求魔方阵的十种算法

求魔方阵的十种算法

魔方阵，古代又称“纵横图”，是指组成元素为自然数1、2…n的平方的n×n的方阵，其中每个元素值都不相等，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。

如3×3的魔方阵：

8 1 6

3 5 7

4 9 2

魔方阵的排列规律如下：

(1)将1放在第一行中间一列；

(2)从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放；每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1（例如上面的三阶魔方阵，5在4的上一行后一列）；

(3)如果上一个数的行数为1，则下一个数的行数为n(指最下一行);例如1在第一行，则2应放在最下一行，列数同样加1；

(4)当上一个数的列数为n时，下一个数的列数应为1，行数减去1。例如2在第3行最后一列，则3应放在第二行第一列；

(5)如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第一行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。例如按上面的规定，4应该放在第1行第2列，但该位置已经被占据，所以4就放在3的下面；

1居上行正中央

依次右上切莫忘

上出框时往下写

右出框时左边放

右上有数下边写

右上出框也一样

一、魔方阵的简介

1.何谓矩阵？矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵。把用在解线性方程组上既

方便，又直观。

2.何谓n阶方阵？若一个矩阵是由n个横列与n个纵行所构成，共有个小方格，则称这

个方阵是一个n阶方阵。

3.何谓魔方阵？4 9 2 3 5 7 8 1 6定义：由n*n个数字所组成的n阶方阵，具有各对角线，

各横列与纵行的数字和都相等的性质，称为魔方阵。而这个相等的和称为魔术数字。若填入的数字是从1到n*n，称此种魔方阵为n阶正规魔方阵。

4.最早的魔方阵相传古时为了帮助治水专家大禹统治天下，由水中浮出两只庞大动物背

上各负有一图，只有大禹才可指挥其中之由龙马负出的为河图，出自黄河；另一由理龟负出的洛书出自洛河。洛书

5.最早的四阶魔方阵最早的四阶方阵刻在印度一所庙宇石上，年代大约是十一世纪。古代印度人十分崇拜这种幻方，至今从古神殿的遗址，墓碑上常常还可以发现四阶幻方的遗迹。

6.欧洲最早的魔方阵欧洲最早的方阵是公元1514年德国画家Albrecht Dure在他著名的铜板画Melencolia上的4×4幻方，有趣的是，他连创造年代(1514)也镶在这个方阵中，而且上下左右，四个小方阵的和皆为34，是欧洲最古老的幻方。

二、魔方阵的变形

1.相异魔方阵对应方格所填的数字不相同的两个魔方阵，如下图

16 02 03 13 01 15 04 14 05 11 10 08 12 06 09 07 09 07 06 12 13 03 16 02 04 14 15 01 08 10 05 11

2.相等魔方阵每一个对应方格所填的数字都相同的两个魔方阵，如下图4 9 2 4 9 2 3 5 7

3 5 7 8 1 6 8 1 6

3.全等魔方阵若一个魔方阵能够经过旋转或镜射的方式变成和另一个魔方阵相等，称这两个魔方阵全等。在计算魔方阵个数时，我们把全等的魔方阵视为同一种。2 7 6 8 3 4 9 5 1 1 5 9 4 3 8 6 7 2

4,刚性变形法(1)顺时针方向旋转90 (2)顺时针方向旋转180 (3)顺时针方向旋转270 (4)左右翻转(绕铅直对称轴镜射) (5)上下翻转(绕水平对称轴镜射) (6)左上右下翻转(绕右上至左下对角线镜射) (7)右上左下翻转(绕左上至右下对角线镜射)

原始方阵旋转90。旋转180。旋转270。01 03 16 14 12 08 13 01 07 05 10 12 14 04 09 07 13 15 02 04 10 06 15 03 09 11 06 08 16 02 11 05 08 06 11 09 05 11 02 16 04 02 15 13 03 15 06 10 12 10 05 07 07 09 04 14 14 16 03 01 01 13 08 12

左右翻转上下翻转左上右下翻转右上左下翻转14 16 03 01 12 10 05 07 07 09 04 14 01 13 08 12 04 02 15 13 08 06 11 09 05 11 02 16 03 15 06 10 09 11 06 08 13 15 02 04 10 06 15 03 16 02 11 05 07 05 10 12 01 03 16 14 12 08 13 01 14 04 09 07 5.加值变形法正规魔方阵：首项是1，公差是1加值变形后的魔方阵：首项是a，公差是r

原始魔方首项为5公差为1首项为5公差为2 14 16 03 01 18 20 07 05 31 35 09 05 04 02 15 13 08 06 19 17 11 07 33 29 09 11 06 08 13 15 10 12 21 25 15 19 07 05 10 12 11 09 14 16 17 13 23 27

6.互补变形法就是将魔方阵中的每一个数字都替换成互补数的变形方式。在n阶魔方阵中，数字k的互补数=(1+n*n)–k

原始魔方阵互补变形魔方阵14 16 03 01 03 01 14 16 04 02 15 13 13 15 02 04 09 11 06 08 08 06 11 09 07 05 10 12 10 12 07 05

7.田字变形法以中心点为准将魔方阵分成四个相等的小方阵。当n为奇数时，中央的行列要独立出来。

n是偶数时n是奇数时ABA A1 BDC? D1 E B1 D C1 C将魔方阵如下重组: CD ? C C1 D? BA B1 E D1 B A1 A

可参考下面的范例:原始4阶魔方阵4阶田字变形魔方阵原始5阶魔方阵5阶田字变形魔方阵01 03 16 14 11 09 08 06 18 22 01 10 14 13 17 09 21 05 13 15 02 04 05 07 12 10 04 08 12 16 25 24 03 20 07 11 08 06 11 09 16 14 01 03 15 19 23 02 06 02 06 23 15 19 12 10 05 07 02 04 13 15 21 05 09 13 17 10 14 01 18 22 07 11 20 24 03 16 25 12 04 08 8.井字对换变形法(1)任选一数k，1<=k<=n 。(2)将方阵的第k行和其互补行(第n+1-k行)对换。(3)将方阵的第k列和其互补列(第n+1-k列)对换。(4)为方便称呼，此时姑且命名为k值井字对换变形。

原始魔方阵1值井字对换魔方阵2值井字对换魔方阵1,2值井字对换魔方阵01 03 16 14 07 10 05 12 01 16 03 14 07 05 10 12 13 15 02 04 04 15 02 13 08 11 06 09 09 11 06 08 08 06 11 09 09 06 11 08 13 02 15 04 04 02 15 13 12 10 05 07 14 03 16 01 12 05 10 07 14 16 03 01 9.拓朴变形法( 1)任选不相等的两数1<=k1,k2<=n，但当(n+1)/2为奇数时，k1及k2不能等于(n+1)/2。(2)将座标含k1值的全改成k2。含k2值的全改成k1。含n+1-k1值的全改成n+1-k2。含n+1-k2值的全改成n+1-k1。(3)为方便称呼，此时姑且命名为k1,k2拓朴变形。

可参考下面的3阶1，3拓朴变形示意图(1,1) (1,2) (1,3) (3,3) (3,2) (3,1) (2,1) (2 ,2) (2,3) (2,3) (2,2) (2,1) (3,1) (3,2) (3,3) (1,3) (1,2) (1 ,1)

可参考下面的范例原始魔方阵1,2拓朴变形魔方阵18 22 01 10 14 08 04 12 25 16 04 08 12 16 25 22 18 01 14 10 15 19 23 02 06 19 15 23 06 02 21 05 09 13 17 11 07 20 03 24 07 11 20 24 03 05 21 09 17 13注：其实对换变形、田字变形可包含于拓朴变形中，只因想法不同故列出参考

三、奇数阶魔方阵的建构法

1.杨辉法发明者：杨辉适用：三阶魔方阵方法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进

***1*** **4*2** 4 9 2 *7*5*3* 3 5 7 **8*6** 8 1 6 ***9***

杨辉法推广－菱形法发明者：Bachet de Meziriac适用：奇数阶魔方阵方法：数字斜排，上下对易，左右相更，四维挺进