福建师范大学《高等代数选讲》A卷答案(可编辑修改word版)

1 1 n 1 4
2 n i 福建师范大学网络教育学院
《高等代数选讲》 期末考试 A 卷
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学号 姓名 成绩
一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 设 A , B 是n 阶方阵， k 是一正整数，则必有（D)
(A ) )( AB )k = A k B k ；
(B ) - A = - A ；
(C ) (C )
A 2 -
B 2
= ( A - B )( A + B ) ；
(D ) (D )
AB = B A 。

2. 设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，则（ A ）。

( A ) 若m > n ，则 AB = 0 ；
(B ) 若m < n ，则 AB = 0 ；
(C ) 若m > n ，则 AB ≠ 0 ；
(D ) 若m < n ，则 AB ≠ 0 ；
3. R n 中下列子集是R n 的子空间的为（ A ）．
( A )
W = {[a , 0, , 0, a ] a , a ∈ R 3}
(
B ) W = ⎧
, a ] a ∈ R 3, i = 1, 2, , n , ∑
a = ⎫ 2 ⎨[a 1 , a 2 , n i ⎩ ⎧ 3 i i =1
n 1⎬ ； ⎭ ⎫
(C )
W 3 = ⎨[a 1 , a 2 , , a n ] a i ∈ R , i = 1, 2, , n , ∏
a i = 1⎬ ；，
(
D ) ⎩ W = {[1, a , , a ] i =1 ⎭
a ∈ R 3
, i = 2, 3, , n }
4. 3 元非齐次线性方程组 Ax = b ， 秩 r ( A ) = 2 ， 有 3 个解向量 1,2 ,3 ，
-
= (1, 0, 0)T ， a +
= (2, 4, 6)T ，则 Ax = b 的一般解形式为（
C ）.
2
3
1
2
n n。

1
（A ） (2, 4, 6)T + k (1, 0, 0)T ， k 为任意常数
1
1
（B ） (1, 2,3)T + k (1, 0, 0)T ， k 为任意常数
1
1
（C ） (1, 0, 0)T + k (2, 4, 6)T ， k 为任意常数
1
（D ） (1, 0, 0)T + k (1, 2,3)T ， k 为任意常数
1
1
5. 已知矩阵 A 的特征值为1, -1, 2 ，则 A -1 的特征值为（ D
）
( A ) 1, -1, 2 ；
( B ) 2, -2, 4 ； (C ) 1, -1, 0 ；
( D ) 1, -1,
1。

2
3
2 0 0 1 2 0 0 0 2
3 2 1 2 4
4
= 16 。

4 4 4 1 1 3 2 1 4 5
2． （ 4 分） 设 D = 3 3 3 2 2 ， 则 A 21 + A 22 + A 23 =
； A 24 + A 25 =
2 3 5 4 2 4 5 6 1 3。

⎡1 0 0⎤ ⎡1 2 3⎤ ⎡1 0 0⎤
3．（3 分）计算⎢0 -1 0⎥ ⎢4 5 6⎥ ⎢0 0 1⎥ =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣7 8 9⎥⎦ ⎢⎣0 1 0⎥⎦
4．（4 分）若(x -1)2 | ax 4 + bx 2 +1，则a = 1
； b = -2 。

二、填空题（共 20 分）
1．（6 分）计算行列式 1 2 1 3 1 4
= 2
； 22 32 42
5．（3分）当满足≠1,-2 时，方程组⎪
x +y +z ⎧x +y +z ⎨
⎪x +y +z ⎩
三．（10 分）计算n 阶行列式： D n =
⎡1 1 -1⎤ ⎡2 2 1 ⎤ 四．已知矩阵 X 满足 X ⎢0 2 2 ⎥ = ⎢4 0 -2⎥ ，求 X ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 -1 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 6 6 ⎥⎦
3 2 0 0 0 1 3 2 0 0 0
1 3 0 0 0 0 0 3
2 0 0 0 1 3
五．（10 分）利用综合除法将 f (x ) = x 4 表示成 x -1的方幂和的形式。

⎧ px 1 + x 2 + x 3 = 4 六．（15 分）试就 p , t 讨论线性方程组⎪
2x + 3tx + 2x = 7 解的情况，并在有无穷多
⎨ 1 2 3 ⎪ x + 2tx + x = 4 ⎩ 1 2 3 解时求其通解。

解：
⎢ ⎥ ⎡1 2 2⎤
七．（15 分）设矩阵 A = ⎢2 1 2⎥ ，
⎢⎣2 2 1⎥⎦
1. 求矩阵 A 的所有特征值与特征向量；
2. 求正交矩阵 P ，使得 P -1 A P 为对角矩阵。

解：1、
（5-）（1-），
，得 A 的特征值为 5，-1，-1
因此将
中得基础解系为
，其对应的全部特征向量为 k 1a 1,其中 k 1 为
任 意 非 零 常 数 。

将 代入 中得基
础解系为
，
其对应的全
部特征向量为 k 2a 2+k 3a 3,其中 k 2，k 3 为不为零的常数。