桃李上学期高三数学理期中试卷
2021年高三上学期期中质量检测数学(理)试题(含附加题) Word版含答案
2021年高三上学期期中质量检测数学（理）试题（含附加题） Word 版含答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知全集，，，那么 ▲ ．2.设函数，则的值为 ▲ ．3.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ▲ ．4.设满足约束条件则目标函数的最大值为 ▲ ．5.不等式的解集为 ▲ .6.下列四个命题中 （1）若，则；（2）命题：“”的否定是“”； （3）直线与垂直的充要条件为；（4）“若，则或”的逆否命题为“若或，则” 其中正确的一个命题序号是 ▲7.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是▲________． 8．在锐角中，，，的面积为，则的长为 ▲ .9.已知两曲线f (x )=cos x ,g (x )=3sin x ,x ∈(0,π2)相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ,C 两点，则线段BC 的长为 ▲B10.在平面直角坐标系中，为直线上的两动点，以为直径的圆恒过坐标原点，当圆的半径最小时，其标准方程为▲11.动直线过定点且，则的最小值为▲．12.已知关于的不等式的解集为,若，则实数的取值范围是▲13.已知的导函数为.若，且当时，，则不等式的解集是▲ .14.已知函数若方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是▲二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(本小题满分14分)已知且(1)若，求的值；(2)若，求的值。
16.(本小题满分14分)设是边长为的正三角形，点四等分线段（如图所示）（1）为边上一动点，求的取值范围？（2）为线段上一点，若，求实数的值；17.(本小题满分14分)如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设（1）为减少对周边区域的影响，试确定E,F 的位置，使与面积之和最小； （2）为节省建设成本，试确定E,F 的位置，使之和最小。
高三上学期期中数学理科试卷及答案
山东省聊城市 —高三第一学期期中考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷的答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知集合，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．函数的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1） 3．如右图所示，D 是的边AB 的中点，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数中，其图像的一部分如右图所示的是（ ）A ．B ．{|},{|12},()R A x x a B x x A C B R =<=<<⋃=且a 1a ≤1a <2a ≥2a >2()ln(1)f x x x=+-ABC ∆CD =12BC BA -+12BC BA --12BC BA -12BC BA +sin()6y x π=+sin(2)6y x π=-C．D．5．给出下列四个命题：①命题“，都有”的否定是“，使”②一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是5；③将函数的图像向右平移个单位，得到的图像；④命题“设向量，若”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2。
其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．06．已知垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．17．已知的值为（）A．B．C．D．8．已知，则在同一坐标系内的大致图象是（）9．设函数的图象位于轴右侧所有的对称中心从左至右依次为，则A的横坐标是（）A．B．C．4021 D．402310．若函数内有极小值，则实数b的取值范围是（）A．（0，1）B．（—，1）C．（0，+）D．（0，）cos(4)3y xπ=-cos(2)6y xπ=-x R∀∈2314x x-+≥x R∃∈2314x x-+<cos2y x=4πcos(2)4y xπ=-()4sin,3,(2,3cos)a bαα==//,4a bπα=则,||2,||3,32a b a b a b a bλ⊥==+-且与λ32-3232±21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+则16221332213182(),()log||(0,1),(2011)(2011)0xaf x ag x x a a f g-==>≠⋅-<且且(),()y f x y g x==cos2y xπ=y12,,,,nA A A3()63(0,1)f x x bx b=-+在∞∞1211．已知定义在R 上的偶函数，且当时，，则的值为（ ）A ．—2B ．—1C ．2D ．112．已知函数的定义域为（—，+），的导函数，函数的图象如右图所示，且，则不等式的解集为 （ ） A ． B ．C ．（2，3）D ．第Ⅱ卷（非选择题，90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2021年高三上学期期中测试数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期期中测试数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷从第 1页至第2页；第Ⅱ卷从第3页至第4页；答题纸从第1页至第6页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1,3,5页左侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知锐角终边上一点的坐标是，则的弧度数是 （ A ）A ．B ．C ．D ． 2．若，为实数，则“”是“或”的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知直线是的切线，则的值为 ( C )A ．B ．C ．D ． 4．若函数，若，则实数的取值范围是 （ A ）解析：特值法：取及成立，选A ；图象法：画图，看图；代数法：当时，12()0()log 001f a f a a a ->⇒-=>⇒<<； 当时2()0()log ()001f a f a a a -<⇒-=-<⇒<-<；A ．B ．C ．D ． 5． 函数的图象是（ A ）解析：奇函数；求导，极值点为.6．设函数，的零点分别为，则（ A ）20 2 6解析：A．B．C．D．7．对于函数，若存在区间（其中），使得则称区间M为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④.其中存在“稳定区间”的函数有（ B ）A．①③B．①②③C．②④D．①②③④8．函数为定义在上的减函数，函数的图象关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为( D ) A．B．C．D．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若复数（）为纯虚数，则等于. 110．若，则与的夹角为.11．已知{不超过5的正整数}，，，且，则.12．函数的图象如图所示，则ω= ,．，13．已知向量满足,,，则.14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论：①当时，函数的值域为；②，都有成立；③，函数的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是_________.②③解析：以B为原点建立直角坐标系，则,，，设，∵，∴，，，，①当时，，，则，所以①错；②，所以②成立；③∵,∴开口向上，又∵对称轴，三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）在锐角中，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得 ----------2分因为所以 ------------------------5分在锐角中， ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得 -------------------------9分又因为，所以，即 -------------------------11分解得， ---------------------------12分经检验，由可得，不符合题意，所以舍去. --------------------13分16.（本小题满分13分）已知向量，，，其中．（Ⅰ）当时，求值的集合；（Ⅱ）当时，求的最大值．16．解：（Ⅰ）由，得，即……4分则，∵,得或，．……………………………5分∴或为所求．………………………………6分（Ⅱ），………10分∵，∴，由图象性质，当即时，有最大值为12，有最大值为．……………………13分17.（本小题满分13分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.17.解：（Ⅰ）由题意可得：…………2分因为时，，所以. ……………………………………4分所以. ……………………………………5分（Ⅱ）当时，.1818182818=[2(8)]182********L x x x x x x （）（）≤.……………………………………9分 当且仅当，即时取得等号.……………………………………10分当时，. ……………………………………12分所以当时，取得最大值.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元. …………………13分18.（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．解：（Ⅰ）由三角函数定义，得 ，…………2分因为 ，，所以 ． ………………3分所以 21cos()cos 322x π=+==αα-α（Ⅱ）解：依题意得 ，． 所以 ， ………………7分222111||[cos()]sin()sin(2)223343S x y ππ==-+⋅+=-+ααα ……9分 依题意得 ，整理得 ． ………………11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分19.（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ)若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.19. 解：（Ⅰ）∵，∴，定义域 ，令得，减 增∴无极大值， ……3分（Ⅱ）， 定义域 ，∴ ………4分①当时，在上恒成立，∴在上递增； ………6分②当时，令得， 减 增∴在上递减，在上递增； …………8分（Ⅲ）∵区间上存在一点，使得成立，即： 在上有解，即：当时， …………9分由（Ⅱ）知①当时，在上增，∴；……10分②当时，在上递减，在上递增（ⅰ）当即时， 在上增， ∴， ∴无解 ……11分（ⅱ）当即时， 在上递减∴2min 11()01a e h h e e a a e e ++==-+<⇒>- ∴ …………12分 （ⅲ）当即时， 在上递减，在上递增∴，令2ln(1)2()1ln(1)a a a F a a a a+-+==+-+，则 ∴在递减 ∴ ∴无解即无解 ………14分综上：或20．（本小题满分14分）已知是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点.若点B 的坐标为（2，0），且上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）在函数的图象上是否存在一点在点M 处的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的取值范围.20．解：（Ⅰ） ……………………………………2分依题意上有相反的单调性.所以的一个极值点.故 ………………4分（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得………………………2分因为上有相反的单调性，所以上有相反的符号.故………………………………………………7分假设存在点使得在点M 处的切线斜率为3b ，则即因为),9(4364)3(34)2(22+=+=-⨯-=∆ab ab ab b b a b 且、b 异号.所以故不存在点使得在点M 处的切线斜率为3b .………………10分（Ⅲ）设),)(2)(()(),0,(),0,(βαβα---=x x x a x f C A 依题意可令 即]2)22()2([)(23αβαββαβα-+++++-=x x x a x f .2)22()2(23αβαββαβαa x a x a ax -+++++-= 所以即…………………………12分所以因为max 63,6,b b AC a a-≤≤-=-=所以当时 当………………………14分34534 86E6 蛦35150 894E 襎R23541 5BF5 寵2}22201 56B9 嚹%24349 5F1D 弝h27559 6BA7 殧[37382 9206 鈆 7。
高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三数学（理科）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设命题p ：x R ∀∈，2320x x -+≤，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∃∈，200320x x -+≤ B ．x R ∀∈，320x x -+> C ．0x R ∃∈，200320x x -+>D ．x R ∀∈，320x x -+≥2．若{}0,1,2A =，{}2,a B x x a A ==∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,43．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．5z =D ．13122z i i =++ 4．已知3a i j =+，2b i =，其中i ，j 是互相垂直的单位向量，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．28D ．245．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()2E X =，()43D X =，则p =（ ） A ．34B ．23C ．13D ．146．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若6k a S =，则k =（ ）A ．15B ．16C ．17D ．187．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（ ） A ．3-B ．12-C ．12D ．3 8．已知函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧+>⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()1g f -的值为（ ）A ．10-B ．9-C ．7-D ．19．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移23π个单位 10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（ ）A ．11A PB D ⊥B ．三棱锥1D APC -的体积不变，为83C ．1//A P 平面1ACDD ．1A P 与1D C 所成角的范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()ln 1f x x =+，若存在互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则411i if x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知点A 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标为______． 14．若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为______．15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈满足()()2411n n S a +=+，则361111kk kk k kaa a a =++-=-______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =，3b =，求ABC △的面积18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角A PB E --的大小．19．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参考成绩统计如图所示．（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名学生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求()3P ξ≤（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-． （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按与按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．21．已知函数()ln x xf x xe x=+． （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意的()0,x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围 请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()23,0P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为141x k k y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=（1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围 23．选修4-5：不等式选讲 已知x ，y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式1121a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围．大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案1．C 2．C 3．D4．A 5．C 6．B 7．A8．B 9．A 10．D11．B12．A13．(-14．315．52π1617．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）解：（Ⅰ）由2tan tan tan B bA B c =+及正弦定理可知，∴sin 2sin cos sin sin cos cos cos B B B A B C A B =+∴()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C⋅⋅=+， 所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3A π=（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得21393c c =+-，所以2340c c --=，即()()410c c -+=， 所以4c =，从而11sin 3422ABC S ab A ==⨯⨯=△18．（1）证明见解析；（2）60°解析：（1）连结PD ，∵PA PB =，∴PD AB ⊥，∵//DE BC ，BC AB ⊥，DE AB ⊥ 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PE ⊂平面PDE ，∴AB PE ⊥ （2）法一：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 则DE PD ⊥，又ED AB ⊥，PD ⋂平面AB D =，DE ⊥平面PAB过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥，DFE ∠为所求二面角的平面角，32DE =，2DF =，则tan DEDFE DF∠==A PB E --大小为60°法二：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，∴()1,0,0B ，()0,0,3P ，30,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()1,0,3PB =-，30,,32PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面PBE 的法向量()1,,z n x y =，∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =，得()13,2,3n = ∵DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n = 设二面角A PB E --大小为θ，由图知，1212121cos cos ,2n n n n n n θ⋅===⋅， 所以60θ=︒，即二面角的A PB E --大小为60°19．（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分（2）依题意z 服从正态分布()2N μσ，，其中=70.5x μ=，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()2270.5,14.31N N μσ=，，而()()56.1984.810.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=，而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=20．（1）证明见解析，21nn a =-；（2）11202（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①-②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-（2）根据（1）求解知，()22log 12121n n b n =+-=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列又因为11a =，23a =，37a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+-281072911202=-+=21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）k ，，1 解析：（Ⅰ）()()21ln 1x xf x x e x +'=++，易知()f x '在()0,e 上为正，因此()f x 在区间()0,1上为增函数，又1210xe ef e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()0f I e =>因此()10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 在区间()0,1上恰有一个零点， 由题可知()0f x >在()1,+∞上恒成立，即在()1,+∞上无零点， 则()f x 在()1,+∞上存在唯一零点（Ⅱ）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0x x x e x +=，原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥， 令()ln 1xxe x g x x--=，则()ln x xxe x g x x+'=，由（Ⅰ）可知()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，00x x e t =故只求()0g x ，设00x x e t =，下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则0ln x t x =-， 可得0000ln ln ln x tx x x t =-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左右负不相等，只能1t =因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即k ，，1求所求 22．（1）S 的普通方程为：2240x y x +-=()04,0x y ≤≤≥或()0,0x y >≥或()0,0x y ≠≥方程写标准式也可S 的极坐标方程为：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭（不写范围扣2分） （2）0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23．（1）见证明；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】解：（1）由柯西不等式得)2222211x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅+⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦ ∴()()222433x y x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式1121a a x y+≥-++恒成立，即可转化为214a a -++≤， 当2a ≥时，214a -≤，可得522a ≤≤， 当12a -<<，34≤，可得12a -<<， 当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
高三数学上学期期中质量监测试卷 理含解析 试题
2021届高三上学期期中质量监测数学〔理〕试题创作人：历恰面日期：2020年1月1日第I卷〔选择题60分〕一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，满分是60分；在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕1.集合，，那么=A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据对数函数和指数函数的单调性，化简集合，再求集合的并集..【详解】∵lgx≤0=lg1，即0＜x≤1，∴A=〔0，1]；∵2x≤1=20，即x≤0，∴B=〔-∞，0]，那么A∪B=〔-∞，1]．应选B【点睛】此题考察了集合的并集运算，涉及了对数函数与指数函数的单调性的应用；求集合的并集，通常需要先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规那么求解.2.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，以及对数的真数大于0，得到关于x的不等式组，解不等式即可求解.【详解】根据题意，得，即，解得 .应选C【点睛】此题考察了求函数的定义域问题，涉及了对数函数的图象与性质，函数的定义域是使函数解析式中各个局部都有意义的自变量的取值范围，求解时，将自变量的限制条件列成一个不等式〔组〕，解之即可.3.设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，得，又由，得，所以“〞是“〞的既不充分也不必要条件，应选D．4.,, ,那么有A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及对数运算进展判断.【详解】∵∴ .应选A.【点睛】此题考察了指数函数和对数函数的单调性的应用，考察了对数的运算，采用了“中间量〞法比拟大小.5.定积分=A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，应选B.6.,，那么与的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将展开，利用向量的数量积公式求解.【详解】解得∵两向量夹角的范围为[0°，180°]，∴的夹角为60°．应选C【点睛】此题考察了平面向量的数量积运算，考察了向量的夹角，在解题时要注意两向量夹角的范围是 .7.命题存在实数,满足；命题：().那么以下命题为真命题的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合命题真假关系判断各选项.【详解】当α=β=0时，满足sin〔α+β〕=sinα+sinβ，故命题p是真命题，那么是假命题，当a=时，log a2=-1，log2a=-1，不等式不成立，故命题q是假命题，那么是真命题，那么是真命题，其余为假命题.应选A【点睛】此题考察了判断复合命题的真假；，有真为真，都假为假；都真为真，有假为假；真假相反.〔是常数，〕，且函数的局部图象如下图，那么有〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意，，，，，由图象知的一个减区间是，一个增区间是，，，，，所以，应选D．考点：的解析式，比拟大小，三角函数的单调性．【名师点睛】函数的解析式确实定可利用最大值与最小值确定振幅，利用周期确定，利用五点确定，特别是填空题、选择题中，可直接利用五点中确实定，而不需要象解答题一样通过解三角方程求得．9.以下图是函数的局部图象，那么函数的零点所在的区间是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，根据导数判断其在定义域上单调递增，结合二次函数图象，判断，故可判断，即可得解.【详解】，那么，故，定义域为∵，∴在定义域上单调递增，那么假设存在零点，那么零点唯一.∵，根据二次函数的图象，，故，∴，∵∴函数g〔x〕=lnx+f′〔x〕的零点所在的区间是〔，1〕.应选C【点睛】此题考察了导数的运算及应用，考察了函数零点所在区间的判断，涉及了二次函数图象的应用，考察了数形结合的思想 .在解题过程中，要注意定义域优先原那么，分析函数单调性和零点必须在函数定义域内进展.10.，且那么目的函数的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，再平移直线2x+y=0确定取最小值时点的位置，进而求解.【详解】作出x，y∈R，且所表示的平面区域，作出直线2x+y=0，并对该直线进展平移，可以发现经过点A时Z获得最小值.由解得A〔-3，4〕， .应选B【点睛】此题考察了线性规划求最值，解决这类问题一般要分三步：画出可行域、找出关键点、求出最值．线性规划求最值，通常利用“平移直线法〞解决.11.是的外心，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】展开，结合向量在向量方向上投影的概念求解．【详解】，∵，结合外心的性质，如图，可知，∴，同理∴应选C.【点睛】此题考察了平面向量的数量积运算，考察了向量在向量方向上投影的概念，考察了平面向量在几何中的应用；解答的关键是外心的几何性质与向量的投影概念相结合.12.假设直线是曲线的切线，也是曲线的切线，那么实数的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别设切点，利用切线斜率相等得,那么切线方程为，，可得，计算可得解.【详解】直线是曲线的切线，也是曲线的切线，设切点分别为，令f〔x〕=，那么，令g〔x〕=，那么可知，即，过切点表示切线方程：整理得，过切点表示切线方程：整理得故，解得故应选A.【点睛】此题考察了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察了学生对导数意义的理解，还考察了直线方程的求法；曲线的切点，包含以下三方面信息：①切点在切线上，②切点在曲线上，③切点横坐标处的导数等于切线的斜率.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕13.向量假设，那么实数__________．【答案】【解析】分析：首先根据向量的运算法那么，求得向量的坐标，之后应用向量平行时坐标所满足的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.详解：点睛：该题考察的是有关利用向量平行求参数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有数乘向量，向量加法运算法那么，向量一共线时坐标所满足的条件，正确应用公式是解题的关键.14.设当时,函数获得最大值,那么______.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式，结合三角函数的性质以及诱导公式求解.【详解】利用辅助角公式，其中当时,函数获得最大值，，故，那么，故故填：【点睛】此题考察了辅助角公式的应用，考察了正弦函数的最值，考察了三角函数的诱导公式的应用. 辅助角公式：其中.15.观察以下各式：… … …照此规律，那么第个等式应为_______.【答案】【解析】【分析】左边为几个连续整数的立方的和的形式，右边是数的平方形式，观察归纳得出右边式子底数的通式，即可求解.【详解】第1个式子右边底数为1，第2个式子右边底数为3=1+2=，第3个式子右边底数为6=1+2+3=，……归纳可得：第n个式子右边底数为1+2+3+…+n=故第个等式为故填：【点睛】此题考察了归纳推理的运用，属于数的归纳，此类题目通常既要观察式或者数与序号之间的关系，还要联络相关知识，比方等差数列等.16.函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，那么不等式的解集为_______.【答案】【解析】【分析】构造函数F〔x〕=x2f〔x〕，结合题意，得出F〔x〕在〔-∞，0〕是增函数，原不等式等价为 ,结合函数的单调性和奇偶性求解即可.【详解】2f〔x〕+xf′〔x〕＜0，x＜0；那么2xf〔x〕+x2f′〔x〕＞0，即[x2f〔x〕]′＞0；令F〔x〕=x2f〔x〕，那么当x＜0时，＞0，即F〔x〕在〔-∞，0〕上是增函数，∵F〔x-2021〕=〔x-2021〕2f〔x-2021〕，F〔-1〕=f〔-1〕，∴不等式等价为F〔x-2021〕-F〔-1〕＜0，∵偶函数f〔x〕是定义在R上的可导函数，f〔-x〕=f〔x〕，∴F〔-x〕=F〔x〕，∵F〔x〕在〔-∞，0〕是增函数，∴F〔x〕在〔0，+∞〕是减函数，由F〔2021-x〕=F〔x-2021〕＜F〔-1〕=F〔1〕得，|x-2021|＞1，解得x＞2021或者x＜2021．故填：{x|x＜2021或者x＞2021}．【点睛】此题考察了导函数的应用，考察了函数奇偶性和单调性的应用；假设题目中给出含有f′〔x〕的不等式，通常做法是构造函数，使所构造函数的导函数与不等式相结合. 三、解答题：〔本大题一一共6个小题，一共70分；解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.设命题函数在区间上单调递减；命题函数的值域是.假如命题为真命题，为假命题，务实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别求出p，q为真命题时m的范围，再由可得p和q有且只有一个是真命题，分类求解后，取并集得答案.【详解】命题为真命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，所以 .命题为真命题等价于恒成立，解得或者 .由题意，和有且只有一个是真命题，那么真假，解得；假真，解得.综上所述,所务实数.【点睛】此题考察了利用复合命题的真假求参数，考察了函数单调性与导函数的关系；复合命题“p或者q〞有真那么真，“p且q〞有假那么假，“非p〞，真假相反.18.向量,.〔Ⅰ〕假设，求的值；〔Ⅱ〕令,把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半〔纵坐标不变〕，再把所得图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，试求函数的单调增区间及图象的对称中心.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕见解析【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用两个向量垂直的性质以及，求得tanx的值，再利用二倍角的正切公式，求得tan2x的值；〔Ⅱ〕利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律求得g〔x〕的解析式，再利用正弦函数的单调性和图象的对称性，得出结论【详解】〔Ⅰ〕∵，∴，即.易知，〔否那么，题设“〞不成立〕，∴.∴.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，由题意，得.假设函数为单调递增，那么有 ()，得 ()，∴的单调增区间为().由 ()，得 ().即函数)图象的对称中心为 ().【点睛】此题考察了两个向量垂直的性质，向量数量积的坐标运算在三角函数的关系式中的应用，考察了二倍角的正切公式，考察了函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，以及正弦函数的单调性和图象的对称性. 是综合题.19.在中，内角所对应的边分别为，.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕试求的面积.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用正弦定理和二倍角公式，求的值；〔Ⅱ〕利用二倍角公式、诱导公式，两角和的正弦公式，求得sinA，再利用三角形面积公式求的面积.【详解】〔Ⅰ〕在中，∵，那么由正弦定理，得，∴，即.又，∴.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，且为的内角，∴，因此，.在中，有.∴.【点睛】此题考察了正弦定理，三角函数的诱导公式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，以及三角形面积公式在解三角形中的应用，考察了计算才能和转化思想.注意在等式变形中，一般两边不要直接约去公因式，而是通过移项、提取公因式求解.20.函数，不等式的解集为.〔Ⅰ〕务实数的值；〔Ⅱ〕假设关于的不等式恒成立，务实数的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕4；〔Ⅱ〕.【解析】【分析】〔Ⅰ〕解不等式得, 根据解集，务实数的值；〔Ⅱ〕结合绝对值不等式的几何意义，不等式恒成立恒成立恒成立，解不等式，即可务实数的取值范围.【详解】〔Ⅰ〕∵，∴不等式，即，∴，∴∴,而不等式的解集为，∴且，解得.〔Ⅱ〕由题设及〔Ⅰ〕，结合绝对值的几何意义得不等式恒成立恒成立恒成立.∴或者解得或者.故所务实数.【点睛】此题考察理解绝对值不等式问题，考察了不等式的恒成立问题；在解有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义，能有效的防止分类讨论不全面的问题.21.于2021年设立了水下考古研究中心，以此推动全的水下考古、水下文化遗产保护等工作;水下考古研究中心工作站，分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和博物馆。
2021-2022年高三上学期期中统考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期期中统考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若，则＝A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D.4.函数的图像为5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①； ②； ③； ④． 其中“同簇函数”的是A.①②B.①④C.②③D.③④ 6.若数列的前项和，则数列的通项公式 A. B. C. D. 7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.8.已知，满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若的最小值为，则A.B.C. D.9.在中,角的对边分别为,且22coscos sin()sin 2A BB A B B --- .则 A ． B ．C ．D ．10.函数是上的奇函数，1212()[()()]0x x f x f x --<,则的解集是 A . B. C. D.11.设函数2()2,()ln 3xf x e xg x x x =+-=+-，若实数满足，则A ．B ．C ．D ．12.给出下列四个命题，其错误的是①已知是等比数列的公比，则“数列是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. ②若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有(21)(21)0f x f x ++--=.③若存在正常数满足 ，则的一个正周期为 . ④函数与图像关于对称.A. ②④B. ④C.③D.③④第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.＝ ． （ ） 14.122133434344nn n n n ---+⋅+⋅++⋅+= ．15.在中，，，，则 ．16.设, 则当 ______时, 取得最小值.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知(2cos ,2sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,. (Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)设,若,求的值.18.(本小题满分12分）已知函数和的图象关于轴对称，且. (Ⅰ)求函数的解析式； (Ⅱ)解不等式19. (本小题满分12分）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和. (Ⅰ) 若，求数列的通项公式； (Ⅱ) 记,，且成等比数列,证明:().20.(本小题满分12分）如图,游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到,另一条是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,索道长为,经测量,,. (Ⅰ) 求山路的长;(Ⅱ) 假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 21．（本小题满分12分）新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制CBA定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： ①； ②试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.22．(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值； (Ⅱ)令21()()22aF x f x ax bx x=-++（），其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．xx.11理科数学 参考答案及评分标准一、二、13. 14. 15. 16. 三．解答题17解: (Ⅰ)∵∴又∵2222||4cos 4sin 4a a αα==+=,1sin cos ||2222=+==ββ……3分 ∴()222244448a ba ab b =-=-+=+=, ………………5分∴.…………………6分(Ⅱ)∵a 2b (2cos 2cos ,2sin 2sin )(2,0)αβαβ+=++= ∴即 …………………8分两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ……10分∵且 ∴ …………………12分18.解：(Ⅰ)设函数图象上任意一点，由已知点关于轴对称点一定在函数图象上，…………………2分代入，得 …………………4分 (Ⅱ)方法1或 ………8分112212x x ⎧-<<⎪⎪⇔⎨⎪≥⎪⎩或112212x x ⎧--<<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ …………………10分 或不等式的解集是x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭…………………12分 方法2：等价于或 解得或所以解集为11{|}22x x --<< 19解(Ⅰ)因为是等差数列，由性质知，…………2分 所以是方程的两个实数根，解得，………4分∴295,26,3,31n a a d a n ==∴=∴=-或2926,5,3,332n a a d a n ===-=-+ 即或.……………6分(Ⅱ)证明:由题意知∴∴ …………7分 ∵成等比数列，∴ ∴ …………8分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴…10分 ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边= 右边=∴左边=右边∴()成立. ……………12分 20解: (Ⅰ) ∵,∴∴, …………………2分∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π …………4分 根据得104063sin 12604sinC655AB AC B m ==⋅=所以山路的长为米. …………………6分 (Ⅱ)由正弦定理得50013565631260sin sinB===A AC BC () …………8分甲共用时间：，乙索道所用时间：，设乙的步行速度为 ，由题意得1265000(218)35v<-+++≤，………10分 整理得71500250062503,57114v v <-≤∴<≤∴为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在内. …………………12分 21．解：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立………3分 （Ⅱ）①对于函数模型：当时，是增函数，则显然恒成立 ……4分而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． ……7分 ②对于函数模型：当时，是增函数，则()()min 104lg10221f x f ==-=>． ∴恒成立． ………8分设，则．当时，()24lg 12lg 1lg 10555e e e g x x --'=-≤=<，所以在上是减函数， ……10分 从而()()104lg10220g x g ≤=--=．∴，即，∴恒成立．故该函数模型符合公司要求． ……12分 22.解：(Ⅰ)依题意，的定义域为， 当时，，21132()32x x f x x x x--'=--=……………………2分由 ，得，解得由 ，得，解得或，在单调递增，在单调递减；所以的极大值为，此即为最大值……………………4分(Ⅱ)1()ln ,[,3]2a F x x x x =+∈，则有在上有解， ∴≥， 22000111(1)222x x x -+=--+所以 当时，取得最小值……………8分(Ⅲ)方法1由得，令，令2()2ln 1,()10g x x x g x x'=+-=+>，∴在单调递增，……………10分 而，∴在，即，在，即，∴在单调递减，在单调递增，……………12分 ∴极小值=,令，即时方程有唯一实数解. 14分方法2：因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设2()2ln 2g x x m x mx =--，则令， 因为所以（舍去），， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，当时，取最小值. ……………10分 若方程有唯一实数解，则必有 即22222222ln 20x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩所以因为所以……………12分设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.∵，∴方程(*)的解为，即，解得………14分25288 62C8 拈26628 6804 栄 22440 57A8 垨^22609 5851 塑Z34942 887E 衾23056 5A10 娐434858 882A 蠪3 32263 7E07 縇。
山东省2024-2025学年高三上学期期中检测数学模拟试卷(含答案)
（2）由（1）得， cn n 2n ，
设数列cn 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn 1 21 2 22 3 23 n 2n ，
2Sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n1 ，相减得，
2 1 2n
Sn 21 22 23 2n n 2n1 1 2 n 2n1 .
x
x
f (x) 的减区间是 (
1 , ); 增区间是 (0,
1 ).
2a
2a
f (x) 极大值为 f (x)极大值 =f (
1 ) 1 (1 ln 2a); 2a 2
无 f (x)极小值.无极小值
（2）依题意：设 A f (x) x 1, B g(x) x 0 A B
2x 1, 0 x 1 g(x) {x, 1 x 2 . B (, 2]
4 x, x 2
① 若 1 1，在 x (1, ), f (x) (, 1 1 ln 2a) A B
2a
22
1 1 ln 2a 2 a 1 e5
22
2
故 a [ 1 e5, 1 ) ； 22
② 若 0 1 1, 在 x (1, ), f (x) (, f (1)) A (, 2], 2a
∴ Sn n 1 2n1 2 ，
∴数列cn 的前 n 项和为 n 1 2n1 2 . 18.（1）依题意， f x sin 2x cos 2x 2 sin(2x ) ，
4
所以 f x 的最小正周期为 π ；
由 π 2kπ 2x π π 2kπ, k Z ，得 3π kπ x π kπ, k Z ，
2024-2025 年高三上学期期中检测模拟试卷
一、单选题
1．已知集合 A x 5 2x 1 5 ， B x y 9 3x ，则 A B （ ）
数学高三期中考试卷
数学高三期中考试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡上。
）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}3. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x + 1的导数是：A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 3C. 3x^2 - 9x + 4D. 3x^2 - 9x + 14. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. 1B. 4C. 5D. 75. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)6. 若直线y = 2x + 1与直线y = -x + 4平行，则它们的斜率k的比值为：A. -1B. 1C. 2D. 07. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值为：A. 11B. 13C. 15D. 178. 已知等比数列{b_n}的首项b_1 = 4，公比q = 3，求b_3的值为：A. 36B. 48C. 64D. 729. 函数y = sin(x)的周期为：A. πB. 2πC. 3πD. 4π10. 已知复数z = 1 + i，求|z|的值为：A. 1B. √2C. 2D. √3二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案写在答题卡上。
）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值为______。
12. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (2, 1)，求向量a与向量b的夹角的余弦值为______。
2021-2022年高三上学期期中考试数学(理)试题 含答案(III)
2021-2022年高三上学期期中考试数学（理）试题 含答案(III)（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（56分）1. 若全集，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则 .答: 2．方程 的解是 ．3．函数sin cos ()sin cos 44xxf x x x ππ-=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期 . 4. 满足的锐角的集合为 . 5. 函数的反函数是 .6. 满足不等式的实数的集合为 . 7．在的二项展开式中，常数项等于 . 8. 函数的单调递增区间为 .班级 姓名 班级学号 考试学号9．设等比数列的公比,且()135218lim ,3n n a a a a -→∞++++=则 . 210. 若()22,[1,)x x af x x x++=∈+∞的函数值总为正实数，则实数的取值范围为 .11.函数的值域为 .12.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）. 答: 13.函数sin cos 237,,sin cos 244x x y x x x ππ-+⎡⎤=∈⎢⎥++⎣⎦的最小值为 .14． 设若时均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则_______．二、选择题（20分）15. 要得到函数的图像，须把的图像（ ）向左平移个单位 向右平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位16. 若函数为上的奇函数，且当时，则当时，有（ ）17. 对于任意实数，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间上的值出现的次数不小于次，又不多于次，则可以取……………………………（ B ）A. B. C. D.18．对任意两个非零的平面向量，定义,且和都在集合中.若平面向量满足，与的夹角，则（）A． B． C． D．三、解答题19．（满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：（1）三角形的面积；（6分）（2）异面直线与所成的角的大小.（6分）[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD. ……3分因为PD=，CD=2，所以三角形PCD的面积为. ……6分（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)，xy ABCDPE，. ……8分 设与的夹角为，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，=.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是 ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线BC 与AE 所成的角 ……8分在中，由EF =、AF =、AE =2知是等腰直角三角形， 所以∠AEF =.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是 ……12分20. (满分14分)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结，………2分 由已知，北乙 甲ABCDPEF122060A A ==，……4分 ，又12218012060A A B =-=∠， 是等边三角形，………6分 ， 由已知，，1121056045B A B =-=∠，………8分在中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯ ．．………12分因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里． ………14分解法二：如图，连结，………2分由已知，122060A A ==，………4分 ，乙cos 45cos60sin 45sin 60=-，sin 45cos60cos 45sin 60=+．………6分在中，由余弦定理：22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯．． ………8分由正弦定理：11121112222(13)2sin sin 10(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， ，即121604515B A B =-=∠， ………10分2(1cos15sin105+==．在中，由已知，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B AB A B A B=++22210(1210(14+=+-⨯+⨯．，………12分乙甲乙船的速度的大小为海里/小时．………14分 答：乙船每小时航行海里．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分）在平面直角坐标系O 中，直线与抛物线＝2相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线过点T （3，0），那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3, 此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3； ……… 2分当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 2122606ky y k y y --=⇒=-………6分又 ∵ ，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，………8分综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0). ………10分该命题是假命题. ………12分 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB 的方程为：，而T(3,0)不在直线AB 上；……… 14分说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).22. （本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分12分设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若为偶函数，求实数的值； (2)设，求函数的最小值. 解：(1)由已知 ………2分|2||2|,0x a x a a -=+=即解得.……… 4分(2)2212,2()12,2x x a x af x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ………6分当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由得，从而，故在时单调递增，的最小值为；………10分 当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为；………14分由22(2)(1)044a a a ---=>，知的最小值为. ……… 16分23. (本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分) 已知函数的定义域是且,,当时,. (1)求证:是奇函数; (2)求在区间)上的解析式;(3)是否存在正整数，使得当x ∈时,不等式有解?证明你的结论.23. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分） (1) 由得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+, ----------------------3分由得, ----------------------4分故是奇函数.----------------------5分(2)当x ∈时,，. ----------------------7分 而)(1)(1)1(x f x f x f =--=-，. ----------------------9分当x ∈Z)时,，， ----------------------11分 （3）因此123)2()(--=-=k x k x f x f . 不等式 即为，即. ----------------------13分 令，对称轴为，因此函数在上单调递增. ----------------------15分因为1)21)(212(1)212)(1()212()212(2+-+=+++-+=+k k k k k k g ，又为正整数，所以，因此在上恒成立，----------------------17分 因此不存在正整数使不等式有解.----------------------18分精品文档34899 8853 術H40619 9EAB 麫Z26500 6784 构39895 9BD7 鯗"F39280 9970 饰L32305 7E31 縱36154 8D3A 贺实用文档。
高三数学上学期期中试卷理含解析试题
日期：2022 年二月八日。
密
2021 届第一中学高三上学期期中考试数学〔理〕试题
考前须知： 1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。 2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用 2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标 号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非 选 择 题 的 答 题 ：用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。写 在 试 题 卷 、草 稿 纸 和 答题卡上的非答题区域均无效。 4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
4．B
【解析】
【分析】
日期：2022 年二月八日。
运用向量的数量积表示出向量点乘结果，然后求出 的值 【详解】
，
根据题意可得：
即 两边平方化简可得
应选
【点睛】
此题主要考察了平面向量的数量积，属于根底题。
5．C
【解析】由等差数列的性质可得：
S9
6
9a1 a9
2
9a5 ，∴ a5
2 3
，那么
tana5
其中正四棱锥底面边长为 ，棱锥的高为 1，
那么多面体的体积为： 应选 【点睛】
日期：2022 年二月八日。
此题主要考察了空间几何体的体积，考察了学生的空间想象才能和运算求解才能，考察的核心素 养是直观想象，数学运算。
9．A 【解析】试题分析：先画出当 时，函数 的图象，又 为偶函数，故将 轴右侧的函数 图象关于 轴对称，得 轴左侧的图象，如以下图所示，直线 与函数 的四个交点横坐标从左到
三、解答题 17．〔1〕函数
新高考高三上学期期中考试数学试题(附参考答案及评分标准)
*
，
是和
的等
a
nN
b
n
a
a
n1
n
n
比中项.
_________________.
四、解答题：本大题共6小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（）设
，求证：
1
，
c是等差数列；
cb
n
2
n1
b
2
nN
*
n
n
18.(本小题满分
分
12)
1
1
（）若,1
2
d
答案A
B
A
A
A
D
C
B
B
ABCACDABC
23x5x
2
二、填空题
A
分
·············································14
3
3
3
2sinCsinBsinAcosB
513
8
2
6
1；
解：（）由正弦定理得：
20.
1
14.
15.
16.
17.
13
sin
BA
sincos
B
化简得：2sinCcosAsinBcosAsinAcosB
，则ab
bc的值可能为
12.
13.
A．2
B．33
．
．2
D
C0
《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，
分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷
高三上学期期中数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(1) = 3$，$f(2) = 8$，$f(3) = 15$，则$a + b + c$的值为：A. 6B. 7C. 8D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10} + a_{20} + a_{30}$的值为：A. 120B. 150C. 180D. 2103. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|^2$的值为：A. 13B. 14C. 15D. 164. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的取值范围为：A. $(-1, 1)$B. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$C. $(-\infty, 1] \cup [1, +\infty)$D. $[-1, 1]$5. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 1$，公比$q = -2$，则$a_3 \cdot a_5\cdot a_7$的值为：A. -8B. -16C. 8D. 166. 若不等式组$\begin{cases} x + y \geq 1 \\ x - y \leq 1 \end{cases}$的解集在坐标系中对应的图形为：A. 一个正方形B. 一个矩形C. 一个三角形D. 一个平行四边形7. 函数$f(x) = x^3 - 3x$在区间$[0, 3]$上的最大值和最小值分别为：A. $-2, -3$B. $-3, -2$C. $2, -3$D. $3, -2$8. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$b^2$的值为：A. 4B. 3C. 2D. 19. 若函数$g(x) = \log_2(x + 1) - \log_2(x - 1)$的定义域为$[1, 3]$，则$g(x)$在定义域内的最大值为：A. 1B. 0C. -1D. 无最大值10. 若直线$y = kx + 1$与直线$y = -\frac{1}{k}x + 1$的交点在第一象限，则$k$的取值范围为：A. $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$B. $(-\infty, 0) \cup (0,1)$ C. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ D. $(-1, 0) \cup (0, 1)$二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n^2 - 3n$，则$a_1$的值为______。
2021年高三上学期期中联考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期期中联考数学（理）试题 含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A. B. C.0 D.1 2．已知全集21{|230},{|0|}3x U x x x A x x -=-+-≤=>-，则C U A=（ ） A ．{x|l<x<2} B ．{x|l ≤x ≤2} C ．{x|2≤x<3} D ． {x|2≤x ≤3或x=1}3．设集合和集合都是自然数集合，映射,把集合中的元素映射到集合中的元素,则在映射下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.54．已知数列的通项公式为。
令,则数列{}的前10项和T 10=（ ） A ．70 B ．75 C ．80 D ．85 5.，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ） A ． B ． C ．或 D ． 6．已知数列满足，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、在△ABC 中，角所对的边分别是，已知，且，则△ABC 的面积是（ ）8、化简（ ）A. B. C. D. 9、函数的图象大致是（ ）10．已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ． 11、设函数,若实数满足,则( )A. B. C. D.12、已知函数 是定义在R 上的奇函数，其导函数为 ，且x<0时， 恒成立，则的大小关系为（ ）A. 20152014(1)f f f <<B ． 2015(1)2014f f f <<C ． (1)20152014f f f <<D ．(1)20142015f f f <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上) 13．已知点和向量,若,则点的坐标为 14．已知是偶函数，则的图像的对称轴是直线 . 15．已知实数若，则___________.16．设为的导函数，是的导函数，如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递增，在区问单调递减．则称为的“上趋拐点”；如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递减，在区间单调递增．则称为的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是 （只写出正确结论的序号） ①为的“下趋拐点”；②在定义域内存在“上趋拐点”；③在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则的取值范围为； ④，是的“下趋拐点”，则的必要条件是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分） 已知函数，（Ⅰ）解关于的不等式；（Ⅱ）若函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围．18．（本小题12分）已知数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．19．（本小题12分）函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形. (Ⅰ)求的值及函数的值域;(Ⅱ)若,且,求的值.20、（本小题12分）在△ABC中，角所对的边分别是，且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)已知，求的值．21.（本小题12分）已知函数(Ⅰ)若，求函数的极值和单调区间；(Ⅱ)若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.22．（本小题12分）已知函数.（I）若函数有极值1，求实数的值；（II）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（III）证明：.xx 学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考高三数学（理科）参考答案 一．选择题（共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案A D CB B D DC A C AD 二．填空题（共20分）13. 14. 15. 3 16. ①③④ 三．解答题（共70分） 17. 解：（Ⅰ）由得，…………1分 …………2分 …………3分故不等式的解集为…………5分（Ⅱ）∵函数的图象恒在函数图象的上方 ∴恒成立，即恒成立…………7分 ∵，…………9分∴的取值范围为．…………10分18. （Ⅰ）当时，由得：．…………1分 由 ① （ ）②…………2分上面两式相减，得：．（ ） …………4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列． 得：．……6分 （Ⅱ）． …………7分 ． ……9分121n n T c c c ⎛=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ⎝ …………12分19. 解：(Ⅰ)由已知可得:=3cos ωx+ …………2分又由于正三角形ABC 的高为2,则BC=4 …………3分所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f …………5分所以,函数 …………6分 (Ⅱ)因为(Ⅰ)有 …………7分 由x 0 …………8分所以, …………9分 故)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x …………10分…………11分 …………12分 20. 解：(Ⅰ)sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos A B A B A BA B A B A B++=+=， ，∴，………2分 ∴，…………4分∵，∴B=.………………………………………6分(Ⅱ)，……………………… 7分∵，∴，即，∴，………………………8分而，∴.…………… 10分∴. ……………………………………………… 12分21.解：（1） 因为，……………1分当，，令，得，令，得；令，得 ……………2分所以时，的极小值为1. ……………3分的递增区间为，递减区间为；……………4分 （2）因为，且，令，得到，①当，即时， 在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即.……………6分②当，即时，ⅰ）若，则对成立，在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立. ……………8分ⅱ）若，即时，则有（右表）， 所以在区间上的最小值为，……………10分由 ，得，解得，即.…………11分综上，由①②可知：符合题意. ……………12分22．解：（Ⅰ） F′（x ）=a ﹣=（x ＞0），……………1分当a≤0时，F′（x ）＜0，F （x ）在（0，+∞）递减，无极值；当a ＞0时，由F′（x ）＞0，可得x ＞，由F′（x ）＜0，可得0＜x ＜，……………2分 x=取得极小值．由F （x ）有极值﹣1，即有1﹣ln=1，解得a=1；……………3分 （Ⅱ）G （x ）=f[sin （1﹣x ）]+g （x ）=asin （1﹣x ）+lnx ， G′（x ）=﹣acos （1﹣x ）+，……………4分 因为G （x ）在（0，1）上递增，即有﹣acos （1﹣x ）+≥0在（0，1）上恒成立， 即a≤在（0，1）上恒成立．……………5分令h （x ）=xcos （1﹣x ），0＜x ＜1，h′（x ）=cos （1﹣x ）+xsin （1﹣x ）＞0， h （x ）在（0，1）递增，0＜xcos （1﹣x ）＜1，即有＞1，……………6分 则有a≤1．……………7分（III ）由（II ）知，当a=1时，在区间上是增函数， 所以,所以，……………8分 令，即，则……………9分 所以()()()222211123sinln ln ...ln 132421nk n n n k =+<+++⨯⨯++∑()()()()2ln 2ln32ln3ln 2ln 4...2ln 1ln ln 2n n n =-+--+++--+⎡⎤⎣⎦……………10分 ()()1ln 2ln 1ln 2ln 2lnln 22n n n n +=++-+=+<+……………11分 故。
2020届高三数学(理)上学期期中试题+参考答案+评分标准
2020届高三数学(理)上学期期中试题完卷时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 复数z 满足()132z i i -=+，则复数z ＝( )A ．1322i + B ．1322i - C ．1522i - D ．1522i +2. 已知集合{|A x y ==， {|31,}B x x n n N +==-∈，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{}2,5C ．{}2,5,8D ．{}1,2,5,8-3. 已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11a b>的充要条件，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧ B.p q ⌝∨ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝4. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．555. 已知函数(1)f x +是偶函数，函数()f x 在(]1-∞，上单调递增，0.512(4),(log 4)a f b f ==，(3)c f =，则（ ）A. b c a <<B.a c b <<C.c a b <<D. a b c << 6. 将函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( )A.6πB.3πC.23π D.56π 7. 若1x =是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极大值为（ ）A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 18. 函数22sin 22()(,00,)133x x f x x x ππ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥+⎣⎭⎝⎦的图像大致为（ ）A B C D9.已知向量ar，br的夹角为135o，且1a=r，2b=rmu r满足4a mb m⋅=⋅=r u r r u r，则mu r= ( )A. 22B. 5C. 42D. 510. 已知函数()2018,2020,412022,2020,2019xm xf x mx x-⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-<⎪⎪⎝⎭⎩数列{}n a满足(),na f n n N*=∈，且{}na是单调递增函数，则实数m的取值范围是（）A.(]1,3 B.()1,+∞ C.[)3,+∞ D.()3,+∞11. 已知函数()2sin cos(0,0)6f x x a x aπωωω⎛⎫=++>>⎪⎝⎭对任意12,x x R∈都有()()1243f x f x+≤，若()f x在[0,]π上的值域为[3,23]，则实数ω的取值范围为( )A．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 对于任意的实数[]1,x e∈，总存在三个不同的实数[]1,4y∈-，使得21ln0yy xe ax x---=成立，则实数a的取值范围是（）A．3160,e⎛⎤⎥⎝⎦B．23163,ee e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C．23161,ee e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．3163,e e⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4题，每小题5分共20分，把答案填在答题卡相应位置上。
2022-2023学年第一学期期中考试高三数学试卷及答案
2022-2023学年第一学期期中考试高三数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）班级姓名座号一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共40分）1．已知集合{(2)0}A xx x =->∣，{12}B x x =-<<∣，则(∁R A)∪B =（）A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．(1,)-+∞D ．(,2)-∞2．在数列{}n a 中，12n n a a +=-，且21a =，则n a =（）A ．22n -B ．2(2)n --C ．12n -D ．1(2)n --3．已知在矩形ABCD 中，13AE AB = ，线段,AC BD 交于点O ，则EO =（）A ．1126AB AD + B ．1163AB AD +C ．1136AB AD +D ．1162AB AD+ 4．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1sin ,2sin 3A bB ==，则=a （）A ．23B ．32C ．6D ．165．设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．c a b<<6．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．19-C ．3D ．197．若0a >，0b >，且a b ab +=，则2a b +的最小值为（）A ．3+B ．2+C ．6D ．3-8．函数()()1sin π1f x x x =+-，则()=y f x 的图象在()24-，内的零点之和为（）A ．2B ．4C ．6D ．8二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）9．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，那么下列结论中正确的是（）A ．aB ．a b ⋅=C ．bb a⊥-)(D ．//a b10．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若3232a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2q =B ．数列{}n S 是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列11．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，π2ϕ≤），()11π12f x f ⎛≥⎫ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 的最小正周期为π，则（）A ．()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()f x 的图象向左平移5π6个单位长度后得到的函数图象关于y 轴对称D ．()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．已知正实数,,a b c 满足2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，下列说法正确的是（）A ．4a b=B ．26c b =C ．a b c +-的最大值为34D ．a b c +-的最大值为38三、填空题（每题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上）1355cos 1212ππ-=______14．已知向量a ，b 夹角为45︒，且1= a ，2a b += ；则b = ______．15．写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递增的a 值_____________.16．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.）17．在△ABC 中，b =，6a =.(1)若π6A =，求c 的值;(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.cos B C =；②cos sin B C =；③2B C =.18．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足113a =，且*131(N )n n S S n +=+∈．(1)求数列{}n a 通项公式；(2)求n S .19．已知函数()=f x a b ⋅，其中()=2cos ,a x x -，=(cos ,1)b x，x R ∈．(1)求函数=()y f x 的单调递减区间．(2)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()=1f A -，a =(3,sin )m B与=(2,sin )n C共线，求边长b 和c 的值．20．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.21．已知集合{}2=5+40M x x x -≤，函数()228f x x ax =-+．(1)求关于x 的不等式()28f x a ≥+的解集；(2)若命题“存在0∈x M ，使得()00f x ≤”为假命题，求实数a 的取值范围．22．设函数22()(1488)f x x m mn x m =+-++，其中1m >，n *∈N ．(1)若()f x 为偶函数，求n 的值；(2)若对于每个n *∈N ，()f x 存在零点，求m 的取值范围．2022-2023学年第一学期期中考试高三数学参考答案及评分标准1．B 2．B∵122,1n n a a a +=-=，∴112a =-，12n na a +=-．{}n a 是公比为2-的等比数列，∴121(2)(2)2n n n a --=-⨯-=-．故选：B ．3．D依题意得，结合图形有：()212111323262EO EB BO AB BD AB AD AB AB BD =+=+=+-=+ .故选：D4．A 由正弦定理sin sin a bA B =，整理得sin 122sin 33b A a B ==⨯=故选：A ．5．Aln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又 121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c << ∴a b c<<故选：A 6．D225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 7．A因为0a >，0b >，且a b ab +=，所以111a b+=，所以()11222333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a bb a=时，取等号，所以2a b +的最小值为3+，故选：A.8．B由()()1sin π01f x x x =+=-可得()1sin π1x x =--，则函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象在()24-，内交点的横坐标即为函数()=y f x 的零点，又函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象都关于点()1,0对称，作出函数()sin πy x =与函数11y x =--的大致图象，由图象可知()=y f x 在()24-，内有四个零点，则零点之和为4．故选：B.9．AC由平面向量(2,0)a =，(1,1)b = 知：在A 中，2= a A 正确；在B 中，2a b ×=，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-= ，∴()-⊥a b b r r r ，故C 正确；在D 中，∵2011≠，∴a 与b不平行，故D 错误.故选：A C .10．AC∵在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，3232a a =，2312a a +=，解得24a =，38a =，∴2q =，或者28a =，34a =，∴12q =，不符合题意，舍去，故A 正确，21422a a q ===，则()12122212n n n S +-==--，2112222n n n n S S +++-==≠-常数，∴数列{}n S 不是等比数列，故B 不正确；()8821251012S -==-，故C 正确；∵2n n a =，∴lg lg 2n a n =，2lg 2lg 2lg 2-=，∴数列{}lg n a 不是公差为2的等差数列，故D 错误，故选：AC 11．ABD ∵πT =，∴22T πω==．依题意得()min 11π11πsin 1126f x f ϕ⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11ππ2π62k k ϕ+=-∈Z ，且π2ϕ≤，∴π3ϕ=-，即()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则A 正确；令()π2π3x k k -=∈Z ，即()ππ26k x k Z =+∈，当0k =时，对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，则B 正确；将()f x 的图象向左平移5π6个单位长度后得到的函数()4πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象不关于y 轴对称，则C 错误；∵π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则D 正确．故选：ABD.12．BD对于A ，由2240a ab b c -+-=，则41c a b ab b a =+-1≥-=3，当且仅当2a b =时，等号成立，故A 错误，对于B ，当c ab 取最小值时，=3=2cab a b⎧⎪⎨⎪⎩，则26c b =，故B 正确；对于C 、D ，222133********a b c b b b b b b ⎛⎫+-=+-=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12a =，14b =，38c =，等号成立，故()max 38a b c +-=，故C 错误，D 正确.故选：BD.1355cos 1212ππ-5152cos 12212ππ⎫=-⎪⎪⎭552sin cos sin cos 126612ππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭52sin 2sin 1264πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.14∵12a a b =+=，∴2(2)a b + =2244a a b b +⋅+=10，代入数据可得2||b =10，化简可得2||b +6=0，，或﹣（负数舍去）15．因为()+1221,>=+2,x x a g x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，当>x a 时()+1=21x g x -在定义域上单调递增，当x a ≤时()()22=+2=1+1g x x x x ---，画出+1=21x y -，2=+2y x x -的图象如下所示：要使函数()g x 在(),+-∞∞上单调递增，由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),+-∞∞上单调递增；故答案为：1（答案不唯一）16．6-1（）当40a =时，4707S a ==，所以55S =-，又535S a =，所以31a =-，所以，4310a a d -==>，故4n a n =-，令0n a ≥，则4n ≤，所以n S 的最小值为46S =-．2（）当45a =-，74735S a ==-，不合题意．综上所述：40a =，55S =-，70S =，n S 的最小值为6-．故答案为：6-．17．（1）由题意得2222cos a b c bc A =+-，即2223633c c c =+-，得6c =，-------4（2）选条件①，由正弦定理得sin B C =，-----5cos B C =，化简得sin 2sin 2B C =，-----6而B C >，则22πB C +=，π2B C +=，---8故π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==------912ABC S bc == -------10选条件②，cos sin B C =，而B C >，则π2B C +=，------7故π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==------912ABC S bc == ------10选条件③，由正弦定理得sin B C =，而2B C =，则sin 2sin cos B C C =，得cos C =，(0,π)C ∈，-----7故π6C =，π3B =，π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==----912ABC S bc == -----1018．（1）解：因为*131(N )n n S S n +=+∈①所以当2n ≥时，得*131(N )n n S S n -=+∈②------2则①-②得：1133n n n n S S S S +---=-----3即13n n a a +=，即113n na a +=-------4又当1n =时，2131S S =+，所以1213()1a a a +=+，其中113a =所以219a =，则2113a a =-------6故数列{}n a 是以113a =为首项，13为公比的等比数列-----7所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.------8（2）解：由（1）可得111111333122313n n n S ⎛⎫-⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭==-⨯ ⎪⎝⎭-.---------1219．（1）2()==2cos f x a b x x ⋅- -------1=cos2+1x x -=2cos(2+)+13x π，-----------3由题意有()22++2Z 3k x k k ππ≤≤ππ∈，-----4解得++63k x k ππ-π≤≤π()Z k ∈------5所以单调递减区间为()+,+Z 63k k k ππ-ππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦；-------6（2）()=2cos(2+)+1=13f A A π-，-------77cos(2+)=1,0<<,<2+<3333A A A ππππ-π∴ ，-------82+=,=33A A πππ∴，---------9(3,sin )m B = 与向量(2,sin )n C = 共线，33sin =2sin ,3=2,=2C B c b b c ∴∴，--------1022227=7=+2cos =,=2,=334a b c bc c c b π-∴.--------1220．（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为4a 是2a 和8a 的等比中项，则()()()2242811137a a a a d a d a d =⋅⇒+=++且11a =-----3则1d =或0d =（舍）-----4则()()11111n a a n d n n =+-=+-⨯=，即通项公式n a n =-------6（2）因为k a 与1k a +（1k =，2，…）之间插入2k ，所以在数列{}n b 中有10项来自{}n a ，10项来自{}2n ，所以()1020212110102101212T -+=⨯+=-------------1221．（1）因为()2=2+8f x x ax -，且()2+8f x a ≥，所以222+8+8x ax a -≥即()()2+0x a x a -≥，--------2因为()()2+=0x a x a -的实数根为1x a =或2=2a x -，当=0a 时，此时120x x ==，所以不等式的解集为R ；---------3当>0a 时，此时>2a a -，所以不等式的解集为{2a x x ≤-或}x a ≥；-------4当a<0时，此时<2a a -，所以不等式的解集为{x x a ≤或2a x ≥-⎫⎬⎭；-------5综上所述，当=0a 时，不等式的解集为R ；当>0a 时，不等式的解集为{2a x x ≤-或}x a ≥；当a<0时，不等式的解集为{x x a ≤或2a x ≥-⎫⎬⎭；----------6（2）因为{}{}2=5+40=14M x x x x x ≤≤≤-，-----------7所以命题“存在[]01,4x ∈，使得2002+80x ax -≤”的否定为命题“任意[]1,4x ∈，使得22+8>0x ax -”是真命题，---------8所以可整理成[]8<2+,1,4a x x x∈，令()[]8=2+,1,4h x x x x∈，则()min <a h x ，--------9因为()8=2+h x x x ≥，当且仅当82x x =即=2x 时，取等号，----------11则<8a ，故实数a 的取值范围{}<8a a ---------1222．（1）()f x 为偶函数，14880m mn ∴-+=，-------1714n m∴=+．-----------21m > ，101m∴<<，77111444m ∴<+<，--------3即71144n <<．又*n ∈N ，2n ∴=．-----------5（2）由题意，得22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥．-----6当2n =时，32(2)0m ∆=-≥，2m ∴≤，又1m >，12m ∴<≤．-------7当2n ≠时，223m n ≤-或12m n ≥-．-------8①当223m n ≤-时，1m > ，n ∴只能取2，舍去--------9②当12m n ≥-时，1m > ，---------10∴从3n =开始讨论：令1()2g n n =-，由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g >==-．综上所述，m 的取值范围是(1,2]------------12。
高三数学上学期第三次质检期中试题 理含解析 试题
， ， ，由归纳推理可得：假设定义在 上的函数 满足 ，记 为 的导函数，那么
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，可发现原函数都是偶函数，得到的导函数是奇函数，可归纳出偶函数的导函数为奇函数，从而可得到答案．
【详解】由 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
故最后输出 的值是4,应选A．
【点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3)注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4)处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.
【详解】集合 ，
，
那么 ．应选C.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.．
2.在复平面内，复数 对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
HY中学2021届高三数学上学期第三次质检〔期中〕试题理〔含解析〕
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕
， ，那么
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别利用一元二次不等式的解法以及二次函数的值域化简集合 ，根据交集的定义可求出 ．
上海民办桃李园实验学校数学高三上期中提高练习(专题培优)
一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 2．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形4．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b5．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20476．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40377．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．59．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( )A ．－16B ．－6C ．-83D ．610．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-11．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3512．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S13．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．1614．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n a n N ++=∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 2sin 0b A B +=，b =，则ca的值为（）A ．1BCD 二、填空题16．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=____________． 17．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 18．设0,0,25x y x y >>+=______.19．已知数列111112123123n+++++++，，，，，，则其前n 项的和等于______．20．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 21．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．22．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 23．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．24．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 25．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题26．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =ABC ∆的面积；（2）若5sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 28．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .29．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．30．已知函数()f x a b =⋅，其中()()2cos 2,cos ,1,a x x b x x R ==∈． （1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．D 3．B 4．C 5．C 6．C 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C13．D14．B15．D二、填空题16．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an＝2n+2再利用累加求和方法可得an＝n（n+1）利17．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为18．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立19．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n项和由公式可得：所以数列通项20．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了21．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题22．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形23．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z最小所以故填-624．10【解析】【分析】【详解】故则故n=1025．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S取得最小值易得(C为锐角)则则三、解答题26．27．29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=，∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅=所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.4．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c ，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C5．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．8．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y x+++=+++=+++=++++，所以，14912x y ++， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.10．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.11．C解析：C【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====考点：等差数列的前n 项和12．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.13．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.14．B解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n +-=-的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】(1)(1),(2)22n n n n n n +-=-=≥1=，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA 2=-，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=，可得sin2sin 0sinB A B +=，即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，所以cosA 2=-：，因为0＜A ＜π，所以5πA 6=．又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=. 即227a c =，所以c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、填空题16．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an ）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an ＝2n+2再利用累加求和方法可得an ＝n （n+1）利解析：2018 【解析】 【分析】数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）＝2，利用等差数列的通项公式可得：a n +1﹣a n ＝2n +2．再利用累加求和方法可得a n ＝n （n +1）．利用裂项求和方法即可得出． 【详解】∵()()2112n n n n a a a a +++---=，∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列，首项为4，公差为2． ∴a n +1﹣a n ＝4+2（n ﹣1）＝2n +2．∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 ＝2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2()122n n +=⨯=n （n +1）．∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴][][122019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦＝2018． 故答案为：2018． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析：4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.18．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】(1)(2xxy +=0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．19．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.20．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32a a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=， 0q ≠，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.21．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题解析：77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由题意，则， 当为偶数时由不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤得821n n n λ-≤+，即(8)(21)n n nλ-+≤， (8)(21)8215n n y n n n-+==--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤-当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤=++，函数8217y n n=++，当3n =时取得最小值为773，即77,3λ-≤所以773λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．22．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形 解析：1【解析】 【分析】 【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形23．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析：-6 【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122zy x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2z-最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 24．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10 解析：10 【解析】 【分析】 【详解】1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002n n n S -=+⨯=故n=1025．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则 解析：4553【解析】由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-, 即有41612ab S =-,由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即有16128S -≤,解得23S ≥,当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值23,易得2sin 3C =(C 为锐角),则cos C =,则2222cos 5c a b ab C =+-=.三、解答题 26．（1）12；（2 【解析】 【分析】（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得BC =进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sin BCA 10∠=，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅即251BC BC =++ 2BC 40⇒+-=,解得BC =.所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 1222∠=⋅⋅=⨯=.（2）因为0BAD 90,sin CAD ∠∠==,所以cos BAC ∠=，sin BAC 5∠=, πsin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫=- ⎪⎝⎭ )cos BAC sin BAC ∠∠=-2==⎝⎭.在ΔABC 中，AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=, AB sin ABCAC sin BCA∠∠⋅∴==222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以 5162413=+-=所以CD 13=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.27．（1）61n a n =-；（2）1116565n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式及前n 项和公式求得首项和公差，即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）将n b 化简后利用列项求和法即可求得数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】(1)(方法一)由题意得217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得156a d =⎧⎨=⎩，故61n a n =-.(方法二)由747161S a ==得423a =， 因为42642a a d -==-，从而15a =， 故61n a n =-. （2）因为111111(61)(65)66165n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 所以121111111651111176165n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭1116565n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 【点睛】本题主要考查的是数列的通项公式的基本量求法，以及等差数列通项公式、前n 项和公式的求法，同时考查的是裂项求和，是中档题.28．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.29．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）2． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）根据平面向量//m n ，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.试题解析：（1）因为向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行，所以0asinB ＝，由正弦定理得sinAsinB －30sinBcosA ＝， 又sin 0B ≠，从而tanA ＝3，由于0<A<π，所以A ＝3π. （2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a ＝7，b ＝2，A ＝3π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c>0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bcsinA ＝332. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.30．（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）736. 【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简()f x 为()sin A x B ωϕ++的形式，将x ωϕ+代入ππ2π,2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦中，解出x 的范围，由此求得函数的单调区间.（2）利用()2f A =求得角A 的大小，利用余弦定理和2b c =列方程组，解方程组求得2c 的值，由此求得三角形的面积.【详解】（1）=， 令πππ2π22π,262k x k -≤+≤+解得，k ∈Z ，函数y=f （x ）的单调递增区间是（k ∈Z ）．（2）∵f （A ）=2，∴，即， 又∵0＜A ＜π，∴， ∵，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=7，①b=2c ，②，由①②得， ∴． 【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦定理解三角形.属于中档题.。
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学校 班级 姓名 考场 考号
装
订
线
余江县桃李中学2013-2014届高三上学期
期中考试数学试卷(理)
一、选择题
1.已知函数f(x)=lg （-x ）的定义域为M,函数⎩⎨⎧<+->=1
,132
,2x x x y x
的定义域为N,则
M C R ∩N=( )
A 、[0,1)
B 、(2,+∞)
C 、(0,+∞)
D 、[0,1)∪(2,+∞)
2.复数i(2i)z =--（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，|3|b a +等于( )
7. A 10. B 13. C 15.D
4．设A ＝{20|≤≤x x }，B ＝{21|≤≤y y }，在下列各图中，能表示从集合A 到集合B 的
函数的是( )
5．函数()()lg 1f x x =-的大致图象是（ ）
6．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为)('x f ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如图所示，则
下列结论中一定成立的是（ ）
A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 7．给出下列说法: ①命题“若6
π
α=
，则sin 2
1
=
α”的否命题是假命题; ②命题p:存在R x ∈,使sinx>1,则⌝p:任意R x ∈，1sin ≤x ；③“)(22
z k k ∈+=ππ
ϕ”是“函数y=sin(2x +ϕ)为偶函数”的充要条件; ④
命题p:存在x ∈(0,
2π),使2
1
cos sin =+x x ,命题q:在△ABC 中,若B A sin sin >则A>B,那么命
题(⌝p)且q 为真命题. 其中正确的个数是( )
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
8．函数()2sin(),(0,)
2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<
的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )
A ．2,3
π
-
B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．4,
3π
9．在四边形ABCD 中, )2,4(),2,1(-==BD AC ，则四边形的面积为 （ ）
A ．5
B ．25
C ．5
D ．10
10．已知2cos sin cos )(2a
x x b x a x f -
-=的最大值是2
1，且43)3(f =π，则=π-)3(f （ ）
A ．2
1
B ．43-
C ．4321或-
D ．4
3
0-或 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题
11．计算定积分=+⎰-dx x x 1
1
2)sin ( .
12．已知函数cos (0)
()(1)1
(0)x
x f x f x x π⎧=⎨
-+>⎩≤，则44
()()33
f f +-= ． 13．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集 用区间表示为 .
14．如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,
22
sin ,32,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为
15. 给出下列个命题： ①若函数 R ）为偶函数，则
范围是15[,]24
②已知0ω>,函数()sin()4f x x π
ω=+
在(,)2
π
π上单调递减,则ω的取值
③函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2
A π
ϕ><
）的图象如图所示，则
()f x 的解析式为()sin(2)3
f x x π
=+；
④设ω＞0，函数sin()23
y x π
ω=+
+的图象向右平移
43
π
个单位后与原图
象重合，则ω的最小值是3
2
. 其中正确的命题为____________. 三、解答题
()6
k k Z π
φπ=+
∈()sin(2)(3
f x a x x π
φ=+
+∈x
y O
3π
712
π
1-
16．(12分)已知集合A ＝{x|2x －a x ＋2a －12＝0}，集合B ＝{x|2x －5x ＋6＝0}，是否存实
数a ，使得集合A ，B 能同时满足下列三个条件：①A≠B ；②A ∪B ＝B ；③(A∩B)≠∅若存在，求出实数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
17. (12分)已知函数)(x f y =,若存在0x ，使得00)(x x f =,则称0x 是函数)(x f y =的一个不动
点，设二次函数2()(1)2f x ax b x b =+++-. (1) 当2,1a b ==时，求函数)(x f 的不动点；
(2) 若对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点，求实数a 的取值范围；
18．(12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角且向量=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=n C m 2cos ,1 )
23,2cos 2sin 3(C C + 共线．
（1）求角C 的大小：
（2）设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2acosC+c=2b ，试判断△ABC 的形状．
19．(12分)设曲线1()n y x n N +*=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =.
（1）当1(1,1)n =时，求曲线在点处的切线方程； （2）求1299a a a +++…的值。
20．(13分)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1||=OC ，且
AOC x ∠=， 其中O 为坐标原点.
（1）若3
4
x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OD OC +的最小值;
（2）若[0,]2
x π
∈，向量)cos 2sin ,cos 1(,x x x n BC m --==，求m n ⋅的最小值及对应的x 值.
21．(14分）设函数f （x ）=
，其中a ＞0．
（1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）若方程f （x ）=0在（0，2）内恰有两个实数根，求a 的取值范围； （3）当a =1时，设函数f （x ）在[t ，t +3]（∈t （﹣3，﹣2））上的最大值为H （t ），最小
值为h （t ），记g （t ）=H （t ）﹣h （t ），求函数g （t ）的最小值．。