备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题21三角形中的最值问题Word版含解析版

【高考地位】

三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

【方法点评】

类型一 求三角形面积的最值问题

使用情景：一般三角形中

解题模板：第一步 通过观察分析，决定选用合适的公式；

第二步 通过运算、变形，利用三角函数的诱导公式、恒等变换以及边角转化、正弦余弦

定理等，将问题转化为三角变换、基本不等式、函数值域等类型加以解决；

第三步 得出结论.

例1 求满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值.

【答案】.

【点评】本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题.

例 2 已知ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边依次为a b c ，，，外接圆半径为1，且满足

tan 2tan A c b

B b

-=

，则ABC ∆面积的最大值为___________.

【解析】 试

题

分

析

:

由

tan 2tan A c b B b -=可得B B C A B B A s i n

s i n

s i n 2c o s s i n c o s s i n -=

,即1

sin sin 2cos cos sin B

C A B A -=,也即A B A C B A c o s s i n c o s s i n 2c o s s i n -=,故

A C

B A cos sin 2)sin(=+,也即1cos 2=A ,则060=A ,由正弦定理可得3sin 2==A a ,

再由余弦定理可得cb b c 3)(32

-+=,即cb b c cb 4)(332

≥+=+,所以3≤cb ,故

43343sin 21≤==

∆bc A bc S ABC ,应填4

. 考点：三角变换基本不等式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．

【点评】正弦定理和余弦定理是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的外接圆的半径及

tan 2tan A c b

B b

-=

条件为背景精心设置了一道求三角形面积最大值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用正弦定理求出0

60=A ,再借助余弦定理和基本不等式求得3≤cb .从而求得4

3

343sin 21≤==∆bc A bc S ABC ,进而使得问题获解. 【变式演练1】已知

ABC 外接圆的半径为，若面积22()ABC

S

a b c =--且

4

sin sin 3B C +=，则sin A = ，ABC

S

的最大值为

【答案】8sin 17A =，256

17

.

考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．

【变式演练2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，，，已知cos (2)cos c B a b C =-．

（1）求角C 的大小；

（2）若4AB =，求ABC ∆的面积S 的最大值，并判断当S 最大时ABC ∆的形状．

【答案】（1）3

C π

=；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用正弦定理化和三角形内角和定理简cos (2)cos c B a b C =-，得1

c o s 2

C =

，故3

C π

=

；（2）由余弦定理和基本不等式，有22162a b ab ab +=+≥，16ab ≤，

ABC S ∆=

≤，当且仅当a b =时等号成立，故为等边三角形． 试题解析：

（2）由题知，

4c =，3

C π

=

，∴4

ABC S ab ∆=

．∵由余弦定理可知：2222cos a b c ab C +=+， 22162a b ab ab +=+≥，∴16ab ≤．当且仅当“a b =”时等号成立，

∴ABC S ∆最大值是 考点：解三角形．

【变式演练3】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

()s i n c o s

c o s s i n

A B B A b

a B ++=． （1）求；

（2）若1

cos 3

A =

，求ABC ∆面积的最大值．

【答案】（1）1a =；（2.

【解析】

试题分析：（1）根据余弦定理，正弦定理，和A B C π+=-，将已知化为

22222222a c b b c a c abc abc a +-+-+=解得1a =；（2）因为1

cos 3

A =，所以sin 3A =，由余

弦定理得22213bc b c +-=，所以3

4

bc ≤，再结合三角形面积公式求得最大值为4. 试题解析：

考点：解三角形．

类型二 求三角形中边或角的取值范围

使用情景：三角形中

解题模板：第一步 通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；

第二步 利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化； 第三步 得出结论.

例3已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则

b

a

的取值范围是（ ） A. )3,2( B. )2,2( C. )3,1( D. )2,1( 【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得

sin sin a A b B

=，又因为B A 2=，所以 sin sin 22cos sin sin a A B B b B B ===，又因为锐角三角形，所以2(0,)2

A B π=∈且