型，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.20．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,侧棱1BB ⊥底面,ABC D 为1AA 中点,,M N 分别为11,BB CC 上的点，且满足1BM C N =.(1)求证:平面DMN ⊥平面11BCC B , ;(2)若三棱锥1A DMN -3求三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析,(2)6【解析】（1）分别取,MN BC 中点,E F ，连接,,DE AF EF ，首先证明AF BC ⊥，1BB AF ⊥，得到AF ⊥平面11BCC B .再证明//DE AF ，可得到DE ⊥平面11BCC B .又因为DE ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B .（2）将1A DMN V -转化为1M A DN V -，计算即可得到m 的值. 【详解】（1）分别取,MN BC 中点,E F ，连接,,DE AF EF . 因为ABC V 为正三角形，F 为BC 中点所以AF BC ⊥.又因为1BB ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC . 所以1BB AF ⊥，1BB BC B =I ，所以AF ⊥平面11BCC B . 因为,E F 分别为,MN BC 中点，所以//EF CN 且()12EF BM NC =+, 又因为1BM C N =，1BM NC CC += 所以112EF CC =. 因为D 为1AA 中点，所以112AD AA =. 因为11//AA CC 且11AA CC =，所以1//AD CC 且112AD CC =. 所以//AD EF 且 AD EF =，所以四边形ADEF 为平行四边形.所以//DE AF因为AF ⊥平面11BCC B ⇒DE ⊥平面11BCC B .DE ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B .（2）设侧棱长为m ，则1AA m =，112A D m =. 11112222A DN S m m =⨯⨯=V过B 作BH AC ⊥于H ，与（1）同理可证BH ⊥平面11ACC A . 因为//BM平面11ACC A .所以M 到平面11ACC A 的距离B =到平面11ACC A 的距离BH =. 因为ABC V 为正三角形，所以323BH ==1111333A DMN M A DN A DN V V S BH --==⨯⨯==V 解得：6m =. 【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查求三棱锥的体积，等体积转化是解决三棱锥体积的常用方法，属于中档题.21．椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上、下顶点分别为,'A A ，3'OA 的中点为P ，1',2A P O =为坐标原点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)ABCD Y 的顶点,B C 在椭圆E 上运动，且直线BC 经过点P ,求ABCD Y 的面积的最大值.【答案】(1) 2214x y +=,(2) 33【解析】（1）由题知得到221a c -=①，32c a =②，联立①②即可求出椭圆的标准方程. （2）首先将平行四边形ABCD 的面积转化为2个ABC V 的面积，然后求ABC V 的面积的最大值即可求出平行四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意得'1A O =，即1b =，则221ac -=①.3322c c a =⇒=Q ②. 联立①②得2,3a c ==.∴椭圆E 的标准方程为2214x y +=. ()2如图，连接AC ，则1(0,)2P -.由题意知直线BC 的斜率存在. 设直线BC 的方程为12y kx =-，11(,)B x y ，22(,)C x y . 联立221412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2214430k x kx +--=122414k x x k ∴+=+，122314x x k-=+. ()()()222121212224163414k x x x x x x k +-=+-=+.又32AP =，()()221241631133163222214ABC k k S AP x x k ++∴=-==+V g g 令22231633(3)16m m k k m -=+≥=≥，ABCS ∴=V 2361321416m m m m =⎛⎫-++ ⎪⎝⎭g . 令()(13g m m m m=+≥，易知()g m 在)3,+∞单调递增.3m ∴=()min 433g m =，()min332ABC S =V . 又2ABCD ABC S S =Y V ，()min 33ABCD S ∴=Y ∴平行四边形ABCD 面积的最大值为33【点睛】本题第一问考查椭圆的基本概念和标准方程，第二问考查了直线与椭圆的位置关系，将平行四边形ABCD 的面积转化为2个ABC V 的面积，是解决第二问的关键，属于难题.22．已知函数()()()ln xe f x a x x a R x=--∈(1)若()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求证()0f x ≥; (2)若()0f x ≥,求a 的取值范围，【答案】(1) ()f x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增()()10f x f ≥=,(2) (,]e -∞ 【解析】（1）首先根据()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，求出a 的值，然后要证明()0f x ≥，只需证明min ()0f x ≥即可.（2）将()0f x ≥转化为()ln x e a x x x ≤-，求()()ln xe h x x x x =-的最小值即可.【详解】（1）因为()f x 在()()1,1f 处的切线为x 轴，所以()10f e a =-=，解得：a e =. 函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()21e e x x x f x x --'=.令()xg x e ex '=-，则()e e xg x '=-.令()0g x '=，1x =.当1x <时，()'0g x <.当1x >时，()'0g x >. 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 所以()(10)g x g ≥=.即0x e ex -≥，仅当1x =时取等号.所以当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.()() 10f x f ≥=，即证.（2）由（1）知x e ex ≥，所以当0x >时，()ln ln xe ex ≥，得10x lnx -≥>. 由()()ln 0xe f x a x x x=--≥，得()ln x e a x x x ≤-. 问题转化为()minln xe a x x x ⎛⎫≤ ⎪ ⎪-⎝⎭.令()()ln xe h x x x x =- ，则()()()()2211ln ln x e x x x h x x x x ---'=-. 因为0x e >，1ln 0x x --≥(仅当1x =时取等号)，()22ln 0x x x ->.所以当01x <<时，'()0h x <，当1x >时，'()0h x >.所以()h x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞.所以()()min 1h x h e ==.所以a 的取值范围是(,]e -∞.【点睛】本题第一问和第二问都考查了导数应用中的最值以及恒成立问题，同时考查了学生的转化思想，属于难题.。

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河北省邯郸市曲周县2020届高三数学上学期12月质量检测试题（四）文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1345}A =，，，，集合2{|450}B x x x =∈--<Z ，则A B I 的元素个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.复数2i 1iz -=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（）A ．π4 B ．4π C ．4π4- D ．π 4.设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a b ⊥的充分条件为（） A ．a c ⊥，b c ⊥ B ．αβ⊥，a α⊂，b β⊂ C.a α⊥，b α∥ D ．a α⊥，b α⊥5.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点与抛物线220y x =的焦点重合，且渐近线方程为43y x =±，则双曲线C 的方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C.2213664x y -= D ．2216436x y -=6.已知函数1()cos 2f x x =的图象向右平移π个单位得到函数()y g x =的图象，则π3g ⎛⎫=⎪⎝⎭（） A 3 B ．12 C.3 D ．12- 7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．3-B ．0 C.32D ．3 8.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）A ．π22+B ．π23+ C.π43+ D ．π42+ 9.已知函数()f x x x =-（0x >），()x g x x e =+，()ln h x x x =+的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（）A ．123x x x <成立，则（） A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B ．3(ln 2)2(ln3)f f =C.3(ln 2)2(ln3)f f < D ．3(ln 2)f 与2(ln3)f 的大小不确定12.如图，已知F 为抛物线22y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，3OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），则ABO △与BFO △面积之差的最小值是（）A ．2B ．3 C.3510二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2sin 1)a θ=r ，，(cos 1)b θ=-r ，，ππ2θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且a b r r ∥，则tan θ等于．14.若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩，，，≥≤≤则y x 的最大值为．15.已知ABC △的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22223a b c ab +=+，若ABC△的外接圆半径为32，则ABC △面积的最大值为． 16.已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的表面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 等差数列{}n a 中，公差0d <，268a a +=-，367a a = （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列{}n b 前n 项的和，其中||n n b a =，*n ∈N ，若1464n T ≥，求n 的最小值． 18. 为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n 名学生的数学成绩（百分制）作为样本，按成绩分成5组：[5060)，，[6070)，，[7080)，，[8090)，，[90100]，，频率分布直方图如图所示．成绩落在[7080)，中的人数为20．（Ⅰ）求a 和n 的值；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高三年级学生数学成绩的平均数x 和中位数m ；（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[5080)，中的男、女生人数比为1:2，成绩落在[80100]，中的男、女生人数比为3:2，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20()P K k ≥0.50 0.05 0.025 0.005 0k0.4553.8415.0247.879男生女生合计优秀不优秀合计19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，2AD AP ==，22AB DP ==，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上．（Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）当三棱锥B EFC -的体积等于四棱锥P ABCD -体积的16时，求PF PB的值． 20. 已知圆1C ：2260x y x ++=关于直线1l ：21y x =+对称的圆为C ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点(10)-，作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB （AB 和OS 为对角线）中||||OS OA OB =-u u u r u u u r u u u r？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数1()f x x x=-，()2ln g x a x =（x ∈R ）．（Ⅰ）求()()()F x f x g x =-的单调递增区间；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，且()h x 有两个极值点1x ，2x ，其中1103x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，求12()()h x h x -的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy ，曲线1C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:1C ρ=．（Ⅰ）写出1C ，2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）点P ，Q 分别是曲线1C ，2C 上的动点，且点P 在x 轴的上侧，点Q 在y 轴的左侧，PQ 与曲线2C 相切，求当||PQ 最小时，直线PQ 的极坐标方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|f x x m x n =++-（其中0m >，0n >）．（Ⅰ）若2m =，1n =，求不等式()6f x >的解集；（Ⅱ）若141n m+=，求证：()|2|16f x x n +-≥．文科数学答案一、选择题1-5:CAACA 6-10:BDACB 11、12：CC 二、填空题13.12- 14.315.5π三、解答题17.【解析】（Ⅰ）∵35268a a a a +=+=-，联立353587a a a a +=-⎧⎨=⎩，解得3571a a =-⎧⎨=-⎩，（舍去）或3517.a a =-⎧⎨=-⎩，∴31a =-，57a =- ∴38n a n =-+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知15b =，22b =，3|1|1b =-=，4|4|4b =-=， 151464T =<，271464T =<，381464T =<，4121464T =<，∴231314146422n n n T =-+≥，(3100)(29)0n n -+≥，1003n ≥，∴n 的最小值为34． 18.【解析】（Ⅰ）由题意可得101(0.0050.010.0150.02)10a =-+++⨯，∴0.05a =，∴2040100.05n ==⨯．（Ⅱ）由题意，各组的频率分别为0.05，0.2，0.5，0.15，0.1， ∴550.05650.2750.5850.15950.175.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．设中位数为m ，则(70)0.050.5(0.050.2)m -⨯=-+，∴75m =．（Ⅲ）由题意，优秀的男生为6人，女生为4人，不优秀的男生为10人，女生为20人，22⨯列联表由表可得2240(620410) 2.222 3.84116241030K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为数学成绩优秀与性别有关．19.【解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =，2BC =，45ABC ∠=︒，由余弦定理28422cos454AC =+-⋅⋅︒=，得2AC =，所以90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥，又AD BC ∥，所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =，所以PA AD ⊥，AP AC A =I ，所以AD ⊥平面PAC ，所以AD PC ⊥（Ⅱ）因为E 为CD 的中点，∴14BEC ABCD S S =四形△边，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD I 底面ABCD AD =，PA AD ⊥， ∴PA ⊥平面ABCD ．设F 到平面ABCD 的距离为h ，∵16B EFC F BEC P ABCD V V V ---==，∴111363BEC ABCD S h S PA ⋅⨯=⋅⋅⋅四形△边，∴23h PA =，所以13PF PB =．20.【解析】（Ⅰ）圆1C 化为标准方程为22(3)9x y ++=，设圆1C 的圆心1(30)C -，关于直线1l ：21y x =+的对称点为()C a b ，，则11CC t k k =-，且1CC 的中点322a b M -⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1l ：21y x =+上，所以有213(3)102ba b a ⎧⨯=-⎪⎪+⎨⎪--+=⎪⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为22(1)(2)9x y -++=．（Ⅱ）由||||||OS OA OB BA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r，所以平行四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥．要使OA OB ⊥，必须使0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即：12120x x y y +=．①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆C ：22(1)(2)9x y -++=交于两点(12)A -，(12)B --，．因为(1)(1)2)(2)0OA OB ⋅=--+=u u u r u u u r，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不存在时，直线l ：1x =-满足条件． ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =+．设11()A x y ，，22()B x y ，由22(1)(2)9(1)x y y k x ⎧-++=⎨=+⎩得：2222(1)(242)440k x k k x k k +++-++-=．由于点(10)-，在圆C 内部，所以0∆>恒成立，21222421k k x x k +-+=-+，2122441k k x x k +-=+，要使OA OB ⊥，必须使0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=，也就是：21212(1)(1)0x x k x x +++=整理得：22222244242(1)011k k k k k k k k +-+-+-⋅=++ 解得：1k =，所以直线l 的方程为1y x =+存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交于A ，B 两点，且平行四边形OASB 对角线相等．点睛：在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意．21.【解析】（Ⅰ）由题意得1()2ln F x x a x x=--，0x >，2221(0)x ax F x -+'=，令2()21m x x ax =-+，24(1)a ∆=-①当1a ≤时，()0F x '≥，()F x 在(0)+∞，上单调递增； ②当1a >时，令()0F x '=，得1x a =2x a =∴()F x 的单调递增区间为(0a ，，()a +∞ 综上所述，当1a ≤时，()F x 的单调递增区间为(0)+∞，当1a >时，()F x 的单调递增区间为(0a ，，()a ++∞（Ⅱ）1()2ln h x x a x x =-+，2221()x ax h x x ++'=（0x >），由题意知1x ，2x 是2210x ax ++=的两根，∴121x x =，122x x a +=-，211x x =，1112a x x =--， 12111()()()h x h x h x h x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11111112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1111111()2ln H x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21()21ln H x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭22(1)(1)ln x x x x +-= 当103x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，()0H x '<，()H x在103⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，()H x的最小值为120ln31633H -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即12()()h x h x -的最小值为20ln 3163-22.【解析】（Ⅰ）曲线1C 的直角坐标方程为22194x y +=；曲线2C 的直角坐标方程为221x y +=．（Ⅱ）连结PO ，OQ ．因为PQ 与单位圆2C 相切于点 Q ，所以PQ OQ ⊥．所以||PQ =因为||2PO =又因为点P 在x 轴的上侧，所以当且仅当P 点位于短轴上端点时||PQ 最小．此时(02)P ，，在POQ △中，||2||OP OQ =，所以π6OPQ ∠=，又因为点Q 在y 轴的左侧，所以直线PQ所以直线PQ20y -+=．所以直线PQcos sin 20θρθ-+=． 23.【解析】（Ⅰ）若2m =，1n =，则函数3(1)()|22||2|4[12)3[2)x x f x x x x x x x -∈-∞-⎧⎪=++-=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，，可得()6f x >的解集为(2)(2)-∞-+∞U ，，．（Ⅱ）证明：()|2||2||24|f x x n x m x n +-=++-|4|4m n m n +=+≥14(4)m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭168816m n n m =+++=≥。

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