直接开平方法和因式分解法教案设计
2019--2020学年华东师大版九年级数学上册 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 教学设计
22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法●教学目标知识与技能1．体会解一元二次方程降次的转化思想．2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．●教学重点重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．难点通过平方根的意义解形如x2＝p的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．教学过程设计一、创设情景，明确目标一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？你能根据题意设未知数，并列出方程吗？这个一元二次方程有什么特点？怎样解这个一元二次方程？这就是本节课要学习的内容．【归纳导入】利用方程解决生活中的实际问题，一般需要先根据题意“设未知数—找等量关系—列方程—解方程—写答”这一过程，但用一元二次方程解决实际问题会多出“检验”这一步．二、自主学习，指向目标1．自学教材第20页．2．学习至此：请完成学生用书“知识储备”部分．三、合作探究，达成目标探究点一用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程活动一：解方程：x2＝4首先让学生试一试，然后老师和学生一起订正．【展示点评】对于题(1)，有这样的解法：方程x2＝4，意味着x是4的平方根，所以x＝±4，即x＝±2.这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1＝2，x2＝－2.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．【小组讨论1】(1)形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程可用什么方法求解？(2)对于常数p，为什么要限定条件p≥0?【反思小结】当方程的一边是未知数的平方，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解．一般地，对于x2＝p，当p＞0时，x1＝p，x2＝－p；当p＝0时，x1＝x2＝0；当p＜0时，方程无实数根．【针对训练】1．解方程：x2＝122．解方程：2x2－18＝03．解方程：3x2＋5＝04．解方程：5x2＝0探究点二用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2的一元二次方程活动二：例题讲解例2解方程(1)(2x－1)2＝5(2)x2＋6x＋9＝2(3)(3x－4)2＝(4x－3)2【思考】(1)方程(1)与x2＝25这个方程有什么不同？可以直接开平方吗？(2)方程(2)与方程(1)有什么不同？怎样将方程(2)转化为方程(1)的形式？(3)方程(3)左右两边有什么特点？怎样达到降次的目的？【展示点评】方程(1)的方程左边不是未知数的平方，是一个整式的平方，右边是一个正数，可以直接开平方；方程(2)的左边不是一个整式的平方，但可以根据完全平方公式化为(x＋3)2；方程(3)的左右两边分别是一个整式的平方，可以根据“若a2＝b2，则a＝±b”来达到降次的目的．【小组讨论2】对于可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2的方程，可以用直接开平方法求解吗？【反思小结】当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解，即：对于(mx＋n)2＝p(p≥0)，直接开平方得：；若两边都是完全平方式，即：(ax＋b)2＝(cx＋d)2，可直接开平方得．【针对训练】1．(中考·威海)已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根，则m的取值范围是( B )A．m≥24 B．m≥0 C．m≥1 D．m≥22．方程(x－1)2－9＝0的解是( C )A．x＝4 B．x1＝2，x2＝－4 C．x1＝－2，x2＝4 D．x1＝10，x2＝－83．解方程：(2x＋3)2－25＝0解：(2x＋3)2＝25，2x＋3＝5或2x＋3＝－5，x1＝1，x2＝－4四、总结梳理，内化目标1．降次的实质：将一个二次方程转化为两个一次方程；降次的方法：直接开平方法；降次体现了：转化思想；2．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解．五、达标检测，反思目标1．判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解：(1)x2＝2(可以)(2)p2－49＝0(可以)(3)6x2＝3(可以)(4)(5x＋9)2－2x－16＝0(不可以)(5)121－(y ＋3)2＝0(可以)2．如果25x 2－16＝0，那么x 1＝__45__，x 2＝__－45__．3．如果2(x ＋3)2＝8，那么x 1＝__－1__，x 2＝__－5__．4．用直接开平方法解下列方程：(1)(x －1)2＝8；(2)(2x ＋3)2＝24；(3)13(x －12)2＝9；(4)14(x ＋1)2－3＝0.解：(1)x 1＝1＋22，x 2＝1－22；(2)x 1＝－32＋6，x 2＝－32－6；(3)x 1＝12＋33，x 2＝12－33；(4)x 1＝－1＋23，x 2＝－1－2 3.5．已知方程(x －1)2＝k 2＋2的一个根是x ＝3，求k 的值和方程的另一个根． 解：把x ＝3代入(x －1)2＝k 2＋2得：(3－1)2＝k 2＋2解得：k ＝±2，原方程为：(x －1)2＝4，所以方程的根为：x 1＝3，x 2＝－1，即方程的另一个根为－1.六、布置作业，巩固目标1．上交作业 教材第23页练习第(1)至(3)小题．2．课后作业 见学生用书的“综合练·能力提升”部分．●教学反思教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程．。
华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》说课稿2
华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》说课稿2一. 教材分析华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》这一节，主要介绍了直接开平方法和因式分解法两种解决一元二次方程的方法。
这部分内容是整个九年级数学的重要知识点，也是初中学段的难点内容。
通过这一节的学习，使学生能够熟练掌握两种解一元二次方程的方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程有一定的了解。
但是，对于直接开平方法和因式分解法这两种方法的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，引导学生理解和掌握这两种方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握直接开平方法和因式分解法两种解一元二次方程的方法，能够灵活运用这两种方法解决问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等环节，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握直接开平方法和因式分解法两种解一元二次方程的方法。
2.教学难点：理解直接开平方法和因式分解法的原理，能够灵活运用这两种方法解决问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的基本概念，引导学生进入新课。
2.讲解直接开平方法：通过具体案例，讲解直接开平方法的步骤和原理。
3.讲解因式分解法：通过具体案例，讲解因式分解法的步骤和原理。
4.练习与讨论：布置一些练习题，让学生分组讨论，巩固所学知识。
5.总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置一些拓展题，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计如下：直接开平方法1.确定a、b、c的值2.计算判别式Δ3.计算开平方根4.求解方程5.确定a、b、c的值6.求解方程的根7.因式分解8.求解方程八. 说教学评价通过课堂讲解、练习题、小组讨论等方式，对学生的知识掌握和应用能力进行评价。
《直接开平方法和因式分解法》教案
《直接开平方法和因式分解法》教案教学目标：1.理解直接开平方法和因式分解法的定义和基本概念；2.掌握使用直接开平方法和因式分解法解决简单的数学问题；3.培养学生的分析问题和解决问题的能力。
教学重点：1.理解直接开平方法和因式分解法的概念；2.运用直接开平方法和因式分解法解决问题。
教学难点：运用直接开平方法和因式分解法解决较复杂的问题。
教学准备：教学课件、白板、书本、习题等。
教学过程：一、引入新知识（5分钟）1.教师先向学生提出一个问题：如何快速将一个数开平方？2.引导学生思考，并对学生的回答进行梳理，引出直接开平方法和因式分解法的概念。
二、讲授直接开平方法（10分钟）1.通过例题的形式，向学生讲解直接开平方法的步骤和原理。
2.教师示范使用直接开平方法求解一个简单的开平方问题，并解释每一步骤。
三、学生动手实践（10分钟）1.要求学生结合课本上的习题，独立使用直接开平方法解决一道开平方问题。
2.学生互相进行讨论和交流，并由学生代表上板解答。
四、讲授因式分解法（10分钟）1.通过例题的形式，向学生讲解因式分解法的步骤和原理。
2.教师示范使用因式分解法解决一个简单的因式分解问题，并解释每一步骤。
五、学生动手实践（10分钟）1.要求学生结合课本上的习题，独立使用因式分解法解决一道因式分解问题。
2.学生互相进行讨论和交流，并由学生代表上板解答。
六、综合练习（15分钟）1.教师出示一些较复杂的数学问题，要求学生分别使用直接开平方法和因式分解法解决。
2.学生进行小组讨论，并挑选一位代表上台解答。
3.教师针对学生的解答进行点评和总结。
七、拓展思考（10分钟）1.教师向学生提出一些拓展问题，引导学生进行思考和讨论。
2.鼓励学生思考和总结直接开平方法和因式分解法在解决数学问题中的作用和优势。
八、课堂小结（5分钟）1.教师对本节课的内容进行总结，并强调学生在课后的复习重点。
2.鼓励学生多做练习，掌握直接开平方法和因式分解法的应用。
九年级数学上册《直接开平方法和因式分解法》教案、教学设计
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生主动参与课堂，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，让学生在实际问题中发现问题、提出问题，培养他们的探究能力。
（3）通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
2.教学策略：
2.提高题：针对学有余力的学生，布置第XX页的习题4、5，这两题具有一定的挑战性，需要学生灵活运用所学方法，并具有一定的推理能力。
3.实践题：结合生活实际，设计一道与直接开平方法或因式分解法相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题，并简要说明解题思路。
例如：“某工厂生产的产品，每件产品的成本为100元，售价为200元。为了促销，工厂决定对售价进行打折，设折扣为x（0<x<1），问折扣为多少时，工厂能获得最大利润？”
2.因式分解法：
（1）回顾因式分解的基本原理，引导学生理解其在二次方程求解中的应用。
（2）讲解因式分解法求解二次方程的步骤，结合具体例题进行分析。
（3）强调因式分解法在解决实际问题中的重要性。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组针对以下问题进行讨论：
（1）直接开平方法和因式分解法的适用场景。
（2）如何运用直接开平方法和合适的求解方法。
2.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，涵盖直接开平方法和因式分解法的应用。
2.让学生独立完成习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.选取部分学生的解答进行展示和评价，引导学生从中发现问题、总结规律。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结直接开平方法和因式分解法的特点和适用范围。
华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》教学设计
华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》这一章节是在学生已经掌握了实数的运算、方程的解法等知识的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生掌握直接开平方法和因式分解法两种解决一元二次方程的方法，并能够根据实际情况选择合适的方法解决问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握这两种方法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在解一元二次方程时，往往还存在着对方法选择不当、运算不准确等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习习惯和方法的选择，引导学生理解并掌握直接开平方法和因式分解法的步骤和应用。
三. 教学目标1.理解直接开平方法和因式分解法的概念和步骤。
2.能够根据实际情况选择合适的方法解决一元二次方程问题。
3.提高学生的运算能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：直接开平方法和因式分解法的概念和步骤。
2.难点：如何根据实际情况选择合适的方法解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过设置问题情境，引导学生思考和探索；通过分析案例，让学生理解和掌握方法；通过小组合作，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，展示直接开平方法和因式分解法的步骤和应用。
2.练习题：准备一些有关直接开平方法和因式分解法的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置一个实际问题，引导学生思考如何解决一元二次方程问题。
例如：一个正方形的对角线长为10cm，求这个正方形的边长。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现直接开平方法和因式分解法的步骤和应用。
让学生了解两种方法的特点和适用范围。
3.操练（10分钟）让学生通过小组合作，解决一些实际问题。
浙教版数学八年级下册《因式分解法、直接开平方法、配方法》教学设计2
浙教版数学八年级下册《因式分解法、直接开平方法、配方法》教学设计2一. 教材分析浙教版数学八年级下册的《因式分解法、直接开平方法、配方法》是整式与方程单元的重要内容。
这一部分内容主要让学生掌握因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题引导学生掌握这三种方法，并在解决实际问题中体会数学的运用价值。
二. 学情分析学生在学习这一部分内容时，已有了一定的代数基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生理解和掌握三种不同的解法。
此外，学生需要将所学知识应用于实际问题，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法，能灵活运用这些方法解决问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，体会数学在生活中的运用价值。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法。
2.难点：如何灵活运用这些方法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示解题过程，提高学生的学习兴趣。
3.通过练习题和实践问题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和练习题。
2.安排学生进行预习，了解一元二次方程的基本概念。
七. 教学过程通过一个实际问题引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
例如：一个长方形的长比宽多3米，宽比长少2米，求长方形的面积。
2.呈现（15分钟）呈现因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法，引导学生了解各自的特点和适用范围。
3.操练（20分钟）让学生通过练习题熟悉这三种方法，并及时给予指导和反馈。
练习题包括简单的一元二次方程和实际问题。
浙教版数学八年级下册《因式分解法、直接开平方法、配方法》教学设计
浙教版数学八年级下册《因式分解法、直接开平方法、配方法》教学设计一. 教材分析浙教版数学八年级下册的“因式分解法、直接开平方法、配方法”是代数领域的重要内容。
本节内容主要让学生掌握因式分解的方法，能熟练运用因式分解法解决实际问题；掌握直接开平方法，能正确运用直接开平方法求解二次根式；掌握配方法，能将一般式配成完全平方形式，进一步解决二次方程的问题。
教材通过例题和练习，让学生在实际问题中应用所学知识，培养学生的解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了有理数的运算、一元一次方程、不等式等基础知识。
学生对于运算法则、方程的解法有一定的了解，但对于因式分解法、直接开平方法、配方法的应用可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，通过例题讲解、练习巩固，让学生逐步掌握这些方法。
三. 教学目标1.让学生掌握因式分解法，能熟练运用因式分解法解决实际问题。
2.让学生掌握直接开平方法，能正确运用直接开平方法求解二次根式。
3.让学生掌握配方法，能将一般式配成完全平方形式，进一步解决二次方程的问题。
4.培养学生的解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
四. 教学重难点1.因式分解法的运用。
2.直接开平方法的运用。
3.配方法的运用。
五. 教学方法1.讲授法：讲解因式分解法、直接开平方法、配方法的理论知识。
2.案例分析法：通过例题讲解，让学生理解并掌握方法的应用。
3.练习法：布置课后作业，让学生巩固所学知识。
4.小组讨论法：分组讨论问题，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教材：浙教版数学八年级下册。
2.课件：制作课件，辅助讲解。
3.练习题：准备相关练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入本节课的主题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解因式分解法、直接开平方法、配方法的理论知识，让学生了解这些方法的应用。
3.操练（20分钟）通过例题讲解，让学生掌握因式分解法、直接开平方法、配方法的应用。
华师版九年级数学上册教案：第22章 一元二次方程2 一元二次方程的解法(5课时)
22.2 一元二次方程的解法1 直接开平方法和因式分解法(第1课时)一、基本目标1．理解直接开平方法和因式分解法,掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤,并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程．2．通过利用已学知识求解一元二次方程,获得成功的体验,体会转化思想的应用． 二、重难点目标 【教学重点】用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程． 【教学难点】根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P20～P25的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．直接开平方法：利用__平方根的定义__解一元二次方程的方法． 2．因式分解法：利用__因式分解__求出方程的解的方法．3．因式分解法的依据：如果两个因式的积等于0,那么两个因式中__至少__有一个等于0.反过来,如果两个因式中有一个等于0,那么__它们的积__就等于0.4．方程(x －1)2＝1的解为__x 1＝2,x 2＝0__.5．用因式分解法解一元二次方程(4x －1)(x ＋3)＝0时,可将原方程转化为两个一元一次方程,其中一个方程是4x －1＝0,则另一个方程是__x ＋3＝0__.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程： (1)(x ＋1)2＝2； (2)(2x ＋1)2＝2x ＋1； (3)－x 2＝4x ； (4)12(x ＋5)2＝9.【互动探索】(引发学生思考)观察方程的特点,确定解方程的方法及一般步骤． 【解答】(1)直接开平方,得x ＋1＝±2. 故x 1＝2－1,x 2＝－2－1.(2)移项,得(2x ＋1)2－(2x ＋1)＝0.方程左边分解因式,得(2x ＋1)(2x ＋1－1)＝0,所以2x ＋1＝0或2x ＋1－1＝0,得x 1＝－12,x 2＝0.(3)方程可变形为x 2＋4x ＝0.方程左边分解因式,得x (x ＋4)＝0,所以x ＝0或x ＋4＝0,得x 1＝0,x 2＝－4.(4)方程两边同时乘2,得(x ＋5)2＝18.直接开平方,得x ＋5＝±32,所以x 1＝32－5,x 2＝－32－5.【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x 2＝b (b ≥0)或(mx ＋a )2＝b (m ≠0,b ≥0)的形式；②直接开平方,得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项,将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．活动2 巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( D ) A ．x ＝2 B ．x ＝4 C ．x 1＝2,x 2＝－2D ．x 1＝4,x 2＝－42．在实数范围内定义一种运算“﹡”,其规则为a ﹡b ＝a 2－b 2,根据这个规则,方程(x ＋1)﹡3＝0的解为__x 1＝2,x 2＝－4__.【教师点拨】根据新定义,由(x ＋1)﹡3＝0,得(x ＋1)2－32＝0. 3．解下列方程： (1)4x 2＝25； (2)x (x ＋2)＝x ＋2.解：(1)方程可化为x 2＝254.直接开平方,得x ＝±52,所以x 1＝52,x 2＝－52.(2)移项,得x (x ＋2)－(x ＋2)＝0.方程左边分解因式,得(x ＋2)(x －1)＝0,所以x ＋2＝0或x －1＝0,得x 1＝－2或x 2＝1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】由多项式乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．示例：分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试：分解因式：x 2＋6x ＋8＝(x ＋__2__)(x ＋__4__)； (2)应用：请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.【互动探索】理解“十字相乘法”的含义→对方程左边因式分解(十字相乘法)→解方程．【解答】∵x 2－3x －4＝0,即x 2＋(－4＋1)x ＋(－4)×1＝0,∴(x －4)(x ＋1)＝0,则x ＋1＝0或x －4＝0,解得x 1＝－1,x 2＝4.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要把握新定义的内涵,抓住关键词语,合理套用求解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)直接开平方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：平方根的定义形式：方程x 2＝a (a ≥0)的根为x 1＝a ，x 2＝－a因式分解法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0方法：提公因式、完全平方公式、平方差公式请完成本课时对应练习！2 配方法(第2课时)一、基本目标1．理解配方法解一元二次方程的含义,并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． 2．经历利用完全平方公式推导配方法的过程,掌握新的解一元二次方程的方法——配方法．二、重难点目标 【教学重点】用配方法解一元二次方程． 【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为(x ±h )2＝k (k ≥0)的形式．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P25～P27的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1. (1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝⎝⎛⎭⎫x －！！！！__12__####2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.2．配方法：通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__,右边是一个__非负常数__,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法．环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列方程： (1)x 2－4x －12＝0； (2)22x 2＋4x －6＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)原方程可化为x 2－4x ＝12. 配方,得x 2－4x ＋4＝16,即(x －2)2＝16. 直接开平方,得x －2＝±4, 所以x 1＝－2,x 2＝6. (2)移项,得22x 2＋4x ＝6. 两边同除以22,得x 2＋211x ＝311.配方,得x 2＋211x ＋⎝⎛⎭⎫1112＝311＋⎝⎛⎭⎫1112,即⎝⎛⎭⎫x ＋1112＝34121. 直接开平方,得x ＋111＝±3411,所以x 1＝－1＋3411,x 2＝－1－3411.【互动总结】(学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)变形：将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)移项：将常数项移到方程的右边；(3)系数化为1：方程的两边同除以二次项的系数,将二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方,把原方程化为(x ±h )2＝k 的形式；(5)求解：若k ≥0,则利用直接开平方法求解；若k <0,则原方程无实数根．活动2 巩固练习(学生独学)1．用配方法解下列方程,配方正确的是( D ) A ．2y 2－4y －4＝0可化为(y －1)2＝4 B ．x 2－2x －9＝0可化为(x －1)2＝8 C ．x 2＋8x －9＝0可化为(x ＋4)2＝16 D ．x 2－4x ＝0可化为(x －2)2＝42．用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( C ) A ．x 2－2x ＝5 B ．2x 2－4x ＝5 C ．x 2＋4x ＝3D ．x 2＋2x ＝53．用配方法解方程2x 2－x ＝4,配方后方程可化为⎝⎛⎭⎫x －142＝__3316__. 4．用配方法解下列方程：(1)x 2＋6x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋12＝0.解：(1)x 1＝22－3,x 2＝－22－3. (2)x 1＝5＋34,x 2＝－5＋34. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】试用配方法说明：无论x 取何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,并指出当x 取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少？【互动探索】这是一个二次三项式的最值问题→对x 2－4x ＋5进行配方→确定代数式的最小值．【解答】x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1. ∵(x －2)2≥0, ∴(x －2)2＋1≥1,∴不论x 为何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,且当(x －2)2＝0,即x ＝2时,代数式x 2－4x ＋5有最小值,最小值为1.【互动总结】(学生总结,老师点评)已知代数式是一个关于x 的二次三项式且含有一次项,在求它的最值时,通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式,再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)配方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2形式：方程(x ±h )2＝k (k ≥0)的根为x 1＝k ±h ，x 2＝－k ±h请完成本课时对应练习！3 公式法(第3课时)一、基本目标1．理解求根公式的推导过程,能正确推导出一元二次方程的求根公式．2．理解b 2－4ac ≥0是求根公式使用的前提条件和重要的组成部分,当b 2－4ac <0时,方程无解．3．理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤,并能正确运用公式法解一元二次方程．二、重难点目标 【教学重点】用公式法解一元二次方程． 【教学难点】 求根公式的推导过程．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P28～P31的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是x ＝__－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)__.将一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接代入这个公式,就可以求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做__公式法__.2．用公式法解方程2x 2－3x －1＝0时,a ＝__2__,b ＝__－3__,c ＝__－1__,则b 2－4ac ＝__17__,代入求根公式,得x ＝__3±174__.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程：(1)5x 2－4x －1＝0； (2)3x 2＋5(2x ＋1)＝0.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)∵a ＝5,b ＝－4,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×(－1)＝16＋20＝36, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝4±362×5＝4±610,∴x 1＝1,x 2＝－15.(2)将方程化为一般形式,得3x 2＋10x ＋5＝0. ∵a ＝3,b ＝10,c ＝5,∴b 2－4ac ＝102－4×3×5＝100－60＝40, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－10±402×3＝－5±103,∴x 1＝－5＋103,x 2＝－5－103.【互动总结】(学生总结,老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)确定a 、b 、c 的值；(3)求出b 2－4ac 的值；(4)判断b 2－4ac 的符号．当b 2－4ac ≥0时,把a 、b 及b 2－4ac 的值代入求根公式,求出x 1、x 2；当b 2－4ac <0时,b 2－4ac 无意义,此时方程无解．活动2 巩固练习(学生独学)1．以x ＝b ±b 2＋4c2为根的一元二次方程可能是( D )A ．x 2＋bx ＋c ＝0B ．x 2＋bx －c ＝0C ．x 2－bx ＋c ＝0D ．x 2－bx －c ＝02．方程3x 2－5x ＋1＝0的解,正确的是( B ) A ．x ＝－5±136B ．x ＝5±136C ．x ＝－5±133D ．x ＝5±1333．用公式法解下列方程： (1)3x 2－6x －1＝0； (2)(x －1)(x ＋3)＝12； (3)x 2－x ＋3＝0.解：(1)x 1＝3＋233,x 2＝3－233.(2)x 1＝－5,x 2＝3. (3)方程没有实数解． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】我们规定一种运算：⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,例如：⎪⎪⎪⎪24 35＝2×5－3×4＝10－12＝－2.按照这种运算的规定,当x 取何值时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0?【互动探索】理解新定义的规则→转化所求式子形式→得一元二次方程→利用公式法解方程．【解答】由⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0,得2x 2－1×(0.5－x )＝0. 整理,得4x 2＋2x －1＝0,则a ＝4,b ＝2,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝22－4×4×(－1)＝20, ∴x ＝－2±202×4＝－1±54,∴当x ＝－1＋54或－1－54时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0.【互动总结】(学生总结,老师点评)这是一个关于二元一次方程的新定义问题,解这类题的关键是根据新定义得到方程,再解方程即可．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)公式法⎩⎪⎨⎪⎧定义—求根式公：－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)推导过程—配方法一般形式—方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根为x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)请完成本课时对应练习！4 一元二次方程根的判别式(第4课时)一、基本目标1．了解根的判别式,掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况．2．经历思考、探究一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的过程,学会合作交流,并掌握代数学习的常用方法——分类讨论法．二、重难点目标 【教学重点】由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况． 【教学难点】推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的b 2－4ac 的符号与其根的关系．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P31～P32的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的__b2－4ac__叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“__Δ__”来表示．2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况：当Δ__>0__时,方程有两个不相等的实数根；当Δ__＝0__时,方程有两个相等的实数根；当Δ<0时,方程__没有__实数根．3．一元二次方程x2－5x－78＝0根的情况是__有两个不相等的实数根__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】不解方程,判定下列方程的根的情况：(1)16x2＋8x＝－3；(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)2x2－9x＋8＝0；(4)x2－7x－18＝0.【互动探索】(引发学生思考)不解方程,要判断方程的根的情况,结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系,各个方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是什么？【解答】(1)原方程可变形为16x2＋8x＋3＝0,则a＝16,b＝8,c＝3.∵Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝64－192＝－128<0,∴方程没有实数根．(2)a＝9,b＝6,c＝1.∵Δ＝b2－4ac＝62－4×9×1＝36－36＝0,∴方程有两个相等的实数根．(3)a＝2,b＝－9,c＝8.∵Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17>0,∴方程有两个不相等的实数根．(4)a＝1,b＝－7,c＝－18.∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝49＋72＝121>0,∴方程有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)不解一元二次方程,由Δ确定方程根的情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac与0的大小；(5)得出结论．活动2巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x2＋3x＋5＝0的根的情况是(C)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断2．若关于x 的一元二次方程x 2＋x －m ＝0有实数根,则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥14B ．m ≥－14C ．m ≤14D ．m ≤－14【教师点拨】若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实数根,则b 2－4ac ≥0. 3．已知方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根,则p 与q 的关系是__p 2＝4q __. 4．不解方程,试判断下列方程的根的情况： (1)2＋5x ＝3x 2；(2)x 2－(1＋23)x ＋3＋4＝0. 解：(1)方程有两个不相等的实数根． (2)方程没有实数根．5．已知关于x 的方程kx 2－6x ＋9＝0,问k 为何值时,这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：(1)当k ＜1且k ≠0时,方程有两个不相等的实数根． (2)当k ＝1时,方程有两个相等的实数根． (3)当k ＞1时,方程没有实数根． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由．【互动探索】方程有两个相等的实数根→得出a 、b 、c 的数量关系→确定三角形的形状． 【解答】△ABC 是直角三角形．理由如下：∵关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0有两个相等的实数根, ∴Δ＝0,即(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0, ∴a 2＝b 2＋c 2,∴△ABC 是直角三角形．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,先根据根的情况得到判别式的符号,再推出系数之间的关系,进而解决问题．【例3】如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【互动探索】方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根→确定m 的取值范围→分类讨论确定方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【解答】∵方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,∴Δ＝[－2(m ＋2)]2－4m (m ＋5)＝4(m 2＋4m ＋4－m 2－5m )＝4(4－m )＜0,∴m ＞4.对于方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0,当m ＝5时,方程有一个实数根；当m ≠5时,Δ1＝[－2(m －1)]2－4m (m －5)＝12m ＋4.∵m ＞4,∴Δ1＝12m ＋4＞0,∴此时方程有两个不相等的实数根．综上,当m ＝5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有一个实数根；当m ＞4且m ≠5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此题时,不要忽略对方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0是否为一元二次方程进行讨论,此方程可能是一元一次方程．环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)一元二次方程根的判别式⎩⎪⎨⎪⎧ 定义——Δ＝b 2－4ac 与ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)实数根的关系⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0↔有两个不相等的实数根Δ＝0↔有两个相等的实数根Δ<0↔没有实数根请完成本课时对应练习！5 一元二次方程的根与系数的关系(第5课时)一、基本目标1．理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.2．能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题．二、重难点目标【教学重点】一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系．【教学难点】一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用．环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P33～P35的内容,完成下面练习．【3 min 反馈】1．一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则有x 1＋x 2＝__－b a __,x 1x 2＝__c a __. 特殊形式：若x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝__－p __,x 1x 2＝__q __.2．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2－6x －15＝0的两根,则x 1＋x 2＝__6__,x 1x 2＝__－15__.3．已知实数x 1、x 2满足x 1＋x 2＝11,x 1x 2＝30,则以x 1、x 2为根的一元二次方程是__x 2－11x ＋30＝0__.环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,不解方程,求下列代数式的值．(1)(x 1－x 2)2； (2)x 2x 1＋x 1x 2. 【互动探索】(引发学生思考)方程x 2＋6x ＋3＝0的根与系数的关系怎样？所求代数式与它们的关系有什么联系？【解答】∵x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,∴x 1＋x 2＝－6,x 1x 2＝3.(1)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－6)2－4×3＝24.(2)x 2x 1 ＋ x 1x 2＝x 22 ＋ x 21x 1x 2＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10. 【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)解此类题时,先根据根与系数的关系得到两根和与两根积,再把所求代数式变形,最后利用整体代入法计算即可．(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：①x 21 ＋ x 22＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；③1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； ④x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2； ⑤(x 1＋k )(x 2＋k )＝x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋k 2；⑥|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.活动2巩固练习(学生独学)1．方程x2－6x＋10＝0的根的情况是(C)A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1,x2＝2,则这个方程可能是(C) A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x＋2＝0 D．x2－2x＋3＝03．已知关于x的方程5x2＋kx－6＝0的一个根2,则k＝__－7__,另一个根为__－35__.4．设a、b是方程x2＋2x－2019＝0的两个不相等的实数根．(1)a＋b＝__－2__,ab＝__－2019__,2a2＋4a＝__4038__；(2)求代数式a2＋3a＋b的值．解：a2＋3a＋b＝a2＋2a＋a＋b＝2019－2＝2017.5．请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题：(1)若x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3,求b和c的值；(2)设方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2,不解方程,求1x1＋1x2的值．解：(1)b＝－1,c＝－6.(2)1x1＋1x2＝3.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】设一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根分别为x1、x2.(1)若x1＝2,求x2的值；(2)若k＝4,且x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,试求Rt△ABC的面积．【互动探索】(1)已知方程一根→利用根与系数的关系得方程的另一个根．(2)分析法：Rt△的面积→与两直角边的乘积相关,即x1x2的乘积关系→根与系数的关系,确定x1x2的值．【解答】(1)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,且x1＝2,∴x1＋x2＝－(－6),即2＋x2＝6,∴x2＝4.(2)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,k＝4,∴x1·x2＝k＝4.又∵x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,∴S Rt△ABC＝12x1·x2＝12×4＝2.【互动总结】(学生总结,老师点评)求(2)问时,弄清直角三角形的面积与方程两实根的关系是解决问题的关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)一元二次方程的根与系数的关系：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝c a. 特殊地,x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－p ,x 1x 2＝q .请完成本课时对应练习！。
直接开平方法和因式分解法教案 2021-2022学年华东师大版九年级上册数学
22.2.1一元二次方程的解法（1）直接开平方法和因式分解法教学目标：1、会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,ab ≥0）的方程； 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程。
一、温故知新：1、怎样解方程 (1)x 2=4; (2)(x-1)2=9 ？2、因式分解：x x +23 ()()252-+-x x x ()()5452+-+x x442+-x x 962++y y 92-x二、新知自学：1、解方程：（1） x 2-25=0; (2) 9x 2-16=0 ; (3)x 2-6=02、解方程： （1）x 2-5x=0; (2) 49122=+-x x三、探究合作：例1 解下列方程 :（1）0)1(922=--t t （2）3x(x+2)=5(x+2)练习:解方程 (1)x(x-3）+ x-3 =0 (2)（3x+2)2 =(x-3)2例2，解下列方程:(1) (2)20x x x -+-=(2) 221352244x x x x --=-+本节课你学到了哪些知识？你学会了几种解一元二次方程的方法,它们有什么联系与区别?四、当堂达标：1、方程23x =的根是（ ）A. 123x x ==B. 123x x ==C. 123x x ==-D. 123,3x x ==-2、方程（x+1)2 = x+1的正确解法是（ ）A.化为x+1=1B.化为（x +1）（x +1-1）=0C.化为x 2+3x+2=0D.化为x+1=03、用因式分解法解方程5(x+3）-2x(x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 、 求解。
4、解下列方程：(1)(x －1)2＝36 ; (2)x(x+2)-4x=0; (3) (2x ＋3)2－9(3x+1)2＝0.5、解下列方程：(1)25x = (2) 2390x -=(3) 2(1)4x -= (4) 212365x x ++=6、右图是一个正方体的展开图，标注了字母A 的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x 的值（列出方程）．7、拓展延伸：解方程：（1）x 2-4x+3=0 (2)(x+1)2-4(x+1)+3=0板书设计：。
《直接开平方法和因式分解法“同课异构”获奖教案教学设计
《直接开平方法和因式分解法“同课异构”获奖教案优质教学设计》一、教学目标：1. 让学生理解直接开平方法和因式分解法的基本概念和原理。
2. 培养学生运用直接开平方法和因式分解法解决问题的能力。
3. 引导学生通过对比探究，发现直接开平方法和因式分解法的联系与区别。
二、教学内容：1. 直接开平方法：介绍直接开平方法的定义、步骤和应用。
2. 因式分解法：介绍因式分解法的定义、步骤和应用。
3. 案例分析：分析具体例题，运用直接开平方法和因式分解法求解。
三、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引发学生对直接开平方法和因式分解法的兴趣。
2. 新课讲解：讲解直接开平方法和因式分解法的定义、步骤和应用。
3. 案例分析：分析具体例题，引导学生运用直接开平方法和因式分解法求解。
4. 互动环节：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，互相学习。
四、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评价学生对知识点的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，考察学生的合作能力和交流能力。
五、教学资源：1. PPT课件：制作精美的PPT课件，帮助学生直观地理解直接开平方法和因式分解法。
2. 例题：挑选具有代表性的例题，让学生通过练习巩固知识点。
3. 小组讨论工具：提供相应的讨论工具，方便学生进行小组合作学习。
4. 教学视频：引入相关教学视频，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣。
六、教学策略：1. 实例引导：通过生活实例引入直接开平方法和因式分解法，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2. 对比教学：将两种方法进行对比，突出各自的特点和适用场景。
3. 循序渐进：由浅入深，逐步引导学生掌握直接开平方法和因式分解法的步骤。
4. 互动教学：鼓励学生提问、讨论，增强课堂的趣味性和参与度。
七、教学实践：1. 课堂练习：设计具有层次性的练习题，让学生在课堂上及时巩固所学知识。
《直接开平方法和因式分解法“同课异构”获奖教案教学设计
《直接开平方法和因式分解法“同课异构”获奖教案优质教学设计》第一章：教学目标与内容1.1 教学目标让学生掌握直接开平方法和因式分解法的基本概念和步骤。
培养学生运用直接开平方法和因式分解法解决问题的能力。
引导学生理解直接开平方法和因式分解法的联系和区别。
1.2 教学内容直接开平方法的定义和应用。
因式分解法的定义和应用。
直接开平方法和因式分解法的比较和总结。
第二章：学情分析2.1 学生已有知识学生已经掌握了实数的基本概念。
学生已经学习了平方根的概念和性质。
2.2 学生已有技能学生已经具备了基本的数学运算能力。
学生已经具备了基本的逻辑思维能力。
2.3 学生特点学生对新鲜的教学方法感兴趣。
学生喜欢通过实际问题解决来学习数学。
第三章：教学策略与方法3.1 教学策略采用“同课异构”的教学模式，通过比较和对比的方式引导学生理解直接开平方法和因式分解法。
通过实际问题解决，让学生体验直接开平方法和因式分解法的应用。
引导学生进行小组讨论和合作学习，培养学生的团队合作能力。
3.2 教学方法采用讲授法，讲解直接开平方法和因式分解法的定义和步骤。
采用案例分析法，分析实际问题并运用直接开平方法和因式分解法解决。
采用提问法，引导学生思考和讨论直接开平方法和因式分解法的联系和区别。
第四章：教学过程4.1 导入通过一个实际问题，引入直接开平方法和因式分解法的话题。
引导学生思考和讨论直接开平方法和因式分解法的应用场景。
4.2 讲解讲解直接开平方法的定义和步骤，并通过例题进行演示。
讲解因式分解法的定义和步骤，并通过例题进行演示。
4.3 实践让学生分组进行练习，运用直接开平方法和因式分解法解决实际问题。
引导学生进行小组讨论和合作学习，分享解题思路和方法。
4.4 总结对直接开平方法和因式分解法进行比较和总结。
引导学生思考和讨论直接开平方法和因式分解法的联系和区别。
第五章：评价与反思5.1 评价通过课堂练习和课后作业，评价学生对直接开平方法和因式分解法的掌握程度。
八年级数学下册《因式分解法直接开平方法配方法》教案、教学设计
2.注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生运用所学知识分析问题，提高解题能力；
3.加强小组合作学习，培养学生的团队协作能力，让学生在互动交流中共同进步；
4.关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化指导，使学生在原有基础上得到提高。
b.这三种方法在解题过程中的优缺点；
c.如何灵活运用这三种方法解决不同类型的方程。
2.各小组分享讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习，500字
1.教师布置以下练习题：
a.运用因式分解法求解方程；
b.运用直接开平方法求解含有平方根的方程；
c.运用配方法将一般二次方程转化为标准形式，并求解。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.课堂小结，巩固提高
课堂小结是教学过程中不可或缺的环节。教师应引导学生总结本节课所学知识，巩固因式分解法、直接开平方法及配方法的运用，提高学生的知识掌握程度。
6.课后作业，分层设计
课后作业要分层设计，既要巩固基础知识，又要提高学生的应用能力。教师可以根据学生的实际水平，设计不同难度的作业，使学生在完成作业的过程中，进一步巩固所学知识。
2.选做题：
a.完成课后拓展题：研究因式分解法、直接开平方法及配方法在其他类型方程中的应用；
b.探索一种新的解题方法，与同学分享并讨论其优缺点。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要注重解题过程的规范性和逻辑性，养成良好的学习习惯；
2.对于必做题，学生要认真完成，确保掌握课堂所学知识；
3.选做题旨在拓展学生的思维，鼓励学生进行自主探究，培养学生解决问题的能力；
3.精讲精练，突破重难点
《直接开平方法和因式分解法“同课异构”获奖教案教学设计
《直接开平方法和因式分解法“同课异构”获奖教案优质教学设计》第一章：教学目标与内容1.1 教学目标理解直接开平方法和因式分解法的概念及应用。
掌握直接开平方法和因式分解法的基本步骤。
能够根据问题的特点选择合适的方法进行求解。
1.2 教学内容直接开平方法的概念和步骤。
因式分解法的概念和步骤。
直接开平方法和因式分解法的联系与区别。
第二章：学情分析2.1 学生已有知识学生已经掌握了实数的运算基础。
学生已经了解了方程的解的概念。
2.2 学生认知特点学生对于数学运算具有较强的逻辑思维能力。
学生对于新知识的学习具有较强的探究精神。
第三章：教学策略与方法3.1 教学策略采用问题驱动的教学方式，引导学生主动探究。
通过案例分析和练习题，巩固学生的知识。
3.2 教学方法采用讲解法，引导学生理解直接开平方法和因式分解法的概念和步骤。
采用实践法，让学生通过实际操作掌握方法的应用。
第四章：教学过程4.1 导入新课通过一个实际问题，引入直接开平方法和因式分解法的概念。
4.2 讲解与演示讲解直接开平方法和因式分解法的概念和步骤。
通过示例，演示直接开平方法和因式分解法的应用。
4.3 练习与讨论学生进行练习题，巩固所学知识。
学生分组讨论，分享解题心得。
4.4 总结与拓展总结直接开平方法和因式分解法的异同点。
提出拓展问题，激发学生的思考。
第五章：教学评价5.1 课堂问答通过提问，了解学生对直接开平方法和因式分解法的理解程度。
5.2 练习题通过布置练习题，评估学生对直接开平方法和因式分解法的掌握情况。
5.3 小组讨论通过小组讨论，评估学生的合作能力和交流能力。
第六章：教学实践活动6.1 实践活动设计设计一个实践活动，让学生通过实际操作来解决一个实际问题，应用直接开平方法和因式分解法。
6.2 实践活动实施学生分组进行实践活动，根据所学知识解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
6.3 实践活动反思学生进行实践活动反思，总结自己在解决问题过程中的经验和教训。
《直接开平方法和因式分解法》教案
一元二次方程的解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b〔a≠0,ab≥0〕的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教〞与“学〞的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：〔x+1〕2-256=0，方程左边分解因式，得〔x+1+16〕〔x+1-16〕=0即〔x+17〕〔x-15〕=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解以下方程〔1〕〔3x+1〕2=7;〔2〕y2+2y+1=24;〔3〕9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如〔x+m〕2=n〔n≥0〕的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解以下方程：〔1〕5x2-4x=0〔2〕3x〔2x+1〕=4x+2〔3〕〔x+5〕2=3x+15【教学说明】解这里的〔2〕〔3〕题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解〔1〕3〔x-1〕2-6=0〔2〕x2-4x+4=5〔3〕〔x+5〕2=25〔4〕x2+2x+1=42.用因式分解法解以下方程：5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.那么可列方程2πx2=π〔x+5〕2.解得x1=5+52,x2=5-52〔舍去〕.答：小圆形场地的半径为〔5+52〕m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a〔x-k〕2=b〔a≠0,b≥0〕的方程，只要把〔x-k〕看作一个整体，就可转化为x2=n〔n≥0〕的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式〔单项式或多项式〕时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.“课时作业〞局部.本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握根本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.。
《因式分解法、直接开平方法》教案-01
《因式分解法、直接开平方法》教案教学目标1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
重点难点重点：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学过程（一）复习引入1、提问：(1) 解一元二次方程的基本思路是什么？(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?2、用两种方法解方程：9(1-3x)2=25（二）创设情境说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。
解得x1= ，x2=- 。
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想：展示课本1．1节问题二中的方程0.01t2-2t =0，这个方程能用因式分解法解吗?（三）探究新知引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0，解答课本1．1节问题二。
把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0解得 t l=0，t2=200。
t1=0表明小明与小亮第一次相遇；t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。
（四）讲解例题1、展示课本P．8例3。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论P．9“说一说”栏目中的问题。
要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
3、展示课本P．9例4。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。
（五）应用新知课本P．10，练习。
（六）课堂小结1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
《.. 直接开平方法和因式分解法》教学设计
22.２一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法一、素质教育目标（一）知识储备点理解并掌握一元二次方程的直接开平方法、因式分解法，并能准确熟练地使用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．（二）水平培养点通过两种方法解简单的一元二次方程，初步培养学生解方程的水平，培养学生观察、类比、转化的思维水平．（三）情感体验点通过平方根的理论，因式分解的理论求一元二次方程的解，使学生建立旧知与新知的联系，由已有的知识形成新的数学方法，激发学生的学习兴趣，让学生形成勤奋学习的积极情感，为以后学习打下良好的基础．通过解方程的教学，了解“未知”能够转化为“已知”的思想．二、教学设想1．重点：用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．2．难点：用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．3．疑点：十字相乘法的使用．4．课型与基本教学思路：新授课．•本节课利用平方根定义直接开平方求一元二次方程的解，利用因式分解法解一元二次方程，让学生观察、比较选择适当的方法．三、媒体平台1．教具、学具准备：自制投影胶片．2．多媒体课件撷英．【注意】课件要根据实际需要实行适当修改．四、课时安排１课时五、教学步骤（一）教学流程1．情境导入交流合作，解下列方程，并说明你所用的方法：（1）x2=4；（2）x2-1=0．2．课前热身（1）什么叫一元二次方程？（2）什么是一元二次方程的一般形式？（3）•什么叫一个数的平方根？（4）因式分解的方法有哪几种？3．合作探究（1）整体感知：学生对于第（1）个方程，有这样的解法：方程x2=4，意味着x是4的平方根，所以x=x=±2，教师概括：这种利用平方根的定义直接开平方的方法叫做直接开平方法．学生对于第（2）个方程，有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式得：（x+1）（x-1）=0，必有x+1=0或x-1=0，分别解这两个一元一次方程得：x1=1；x2=-1．教师概括：这种使用因式分解求解的方法叫因式分解法．（2）四边互动互动1师：方程x=4用因式分解法如何来解？生：变形后可化为：（x+2）（x-2）=0，则有x+2=0或x-2=0，故x=2或x=-2．明确直接开平方法一般都能够通过移项，使用平方差公式、因式分解法解这个一元二次方程．互动2我们知道方程x2=4能够用因式分解法解，那么方程x2-1=0能否用直接开平方来解呢？要用直接开平方来解，首先应将它化成什么形式？让学生自己动手，说明原因，并将以下两个方程x2-2=0，16x2-25=0分别用两种方法解出来．教师引导并表扬，•接着提出：方程3x2+2x=0，x2=3x是否都能用这两种方法来解？明确一般直接开平方法能够用因式分解法来解一元二次方程，但我们不能将所有用因式分解法的都用直接开平方法来解．比如：3x2+2x=0只能用因式分解法，•得x（3x+2）=0，所以x=0或3x+2=0，原方程的解是x1=0，x2=-23．x2=3x也只能用因式分解法，移项得x2-3x=0，x（x-3）=0，所以x=0或x-3=0，原方程的解是x1=0，x2=3．互动3教材P30练习2：小明在解x2=3x时，将方程两边同除以x得x=3，这样的做法对吗？为什么？明确这种做法不对，因为方程两边同时整除了整式x，这样方程会失根，•失去x=0这个根，所以，这题只能用因式分解法来解这个一元二次方程．互动4教材P30例3：解方程（x+1）2-4=0．师：这个方程能否用其他方法来解？生：能够用因式分解法，得（x+1+2）（x+1-2）=0，（x+3）（x-1）=0，所以x+3=0•或x-1=0，原方程的解为x1=-3，x2=1．师：同学们能够将方程（2-x）2-9=0变形为（2-x+3）（2-x-3）=0 ，有（x-5）（x+1）=0 ，所以原方程的解为x1= -1，x2= 5 ．明确这两个方程都能够转化为（）2＝a的形式，•从而用直接开平方法来解，将（x+1）、（2-x）看成一个整体，培养学生的整体观点．4．达标反馈（1）选择题：①方程2x 2=1的解为 （B ）A ．x=±12B ．x=C ．x=12D ． ②方程2x 2-0.15=0的解为 （D ）A ．B ．x=C ．x 1=0.27，x 2=-0.27D ．x 1x 2 ③方程x 2=a 的实数根的个数是 （D ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个④方程（x+2）2-3=0的根是 （D ）A ．x 1B ．x 1x 2C ．x 1=x 2D ．x 1x 2= ⑤对于形如（x+m ）2=n 的方程，它的解的正确表达式为 （C ）A ．都可以用直接开平方法求解，且x=B ．当n ≥0时，x=mC ．当n ≥0时，x=±D ．当n ≥0时，x= ⑥方程（2-3x ）+（3x-2）2=0的解是 （B ）A ．x 1=23，x 2=-1 B ．x 1=23，x 2=1 C ．x 1=23，x 2=13 D ．x 1=x 2=23 ⑦设（x+y ）（x+2+y ）-15=0，则x+y 的值为 （B ）A ．-3或5B ．-5或3C ．3D ．-5（2）填空题：①若8x 2-16=0，则x 的值是 ．②若方程（x -a ）2+b=0有解，则b 的取值范围是 b ≤0 ．③方程2（x -3）2=72的解为 x 1=-3，x 2=9 ．④方程（x-2）2=（x-2）的根是 x 1=2，x 2=3 ．⑤（盐城市，1998）方程（x+3）（x+1）=6x+4的解是 x 1=1x 2 ． ⑥方程（2x+1）2+3（2x+x ）+2=0的解是 x 1=-14 ，x 2=-3 ． （3）解答题：①用因式分解法解下列方程：⑴（x+2）2=2x=4； ⑵4（x-3）2-x （x -3）=0；⑶10x 2-11x-6=0； ⑷9（x-2）2=4（x+1）2．【答案】 ⑴x 1=0，x 2=-2 ⑵x 1=3，x 2=4 ⑶x 1=-25，x 2=32 ⑷x 1=45，x 2=8 ②用直接开平方法解下列方程：⑴x 2=8； ⑵3x 2=0； ⑶4（1-x ）2-9=0； ⑷4x 2-256=0； x -1）2⑹2x 2-5=0； •⑺16x 2-25=0； ⑻x 2+4=0．【答案】 ⑴x=± ⑵x=0 ⑶-12，52 ⑷x=±8 ⑸x 1=-2，x 2=4 ⑹x=±2 ⑺x=±54•⑻无解 5．学习小结（1）引导学生作知识总结：本节课运用平方根理论求一元二次方程的解，•用因式分解法求一元二次方程的解，充分运用直接开平方法、因式分解法灵活解一些简单的一元二次方程．（2）教师扩展：（方法归纳）直接开平方法一般是利用x 2=a 的形式，通过求平方根来解，而因式分解法一般化成一般形式，将左边的因式运用因式分解分成两个因式的积，运用ab=0时a=0或b=0来解这两个一元一次方程．（二）拓展延伸1．链接生活链接一：不完全的一元二次方程的解法：在不完全的一元二次方程中，一次项与常数项至少缺一项．即b 与c 至少一个等于零，这类方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解法，二是直接开平方法．链接二：你可以用我们今天所学的知识来解下列方程吗？（1）x 3-2x 2=0； （2）4x 3-x=0； （3）x 3-2x 2-3x=0； （4）x 4-5x 2+6=0． 你能总结一下解一元二次方程的数学思想吗？（降次化为一元一次方程为解）2．巩固练习（1）用因式分解法解下列方程①x 3-（x-1）3=1； ②（x-3）（x+1）=5；③14（x-4）2+9（x-4）-65=0； ④3（12-x ）2-5（x-12）-2=0． 【答案】 ①x 1=0，x 2=1 ②x 1=-2，x 2=4 ③x 1=32 ，x 2=417 ④x 1=52，x 2=16 （2）选择适当的方法解下列关于x 的方程：①（2=8； ②12x 2+7x+1=0；③（=5x ）； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0．【答案】 ① ②x 1=-13，x 2=-14 ③x 1x 2=0 ④x= -14 （3）若6y 2-5xy+x 2=0，求证x=2y 或者x=3y ．【答案】 6y 2=5xy+x=（2y-x ）（3y-x ）=0，∴2y-x=0或3y-x=0 即x=2y 或x=3y ．（4）用直接开平方解下列方程：①x 2-64=0； ②5y 2=45； ③35（x -2）2=15； ④（2x -3）2=9（x+4）2． 【答案】 ①x=±8 ②y=±25③x 1=-3，x=2=7 ④x 1=-95，x 2=-15 （5）下面解方程（x -2）（x+3）=6的解法对不对？为什么？解法1：原方程即（x -2）（x+3）=1×6，x-2=1或x+3=6，∴x 1=3，x 2=3．解法2：原方程可变形为x 2+x -12=0，（x+4）（x-3）=0，∴x+4=0，∴x=-4（6）解下列关于x 的方程：①x 2+3xy -4y 2=0； ②2x 2+5xy -3y 2=0【答案】 ①x 1=-4y ，x 2=y ②x 1=2y ，x 2=-3y （三）板书设计§22．2 一元二次方程的解法2．一元二次方程的解法直接开平方法：____________ 例题讲解：_________因式分解法：______________ 学生练习：_________注意事项：________________六、资料下载数学史上的一则“冤案”人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢．古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了．在16世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法．在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺．那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样．数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是16世纪意大利的另一位数学家尼柯洛．冯塔纳（Niccolo Fontana）．冯塔纳出身贫赛，少年丧父，•家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为16世纪意大利最有成就的学者之一．由于冯塔纳患有“口吃症”，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利语中“结巴”的意思．后来的很多数学书中，•都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳．经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法．这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲．但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世．当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣．他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式．可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏．虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执著，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”．后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺．冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密．卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字．随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法．由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”．卡尔丹诺剽窃他人的学术成果，并且据为己有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页．这个结果，对于付出艰辛劳动的冯塔纳当然是不公平的．但是，冯塔纳坚持不公开他的研究成果，也不能算是正确的做法，起码对于人类科学的发展而言，是一种不负责任的态度．。
《因式分解法、直接开平方法》教案-03
《因式分解法、直接开平方法》教案考标要求：1 体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解为两个一次因式的乘积的一元二次方程；2 会用因式分解法解某些一元二次方程。
重点：用因式分解法解一元二次方程。
难点：用因式分解把一元二次方程化为左边是两个一次二项式相乘右边是零的形式。
一 填空题（每小题5分，共25分）1 解方程（2+x ）(x-3)=0,就相当于解方程（ ）A 2+x=0 ,B x-3=0C 2+x=0 且 x-3=0 ，D 2+x=0或x-3=02 用因式分解法解一元二次方程的思路是降次，下面是甲、乙两位同学解方程的过程：（1）解方程：22x x =,小明的解法是：解：两边同除以x 得：x=2;(2) 解方程： （x-1）(x-2)=2,小亮的解法是：解：x-1=1,x-2=2 或者x-1=2,x-2=1，或者，x-1= -1,x-2= -2，或者x-1= -2,x-2= -1∴1x =2，2x =4，3x =3，4x =0 其中正确的是（ ）A 小明B 小亮C 都正确D 都不正确3 下面方程不适合用因式分解法求解的是（ ）A 22x -32=0,B 2( 2x-3) - ()232x -=0 ，229(2)4(21)x x +=-，D 2230x x -+= 4 方程2 x (x-3) = 5 (x-3)的根是（ ） A x=52, B x=3C 1x =52, 2x =3D x=255 定义一种运算“※”，其规则为：a ※b=(a+1) (b+1),根据这个规则，方程x ※(x+1)=0的解是（ ）A x=0B x= -1C 1x =0, 2x =-1,D 1x = -1 2x = - 2二 填空题（每小题5分，共25分）6 方程（）2x -（）x = 0解是1x =_____,2x =__________7当x=__________时，分式2451x xx ++值为零。
8 若代数式()23x -与代数式4（x-3）的值相等，则x=_________________9 已知方程（x-4）(x-9)=0的解是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长=_______. 10如果220a a -，则关于x 的一元二次方程a 2x +bx=0的解是_________三解答题（每小题10分，共50分）11解方程（1）2x+2x+1=0 (2) 42x-12x+9=0(3) 25()23x-=9()21x+(4) 7x (2x-3)=4 (3-2x)12 解方程()223a-=（a-2）(3a-4)13已知k是关于x的方程4k2x-8x-k=0的一个根，求k的值。
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直接开平方法和因式分解法
【教学目标】
1．会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程；
2．灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。
【教学重难点】
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。
【教学过程】
一、提问导入
怎样解方程(x+1)2=256的？
让学生说出作业中的解法，教师板书。
解：1．直接开平方，得x+1=±16；
所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17。
2．原方程可变形为：
(x+1)2-256=0；
方程左边分解因式，得：
(x+1+16)(x+1－16)=0；
即可(x+17)(x－15)=0；
所以x＋17=0，x－15=0；
原方程的解：x1＝15，x2＝－17。
二、例题讲解与练习巩固
1．例1：
解下列方程：
（1）(x＋1)2－4＝0；
（2）12(2－x)2－9＝0。
分析：
两个方程都可以转化为a(x-k)2=b （a≠0，ab≥0）的形式，从而用直接开平方法求解。
解（1）原方程可以变形为：
(x＋1)2＝4，
直接开平方，得：
x＋1＝±2。
所以原方程的解是：x1＝1，x2＝－3。
原方程可以变形为________________________，
有________________________。
所以原方程的解是x1＝________，x2＝_________。
2．说明：（1）这时，只要把(x+1)看作一个整体，就可以转化为x2=b（b≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。
3．练习一解下列方程：
（1）(x＋2)2－16＝0；
（2）(x＋2)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1；
（4）(2x＋3)2－25＝0。
三、读一读
四、讨论、探索：解下列方程
（1）(x+2)2=3(x+2)；
（2）2y(y-3)=9-3y；
（3）( x-2)2— x+2 =0；
（4）(2x+1)2=(x-1)2；
（5）x2-2x+1=49。
五、本课小结
1．对于形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程，只要把(x-k)看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式，用直接开平方法解。
2．当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。