武汉理工电磁场第5章 作业参考答案

0 y b 2 yb
b 2
解：由边界条件 （x,0） （x, b） 0 知，方程的基本解在 y 方向应该 为周期函数，且仅仅取正弦函数，即
Y sin k y n n (k n b )
n
在 x 方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双曲余弦函数，使用 边界条件 （0, y） 0 ，得出仅仅选取双曲正弦函数，即
3 y 3x a e U sin 0 a
5．9 一个矩形导体槽由两部分构成，如图 5-9 所示，两个导体板的 电位分别是 U0 和零，求槽内的电位。 解：将原问题的电位看成是两个电 位的叠加。一个电位与平行板电容 器的电位相同（上板电位为 U0，下 板电位为零） ，另一个电位为 U，即
φ=U0 a x φ=0 φ=0
X
sin k x n n
(k
n

n a
)
图 5-7
在 y 方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在 y→∞时， 电位趋于零，所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为
k y Y e n n
由基本解的叠加构成电位的表示式为
ny nx C sin e a a n 1 n
U b U0 y n y b ny b ny b dy 0 [( ) 2 sin sin y cos ] 2 0 2 b b b n b n b 0 n b2 n 0 b 2 [( ) sin cos ] 2 2 n 2 b n U
U ny b ny b y ny b ny b 0 b 2 b U (1 ) sin cos [( ) sin y cos ]b dy U b b 0 b n b n b b b b 0 n 2 2 2
0
为
ny 4U nx 0 e a sin a n 1,3,5 n
5 ．7
若上题的底部的电位为
（x ,0）U sin 3x
0
a
重新求槽内的电位。 解：同上题，在 x 方向选取正弦函数，即 X sin k x ( k
n n n n a ) ，在 y
k y 方向选取 Y e n 。 n
q 2 Q q Q Rq / D 。点电荷
q 受导体球的作用力就等于球内两个镜
像电荷对 q 的作用力，即
Rq Rq D D ] F [ 2 ] [ 4 D 2 ( D b) 2 4 2 2 2 D R 0 0 (D ) D q q q q Q
移动点电荷 Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这 个过程中， 外力作功等于系统静电能的增量， 即外力作功为 q
2 / 8 d 0
。
5．2 一个点电荷放在直角导体内部（如图 5-1） ，求出所有镜像电荷
y
的位置和大小。 解：需要加三个镜像电荷代替 导体面上的感应电荷。在（-a，d） 处，镜像电荷为-q，在（错误！链接无效。）处， 镜像电荷为 q，在（a，-d）处，镜 像电荷为-q。 5．3 证明：一个点电荷 q 和一个带有电 荷 Q、半径为 R 的导体球之间的作用力为
待定系数由 y=0 的边界条件确定。在电位表示式中，令 y=0，得
U nx C sin a 0 n 1 n
aUБайду номын сангаасnx 0 a C 0 U sin dx (1 cos n ) 0 a n n 2 a 4U
当 n 为奇数时， C
n
0
n
，当 n 为偶数时， C 0 。最后，电位的解
q q q q 3 1 1 2 （ ） 4 R r r r 1 2 3 0
其中
1 R [x y (z d ) ] 2 2 2 2
1 2 2 2 r [x y (z d ) ] 2 1 1 2 2 2 r [ x y ( z b) ] 2 2
F q 4 0 Rq Q D DRq [ ] 2 2 2 2 (D R ) D
·
-q
d
·
a x
q
· q
图 5-1
· q
其中 D 是 q 到球心的距离（D＞R） 。 证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电 Q，必须在 导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。 在距离球心 b=R2/D 处 ， 镜 像 电 荷 为 q ＇ = -Rq/D ； 在 球 心 处 ， 镜 像 电 荷 为
2 / 8 d 0
。
也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电 荷之间的相互作用能：
Q Q2 Q 1q 1Q 1 ( Q ) W 1 q 2 1 1 2 2 2 2 4 ( 2 d ) 2 4 ( 2 d ) 8 d 0 0 0
p q (b b ) 1 1 2 a 3Q D2
（2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。设+Q 和 -Q 位于坐标 z 轴上， 当 Q 和 D 分别趋于无穷， 同时保持 Q/D2 不变时， 由+Q 和-Q 在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个 均匀场。均匀场的大小为 2Q / 4 0 D ，方向在-ez。由镜像电荷产生的 电场可以由电偶极子的公式计算：
第五章习题解答
5.1 一个点电荷 Q 与无穷大导体平面相距为 d，如果把它移动到无 穷远处，需要作多少功？ 解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替， 镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷 Q 离导体 板的距离为 x 时，电荷 Q 受到的静电力为
F Q2 4 0 (2 x) 2
由基本解的叠加构成电位的表示式为
ny nx C sin e a n a n 1
将 y=0 的电位代入，得
nx U sin C sin a 0 a n 1 n 3x
应用正弦级数展开的唯一性，可以得到 n=3 时， C C ，其余系数
3 0 C 0 ，所以 0
静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的 外力
f Q 2 2
4 ( 2 x ) 0
在移动过程中，外力 f 所作的功为
Q2 Q2 dx d f dx d 16 x2 16 d 0 0
当用外力将电荷 Q 移动到无穷远处时， 同时也要将镜像电荷移动 到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为 q
化简以后，得到
a
U a n aU ( 0, y ) sin ny dy = 0 C 0 cos 2 n a 2 n
只有偶数项的系数不为零。将系数求出，代入电位的表达式，得
U

2U n y nx n 0 0 e cos sin y n a a 2 a n 2, 4,
X sh n b x
n
将基本解进行线性组合，得
C sh
n 1 n nx b sin
nx b nx b
待定常数由 x=a 处的边界条件确定，即
( a , y ) C sh
n 1 n nx b sin
使用正弦函数的正交归一性质，有
b
na b ( a , y ) sin ny dy C sh 0 b b 2 n
E P 4 r 3 0 (e 2 cos e sin ） r
2

2a 3 Q (e 2 cos e sin ） r 3 2 4 r D 0
5． 5 接地无限大导体平板上有一个半径为 a 的半球形突起， 在点 （0， 0，d）处有一个点电荷 q（如图 5-5） ，求导体上方的电位。 解：计算导体上方的电位时，要保持 导体平板部分和半球部分的电位都为 零。先找平面导体的镜像电荷 q1 = -q， 位于（0，0，-d）处。再找球面镜像 电荷 q2 = -aq/d，位于（0，0，b）处， b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电 荷共同产生的电位时，在导体平面上和
U n 0 b 2 0 b U （cos n cos ) ( ) sin b cos n 2 b n 2 b n 0 n b n
U n 0 b b cos 2 b n 2
U
化简以后得
b na b n b ( a , y ) sin ny dy = 0 C sh 2U sin 2 n b b 2 0 n 2 2
a 0 2
U y U ny ny a ny a 0 0 a 2 sin [( ) sin ] 2 dy y cos a a a a n a n 0
U a 2 n a2 n 0 [ ( ) sin cos ] 2 2 n 2 a n
U y ny ny a ny ny a a a 0 a 2 dy U cos y cos [( ) sin ]a a U (1 ) sin a a 0 a a a a n a n a 0 n 2 2 2 U n 0 a 2 0 a U ) ( ) sin （cos n cos a cos n 2 2 a n a n 0 n a n U n 0 a a cos 2 a n 2 U
a z d ·q b·q2
· -b·q
3
-d·q1
图 5-5
位于 （0， 球面上都不为零， 应当在球内再加上一个镜像电荷 q 3 =aq/d， 0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平 面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。 导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即
0 y
x→∞时，电位 U 应该趋于零。U 的形式解为
nx ny U C sin e a a n 1 n
待定系数用 x=0 的条件确定。
U（0, y） U C sin
n 1 n n y a
a
aU ( 0, y ) sin ny dy C 0 2 n a
1 r [ x y ( z b) ] 2 3 2 2 2
5．6
求截面为矩形的无限长区域（0<x<a，0<y<b）的电位，其
四壁的电位为
（x ,0） （x , b） 0 （0, y） 0
U 0y , b （a , y） U (1 y ), 0 b
求出系数，代入电位表达式，得
n sin 4U ny nx 0 2 sh sin 2 2 b b n a n 1 n sin b
5．7 一个截面如图 5-7 所示的长槽，向 y 方向无限延伸，两则的电位 是零，槽内 y→∞，φ→0，底部的电位为
（x ,0）U
0
y
求槽内的电位。 解：由于在 x=0 和 x=a 两个边界的 电位为零，故在 x 方向选取周期解， 且仅仅取正弦函数，即
Rq Q D DRq [ ] 2 2 2 2 4 D (D R ) 0 q
5．4 两个点电荷+Q 和-Q 位于一个半径为 a 的接地导体球的直径的 延长线上，分别距离球心 D 和-D。 （1） 证明： 镜像电荷构成一电偶极子， 位于球心， 偶极矩为 2a3Q/D2。 （2）令 Q 和 D 分别趋于无穷，同时保持 Q/D2 不变，计算球外的电 场。 解： （1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。在球内应该加上两个 镜像电荷：一个是 Q 在球面上的镜像电荷，q1 = -aQ/D，距离球心 b=a2/D ；第二个是 -Q 在球面上的镜像电荷， q2 = aQ/D ，距离球心 b1=-a2/D。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶 极子，电偶极矩为
0 y U a
U
y φ=U0 a
a 2
φ=U0 x
图 5-9
其中，U 满足拉普拉斯方程，其边界条件为 y=0 , U=0 y=a , U=0 x=0 时,
U y 0 U （0, y） a
U y 0 U 0 a , U y 0 , a
a 2
ya a 2