第5讲 集合的划分与覆盖

A ={a,b,c,d,e}, 1
分。 { A ， A2 }？ 1 ？
3 { A ， A }？ 4 ？
5 ？ { A3 ， A4 ， A }？
A2 ={d,e,f,g,h},
A3 ={a,d,e},
A4 ={b,c,f}, A5 ={g,h}.考虑下列集合是否是 A 的划 考虑下列集合是否是
例：对于整数集合 Z，令 A 是所有偶数组成的集合， ， 1 是所有偶数组成的集合，
π2 ={{a,b},{c},{d}}.
π1 Iπ2 ， π1 Uπ2 ， π1 π2 均不是 A 的划分。 的划分。
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有限集合的所有划分个数
的不同划分的个数为N， 表示将n个元素的 设|A| = n，A的不同划分的个数为 ，S(n, k)表示将 个元素的 ， 的不同划分的个数为 表示将 集合划分成k个块的方案数 个块的方案数， 集合划分成 个块的方案数，则
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的所有不同的划分有: 例 设A = {a, b, c}, 则A的所有不同的划分有 的所有不同的划分有
π1 ={{a, b, c}},π2 ={{a, b},{c}}, π3 ={{a, c},{b}},π4 ={{b, c},{a}}, π5 ={{a},{b},{c}}.
最小划分 最大划分
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例：设 A={a,b,c,d,e,f,g,h},考虑下列 A 的子集合： 考虑下列 的子集合：
5
设A是任意集合，πP(A)。如果下列3个条件成立： 是任意集合，πP(A)。如果下列3个条件成立： P(A) 1) 3) π； φ π； Aj∈ 2) 任意 Ai, Aj∈ π，有 Ai∩Aj =
Ai ∈π
φ;
U Ai = A.
则称π是集合 的一种划分 的一种划分。 则称π是集合A的一种划分。
6
i∈I j∈J
所以 π 是 A 的一种划分。
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给定集合A的两种按如上形式定义的划分 给定集合 的两种按如上形式定义的划分π1, π2，若对于任 的两种按如上形式定义的 均存在B 意Ai∈ π1，均存在 j ∈π2，使得 Ai Bj，则称划分π1是 加细划分。 π2的加细划分。
π2
π1
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定理：任何两种划分的交叉划分， 定理：任何两种划分的交叉划分，都是这两种划分的加细。 例
π1
π2
π1 Iπ2
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注意：交叉划分与划分的交与并不同。 注意：交叉划分与划分的交与并不同。 例： 设集合 A 有两种划分 π1 ={Ai | i ∈I},π2 ={Bj | j ∈ J}, 问 π1 Iπ2 是否必是 A 的划分， π1 Uπ2 ， π1 π2 呢？ 的划分， 解：令 A={a,b,c,d}， π1 ={{a,b}，{c,d}}， ， ， ，
A2 是所有奇数组成的集合，则{ A ，A2 }是 Z 的划分。 是所有奇数组成的集合， 是 的划分。 1
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2 交叉{A | i ∈ I},π2 = {Bj | j ∈ J}, i 令 π = {Ai ∩ Bj | Ai ∩ Bj ≠ φ, i ∈I , j ∈ J},
N = ∑S(n, k)
k =1
n
且有以下等式成立：
（）S(n,1) =1 1 ； （ ）S(n, n) =1 2 ； (3)S(n,2) = 2
n1
1.
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对于n>1，下列关于 定理 对于 ，下列关于S(n, k)的递推关系成 的递推关系成 立：
元集A的某一元素 分成k个块分成两 证: 取n元集 的某一元素 将A分成 个块分成两 元集 的某一元素a,将 分成 类情况讨论： 类情况讨论： 一类是 作为单独一块的 一类是a不是单独一块的 作为单独一块的,一类是 不是单独一块的. 一类是a作为单独一块的 一类是 不是单独一块的 第一类的划分数为S(n-1,k-1)； 第一类的划分数为 ； 第二类的划分分成两步来实现,一步为将 一步为将A中除了 第二类的划分分成两步来实现 一步为将 中除了 元素a划分成 划分成k块 第二步将 放入某一块中， 第二步将a放入某一块中 元素 划分成 块,第二步将 放入某一块中，有k种 种 放法.由乘法原理得第二类的划分数为 由乘法原理得第二类的划分数为kS(n-1,k). 放法 由乘法原理得第二类的划分数为 最后由加法原理，定理得证. 最后由加法原理，定理得证
§1.5 集合的划分与覆盖
分门别类的思想是我们认知世界的基本方法之 一。我们在了解与掌握外部世界时习惯于采用 分类处理的办法。集合的分类，即对所处理的 对象进行科学分类正是这种思想的体现。
1
一 集合覆盖
2
一 集合覆盖
3
集合划分(分类) 二 集合划分(分类)
4
1 定义 若把一个集合A分成若干个叫做块的非空子集， 若把一个集合A分成若干个叫做块的非空子集，使 中每个元素至少属于一个块， 得A中每个元素至少属于一个块，那么这些块的全体 构成的集合叫做A的一个覆盖 覆盖。 构成的集合叫做A的一个覆盖。 又若A中每个元素属于且仅属于一个块，那么这些块 又若A中每个元素属于且仅属于一个块， 的全体构成的集合叫做A的一个划分 划分（ 分划， 的全体构成的集合叫做A的一个划分（或分划，分 类) 。
1）划分是覆盖的特例情形，即划分一定是覆盖， ）划分是覆盖的特例情形，即划分一定是覆盖， 但覆盖不一定是划分； 但覆盖不一定是划分； 的覆盖， 例： 设A={a,b,c}, 则{{a,b},{b,c}}是A的覆盖，但 是 的覆盖 不是A的划分。 不是 的划分。 的划分 2）对空集合一般不讨论划分问题， 2）对空集合一般不讨论划分问题，约定其划分不 存在； 存在； 3）非空集合A的划分方法一般有多种。 ）非空集合 的划分方法一般有多种 的划分方法一般有多种。
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由数学归纳法， 由数学归纳法，可以证明以下定理 定理：对于 下列公式成立 定理：对于,下列公式成立：
1 k1 S(n, k) = ∑ k! i=0
(1 C (ki) )
i i k
n
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π 的一种划分， 则 π 是A的一种划分，称为是的 π1和 2 交叉划分。 的一种划分
证明：显然 π 中元素非空，对于 π 中两个不同元素
A I Aj 和 A I Bl ，他们的交为 φ ，所有元素的并是 i k
i∈I , j∈J
U
( A I Bj ) = (UA ) I(UBj ) = AI A = A i i