福建师范大学《高等代数选讲》A卷答案(可编辑修改word版)

1 1 n 1 4

2 n i 福建师范大学网络教育学院

《高等代数选讲》 期末考试 A 卷

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学号 姓名 成绩

一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）

1. 设 A , B 是n 阶方阵， k 是一正整数，则必有（D)

(A ) )( AB )k = A k B k ；

(B ) - A = - A ；

(C ) (C )

A 2 -

B 2

= ( A - B )( A + B ) ；

(D ) (D )

AB = B A 。

2. 设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，则（ A ）。

( A ) 若m > n ，则 AB = 0 ；

(B ) 若m < n ，则 AB = 0 ；

(C ) 若m > n ，则 AB ≠ 0 ；

(D ) 若m < n ，则 AB ≠ 0 ；

3. R n 中下列子集是R n 的子空间的为（ A ）．

( A )

W = {[a , 0, , 0, a ] a , a ∈ R 3}

(

B ) W = ⎧

, a ] a ∈ R 3, i = 1, 2, , n , ∑

a = ⎫ 2 ⎨[a 1 , a 2 , n i ⎩ ⎧ 3 i i =1

n 1⎬ ； ⎭ ⎫

(C )

W 3 = ⎨[a 1 , a 2 , , a n ] a i ∈ R , i = 1, 2, , n , ∏

a i = 1⎬ ；，

(

D ) ⎩ W = {[1, a , , a ] i =1 ⎭

a ∈ R 3

, i = 2, 3, , n }

4. 3 元非齐次线性方程组 Ax = b ， 秩 r ( A ) = 2 ， 有 3 个解向量 1,2 ,3 ，

-

= (1, 0, 0)T ， a +

= (2, 4, 6)T ，则 Ax = b 的一般解形式为（

C ）.

2

3

1

2

n n

。

1

（A ） (2, 4, 6)T + k (1, 0, 0)T ， k 为任意常数

1

1

（B ） (1, 2,3)T + k (1, 0, 0)T ， k 为任意常数

1

1

（C ） (1, 0, 0)T + k (2, 4, 6)T ， k 为任意常数

1

（D ） (1, 0, 0)T + k (1, 2,3)T ， k 为任意常数

1

1

5. 已知矩阵 A 的特征值为1, -1, 2 ，则 A -1 的特征值为（ D

）

( A ) 1, -1, 2 ；

( B ) 2, -2, 4 ； (C ) 1, -1, 0 ；

( D ) 1, -1,

1

。

2

3

2 0 0 1 2 0 0 0 2

3 2 1 2 4

4

= 16 。

4 4 4 1 1 3 2 1 4 5

2． （ 4 分） 设 D = 3 3 3 2 2 ， 则 A 21 + A 22 + A 23 =

； A 24 + A 25 =

2 3 5 4 2 4 5 6 1 3

。

⎡1 0 0⎤ ⎡1 2 3⎤ ⎡1 0 0⎤

3．（3 分）计算⎢0 -1 0⎥ ⎢4 5 6⎥ ⎢0 0 1⎥ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣7 8 9⎥⎦ ⎢⎣0 1 0⎥⎦

4．（4 分）若(x -1)2 | ax 4 + bx 2 +1，则a = 1

； b = -2 。

二、填空题（共 20 分）

1．（6 分）计算行列式 1 2 1 3 1 4

= 2

； 22 32 42

5．（3分）当满足≠1,-2 时，方程组⎪

x +y +z ⎧x +y +z ⎨

⎪x +y +z ⎩

三．（10 分）计算n 阶行列式： D n =

⎡1 1 -1⎤ ⎡2 2 1 ⎤ 四．已知矩阵 X 满足 X ⎢0 2 2 ⎥ = ⎢4 0 -2⎥ ，求 X ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 -1 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 6 6 ⎥⎦

3 2 0 0 0 1 3 2 0 0 0

1 3 0 0 0 0 0 3

2 0 0 0 1 3

五．（10 分）利用综合除法将 f (x ) = x 4 表示成 x -1的方幂和的形式。

⎧ px 1 + x 2 + x 3 = 4 六．（15 分）试就 p , t 讨论线性方程组⎪

2x + 3tx + 2x = 7 解的情况，并在有无穷多

⎨ 1 2 3 ⎪ x + 2tx + x = 4 ⎩ 1 2 3 解时求其通解。

解：

⎢ ⎥ ⎡1 2 2⎤

七．（15 分）设矩阵 A = ⎢2 1 2⎥ ，

⎢⎣2 2 1⎥⎦

1. 求矩阵 A 的所有特征值与特征向量；

2. 求正交矩阵 P ，使得 P -1 A P 为对角矩阵。

解：1、

（5-）（1-），

，得 A 的特征值为 5，-1，-1

因此将

中得基础解系为

，其对应的全部特征向量为 k 1a 1,其中 k 1 为

任 意 非 零 常 数 。 将 代入 中得基

础解系为

，

其对应的全

部特征向量为 k 2a 2+k 3a 3,其中 k 2，k 3 为不为零的常数。