北师大版高中数学必修一1 函数与方程(一)
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2．下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
A．1B．2
C．3D．4
答案：B
解析：根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.
3．若f(x)＝ ，则函数y＝f(4x)－x的零点是( )
A. B．－
C．2D．－2
答案：A
解析：根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即 －x＝0，得x＝ ，故选A.
4．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
解：f(－2)＝－4a＋4，f(1)＝2a＋4，∵f(x)在[－2,1]上存在零点，
∴f(－2)·f(1)≤0，∴(－4a＋4)·(2a＋4)≤0，即(a－1)(a＋2)≥0，∴a≤－2或a≥1.
12．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，函数f(x)的一个零点为 ，求满足f(log x)＜0的x的取值集合．
(2)由f(x)＝x2－x－2＝0，得x1＝2，x2＝－1，
∴函数f(x)＝x2－x－2的零点是2，－1.
(3)由f(x)＝x3－x＝0⇒x(x＋1)(x－1)⇒x1＝0，x2＝－1，x3＝1.
∴函数f(x)＝x3－x的零点是0，－1,1.
11．已知函数f(x)＝2ax＋4在[－2,1]上存在零点，求实数a的取值范围．
1 函数与方程(一)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )
A．(0,0)，(2,0)
B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)
C．－2,0,2
D．0,2
答案：C
解析：令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
解：由题意，得f( )＝0，∵f(log x)＜0，
∴由单调性知log x＜－ ，或log x＞ ，解得0＜x＜ ，或x＞2，
∴x的取值集合为(0， )∪(2，＋∞)．
A．－1和 B．1和－
C. 和 D．－ 和
答案：B
解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴ ，即 ，∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零点为1和－ ，故选B.
5．对于定义在R上的函数y＝f(x)，若f(m)·f(n)>0(m，n∈R，且m<n)，则函数y＝f(x)在(m，n)内( )
9．三次方程x3＋x2－2x－1＝0在下列连续整数________之间有根．
①－2与－1 ②－1与0 ③0与1 ④1与2
⑤2与3
答案：①②④
解析：令f(x)＝x3＋x2－2x－1，
x
－2
－1
0
1
2
3
f(x)
－1
1
－1
－1
7
29
∵f(－2)·f(－1)＜0，f(－1)·f(0)＜0，f(1)·f(2)＜0.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点的个数是________．
答案：1
解析：由f(x)＝lnx＋3x－2＝0，得lnx＝2－3x，设g(x)＝lnx，h(x)＝2－3x，图象如图所示，两个函数的图象有1个交点，故函数f(x)＝lnx＋3x－2有1个零点．
8．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：(0,0.5)f(0.25)
解析：函数f(x)＝x3＋3x－1连续，且f(0)f(0.5)＜0，
则在(0,0.5)上有一个零点，第二次应计算f( )＝f(0.25)
A．只有一个零点
B．至少有一个零点
C．无零点
D．无法确定有无零点
答案：D
解析：对于条件f(m)·f(n)>0(m，n∈R，且m<n)，根据下列三种函数图象可知D正确．
6．函数f(x)＝2x－2＋ex－1的零点所在区间为( )
A．(－1,0)B．(0,1)
C．(1,2)D．(2,3)
答案：B
解析：由题意，知f(－1)＝－4＋ <0，f(0)＝－2＋ <0，f(1)＝1>0，f(2)＝2＋e>0，f(3)＝4＋e2>0，因为f(0)·f(1)<0，所以f(x)的零点所在区间为(0,1)，故选B.
∴f(x)＝0在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有根．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x－1；
(2)f(x)＝x2－x－2；
(3)f(x)＝x3－x.
解：(1)由f(x)＝0，得x－1＝0，∴x＝1，
∴ຫໍສະໝຸດ Baidu数f(x)＝x－1的零点是x＝1.
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
A．1B．2
C．3D．4
答案：B
解析：根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.
3．若f(x)＝ ，则函数y＝f(4x)－x的零点是( )
A. B．－
C．2D．－2
答案：A
解析：根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即 －x＝0，得x＝ ，故选A.
4．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
解：f(－2)＝－4a＋4，f(1)＝2a＋4，∵f(x)在[－2,1]上存在零点，
∴f(－2)·f(1)≤0，∴(－4a＋4)·(2a＋4)≤0，即(a－1)(a＋2)≥0，∴a≤－2或a≥1.
12．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，函数f(x)的一个零点为 ，求满足f(log x)＜0的x的取值集合．
(2)由f(x)＝x2－x－2＝0，得x1＝2，x2＝－1，
∴函数f(x)＝x2－x－2的零点是2，－1.
(3)由f(x)＝x3－x＝0⇒x(x＋1)(x－1)⇒x1＝0，x2＝－1，x3＝1.
∴函数f(x)＝x3－x的零点是0，－1,1.
11．已知函数f(x)＝2ax＋4在[－2,1]上存在零点，求实数a的取值范围．
1 函数与方程(一)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )
A．(0,0)，(2,0)
B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)
C．－2,0,2
D．0,2
答案：C
解析：令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
解：由题意，得f( )＝0，∵f(log x)＜0，
∴由单调性知log x＜－ ，或log x＞ ，解得0＜x＜ ，或x＞2，
∴x的取值集合为(0， )∪(2，＋∞)．
A．－1和 B．1和－
C. 和 D．－ 和
答案：B
解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴ ，即 ，∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零点为1和－ ，故选B.
5．对于定义在R上的函数y＝f(x)，若f(m)·f(n)>0(m，n∈R，且m<n)，则函数y＝f(x)在(m，n)内( )
9．三次方程x3＋x2－2x－1＝0在下列连续整数________之间有根．
①－2与－1 ②－1与0 ③0与1 ④1与2
⑤2与3
答案：①②④
解析：令f(x)＝x3＋x2－2x－1，
x
－2
－1
0
1
2
3
f(x)
－1
1
－1
－1
7
29
∵f(－2)·f(－1)＜0，f(－1)·f(0)＜0，f(1)·f(2)＜0.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点的个数是________．
答案：1
解析：由f(x)＝lnx＋3x－2＝0，得lnx＝2－3x，设g(x)＝lnx，h(x)＝2－3x，图象如图所示，两个函数的图象有1个交点，故函数f(x)＝lnx＋3x－2有1个零点．
8．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：(0,0.5)f(0.25)
解析：函数f(x)＝x3＋3x－1连续，且f(0)f(0.5)＜0，
则在(0,0.5)上有一个零点，第二次应计算f( )＝f(0.25)
A．只有一个零点
B．至少有一个零点
C．无零点
D．无法确定有无零点
答案：D
解析：对于条件f(m)·f(n)>0(m，n∈R，且m<n)，根据下列三种函数图象可知D正确．
6．函数f(x)＝2x－2＋ex－1的零点所在区间为( )
A．(－1,0)B．(0,1)
C．(1,2)D．(2,3)
答案：B
解析：由题意，知f(－1)＝－4＋ <0，f(0)＝－2＋ <0，f(1)＝1>0，f(2)＝2＋e>0，f(3)＝4＋e2>0，因为f(0)·f(1)<0，所以f(x)的零点所在区间为(0,1)，故选B.
∴f(x)＝0在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有根．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x－1；
(2)f(x)＝x2－x－2；
(3)f(x)＝x3－x.
解：(1)由f(x)＝0，得x－1＝0，∴x＝1，
∴ຫໍສະໝຸດ Baidu数f(x)＝x－1的零点是x＝1.