备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题21三角形中的最值问题Word版含解析版

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三角形内最值问题

三角形内最值问题
三角形内最值问题是一个常见的问题，它涉及到在给定三角形中找到某些几何量的最大值或最小值。

下面是一些解决这类问题的一般方法：
1. 基础几何知识：解决这类问题需要掌握一些基本的几何知识，如三角形的性质、三角函数、勾股定理等。

2. 对称性：考虑三角形是否具有某种对称性，如轴对称或中心对称，这有助于找到最值的位置。

3. 极值定理：在某些情况下，可以使用极值定理（如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等）来找到最值。

4. 函数建模：将问题转化为函数的最值问题，然后使用导数或其他数学工具来找到最值。

5. 参数方程：有时可以通过引入参数来表示几何量，然后通过参数的变化找到最值。

6. 优化技术：可以使用一些优化技术，如梯度下降、牛顿法等，来找到最值。

解决三角形内最值问题的具体方法取决于问题的具体情况和给定的条件。

在处理这类问题时，需要仔细分析问题，选择合适的数学工具和方法来解决。

三角形中的最值问题

三角形中的最值问题三角形中的最值问题一、利用三角函数有界性求最值例1.1．在△ABC 中，2222a c b ac +=(1)求B 的大小； (2)2cos A ＋cos C 的最大值．二、利用均值不等式求最值例2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．例3.3．已知ABC 中，30C =︒，2AB =，则ABC 面积的最大值为__________．三、利用有限与无限思想求最值例4.4．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．例5.5．已知ABC 中，302C AB AC =︒==，，点P 满足34PA PB ⋅=−,则PC 的最小值为_______．例6.6．已知ABC ∆中，3AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．四、利用解析法求最值例7.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______．五、利用向量法求最值例8.8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______．通过对以上几道例题的分析，我们发现，对涉及三角的最值问题，虽然具有一定的灵活性，但只要我们能结合题意，从实际出发选取恰当的方法，就能使问题得到较好的解决．因此，教师在平时的教学过程中，要注重学生的数学思想方法的生成、发展内化、升华过程，以达到举一反三、触类旁通的效果．六、与其它知识点交汇的最值问题研究三角形的对象主要是边、角和面积，其中边与角是研究问题的主体，且这些对象都是以实数大小体现出来，所以它们可以与其它知识点进行交汇，如向量、数列、不等式等，等解题时要综合运用这些知识和相关方法，灵活处理．例9.9．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若向量n ，m 分别满足：()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，且98m n ⋅=．（1）求tan tan A B 的值；（2）求222sin ab Ca b c +−的最大值．综上所述，我们不难发现：求三角形中不定量（式）的取值范围或最值掌握正（余）弦定理的“本”（边化角，角化边）是解决问题的前提条件，能充分而又正确运用正（余）弦定理的“本”去实现三角形中边角关系的互换是解决问题所必须具备的能力，而问题能解决的关键是在正确运用正（余）弦定理的“本”的基础上合理运用不等式思想和三角函数思想，并通过利用不等式的性质（均值不等式等）和三角函数的有界性求出所求问题的结论．同步练习10．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（）A 5B 25C 35D 511．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos 2cos b C c B =，且2c =，则ABC ∆面积的最大值为__________．12．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +−=−，则ABC 面积的最大值为____________.13．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若()()3 1cosA sinB sin A cosB −=+，6a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为________14．已知A ，B ，C 为ABC 的三个内角，若cos 0A >，且cos23sin 10A A −+=，求()()31sin 2cos 2C A A B C −+−+的最大值． 15．ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 16．在ABC ，若33A a π==，，求ABC 面积的最大值．17．已知ABC 中，132CA AB CB ==，，则ABC 面积的最大值为__________．18．等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，则△ABC 的面积最大值为_____． 19．已知ABC 中，2AB =，3AC BC =，则ABC 面积的最大值是__________．三角形中的最值问题三角形中的最值问题一、利用三角函数有界性求最值例1.1．在△ABC 中，222a c b +=+(1)求B 的大小； (2)＋cos C 的最大值．二、利用均值不等式求最值例2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．例3.3．已知ABC 中，30C =︒，2AB =，则ABC 面积的最大值为__________．三、利用有限与无限思想求最值例4.4．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．例5.5．已知ABC 中，302C AB AC =︒==，，点P 满足34PA PB ⋅=−,则PC 的最小值为_______．例6.6．已知ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．四、利用解析法求最值例7.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______．五、利用向量法求最值例8.8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______．通过对以上几道例题的分析，我们发现，对涉及三角的最值问题，虽然具有一定的灵活性，但只要我们能结合题意，从实际出发选取恰当的方法，就能使问题得到较好的解决．因此，教师在平时的教学过程中，要注重学生的数学思想方法的生成、发展内化、升华过程，以达到举一反三、触类旁通的效果．六、与其它知识点交汇的最值问题研究三角形的对象主要是边、角和面积，其中边与角是研究问题的主体，且这些对象都是以实数大小体现出来，所以它们可以与其它知识点进行交汇，如向量、数列、不等式等，等解题时要综合运用这些知识和相关方法，灵活处理．例9.9．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若向量n ，m 分别满足：()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，且98m n ⋅=．（1）求tan tan A B 的值；（2）求222sin ab Ca b c +−的最大值．综上所述，我们不难发现：求三角形中不定量（式）的取值范围或最值掌握正（余）弦定理的“本”（边化角，角化边）是解决问题的前提条件，能充分而又正确运用正（余）弦定理的“本”去实现三角形中边角关系的互换是解决问题所必须具备的能力，而问题能解决的关键是在正确运用正（余）弦定理的“本”的基础上合理运用不等式思想和三角函数思想，并通过利用不等式的性质（均值不等式等）和三角函数的有界性求出所求问题的结论．同步练习10．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（） A 5B ．55C ．355D 511．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos 2cos b C c B =，且2c =，则ABC ∆面积的最大值为__________．12．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +−=−，则ABC 面积的最大值为____________.13．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若()()3 1cosA sinB sin A cosB −=+，6a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为________14．已知A ，B ，C 为ABC 的三个内角，若cos 0A >，且cos23sin 10A A −+=，求()()1sin 2cos 2C A A B C −−+的最大值． 15．ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 16．在ABC ，若33A a π==，，求ABC 面积的最大值．17．已知ABC 中，132CA AB CB ==，，则ABC 面积的最大值为__________．18．等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，则△ABC 的面积最大值为_____．19．已知ABC 中，2AB =，AC =，则ABC 面积的最大值是__________．参考答案：1．（1）π4（2）1【详解】试题分析：（1）由余弦定理及题设得222cos 222a cb B ac ac +−===⇒4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=⇒3cos cos()4A C A A π+=+−cos()4A π=−⇒当4A π∠=cos A C +取得最大值1．试题解析：（1）由余弦定理及题设得222cos 2a c b B ac +−===又∵0B π<∠<，∴4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=，3cos cos()4A C A A π+=+−cos sin 22A A A =−+cos()4A A A π+=−，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=cos A C +取得最大值1．考点：1、解三角形；2、函数的最值.2．（1）见解析；（2）12．【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 试题解析：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+，化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=，所以sin()sin()sin A B C C π+=−=，从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=.（2）由（1）知，2a b c +=，所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++−+−===+−≥，当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12. 考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.3．22．【分析】利用余弦定理和基本不等式求出(42ab ≤，利用ABC 面积公式即可求出ABC 面积的最大值.【详解】设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理，得2222222cos302a b ab a b ab =+−︒=+≥．所以(42ab ≤=，当且仅当a b =时等号成立．所以11sin 224ABCSab C ab ==≤所以ABC 面积的最大值为2故答案为：24．【详解】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC=∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得AB .考点：正余弦定理；数形结合思想512##12−【分析】以BC 中点为原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可得2211224x y ⎛⎛⎫++−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．进而根据圆的几何性质即可求出结果.【详解】以BC 中点为原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()01A ，，()B ，．设()P x y ，，则()(),1,3,PA x y PB x y =−−−−−，由34PA PB ⋅=−,得221124x y ⎛⎛⎫+−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是圆心为12M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，半径为12的圆，MC =．由圆的几何性质可知，PC 12．12．6【详解】设||2BC a=，以BC所在直线为x轴、其中垂线OA所在直线为y轴建立直角坐标系（如图所示），则(,0),(,0),B aC a A−，设(,)P x y，由22233PB PC PA+==，得222222()()3(1x a y x a yx y⎧+++−+=⎪⎨+=⎪⎩，即2222223231x y ax y a⎧+=−⎪⎨⎪+−+−=⎩，则272211ay⎧−=⎪≤≤，则222(3)2(3)a a−−≤≤−+即22272(3)22(3)2a a a−−≤−≤−+解得a≤122ABCS a∆=⨯≤即ABC∆面积的最大值为16.7【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，求得1244cD a c⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，，再利用两点间距离公式结合基本不等式求解.【详解】如图所示，以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则点()102A c C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．因为D 为AC 边的中点，所以点124c D a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2221244c BD a c ⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2214a c ac =++， 21()4a c ac ⎡⎤=+−⎣⎦， 144ac =−≥214342a c +⎛⎫−= ⎪⎝⎭．当且仅当2a c ==时取等号，所以线段BD8【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，求得1244c D a c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，，再利用两点间距离公式结合基本不等式求解. 【详解】如图所示，以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则点()102A c C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．因为D 为AC 边的中点，所以点124c D a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2221244c BD a c ⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2214a c ac =++， 21()4a c ac ⎡⎤=+−⎣⎦， 144ac =−≥214342a c +⎛⎫−= ⎪⎝⎭．当且仅当2a c ==时取等号，所以线段BD9．（1）19；（2）38−．【分析】（1）根据()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，利用数量积的坐标运算化简求解；（2）根据余弦定理化简得到222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+−，再结合（1）1tan tan 9A B =，利用两角和的正切公式结合基本不等式求解.【详解】（1）因为()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，由数量积的坐标运算可得：()()()255191991cos cos 1cos 1cos cos cos sin sin 82828888A B A B A B A B A B A B −⎡⎤⎡⎤⎡⎤−++=−+++−=−+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简整理得：cos cos 9sin sin A B A B =，因为cos cos 0A B ≠，所以1tan tan 9A B =．（2）由余弦定理得2222cos a b c ab C +−=，所以222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+−，又因为（1）知1tan tan 9A B =，所以A ，B 皆为锐角，即tan 0A >，tan 0B >，所以()()tan tan 993tan tan tan 1tan tan 884A B A B A B A B ++==+≥⨯=−，所以()222sin 113tan tan 228ab C C A B a b c ==−+≤−+−，即222sin 38ab C a b c ≤−+−，所以222sin ab Ca b c +−的最大值为38−．10．B【解析】根据a 2+b 2+2c 2＝8，得到22282a b c +=−，由余弦定理得到22cos 83ab C c =−，由正弦定理得到2sin 4ab C S =，两式平方相加得()()()22224834ab c S =−+，而222822a b c ab +=−≥，两式结合有()()()()222222248283165S c c c c ≤−−−=−，再用基本不等式求解.【详解】因为a 2+b 2+2c 2＝8，所以22282a b c +=−，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab +−−==，即22cos 83ab C c =−① 由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =②由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S a b c =−+≤+=−，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S cc c c ⎛⎫−+≤−−−=−≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以S ≤，当且仅当22a b =且221655c c −=即222128,55a b c ===时，取等号. 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．3【分析】根据cos 2cos b C c B =，利用正弦定理得sin cos 2cos sin B C B C =，再利用两角和的正弦，有sin 3cos sin =A B C ，再根据2c =，表示：2sin sin Aa C=，2sin sin B b C =，然后代入正弦定理三角形面积公式求解.【详解】由cos 2cos b C c B =得sin cos 2cos sin B C B C =，所以sin sin()sin cos cos sin 3cos sin A B C B C B C B C =+=+=，由2c =可得2sin sin sin a bC A B==，所以2sin sin Aa C=，2sin sin B b C =，所以2114sin sin sin sin sin 2sin 22sin sin ∆=⋅==⋅ABC A B Aab C C B C S C 6sin cos 3sin 23==B B B 当4B π=时，ABC ∆面积取得最大值3.【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +−=−中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值.【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +−=−，所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +−=−，化简可得:222b c a bc +−=，即2221cos 22b c a A bc +−==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又224b c bc bc +−=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.13．【解析】利用正弦定理得出,,a b c 的关系，利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得sin B ，利用基本不等式，三角形面积公式即可求解.【详解】()()3cos sin sin 1cos A B A B −=+，3sin sin sin cos cos sin sin sin B A A B A B A C =++=+，∴由正弦定理可得：36b a c =+=， ∴解得2b =.6a c +=，6a c ∴=+≥9ac ≤（当且仅当3a c ==时等号成立）， 2222()2416cos 22a c b a c ac acB ac ac ac +−+−−−∴===，可得sin B ===11csin 22S a B ac ∴==⨯=≤=3a c ==时等号成立）.故答案为：【点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键，是中档题. 14【分析】由cos23sin 10A A −+=结合二倍角余弦公式求得sin A ，进而得到角A ，然后利用将()()1sin 2cos 2C A A B C −−+，转化为关于角C 的三角函数求解. 【详解】由cos23sin 10A A −+=得212sin 3sin 10A A −−+=，即22sin 3sin 20A A +−=，解得1sin 2A =或sin 2A =−（舍去），又因为0A π<<，所以6A π=或56A π=，由cos 0A >，则6A π=，所以56B C π+=，从而()()1sin 2cos 22C A A B C −+−+，1sin cos 632C B C ππ⎛⎫⎛⎫=−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11cos cos 2222C C C C =−++，C ，又因为506C π<<，所以(]sin 01C ∈，，C ≤ 故当2C π=15．（1）23π；（2）3+ 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +−⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB −−=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +−∴==−⋅，()0,A π∈，23A π∴=.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+−⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +−⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+−⋅≥+−=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=−B C ，则66ππα−<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++− ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+[方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.16【分析】利用余弦定理结合基本不等式求解.【详解】由余弦定理得：2222232cos3b c bc b c bc π=+−=+−∵222b c bc +≥， ∴229b c bc bc =+−≥∴9bc ≤，当且仅当b c =时等号成立∴1sin 244ABCSbc A ==≤所以ABC 17．3【分析】设AC x =，则2BC x =，根据余弦定理及面积公式可得ABC S ∆，再由二次函数的性质即可求得ABC S ∆的最大值；或利用坐标法求出点C 的轨迹方程，即求. 【详解】解法一：设AC x =，由12CA CB =，得2BC x =．由余弦定理，得22223(2)3cos 232x x x A x x+−−==⨯．所以sin A ==所以13333sin 22222ABCx SAC AB A =⋅===．由2323x x x x +>⎧⎨−<⎩，，得13x <<．所以当25x =时，ABC 面积的最大值为3．解法二：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,0,3,0A B ，设(),C x y ．由12CACB =12=．即22(1)4x y ++=．所以点C 的轨迹是圆心为()1,0M −，半径为2的圆（不含与AB 共线的两点）．所以13322ABCc c SAB y y =⋅=≤．即ABC 面积的最大值为3．故答案为：3 18．6【详解】设1,2AB AC x AD x ===，由题设可得222219554cos 4x x A x x +−==−，则22255sin 1()4A x=−−，故2222422115()sin [(9)]244S x A x x ∆==−−，即242242151945[(9)][81]444162S x x x x ∆=−−=−+−，则当24522098x =−=−时，2max 19451()[4002081]1443641624S ∆=−⨯+⨯−=⨯=，即max ()6S ∆=，应填答案6．点睛：本题以三角形中的边角关系为背景设置了求三角形面积的最大值问题．求解时，先运用余弦定理求得等腰三角形的顶角的余弦值，再运用三角函数中的平方关系求出其正弦值，然后依据三角形的面积公式，建立关于三角形的边长的函数关系，进而借助二次函数的图像和性质，分析探求出其最大值使得问题获解． 19【详解】依题意，设BC a =，则AC =，又2AB =，由余弦定理得：)2222cos a AB a AB B =+−⋅，即224cos 40a a B +−=，∴2421cos 42a aB a a −==−，∴2221cos 14a B a =+−，∴22221sin 1cos 24a B B a =−=−−，∵11sin 2sin sin 22ABC S AB BC B a B a B =⋅=⨯=，∴()24222222211sin 22143444ABCa a Sa B a a a a ⎛⎫==−−=−+−=−−+ ⎪⎝⎭，当24a =，即2a =时，∴23max S=，∴max S点睛：本题考查三角恒等式，余弦定理在解三角形中的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得面积的表达式是关键，也是难点，属于难题；设BC a =，则AC =，利用余弦定理可求得2221cos 14a B a =+−，再利用三角形的面积公式可求得sin ABCSa B =，继而可求()221434ABC S a =−−+，从而可得ABC 面积的最大值.。

与三角形有关的三类最值问题的解法

思路探寻与三角形有关的最值问题在高中数学中十分常见，通常要求根据三角形的边、角及其关系，求三角形的角、边长、周长、面积的最值.与三角形有关的最值问题侧重于考查勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义、诱导公式、辅助角公式、两角和差公式等.下面结合实例来探讨一下与三角形有关的最值问题的解法.一、求三角形中角的最值求三角形中角的最值一般较为简单，解题的关键在于灵活运用正余弦定理和三角函数中的基本公式.通常要先根据正弦定理：sin A a=sin B b=sin C c和余弦定理：a2+b2-c2=2ab cos C、a2+c2-b2=2ac cos B、b2+c2-a2=2bc cos A将边化为角，然后根据三角函数的诱导公式、辅助角公式、两角和差公式等化简关系式，最后利用三角函数的有界性，或借助基本不等式求得最值.例1.在△ABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c，若a2+b2=2c2，求角C的最小值.解：∵a2+b2=2c2，由余弦定理cos C=a 2+b2-c2 2ab，可得cos C=a2+b2-12()a2+b22ab=a2+b24ab，∵a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，∴a2+b24ab≥2ab4ab=12，∴cos C的最小值为12，∵0<C<180o，∴角C的最小值为π3.要求角C的最小值，需先求得有关角C的关系式，于是根据余弦定理求得cos C的表达式，将问题转化为求得a2+b24ab最值，然后利用基本不等式即可求得cos C的最小值，从而得到角C的最小值.二、求三角形周长的最值求三角形周长的最值，往往要先运用正弦或余弦定理，把问题中所给的条件转化为与边长有关的式子，然后求得a+b+c的表达式，再根据三角形的性质、三角函数中的基本公式将该式化简，借助基本不等式或三角函数的有界性求得周长的最值.例2.已知在△ABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c,b=3,B=π3，求△ABC的周长最大值.解：由正弦定理asin A=b sin B=c sin C，可得a+c=2()sin A+sin C，∵C=π-B-A=2π3-A，∴a+c=2éëêùûúsin A+sinæèöø2π3-A=23sinæèöøA+π6，∵A∈æèöø0，2π3，∴a+c∈(]3，23，即a+b+c∈(]23，33∴△ABC周长的最大值为33.△ABC的周长可用a+b+c来表示，由于a+c未知，所以需运用正弦定理将将角化为边，求得a+c的表达式，再运用两角的和差公式和辅助角公式将其化简为只含有正弦函数的形式，根据正弦函数的有界性求得最值.三、求三角形面积的最值三角形面积的最值问题比较常见，常需运用正余弦定理、三角形的面积公式S=12ab sin C来求解.解题的一般思路为：①运用正弦或余弦定理进行边角互化，根据三角形的面积公式S=12ab sin C得到三角形面积的表达式，②根据三角函数的有界性求得三角形的面积最值.例3.在△ABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c,a cos B=()2c-b cos A，a=2，求△ABC面积的最大值.解：由正弦定理可得，a cos B=()2c-b cos A=2sin C cos A-sin B cos A，47思路探寻∵sin C =sin ()A +B =sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴cos A =12，∵a sin A =b sin B =c sin C，∴bc =B C =163sin B sin æèöø2π3-B =83sin æèöø2B -π6+43，∵0＜B ＜2π3，∴-π6＜2B -π6＜7π6，当2B -π6=π2，即B =π3时，bc 取最大值4，∵S △ABC =12bc sin A ≤3，∴△ABC 面积的最大值为3.解答本题，需先运用正弦定理进行边角互化，将a cos B =()2c -b cos A 等价转化为sin A cos B =(2sin C -)sin B cos A ，求得角A ，再根据正弦定理求得bc ，便可根据公式S =12ab sin C 求得三角形面积的表达式，最后根据三角函数的有界性求得最值.可见，求解与三角形有关的最值问题，关键要运用正余弦定理进行边角互化，求得角、周长、面积的表达式，然后运用基本不等式、三角函数的有界性来求得最值.一般地，可运用正弦定理来将角化为边，运用余弦定理来将边化为角.在解题的过程中，要注意挖掘一下隐含条件：（1）三角形的内角和为180o ；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3）三角形的三边、三角均为正数.这些条件都是隐含在题目当中，若没有挖掘出来，便会缺少解题的条件，得出错误的答案.（作者单位：安徽省蚌埠第二中学）在学习中，我们经常会遇到求不等式恒成立问题中参数的取值范围.此类问题一般较为复杂，通常要求根据含有参数的不等式、方程、函数求使不等式恒成立时参数的取值范围.由于这类问题涉及的知识点较多，所以其求解途径多种多样.本文结合例题，谈一谈求参数的取值范围的两种常用途径：分离参数、数形结合.一、分离参数分离参数法是求不等式恒成立问题中参数的取值范围的重要方法.其大致的解题步骤为：①对含有参数的不等式、方程、函数进行变形，使参数单独置于一侧，变量置于另一侧，如a ≥f ()x 、a ≤f ()x ；②将问题转化为函数的最值问题，如a ≥f ()x 等价于a ≥f ()x max ，a ≤f ()x 等价于a ≤f ()x min ；③根据函数的单调性求得其最值；④建立新不等式，求出参数的取值范围.例1.已知f ()x =x ln x +a x，g ()x =x -e x -1+1.若∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2恒成立，则实数a 的取值范围为______.解：由题意可知，∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2等价于f ()x 1min ≥g ()x 2max ，∵g '()x =1-ex -1，当g '()x =0时，x =1，当x 2∈()-∞,1时，g '()x >0，g ()x 单调递增；当x 2∈()1,+∞时，g '()x <0，g ()x 单调递减，∴g ()x 2max =g ()1=1，∴f ()x =x ln x +a x ≥1在x ∈éëùû12,3上恒成立，即a ≥x -x 2ln x 在x ∈éëùû12,3上恒成立，令h ()x =x -x 2ln x ，x ∈éëùû12,3，朱红玉48。

三角形中最值问题常用解题技巧

三角形中最值问题常用解题技巧三角形是几何中非常常见的一种平面图形，它由三条相交的直线组成。

由于三角形的性质非常特殊，因此它也被广泛应用于各种领域，比如工程学、地理学、天文学等。

在学习三角形的时候，我们经常会遇到最值问题，比如：在一个三角形中，如何求出它的最大面积？或者是最小角度？这些最值问题是几何中常见的一类题目，解决它们需要我们掌握一些特定的解题技巧。

下面，我们就来介绍一些常用的三角形中最值问题解题技巧。

第一个解题技巧是使用勾股定理。

勾股定理是三角形中最基本的定理之一，它告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于它的两个直角边的平方和。

这个定理可以帮助我们求出直角三角形的斜边长度，也可以帮助我们求出非直角三角形的斜边长度。

第二个解题技巧是使用三角形面积公式。

三角形面积公式是求出三角形面积的常用方法之一，它告诉我们，三角形的面积等于底乘继续：三角形的高。

三角形的高是一条连接三角形的一个顶点和底边的直线，且这条直线与底边垂直。

因此，我们只要求出三角形的底和高，就可以使用这个公式来计算出它的面积。

第三个解题技巧是使用余弦定理。

余弦定理是三角形中另一个非常重要的定理，它告诉我们，在一个三角形中，两边的乘积除以它们的夹角余弦值，等于第三边的长度的平方。

这个定理可以帮助我们求出三角形的某一边的长度，也可以帮助我们求出三角形的某一个角的度数。

第四个解题技巧是使用正弦定理。

正弦定理与余弦定理非常相似，它也是一个三角形中常用的定理。

正弦定理告诉我们，在一个三角形中，两边的乘积除以它们的夹角正弦值，等于第三边的长度的平方。

这个定理同样可以帮助我们求出三角形的某一边的长度，也可以帮助我们求出三角形的某一个角的度数。

总结起来，解决三角形中最值问题的常用技巧有：使用勾股定理、使用三角形面继续：使用正弦定理。

这些定理和公式都是三角形中非常常用的，如果你能熟练运用它们，就可以轻松解决许多三角形中最值问题。

举个例子，如果你想求出一个三角形的最大面积，你可以使用三角形面积公式，求出不同的高和底的组合，最后取最大值即可。

高考数学复习：把握三角函数与解三角形中的最值问题

的取值范围是________.
解析
(1)f(x)＝3sin
x＋4cos
x＝535sin
x＋45cos
x＝5sin(x＋φ)，其中
cos
φ＝35，sin
φ
＝45，π4<φ<π2.因为 0≤x≤π，所以π4<x＋φ<32π.所以当 x＋φ＝π2时，f(x)max＝5；当 x＝π
时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sin φ＝－4.所以 f(x)的值域为[－4，5].
1
@《创新设计》
解 (1)连接 OM，依题意可得，在△OCM 中，OC＝1，CM＝ 2，OM＝2，
所以 cos ∠COM＝22＋21×2－2（×12）2＝34，
所以点 M 的横坐标为 2×34＝32.
(2)设∠AOM＝θ，θ∈0，23π，则∠BOM＝23π－θ，
S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB
sAinDC＝ 4 sin
233π＝sinDπ3－C C，
∴AD＝8sin C，DC＝8sinπ3－C，
∴△ADC的周长为
AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sinπ3－C＋4 3
＝8sin
C＋
3 2 cos
C－12sin
C＋4
3
18
@《创新设计》
＝812sin
C＋
23cos
C＋4
3
＝8sinC＋π3＋4 3， ∵∠ADC＝23π，∴0<C<π3，∴π3<C＋π3<23π，
9
解
(1)由已知条件，得
bcos
A＋acos
B＝2
3 3 bsin
C.
由正弦定理，得

怎样解答三角形中的最值问题

思路探寻解三角形中的最值问题一般与三角形的边、角、面积有关.要想顺利解答此类问题，同学们需首先根据题意，灵活运用正余弦定理、三角恒等变换的技巧求出并化简目标式，然后通过边角互化、构造几何图形、坐标运算等来求得最值.一、通过边角互化求最值通过边角互化，可将解三角形中的最值问题转化为三角函数最值问题，灵活运用三角恒等变换的技巧和三角函数的性质便可求得最值.例1.已知三角形ABC 的面积为S ，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若10c 2+5a 2=4b 2，则20S15a 2+6b 2的最大值是.解：根据题意将10c 2+5a 2=4b 2进行变形可得15a 2+6b 2=10a 2+10b 2-10c 2，由余弦定理得10a 2+10b 2-10c 2=10(a 2+b 2-c 2)=20ab cos C ，所以20S 15a 2+6b 2=10ab sin C 20ab cos C =12tan C，而cos C =a 2+b 2-c 22ab =32a 2+35b 22ab ，所以cos C ≥310，当且仅当5a 2=2b 2时，“=”成立，所以tan C ≤13，故20S 15a 2+6b 2=12tan C ≤16，即20S 15a 2+6b2的最大值是16.在解答本题时，我们需将已知关系式与目标式关联起来，根据余弦定理将边化为角.在得到角C 的表达式后，根据基本不等式求得cos C 的最值，进而求得目标式的最值.二、通过构造几何图形求最值.在解答解三角形最值问题时，我们可以根据题意，构造出合适的几何图形，通过解直角三角形来求得问题的答案.很多解三角形问题都可通过作高构造直角三角形来求解，这样能使问题得以简化.例2.在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A +sin 2B =2sin 2C ,则1tan A +1tan B +1tan C 的最小值为.解析：我们可以根据题意画出三角形，作出高线，将斜三角形化为直角三角形，根据三角函数的定义把对应的正弦、正切值表示出来，利用两角和的正切公式和基本不等式求得最值.解：由正弦定理得2a 2+b 2=2c 2.如图，作BD ⊥AC 于D ，设AD =x ,CD =y ,BD =h .因为2a 2+b 2=2c 2，所以2()y 2+h 2+()x +y 2=2()x 2+h 2，化简得x =3y .又1-tan A tan C tan A -tan C =-1tan B ，则1tan A +1tan B +1tan C=1tan A +1tan C +tan A tan C -1tan A +tan C=x h+y h +h 2xy -1h x +h y=13y 4h +h 4y ≥当且仅当13y 2=h 2时等号成立.三、通过坐标运算求最值.通过坐标运算求解三角形中最值问题的关键是根据题意建立合适的直角坐标系.一般需结合三角形的特点，如等边、等腰三角形的对称性、直角三角形的两条直角边垂直等来建立坐标系.通过坐标运算，可将问题转化为解析几何问题.例3.在ΔABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a 2+b 2+2c 2=8，则ΔABC 的面积的最大值为.解：以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设A æèöø-c 2,0,B æèöøc2,0,C ()x ,y ,由a 2+b 2+2c 2=8，得æèöøx -c 22+y 2+æèöøx +c 22+y 2+2c 2=8，即x 22=4-54c 2，所以点C 在以原点()0,0为圆心为半径的圆上，所以S ≤=ùûúæèöø4-54c 2+54c 2≤.我们通过坐标运算求得A 点的轨迹，然后根据圆的性质和基本不等式即可求得ΔABC 的面积的最大值.我们可以通过边角互化、构造几何图形、坐标运算来将问题转化为三角函数、平面几何、解析几何问题，借助三角函数的性质、平面几何和解析几何知识来求得最值.（作者单位：福建师范大学第二附属中学）D x y54 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】

专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值（3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数，故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤．由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．热点二三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+，当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．【答案】(1)π6；(2)425．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．热点三求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等，因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠，所以tan 3B =. 又因为0πB <<，所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ，所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，所以sin sin ∠=∠DBC ABD ，即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =，所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ，又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤；故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=，又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=，由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+，又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥，当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立．则ABC 面积的最大值为6．故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=，当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号，故选：B ．二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =，又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭，所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+，所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+，因此C ，D 错误故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确，故选：AD ．三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+，则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________．【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+．所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23．因为()0,A π∈，所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号，故sin A 的最大值为53．此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角，所以6cos 6B =．故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=，由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+，设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<，所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27．四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==，则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=，即34355b c bc +=，即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论；（2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+，故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=，当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立，所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--，即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．（1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立，所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=；方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====，所以4sin ,4sin b B c C ==，所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=，又因为23B C π+=，所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值，【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案；（2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=，所以14OC =，因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===，所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等，所以14OP OQ OM OC ====，因为P ，Q 关于OM 对称，所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=，当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874，所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值．【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠．即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =，所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-．在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值．【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =，若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=，即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-，由重要不等式得162ac ac ac ≥-=，当且仅当a c =时取等，所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==，利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解答三角形最值问题的几种措施

三角形最值问题对同学们的运算以及逻辑推理能力有较高的要求.此类问题通常侧重于考查正余弦定理、三角函数的定义、三角函数的单调性、基本不等式等.本文结合一道三角形最值问题，谈一谈解答此类问题的常用措施.例题：已知在ΔABC 中，点D 在边BC 上，BD =2CD ,AD =BD ，求tan A cos 2B 的最大值.一、利用基本不等式我们知道，若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，该式称为基本不等式.而运用基本不等式求最值，往往要确保：（1）两个数均为正数；（2）两数的和或积为定值；（3）当且仅当a =b 时取等号.在解答三角形最值问题时，要先灵活运用正余弦定理进行边角互化，把目标式化为只含边或角的式子；然后运用一些配凑技巧，如凑系数、添项、去常数项、平方等，配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，即可运用基本不等式求得最值.解法1.如图1所示，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，由AD =BD ，DE ⊥AB 可得E 为AB 的中点.因为BD =2CD ,AD =BD ，所以DE ∥CF ，所以AE =BE =2EF ，所以F 为AE 的中点.可得BE =2AF ，即AF =12BE .所以DE CF =BD BC =23，所以CF =32DE .在RtΔACF 中，tan A =CF AF =3DE BE.在RtΔBDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，所以BD 2≥2DE ⋅BE ，而cos B =BE BD ，所以tan A cos 2B =3DE BE ⋅(BE BD)2=3DE ⋅BE BD 2≤3DE ⋅BE 2DE ⋅BE =32，当且仅当DE =BE ，即B =45°时不等式取等号，故tan A cos 2B 的最大值为32.先添加辅助线，根据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质，建立各边之间的比例关系，从而求得tan A 、cos B 的表达式，得出tan A cos 2B =3DE ⋅BEBD 2.而在RtΔBDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，由基本不等式可得BD 2≥2DE ⋅BE ，通过约分即可求得目标式的最值.二、利用三角函数的性质三角函数具有有界性和单调性，而这两种性质是求三角函数最值的重要依据.在解答三角形最值问题时，可先根据正余弦定理将边角关系化为关于角的关系式，并用角的三角函数式表示出目标式，将问题转化为三角函数最值问题；然后利用三角函数中的诱导公式、二倍角公式、辅助角公式等进行恒等变形，将目标式化为只含有一种三角函数名称的式子，进而利用三角函数的有界性和单调性求最值.解法2.设ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，CD =m (m >0)，则AD =BD =2m ，因为∠ADB 与∠ADC 互为邻补角，所以cos∠ADB =-cos∠ADC .在ΔABD 中，由余弦定理得c 2=4m 2+4m 2-2×2m ×2m cos∠ADB ，化简得c 2=8m 2-8m 2cos∠ADB ，即c 2=8m 2+8m 2cos∠ADC ①；在ΔACD 中，由余弦定理得b 2=4m 2+m 2-2×2m ×m cos∠ADC ，化简得b 2=5m 2-4m 2cos∠ADC ，所以2b 2=10m 2-8m 2cos∠ADC ②.将①+②得c 2+2b 2=18m 2，又因为a =3m ，所以c 2+2b 2=2a 2.在ΔABC 中，由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=a 2+c 2-(a 2-12c 2)2ac =3c4a，由正弦定理可得cos B =3c 4a =3sin C 4sin A，所以4sin A cos B =3sin C =3sin(A +B )=3sin A cos B +3cos A sin B ，整理得sin A cos B =3cos A sin B ，所以tan A =3tan B .所以tan A cos 2B =3tan B cos 2B =3sin B cos B =32sin2B ≤32，思路探寻图149当sin2B =1，即B =45°时，tan A cos 2B 取最大值32.我们先根据余弦定理求得tan A 、cos B 的表达式，得出tan A cos 2B 的表达式，并根据tan B =sin Bcos B以及二倍角公式sin2B =2sin B cos B ，将目标式化为只含有正弦函数的式子，即可运用正弦函数的有界性求得目标式的最值.解法3.因为BD =2CD ,AD =BD ，所以AD =2CD .因为AD =BD ，所以∠BAD =∠B ，所以∠DAC =∠A -BAD =∠A -∠B .在ΔACD 中，由正弦定理得AD sin C =CDsin∠DAC，即2CD sin(A +B )=CDsin(A -B )，所以2sin(A -B )=sin(A +B )，可得2sin A cos B -2cos A sin B =sin A cos B +cos A sin B ，整理得sin A cos B =3cos A sin B ，所以tan A =3tan B .以下同解法2，具体过程略.该解法主要运用了正弦定理，根据角之间的关系进行三角恒等变换，得到tan A =3tan B ，再根据正弦函数的有界性求得最值.我们还也可以根据正切函数的定义和勾股定理，在RtΔBDE 中，求得tan B =DE BE =CF3AF，在RtΔACF 中，求得tan A =CF AF ，从而得出tan B =13tan A ，再根据正弦函数的有界性求得最值.利用三角函数的性质求解三角形最值问题，关键是将目标式化为关于角的三角函数式，并将其化简为只含有一种三角函数名称的式子，就能根据三角函数的有界性和单调性顺利求得最值.三、构建坐标系运用坐标法求解三角形最值问题，需先根据三角形的特征，建立合适的平面直角坐标系：可以三角形的一条底边为坐标轴，以一个顶点或底边的中点为原点；也可以三角形底边为x 轴，底边的中垂线为y 轴来建立坐标系.在建立坐标系后，求得各个点的坐标，再运用两点间的距离公式、直线的斜率公式和方程、三角函数的定义来求得角、边长以及目标式，最后运用函数的性质、三角函数的性质、基本不等式求最值.解法4.如图2所示，以D 为原点，DC 为x 轴，建立平面直角坐标系xDy ，设CD =m (m >0),∠ADB =θ，则点C (m ,0),B (-2m ,0),A (-2m cos θ,2m sin θ)，所以tan B =k AB =2m sin θ-2m cos θ+2m =sin θ1-cos θ，tan C =-k AC =2m sin θ2m cos θ+m =2sin θ2cos θ+1.可得cos 2B =11+tan 2B=1-cos θ2，tan A =-tan(B +C )=tan B +tan Ctan B tan C -1=(sin θ1-cos θ+2sin θ2cos θ+1)÷(sin θ1-cos θ⋅2sin θ2cos θ+1-1)=3sin θ1-cos θ.所以tan A cos 2B =3sin θ1-cos θ⋅1-cos θ2=32sin θ≤32，当sin θ=1，即θ=90°时，AD ⊥BC ，不等式取等号，故tan A cos 2B 的最大值为32.为了便于求得各点的坐标，以D 为原点，DC 为x 轴，建立平面直角坐标系xDy ，并设∠ADB =θ，用θ表示出cos 2B 、tan A 以及tan A cos 2B ，即可利用正弦函数的有界性求得最值.解法5.因为AD =BD ，过O 作DO ⊥AB ,以O 为原点，AB 为x 轴，OD 为y 轴建立如图3所示的平面直角坐标系xOy .设CD =m (m >0)，易知AD =BD =2m ，所以点C (-m cos B ,3m sin B ),A (-2m cos B ,0)，可得tan A =k AC =3m sin Bm cos B=3tan B .所以tan A cos 2B =3tan B cos 2B=3sin B cos B =32sin2B ≤32，当sin2B =1，即B =45°时，tan A cos 2B 取最大值32.根据等腰三角形三线合一的性质，过点O 作DO ⊥AB ,以O 为原点，AB 为x 轴，OD 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，即可快速求得D 、C 的坐标.再用角B 的三角函数表示出tan A cos 2B ，便可根据正弦函数的有界性求得问题的答案.求解三角形最值问题的思路较多，无论运用哪种思路解题，都需灵活运用正余弦定理进行边角互化，求得目标式，然后根据目标式的结构特征，选用合适的方法求最值.（作者单位：山东省牟平第一中学）图3思路探寻图250。

求解三角形最值问题的两种路径

解题宝典三角形最值问题主要有：（1）求三角形面积的最值；（2）求三角形周长的最值；（3）求三角形某个角的最值；（4）求三角形某条边长的最值.这类问题具有较强的综合性，通常要灵活运用勾股定理、正余弦定理、三角形的性质、不等式的性质，以及三角函数的定义、性质、图象等来解题.下面主要谈一谈求解三角形最值问题的两种路径.一、利用三角函数的性质在求解三角形最值问题时，我们可以根据勾股定理、正余弦定理，将三角形的边、角、周长、面积用三角函数表示出来，这样就可以将问题转化为三角函数最值问题,利用三角函数的单调性、有界性、周期性快速求得最值.例1.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若c =1，cos B sin C +()a -sin B cos ()A +B =0．(1)求角C 的大小；(2)求ΔABC 面积的最大值．解：(1)C =π4；（过程略）(2)由（1）可知c =1,C =π4，∴2R =c sin C =a sin A =bsin B =2，得sin C ，∴S ΔABC =12ab sin C=R sin A ∙2R sin B =A sin B A sin æèöøπ4+A=12sin A cos A +12sin 2A=14sin 2A -14cos 2A +14=æèöø2A -π4+14，∵C =π4，∴A +B =3π4，∴0<A <3π4，∴-π4<2A -π4<5π4，由正弦函数的单调性和图象可知sin æèöø2A-π4≤1，∴0æèöø2A -π4+14+14，∴ΔABC 面积的最大值为14．我们先根据正弦定理求得sin C 的值，即可根据三角形的面积公式求得ΔABC 面积的表达式；然后通过三角恒等变换将目标式变形为只含有一个角A 和正弦函数的式子，即可根据正弦函数的单调性、图象，以及角A 的取值范围求得三角形面积的最值.在求得目标式后，往往要利用三角函数的基本公式对目标式进行三角恒等变换，使其化为最简形式：只含有一个角和一种三角函数名称的式子，这样便于直接运用三角函数的性质、图象求最值.例2.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a sin A +C 2=b sin A ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，c =1，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)B =π3；（过程略）(2)∵c =1,B =π3，由正弦定理a sin A =csin C，可得a =c sin A sin C =sin A sin C =sin æèöøC +π3sin C=12sin C +2cos Csin C =12+∙1tan C，∵ΔABC 为锐角三角形，B =π3，∴ìíîïï0<C <π2，0<2π3-C <π2，∴π6<C <π2，∴0<1tan C <3，∴12<12+∙1tan C<2，由三角形面积公式得S ΔABC =12ac sin B =èöø÷12∙1tan C，<S ΔABC <∴ΔABC 面积的取值范围为èø．我们运用正弦定理和三角形的面积公式，就可以快速求得ΔABC 面积的表达式.该式中含有1tan C，需根据正切函数的有界性和单调性，以及角C 的取值范围求得最值.这就要求我们熟记正弦、余弦、正切函数的单调性，以及一些特殊角的三角函数值.例3.已知在△ABC 中，sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C .44解题宝典(1)求A ；(2)若BC =3，求ΔABC 周长的最大值．解：(1)A =2π3．（过程略）(2)∵a =BC =3,A =2π3,∴2R =a sin A=23,∴C ΔABC =a +b +c =3+b +c =3+2R sin B +2R sin C=3+23()sin B +sin C =23éëêùûúsin B +sin æèöøB +2π3=3sin B +3cos B =23sin æèöøB +π3，∵A =2π3，∴C +B =π3，∴0<B <π3，∴π3<B +π3<2π3，由正弦函数的性质可得2sin æèöøB +π3≤1，∴3<23sin æèöøB +π3≤23，∴()C ΔABC max =3+23，∴ΔABC 周长的最大值为3+23．在利用三角函数的性质求得目标式的最值时，往往要仔细研究目标式中角的取值范围.可根据已知条件、隐含条件，以及有关三角形的定理，如三角形内角和为180o ，尽可能地缩小角的范围，这样才能得到正确的答案.二、利用基本不等式若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a=b 时等号成立，该式称为基本不等式.基本不等式是解答最值问题的重要工具.在解答三角形最值问题时，往往可以将目标式进行适当的变形，使得该式为两式的和或积，并使其中之一为定值，便可运用基本不等式求得目标式的最大值或最小值.以例1为例.解：(1)C =π4．（过程略）.（2）由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，∵c =1,C =π4，∴1=a 2+b 2-2ab，∴1+2ab=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时取等号，∴()2-2ab ≤1，∴ab ≤，∴S ΔABC =12ab sin C =≤∴ΔABC 面积的最大值为14．我们根据余弦定理可得1=a 2+b 2-2ab ，该式中含有两式的和a 2+b 2与两式的积ab ，根据基本不等式的变形式a 2+b 2≥2ab ，即可求得ab 以及ΔABC 面积的最值.例 4.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 满足sin A -sin B +sin C sin C =sin Bsin A +sin B -sin C ．(1)求角A ；(2)若ΔABC 的外接圆半径为1，求ΔABC 的面积的最大值．解：(1)A =π3．（过程略）(2)∵A =π3，R =1，∴a =2R sin A =3，由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，∴3=c 2+b 2-bc ，∴3+bc =c 2+b 2≥2bc ，∴bc ≤3，当且仅当a =b 时取等号，而S =12bc sin A =≤，∴ΔABC 面积的最大值为．在运用基本不等式求最值时，要仔细观察代数式的结构特征，尤其要关注两式的和、积，对其进行合理的拆分、变形，可通过添项、凑分子、凑系数、常数代换等方式，配凑出两式的和或积.以例3为例.解：(1)A =2π3．（过程略）（2）由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，∵a =3,A =2π3，∴9=b 2+c 2+bc ，∴()b +c 2-2bc +bc =9，∴()b +c 2-9=bc ≤æèöøb +c 22，当且仅当a =b 时取等号，∴34()b +c 2≤9，∴b +c ≤23，而C ΔABC =a +b +c ≤3+23，∴ΔABC 周长的最大值为3+23．先根据余弦定理将已知的边角关系化为边的关系，求得三角形的周长的表达式；然后根据关系式9=b 2+c 2+bc 的特征，运用基本不等式求得b +c 的取值范围，进而求得三角形周长的最值.总之，解答三角形最值问题，既可以从角的关系入手，灵活运用三角函数的基本公式、定义、性质、图象求解；也可以从边的关系入手，根据代数式的特征，配凑出两式的和或积，运用基本不等式求得最值.相比较而言，运用基本不等式求三角形最值问题较为便捷.（作者单位：江苏省淮安市洪泽湖高级中学）45。

(完整版)高中数学解三角形最值

三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换,边角转化，正弦余弦定理等知识点,是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题,其中，三角形中的最值问题又是一个重点.其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决.类型一：建立目标函数后,利用三角函数有界性来解决例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b)sinC 。

（1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.变式1:已知向量(,)m a c b =+,(,)n a c b a =--,且0m n ⋅=，其中,,A B C 是△ABC 的内角,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边。

(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值。

解：由m n ⋅=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC所以cosC=21,从而C=60故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时,sin sin A B +的最大值是3变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。

解：根据题意得：2R(224R a —224R c ）=（2a —b)*R b2化简可得 c 2=a 2+b 2—2ab ，由余弦定理可得： C=45 , A+B=135 S=21absinC=212RsinA ＊2RsinB*sinC =2sinAsin(135 —A) =22R (2sin （2A+45 )+1 ∵0<A<135 ∴45 <2A+45 <315∴ 当2A+45 ＝90 即A=15 时，S 取得最大值2212R ＋。

突破解三角形中的求最值问题提升数学解题能力

突破解三角形中的求最值问题提升数学解题能力
数学解题能力的提升对于学生的学业发展至关重要。

在数学学习中，掌握解决求最值问题的方法和技巧能够更好地理解数学知识，提高解题能力。

本文将以解三角形中的求最值问题为例，介绍一些提升数学解题能力的方法。

解决求最值问题需要对基本的三角函数有一定的了解和掌握。

对于一个已知边长的三角形，我们可以利用三角函数的性质找到它的最大或最小值。

学生可以通过多做一些数学题来巩固这方面的知识。

学生需要培养观察问题的能力。

在解决求最值问题时，我们需要仔细观察题目中的条件，利用已知信息推导出更多的信息，并结合解题方法进行求解。

培养观察问题的能力可以通过多做一些思维训练和推理题来提升。

建立数学模型也是解决求最值问题的关键。

对于复杂的求最值问题，我们可以通过建立数学模型来简化问题，用数学语言描述问题，从而更容易找到最大或最小值。

学生可以通过学习数学建模的方法来提高建模能力。

学生还可以通过分析典型例题来提升解题能力。

在解决三角形中的求最值问题时，可以通过分析已有的典型例题，找到解题的思路和方法。

在解答问题时，可以尝试将问题转化为已有的典型例题来进行分析和求解。

学生应该善于运用数学工具和技巧。

在解决求最值问题时，我们可以利用数学工具绘制图形，通过图形观察和分析来找到最大或最小值。

还可以应用一些数学推导和化简的技巧，简化计算过程，提高解题效率。

解三角形中的最值与范围问题(解析版)

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理设220CDBD m ==>，则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。

高中数学专题：解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题有两种解题思路：1. 转化为三角函数求最值问题，有两个转化方法：（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦值，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=.（2）利用三角形内角和和诱导公式进行角的转化，C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，C B A tan )tan(-=+. 最终转化为一个角的三角函数形式，求其最值.2. 转化为利用均值不等式（ab b a 222≥+）求最值问题，主要与余弦定理或其推论相结合，求三角形面积的最大值，或某一个内角余弦值的最小值.一．转化为三角函数求最值问题.例1.（2016年北京卷理科15题）在ABC ∆中，ac b c a 2222+=+.（1）求B 的大小；（2）求C A cos cos 2+的最大值.解：（1）ac b c a 2222=-+，则由余弦定理得：22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，4π=B ，（2）)4cos(cos 2)cos(cos 2cos cos 2π+-=+-=+A A B A A C AA A A A A sin 22cos 22sin 22cos 22cos 2+=+-= 1)4sin(≤+=πA 当24ππ=+A 时，C A cos cos 2+取最大值，为1.例2.（2011年全国卷理科16题）在ABC ∆中， 60=B ，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为 . 解：设3==AC b ，AB c =，BC a =，由正弦定理得：2233sin sin sin ====C c B b A a ，则A a sin 2=，C c sin 2=，所以A B A A C a c BC AB sin 4)sin(2sin 4sin 222++=+=+=+AA A A A A A cos 3sin 5sin 4cos 3sin sin 4)60sin(2+=++=++= 72)sin(72≤+=ϕA ；（其中53tan =ϕ），当1)sin(=+ϕA 时，BC AB 2+取最大值，为72.例3.（2018年北京卷文科14题）若ABC ∆的面积为)(43222b c a -+，且C 为钝角，则=B ；ac 的取值范围是 .解：由余弦定理得B ac b c a cos 2222=-+，所以B ac B ac S cos 243sin 21⨯==，则3tan =B ，所以3π=B ，由正弦定理得：AA A A A C A A C a c tan 12321sin cos 23sin 21sin )sin(sin sin +=+=+==，由于C 为钝角，3π=B ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈6,0πA ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈33,0tan A ， ()+∞∈,3tan 1A ，所以()+∞∈,2a c . 二．转化为利用均值不等式求最值问题.例4.（2013年全国二卷理科17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=.（1）求B ；（2）若2=b ，求ABC ∆面积的最大值.解：（1）由C B A c b a sin :sin :sin ::=得B C C B A sin sin cos sin sin +=，则B C C B C B C B C B sin sin cos sin sin cos cos sin )sin(+=+=+，所以B C C B sin sin sin cos =，因为0sin ≠C ，所以B B sin cos =， 1tan =B ，所以4π=B ，（2）由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，即ac ac c a )22(2422-≥-+=，所以224224+=-≤ac ，当且仅当c a =时，等号成立，故1242sin 21+≤==ac B ac S ，所以ABC ∆面积的最大值为12+.例5.（2016年山东理科16题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知AB B A B A cos tan cos tan )tan (tan 2+=+. （1）证明：c b a 2=+；（2）求C cos 的最小值.（1）证明：BA B A B B A A cos cos sin sin )cos sin cos sin (2+=+， B A B A B A C B A B A B A B A B A cos cos sin sin cos cos sin 2cos cos )sin(2cos cos sin cos cos sin 2+==+=+所以B A C sin sin sin 2+=，则b a c +=2.（2）由余弦定理得：abb a b a abc b a C 222cos 222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+= 21221243221)(4322=-⨯≥-+=ab ab ab ab ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立，所以C cos 的最小值为21. 小结：解三角形中的最值问题或者转化为三角函数求最值，或者利用不等式求最值.。

怎样解答解三角形中的最值问题

知识导航解三角形中的最值问题一般是与长度、高度、角度、面积有关的最值问题.此类问题的综合性较强，不仅考查了解三角形中的正余弦定理、勾股定理以及三角形的性质，还考查了求最值的方法.解答解三角形中的最值问题，需首先根据题意绘制相应的图形，然后利用正余弦定理、勾股定理以及三角形的性质建立三角形的边角关系，再采用坐标法、三角函数法、基本不等式法来求出最值.一、坐标法坐标法即是根据问题所给的条件建立直角坐标系，求出三角形各个顶点的坐标，通过坐标运算求出最值的方法.如何建立合适的直角坐标系是运用坐标法解题的关键.一般地，可以以等腰三角形的中线、直角三角形的直角边为坐标轴来建立直角坐标系.例1.已知在△ABC 中，AB =2,AC =3BC ,则△ABC 面积的最大值为____.解：过AB 的中点建立如图所示的直角坐标系，∴点A ()-1,0，点B ()1,0,点C ()x ,y ，∵AC =3BC ，∴AC 2=3BC 2，即()x +12+y 2=3()x -12+3y 2，整理可得()x -22+y 2=3，∴点C 在以()2,0为圆心，3为半径的圆上，∴当C 位于()2,±3时，△ABC 的面积最大，最大值为S =12×2×3=3.在建立直角坐标系后，通过坐标运算求得C 点的轨迹方程，得到C 点到x 轴的最值，便可确定三角形ABC 的高的最大值，根据三角形的面积公式就可以求得△ABC 面积的最大值.二、三角函数法三角函数法是指利用三角函数的图象、性质求得最值的方法.在解答解三角形中的最值问题时，需首先运用正弦定理sin A a =sin B b =sin Cc，余弦定理cos A =b 2+c 2-a 22bc进行边角互化，将最值问题转化为与sin x 、cos x 或tan x 相关的三角函数最值问题，然后借助三角函数的性质和图象求得最值.例2.在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 边于点D ，若AB =2,AC =1,则△ABD 面积的最大值为_____.解：由题意可得，S △ABD 23S △ABC ，∵S △ABC =12bc sin A =12×2×1×sin A =sin A ，∴S △ABD =23sin A ，∵0＜A ＜π，∴sin A ∈(]0,1，当A =π2时，sin A 取最大值1，∴△ABD 面积的最大值为23.解答本题，需首先对问题中的条件进行分析，由角平分线的性质得出△ABD 与△ACD 的面积之比，利用三角形的面积公式S =12ab sin C 求出S △ABC 的表达式，再根据正弦函数的有界性求得最值.三、基本不等式法所谓基本不等式法，是指利用基本不等式a ,b ∈R +,a +b ≥2ab 及其变形式a 2+b 2≥2ab、a 2+b 22≥æèöøa +b 22、ab ≤æèöøa +b 22求得最值的方法.采用该方法解题时，通常需利用正余弦定理将三角形角度之间的关系转化为边长之间的关系，通过恒等变形构造出两式的和或积，以便运用基本不等式求出最值.例3.已知点O 是△ABC 的内心，∠BAC =π3，BC =1,则△BOC 面积的最大值为______.解：∵点O 是△ABC 的内心，∠BAC =π3，∴∠BOC =π-π3=2π3，由余弦定理可得BC 2=OC 2+OB 2-2OC ∙OB ∙cos 2π3，即OC 2+OB 2=1-OC ∙OB ，∵OC 2+OB 2≥2OC ∙OB ，∴OC ∙OB ≤13，当且仅当OB =OC 时等号成立，∴S△BOC 12OC ∙OB ∙sin 2π3≤，即△BOC 面积最大值为.我们根据余弦定理建立三角形三边之间的关系，然后利用基本不等式得到OC 2+OB 2与OC ∙OB之间的关系式，进而求得S △BOC 的最值.由此可见，解三角形中的最值问题主要以面积最值问题为主.坐标法、三角函数法、基本不等式法都是解答解三角形中最值问题的重要方法.相比较而言，前两种方法较为直接、简单，后一种方法虽然较为灵活，但也能帮助我们快速求得最值.孙玉朋36。

备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题18三角函数的最值的求解策略Word版含解析

【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。

解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。

求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】方法一配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步得出结论.例1 函数x x x f sin 22cos )(+=的最小值为．【答案】【解析】试题分析：，；故填．考点：1．二倍角公式；2．一元二次函数的值域．【点评】本题解题的关键有两点：一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子；二是采用换元法即令t sin x =，将其转化为关于的二次函数求最值问题.【变式演练1】已知函数52sin cos 22++-+=a a x a x y 有最大值，求实数的值．【答案】43a =-【解析】试题分析：22sin sin 26y x a x a a =-+-++，令[]sin ,1,1x t t =∈-，则2226y t at a a =-+-++，对称轴为2a t =，考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x 的二次函数，根据sin x 的取值范围－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a 的值．【变式演练2】求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值. 【答案】10与6. 【解析】试题分析：将原式进行化简，利用二倍角公式，同角三角函数关系，将原式化成含sin 2x 的式子，利用换元法，令sin 2x μ=，根据二次函数的性质求最值.试题解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-()2272sin 24cos 1cos x x x =-+-2272sin 24cos sin x x x =-+272sin 2sin 2x x =-+()21sin 26x =-+令sin 2,[1,1]x μμ=∈-，由于函数()216z u =-+在[]11-，中的最大值为()2max 11610z =--+=最小值为()2min 1166z =-+=故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值. 考点：1.三角恒等变换；2.二次函数在给定区间求最值.方法二化一法使用情景：函数表达式形如22()sin cos sin cos f x a x b x c x x d =+++类型解题模板：第一步运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如sin cos y a x b x c =++形式；第二步利用辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ+=+化为只含有一个函数名的形式；第三步利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.例2 已知函数()22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为．【答案】【解析】考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域．【点评】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，()2sin 22cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，进而利用02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的范围得到72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即为换元思想，把26x π+看作一个整体，利用sin y x =的单调性即可得出最值，这是解决sin sin y a x b x =+的常用做法．【变式演练3】设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________．【答案】-【解析】试题分析：()()2sin cos f x x x x φ=-=-,其中cos ,sin 55φφ==，故当函数()f x 取得最大值时，2,,cos cos 2sin 225k k Z k ππθφπθφπφ⎛⎫-=+∈∴=++=-=-⎪⎝⎭考点：辅助角公式，三角函数的最值和值域【变式演练4】已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π．(1)求()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在8π，38π]上的最大值和最小值．【答案】(1) (),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 最大值2(2)当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,61212x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin 2262f x x π⎤⎛⎫=-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2考点：1、三角函数的恒等变换； 2、函数()sin y A x ωϕ=+的性质；【变式演练5】已知函数()sin cos f x x a x =+图象的一条对称轴是4x π=，且当x θ=时，函数()sin ()g x x f x =+取得最大值，则cos θ= ．【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．【变式演练6】已知1)4(cos 2)sin (cos 3)(222++--=πx x x x f 的定义域为2,0π].(1)求)(x f 的最小值.(2)ABC ∆中,45=A ,23=b ,边的长为函数)(33x f -的最大值,求角B 大小及ABC∆的面积.【答案】(1)函数)(x f 的最小值(2) ABC ∆的面积1)S =. 【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.【变式演练7】已知函数23()cos()cos()22f x x x x ππ=+--+. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值；（II ）求()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间．【答案】（I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为；（II ）5[,]612ππ．【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简()sin(2)3f x x π=-，即可求解()f x 的最小正周期和最大值；（II ）由()f x 递增时，求得51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈，即可得到()f x在5[,]612ππ上递增．考点：三角函数的图象与性质．方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步得出结论.例3 求函数2sin 2cos xy x-=-的最值.【答案】2sin 2cos xy x-=-的最大值为43+，最小值为43.【解析】设(2,2),(cosx,sinx),A P 则2sin 2cos PA xk x-=-，即PA k 为过点,A P 两点的斜率. 所以要求函数2sin 2cos xy x-=-的最大值，只要求直线PA 的斜率PA k 的最大值即可.因为22cos x sin x 1+=，所以(cosx,sinx)P 在单位圆上.因为直线PA 的方程为：(2)2PA y k x =--，所以直线PA 与单位圆相切时，斜率PA k 取得最值.1=，解得PA k =，所以2sin 2cos xy x-=-学科网【变式演练8】求函数21sin 1sin x y x --=-在区间[0,)2π上的最小值.【答案】2sin 2cos xy x-=-的最大值为43+，最小值为43.【点评】若函数表达式可化为形如12a t yb t -=-（其中，2t 为含有三角函数的式子），则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.【高考再现】1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( ) （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.2. 【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移（0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A.12t =，的最小值为6πB.t =，的最小值为6πC.12t =，的最小值为3πD.2t =，的最小值为3π【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A.考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换3. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ .【答案】8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识。

三角形中最值问题

三角形中最值问题简介三角形是一种常见的几何形状，它具有许多有趣的性质和特点。

在研究三角形时，人们经常会遇到三角形中最值问题，即在给定的条件下，寻找三角形的某个特定值的最大值或最小值。

问题描述三角形中的最值问题可以有多种形式。

以下是一些常见的问题描述：1. 在给定周长的情况下，如何使得三角形的面积最大？2. 在给定面积的情况下，如何使得三角形的周长最小？3. 在给定一个顶点和一条边长的情况下，如何使得三角形的面积最大？4. 在给定一个定点和一个边长的情况下，如何使得三角形的周长最小？求解方法解决三角形中最值问题通常需要使用数学和几何知识，并运用相关的求解方法。

以下是一些常见的方法：1. 利用三角形面积公式：通过计算三角形的底和高，可以求得三角形的面积。

在求解最值问题时，可以通过最大化或最小化底或高来获得最优解。

2. 利用三角形周长公式：通过计算三角形的三条边长之和，可以求得三角形的周长。

在求解最值问题时，可以通过最大化或最小化边长来获得最优解。

3. 利用三角形的性质：三角形具有许多特殊的性质，如等边三角形、等腰三角形等。

在求解最值问题时，可以利用这些特殊性质来简化计算和推导。

4. 利用函数分析方法：将三角形的特定值表示为函数，并进行函数分析，求取函数的最值。

这种方法可以通过微积分和代数方法来求解最值问题。

示例以下是一些实际问题的示例，展示了如何在给定条件下求解三角形中的最值问题：1. 现有一根长度为12厘米的线段，如何将其折成两条边长相等的直角三角形，使得两个直角三角形的总面积最大？2. 某班级有30名学生，他们要组成尽可能多的小组（每个小组由3名成员组成），并确保每个小组的三个成员之间都是朋友关系，该如何分组？3. 在一个公园中，有一个长方形的池塘，现希望在池塘边界上修建一个围墙，使得围墙内部的面积最大，该如何确定围墙的形状和位置？结论在三角形中最值问题中，我们通过运用数学和几何知识，并利用相关的求解方法，可以求得三角形的最大值或最小值。

三角形中的最值问题 -高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品

1/20高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题06三角形中的最值问题【典例1】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos c C=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域．【思路引导】（1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.2/20【典例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=.(1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值；(2)若b =，求c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.【典例3】已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C -+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ；（2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.3/20【典例4】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =- ，(2,0)n =.（1）若23B π=，求m 与n 的夹角θ；（2）若||1,m b ==，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】（1）将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅ ,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m = 及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.【典例5】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）；（2）求EAF ∆的面积S 的最小值.【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.4/20【典例6】已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-.（1）求B ；（2）设b =，ABC 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C -=-32sin 2sin sin 22A C C =⋅⋅-，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．【典例7】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【思路引导】（1cos c C -=⋅中的边化成角得到2cos 2A =，从而求得A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.5/201.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.2.,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A+=.（1）若1,6b A π==，求sin B ；（2）已知3C π=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.6/204.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=a c Bb C A .（1）求A ；（2）若a =b c +的最大值.5.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =- ，(1,cos cos )n a C c A =+ ，且//m n.（1）求角C 的大小；（2）若c =，求ABC ∆的周长的取值范围.6.如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值.7/207.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+.(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．8.在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a C c=+．(1)求角A ；(2)若·3AB AC =，求a 的最小值．9.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值.8/2010.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=．（1）求角B 的值；（2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．11.ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠= ，求DEF ∆面积的最小值.9/20参考答案【典例1】解：（1）由2cos cos a b Bc C-=，利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，可化为()2sin cos sin A C sin C B A =+=，1sin 0,cos 2A C ≠∴=0,,23C C ππ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭.（2）sin sin 3y A sinB A sin A ππ⎛⎫=+=+-- ⎪⎝⎭31sin cos sin 226A A A A π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，2,032A B A ππ+=<<，62A ππ∴<<，2,36362A sin A ππππ⎛⎤⎛⎫∴<+<∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，32y ⎛∴∈ ⎝.【典例2】解：（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C-=A B C π++= ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C∴+-=+-=即2cos sin sin B C C=()0,C π∈ sin 0C ∴≠1cos 2B ∴=()0,B π∈ 3B π∴=23A C π∴+=23sin sin 232A C B π+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭（2）由（1）知：3sin sin 32B π==2sin sin sin 32a c bA C B∴====2sin c C ∴=，2sin a A=()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--10/202sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭23A C π+=Q 203C π∴<<,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(【典例3】解：（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=．（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===，所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以11333sin 32224S bc A =≤⨯⨯=（b c =时取等号）．【典例4】解：（1）23B π=,所以33,22m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,因为(2,0)n =,202m n ⋅=⨯+= ∴ ,又||m == ||2n =,1cos 2θ==∴,3πθ∴=,（2）因为||1m = ,即||1m ===,所以3B π=,方法1.由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.11/202222()()3()324a c a c a c ac a c ++⎛⎫=+-≥+-⋅=⎪⎝⎭,即2()34a c +≥,即a c +≤（当且仅当a c =时取等号）所以ABC ∆周长的最大值为方法2.由正弦定理可知,2sin sin sin a c bA C B===,2sin ,2sin a A c C ==∴,23A C π+=,所以22sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又203A π<<,5666A πππ<+<,1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,a c +∈∴,所以当3A π=时,a c +取最大值所以ABC ∆周长的最大值为【典例5】解：（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，在Rt ADF ∆中，AD =，236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，30cos 6cos 6ADAF DAFπθπθ⎛⎫∴==<< ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭；（2）13sin 23314cos cos 622S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，12/20当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32-.【典例6】解：（1）由正弦定理()()()a c c a b a b -=+-，222a c b ac +-=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，3B π=；（2）由正弦定理2sin sin sin 32a c bA C B===，2sin a A =，2sin c C =，2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 2sin sin 22A C C A C C =⋅⋅-=-2)sin sin 23sin cos sin 2C B C C C C C C =+-=+-333331cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2222222C C C C C =-+-=-+33sin 21232C π⎛⎫=+-≤+⎪⎝⎭.当且仅当512C π=时等号成立，故最大值为312+.【典例7】解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=，又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos A =0A π<<，所以4A π=.（2）由（1）知4A π=，根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<.在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Cπ++===+，因为(42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞，所以(24)b ∈，.13/20因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+，所以221()4AD AC AB =+ 21(48)4b b =++21(2)14b =++，因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.1.【思路引导】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.解：（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===,a A b B ==∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，14/20综上+a b的取值范围为.2.【思路引导】（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ；（2）根据3C π=，选择in 12s S ab C =，所以当ABC 的面积取得最大值时，ab 最大，结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC 的周长．解：（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=，即48a b +=.因为1b =，所以4a =.由41sin sin6B=π，得1sin 8B =.（2）因为48a b +=≥，所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立.因为ABC的面积11sin 4sin 223S ab C π=≤⨯⨯=.所以当44a b ==时，ABC 的面积取得最大值，此时22241241cos 133c π=+-⨯⨯⨯=，则c =，所以ABC的周长为5+3.【思路引导】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值.解：（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0,A π∈知sin 0A >，15/20则31sin cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由1sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+uu u r uu u r uu u r uu r uu r ，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433⨯=.4.【思路引导】（1）根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得A .（2）利用正弦定理,表示出b c +,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得b c +的最大值.解：（1）∵cos cos 2cos +=ac B b C A,由正弦定理得sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos +=⇒=A AB C A A A ,∵sin 0A ≠,∴1cos 2A =,∵0A π<<,∴3A π=；（2）由正弦定理得：2sin sin sin a b cA B C===,∴2sin ,2sin b B c C ==,则()22sin sin 2sin 2sin 3⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭b c B C B B π16/203sin 6B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,∵203B π<<,∴5666B πππ<+<,∴当3B π=时,b c +取得最大值5.【思路引导】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角C 的大小；（2）根据余弦定理求出+a b 的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围.解：（1）由//m n得22cos 2cos cos a C c A C b +=-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-，即2cos sin()sin C A C B +=-，因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠，则1cos 2C =-，又(0,)C π∠∈，故23C π∠=；（2）在ABC ∆中，因c =，23C π∠=，由余弦定理得2223c a b ab =++=，即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，解得2a b +≤，又由三角形性质得a b c +>=2a b <+≤，则2a b c <++≤+，即ABC ∆的周长的取值范围为(2.6.【思路引导】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可.(2)根据正弦定理参变分离,再利用A 的取值范围求解解：（1）由题,2cos sin()A A C +=33sin[()]sin[()]sin(2)sin sin cos 22A A C A A C A C C C C ++--+=++=-,即1sin(2)sin cos 22A C C C +=-sin(2)sin 3A C C π⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭,因为23A C C π+>-.故17/2023A C C π+≠-.所以2233A C C A C πππ++-=⇒+=.（2）122sin 2sin BD BD m A C r r ≥+=+22sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭312sin 22sin 22A A A ⎛⎫=+⨯-⨯- ⎪⎝⎭3sin A A =+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故当62A ππ+=时6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值所以m ≥即实数m的最小值为7.【思路引导】（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值.解：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+，化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=，所以sin()sin()sin A B C C π+=-=，从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=.（2）由（1）知，2a bc +=，所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥，当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12.8.【思路引导】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值．解：(1)∵ABC 中，cos 2c b a C -=，∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=，∵πA B C ++=，18/20∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=，∴1cos sin sin 2A C C =，∴1cos 2A =，∴π3A =．(2)由(1)及·3AB AC =得6bc =，所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--= 当且仅当b c =时取等号，所以a9.【思路引导】（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值．解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π-∵()sin 220cos 0bc A B C ++=∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-=∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A ==（2）∵24a S=∴222cos 2sin b c bc A bc A +-=∴222sin 2cos b c bc A bc A+=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭∴当4A π=时，c bb c+取最大值.10.【思路引导】（1）根据tan(sin 2cos cos 2222A C A C a b a +=，化简可得cos sin 2A C a b A +=，进一步得到1cos 22B =，19/20然后求出B 的值；（2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+，利用向量的模和基本不等式可求BD的取值范围，即可得到BD 的最小值.解：（1）由tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A C a b a +=，即(cos cos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A Ca b A +=.由正弦定理得sin cossin sin 2A C AB A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠，所以cossin 2A C A +=，则sin sin 2sin cos 222B B BB ==，所以1cos (0)2222B B π=<<，所以23B π=，即23B π=.（2）由△ABC的面积为1sin 2ac B =，得12ac =.因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+ ，所以2221(2)4BD BA BC BA BC=++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac =++≥-==，当且仅当a c ==“=”，所以BD≥BD长的最小值为.11.【思路引导】（1）利用1sin 2ABC AB B S BC =⋅⋅⋅ 求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.解：（1）因为60,2,B AB ==所以11sin 22222ABC AB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅= ，又ABC S = 4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC =；20/20（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()2sin 60θ︒=+，所以()sin 60DE θ︒=+，在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+= ，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEF S DE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==，当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP S θ︒+==- 故DEF 的面积的最小值为6-.。

高考数学解三角形中的最值专题

（2）由已知结合正弦定理将边转化角，再利用三角形内角和定理、辅助角公式转化为求的取值范围.
【详解】
（1）由，可得，
整理得，
所以 .
（2）由（1）得， , ，,
，，
由正弦定理得，
∴
，
∵ ,∴ ，，
，∴
∴ 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
3．（1）；（2）．
【详解】
（1）
原式
（2），
时等号成立.
周长的最大值为
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，周长的最大值，意在考查学生解决问题的能力.
14．（1）；（2） .
【解析】
试题分析：（1）根据题意，由正弦定理得到关于角的三角函数关系
利用：，得到，再利用两角和的正弦定理，化简为：，利用辅助角公式得到：，进而求得：；（2）根据余弦定理得到关于的关系式：，利用基本不等式得，所以三角形的周长的取值范围为 .
12．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，并结合，可将原式转化为，由，可求出，进而可求出；
（2）由，可求出，再结合余弦定理，可求得的值，结合，可求出的值，进而可求出的周长.
【详解】
（1）由正弦定理可得，，
由，则，
因为，所以，
又，所以 .
（2）由题意，，解得，
（2）根据向量数量积的定义可得，再利用余弦定理以及基本不等式可得，由三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解：（1）因为，所以，
由正弦定理，，即
（2）若，则，

高职考试题型求解策略——分类解析三角最值问题

高职考试题型求解策略——分类解析三角最值问题分类解析三角最值问题是高职考试中的一类题，那么掌握有效的策
略来解题是十分重要的。

因此，本文就分类解析三角最值问题的策略
提出一些建议和见解，以便考生们能够高效解决考试中的三角最值问题。

一、把握三角最大值的特点
1. 首先，三角形最大值有三条边，任何三条边必须满足相等三角均数
定理：边之和大于第三边；
2. 其次，最大值仅出现在三角形的外角上；
3. 再次，最大值在数学中更多的是根据三角函数的独特性决定，诸如
三角正弦波，三角余弦波等等；
4. 最后，三角形最大值亦可按照三角边角公式中的比例得到一定结论。

二、正确求解三角最大值问题
1. 首先，全面了解问题，根据三角形的特点，列出有用的等式来进行
推理；
2. 其次，根据特定假设，结合相关数学原理，采用合理的解法，进行
求解；
3. 再次，结合实际数字，计算得出最大值的值；
4. 最后，根据最大值的值，求出最大值的比例，这样才能够判断是否满足最大值的条件。

三、理解三角形最大值问题
1. 三角形最大值问题并非一道过程题，考生们要明白最大值问题的本质，把握最大值的特点；
2. 考虑问题的全部细节，理解要求的全部内容，根据所给的情景下的变量给出最大值；
3. 分析问题，借助若干条件链接起来，给出最大值的解决过程；
4. 考生要加强自己练习求解三角形的最大值的题目，做到熟练掌握，迅速解题。

以上就是高职考试中分类解析三角最值问题的一些策略和见解，希望能够帮助考生们对三角最大值问题有一个更加深入的理解，从而更好的掌握考试中的这类题目。