28函数模型及其应用
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
高中数学复习：函数模型及其应用
第九节 函数模型及其应用
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教 1.几种常见的函数模型 材 2.三种增长型函数模型的图象与性质 研 读 3.解函数应用题的步骤（四步八字）
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考 考点一 用函数图象刻画变化过程
点 突
考点二 应用所给函数模型解决实际问题
破 考点三 构建函数模型解决实际问题
教材研读
教材研读 栏目索引
3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是 ( D )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
答案 D 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0. 98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.
间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关 系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的
是 (B)
考点突破 栏目索引
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(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确 的是 ( D )
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知识拓展 形如f(x)=x+ a (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:
x
(1)该函数在(-∞,- a )和( a ,+∞)上单调递增,在[- a ,0)和(0, a ]上单调 递减. (2)当x>0时,在x= a 处取最小值2 a , 当x<0时,在x=- a 处取最大值-2 a .
函数模型及其应用
选定初始区间 [a, b] 求区间 [a, b]的中点 x1 计算
f ( x1 )
是
f ( x1 ) 0
否
x1 是函数的零点
否
f (a) f ( x1 ) 0
是
零点x0 (a, x1 )，令b x1
零点x0 (a, x1 )，令b x1
否
| a b |
是
零点的近似值是 a或b
(2)函数y a x (0 a 1), y loga x(0 a 1), y xn (n 0)的变化趋势 总会存在一个 x0 ,当x x0时, 就有xn a x loga x
实际问题
问 题 解 决
数学化 (转化为数学问题)
数学问题
数 学 解 答
实际问题结论
函 数 的 模 型
函 数 与 方 程 函 数 模 型 及 其 应 用
函数的零点与其对应方程根的关系
用二分
解 决 具 体 问 题
用已知函数模型解决问题
建立实际问题的函数模型
方程f ( x) 0的实数根 函数y f ( x)的零点 函数y f ( x)的图象与x轴的交点的横坐标
符合实际 (回到实际问题)
数学问题结论
收集数据
画散点图 选择函数模型
不 符 合 实 际
求函数模型
检 验
符合实际
用函数模型解释实际问题
函数零点判断的方法
如果函数y f ( x)在区间 [a, b]上的图象是连续不断的 一条曲线，
f (a) f (b) 0
函数y f ( x)在区间(a, b)内有零点 即存在c (a, b), 使得f (c) 0 c也就是方程 f ( x) 0的实数根
函数模型及其应用
y
y=2x
y=x2 y=log2x
1 o 1 2 4 x
y y=xn =x
y=ax =a o 1 x
y=logax =log
例１． 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日 销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本， 若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0<x<1)，则每个蛋糕的出厂价相应提 高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利 润=（出厂价—成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y. （Ⅰ）写出y与x的关系式； （Ⅱ）为使日利润有所增加，问x应在什么范围内？
函数模型及其应用
所谓“模型” 通俗的解释就是一种固定的模式或类型 所谓“模型”，通俗的解释就是一种固定的模式或类型 我们学过的几类常见的函数模型有： 我们学过的几类常见的函数模型有：
这些函数的解析式、 这些函数的解析式、 图象、性质， 图象、性质，以及增 长趋势的差异你都掌 握了吗？ 握了吗？
函数来源于实际又服务于实际， 函数来源于实际又服务于实际，客观世 界的变化规律， 界的变化规律，常需要不同的数学模型来描 这涉及到函数的应用问题. 述，这涉及到函数的应用问题
练习２ 练习２： 我国工农业总产值计划从2000年到 年到2020年翻两番，设平均每年增长率为，则 年翻两番， １．我国工农业总产值计划从 年到 年翻两番 设平均每年增长率为， （ ） 20 20 20 19 A. (1 + x) = 4 B． (1 + x) = 3 C． (1 + x ) = 2 D． (1 + x) = 4 ． ． ． 有一片树林现有木材储蓄量为7100 cm3，要力争使木材储蓄量 年后翻两番， 年后翻两番， ２．有一片树林现有木材储蓄量为 ，要力争使木材储蓄量20年后翻两番 即达到28400 cm3．（ ）求平均每年木材储蓄量的增长率．（ ）如果平均每年 ．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率．（ ．（2） 即达到 ．（ 增长率为8%，几年可以翻两番？ 增长率为 ，几年可以翻两番？
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
函数模型及其应用的教学教案
函数模型及其应用的教学教案教学教案：函数模型及其应用一、教学目标1.了解函数模型的基本概念和特性；2.掌握函数模型在实际问题中的应用；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学重点和难点1.函数模型的基本概念和特性；2.函数模型在实际问题中的应用。
三、教学方法1.讲授与示范相结合；2.小组合作学习；3.课堂实践。
四、教学过程步骤一：导入新知识（10分钟）1.复习函数的基本概念和性质；2.提出问题：“函数模型是什么？它有什么特点？”；3.学生回答问题并进行讨论。
步骤二：讲解函数模型的基本概念（20分钟）1.介绍函数模型的定义和表示方法；2.引导学生理解函数模型的含义：根据已知条件，建立函数模型来描述一个实际问题；3.示范几个常见的函数模型。
步骤三：探究函数模型的特性（20分钟）1.引入函数模型的性质：单调性、奇偶性、周期性等；2.以实例为例，让学生观察并总结函数模型的特性；3.学生合作完成几个练习题。
步骤四：应用函数模型解决实际问题（30分钟）1.通过实例介绍函数模型在实际问题中的应用，如物体自由落体、物种数量增长等；2.让学生进行小组合作，选择一个实际问题，建立相应的函数模型并解决问题；3.学生展示他们的解决方案，进行评价和讨论。
步骤五：巩固与拓展（20分钟）1.让学生复习巩固所学的内容，完成一篇小结；2.引导学生思考：函数模型在其他学科中的应用；3.教师进行点评和总结。
五、教学评估1.课堂表现评价：学生是否积极参与讨论、是否能熟练运用函数模型解决实际问题等；2.书面作业评价：布置相关练习题，检查学生的掌握程度。
六、教学资源1.教材：《数学教材》；2.多媒体教学工具；3.实际问题的资料。
七、教学反思通过本节课的教学，学生能够理解函数模型的基本概念和特性，能够应用函数模型解决实际问题。
在教学过程中，我注重将知识与实际问题相结合，让学生能够在解决问题的过程中感受到函数模型的重要性和应用价值。
高考数学 2.8 函数模型及其应用
(a>1)的增长速度会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn
<ax(a>1,n>0). 2.函数模型及其应用 (1)常见的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模 型.
(2)函数模型的应用实例的基本类型: ①给定函数模型解决实际问题; ②建立确定性的函数模型解决实际问题; ③建立拟合函数模型解决实际问题.
系式构成时,可以构造分段函数模型,先将其作为几个不同问题,将各段
的变化规律找出来,再将其合在一起,要注意各段自变量的范围,特别是 端点值. 3.指数函数模型常与人口增长、银行利率、细胞分裂等相结合进行考
查;而对数函数模型常与价格指数、环境承载力等有一定的联系.应用 指数函数模型或对数函数模型时,关键是对模型的判定,从而建立形如y =a· bx+c+d或y=alogb(cx+d)(a>0,b>0,且b≠1,c≠0)的函数模型,再利用指数 函数或对数函数的性质及函数图象来处理.
解法二:易知当EG恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G的坐
标为(30,2.5), 设过点G的太阳光线所在直线为l1,则l1的方程为y- 5 =- 3 (x-30),即3x+4y-1
2 4
00=0.
由直线l1与半圆H相切,得r= 而点H(r,h)在直线l1的下方, 则3r+4h-100<0,
例2 (2017江苏南京、盐城一模,18)如图所示,某街道居委会拟在EF地 段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米. 活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下 半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半圆. 为了保证居民
高一数学必修一教案《函数模型及其应用》
高一数学必修一教案《函数模型及其运用》【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，坚强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！作者高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其运用》》期望对你的学习有帮助！【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发觉或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的运用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。
在一个具体问题的解决进程中，学生可以从知道知识升华到熟练运用知识，使他们能辩证地看待知识知道与知识运用间的关系，与所学的函数知识前后牢牢相扣，相辅相成。
;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正知道函数模型的运用和在运用进程中函数模型的建立与解决问题的进程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中发掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。
同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的挑选与建立。
由于建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和运算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析进程来挑选适当的函数模型和函数模型的构建进程。
在这个进程中，要使学生侧重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。
【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本进程.(2)了解函数模型的广泛运用(3)通过学生进行操作和探究提高学生发觉问题、分析问题、解决实际问题的能力(4)提高学生探究学习新知识的爱好,培养学生,勇于探索的科学态度【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本进程,了解函数模型的广泛运用【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本进程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究进程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本进程中让学生亲身体验函数运用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的爱好,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的运算速度④运算终止后不进行检验针对上述可能显现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用运算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应运算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应当是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行挑选从而引出检验.【教学用具】多媒体辅助教学(ppt、运算机)。
函数模型及其应用 知识点与题型归纳
●高考明方向1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.★备考知考情1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.一、知识梳理《名师一号》P35感谢下载载知识点一几类函数模型知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较1.指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)：在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n.感谢下载载2．对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)：对数函数y＝log a x(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有log a x＜x n由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n＞log a x.注意：《名师一号》P36 问题探究问题1、2问题1 解决实际应用问题的一般步骤是什么？(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；感谢下载载(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：问题2 在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．二、例题分析：（一）三种函数模型增长速度的比较例1.《名师一号》P36 对点自测5、6感谢下载载5.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )(2)幂函数增长比直线增长更快．( )(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.( )(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x、h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√思考：如何证明：任意x∈(4，＋∞)，x2<2x恒成立。
【高中数学】函数模型及其应用
函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。
函数模型及其应用
[通关练习] 1．某公司为确定下一年度投入某种产 品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位： 千元)对年销售量 y(单位：t)的影响． 根 据近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i ＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销 售量 y 关于年宣传费 x 的函数模型最适合( A．y＝ax＋b C．y＝a· bx B．y＝a＋b x D．y＝ax2＋bx＋c )
答案：A
)
B．y＝100 ln x D．y＝100· 2x
(教材习题改编)一根蜡烛长 20 cm， 点燃后每小时燃烧 5 cm， 燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示 为图中的( )
答案：B
甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
增函数 ________ 越来越快 __________
增函数 ________ 越来越慢 __________
增函数 ________
相对平稳 随 n 值变化而 不同
随 x 值增大， 随 x 值增大，
y轴 接 图象与____ x轴 接 图象的变化 图象与____
近平行 近平行
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (2)不存在 x0，使 ax <xn 0 <logax0.( × )
第二章
函数概念与基本初等函数
第9讲
函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1， b≠0)
函数模型及其应用例谈
函数模型及其应用例谈作者：李晓萍来源：《中学教学参考·下旬》 2014年第5期甘肃庆阳理工中等专业学校（745000）李晓萍函数模型是解决复杂数学问题的有力工具。
然而，要能够对各种问题有准确的判断，并且在此基础上找到最为适合的函数模型，则需要学生具备较好的思维能力及数学基础。
本文将结合实例来具体谈谈函数模型及其应用。
一、一次函数与二次函数模型在高中数学教学中，最常见的函数模型是一次函数与二次函数模型，这两种函数模型在构建及实际应用中应当给学生强调如下要点：（1）当涉及的问题可以归结为一次函数模型时，即函数的增长特点是随直线上升或直线下降时。
对于这样的问题，在构建一次函数模型时主要是借助一次函数图像的单调性来解决实际问题；（2）当研究的问题是面积问题、产量问题及利润问题等时，通常都涉及两变量函数之间的二次函数关系，需要利用二次函数模型来具体求解，此时可以通过对函数配方并且结合具体的函数图像来分析函数的单调性，最后找出相关规律让问题得以解决；（3）在一次函数与二次函数模型的构建及实际应用中，特别需要注意的是函数的定义域。
二、分段函数模型【例1】某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为评析：分段函数是一种非常具有代表性的函数模型，也是能够让很多复杂问题得以解决的方法。
在利用分段函数模型时需要提醒学生注意如下事项：（1）当问题中的变量关系无法用一个函数式表达时，应立刻想到建立分段函数模型；（2）在使用分段函数解决实际问题时，应做到思维清晰，可以先将整个问题当作几个小问题来分别处理，再结合每个小问题找出各段函数的变化规律，之后再让这些分段函数汇集到一起，进行相关总结。
特别需要注意的是，分段函数中每一段函数的定义域都可能会不同，对于函数的端点值的确定也要十分明确。
【高中数学】函数模型及其应用
【高中数学】函数模型及其应用【读者按】本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。
主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。
1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。
2、用函数解应用题的基本步骤是：（1）阅读并且理解题意.（关键是数据、字母的实际意义）；（2）设量建模；（3）求解函数模型；（4）简要回答实际问题。
常见考法本节知识在段考和高考查的形式多样，频率较高，选择题、填空题和解答题都有。
多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题，属于拔高题，难度较大。
误区提醒1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。
2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。
【典型例题】例1（1）某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)．（2）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？解：（1）利息＝本金×月利率×月数．y＝100＋100×0.36%·x＝100＋0.36x，当x＝5时，y＝101.8，∴5个月后的本息和为101.8元．例2某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。
《函数模型及其应用(第2课时)》教学设计与反思
前面 学习过一次 函数 、二次 函数 、指数 函数 、对数 函数 以
遍基础较好 ，之前 已较系统地学 习了指数 函数 、对数 函数 、幂 及幂 函数，（几何画板 图像展示）它们都 与现实世 界有着 紧密
函数 等初 等 函数 ，对 其 图像 和性质 已掌 握较好 ，但 对如何 建 的联 系，有着 广泛 的应 用．数 学源 于生 活，又服务 于生 活，它
用第 ４课时
学生认识 到函数是描 述客观世界变 化规律 的基本 数学模型，
【教学对象 】佛山市第一 中学高一 １６班 （重点班学生） 并能初步运用 函数 思想解决现实生活 中的一些 简单问题，培
１教材 分 析
养学生应 用数学 的意识 和能力，提升学 生的数学 抽象 、数学
１．１教 材 内容 分 析
问题，是属 于数学 应用题 的范 畴，强 调利用 已知模 型解决 问
１．３．２过 程 与 方 法
题 ，但 例 ４的价值 很容易发 挥不充 分，即仅仅 视作是 利用所
（１）经历解决 实 际问题 的全过程，初 步掌握 函数模 型 的
给与数 据来求参数，而没有进一步挖掘 自然增长 函数 的价值． 思想 和方法：
并对 上课教师提 出了教学及专业发 展的建议．何教授 的数学
１－３教 学 目标分 析
教 育情怀 、敬业爱 岗精神 深深感染 了与会 数学 同行们，何教
结合上述 的教材和 内容分 析，我们 认为 “３．２．２函数模 型
授专业 、幽默风趣而精彩 的点评更是不 时博得 与会教师们 的 的应用举例”的主要教学 目标是：
“函数模 型及其应 用”的同课异 构课 ，两节课都 获与会 同行们 的高度好评 ．“同课异构”的教研方 式，可 以引发参与者智慧 的
讲函数模型及其应用课件
一次函数模型在社会科学中的应 用
在社会科学中，一次函数模型可以用来描 述人口增长、城市化率等社会现象。
二次函数模型的应用
二次函数模型在经济学中的应用
通过建立二次函数模型，可以描述和分析经济现象，例如需求与价格 的关系、供给与价格的关系等。
总结词
生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，如种群动态、基因表 达等。
详细描述
在生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，例如种群动态、基 因表达等。通过建立函数模型，生物学家可以对生物数据进行数学分析和预测，从而更
好地理解生物系统的运行规律和演化趋势。
计算机科学中的函数模型应用
三角函数模型在社会科学 中的应用
在社会科学中，三角函数模型 可以用来描述社会现象的周期 性变化，例如人口普查、就业 率变化等。
指数函数与对数函数模型的应用
指数函数与对数函数在经济学中的应用
在经济学中，指数函数和对数函数被广泛应用于描述增长和衰减过程 ，例如复利计算、人口增长预测等。
指数函数与对数函数在物理学中的应用
总结词
计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。
VS
详细描述
在计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。通 过建立函数模型，计算机科学家可以对计 算机系统和算法进行数学分析和优化，从 而提高计算机系统的效率和性能。
THANKS
感谢观看
三角函数模型在物理学中 的应用
在物理学中，三角函数模型可 以用来描述周期性运动，例如 简谐振动、交流电等。
三角函数模型在工程学中 的应用
函数模型及其应用
函数模型及其应用一、构建函数模型的基本步骤：1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即所谓的数学模型；3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果；4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。
二、常见函数模型：1、一次函数模型；2、二次函数模型；3、分段函数模型；4、指数函数模型；5、对数函数模型；6、对勾函数模型；7、分式函数模型。
题型1：一次函数模型因一次函数y二kx b（k = 0）的图象是一条直线，因而该模型又称为直线模型，当k 0时，函数值的增长特点是直线上升；当k ： 0时，函数值则是直线下降。
例1:某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台。
现销售给A 地10台，B地8台。
已知从甲地到A地、B地的运费分别是400元和800元，从乙地到A地、B地的运费分别是300元和500元，（1）设从乙地运x台至A地，求总运费y关于x的函数解析式；（2）若总运费不超过9000元，共有几种调运方案；（3）求出总运费最低的方案和最低运费题型2:二次函数模型二次函数y =ax2• bx • c （a=0）为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。
例2：渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k.0）。
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围。
例3:某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。
函数模型及其应用
澳大利亚由于引入动物而造成生态危机是 很多的，其中的兔灾颇具典型性。1859年，英 国移民从英格兰引入20多只家兔很快就变成了 野兔。由于澳大利亚没有豺、狼、虎、豹、狐、 鼬等食肉动物，兔子没有天敌，不到三年便使 基隆地方的牧场上的野兔达到饱和点。接着这 些兔群便向澳大利亚北部、西部拥来，以平均 每年113公里的速度扩展。不到100年,兔子数量 达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来
到19世纪未，澳洲南半部的兔子就达到爆炸点。 兔子吃牧草草根、啃小苗、剥食树皮。兔子所 到之处，麦苗、牧草荡然无存。它们还到处打 洞、破坏水源，一片片丰美的草场转眼就变成 了荒漠，不仅威胁牧业、农业生产，而且当地 珍贵的有袋类也由于食源缺乏而生存受到威胁。 为消灭可恶的兔群，人们筑篱笆、埋铁丝网。 有一条铁丝网长达1560公里，地面土高一米， 构成防兔“长城”。可是兔子不仅会钻洞，又 学会爬网。设陷井、用枪打、投毒药，都不能 减少兔群的数量。因而，人们对兔灾长期束手 无策。
一般而言,在理想条件(食物或养料充足, 空气条件充裕,气候适宜,没有敌害)下,种群在 一定时期内的增长大致符合”J”型曲线;在有 限的环境(空气有限,食物有限,有捕食者存在 等)中,种群增长到一定程度(K)后不再增长,曲 线呈”S”型.从数学上来看可以用指数函数描 述一个种群的前期增长情况,用对数函数描述 后期增长的情况.
小结
实际问题
建立数学模型
实际问题的解
数学模型的解
练习 P84【练习】1
作业 P 84 【练习】2 P 88 【习题2．6】1，2，3
例3 在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x) 定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多 生产100台报警系统装置,生产x(x∈N*)台 的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元), 其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利 润是收入与成本的差. (1)求利润函数P(x)及边际函数MP(x); (2)利润函数P(x)及边际函数MP(x)是否具 有相同的最大值?
函数模型及其应用
函数模型及其应用一、构建函数模型的基本步骤：1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即所谓的数学模型；3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果；4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。
二、常见函数模型：1、一次函数模型；2、二次函数模型；3、分段函数模型；4、指数函数模型；5、对数函数模型；6、对勾函数模型；7、分式函数模型。
题型1：一次函数模型因一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象是一条直线，因而该模型又称为直线模型，当0k >时，函数值的增长特点是直线上升；当0k <时，函数值则是直线下降。
例1：某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台。
现销售给A 地10台，B 地8台。
已知从甲地到A 地、B 地的运费分别是400元和800元，从乙地到A 地、B 地的运费分别是300元和500元，（1）设从乙地运x 台至A 地，求总运费y 关于x 的函数解析式；（2）若总运费不超过9000元，共有几种调运方案；（3）求出总运费最低的方案和最低运费。
题型2：二次函数模型二次函数2=++（0y ax bx ca≠）为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。
例2：渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为(0)k k>。
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围。
例3：某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。
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3.在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x元之
间满足一次函数关系,如果购买1 000 吨,每吨为800
元；购买2 000 吨,每吨为700元;一客户购买400 吨,
单价应该是 A.820元 B.840元
C.860元
（C） D.880元
解析 依题意，可设y与x的函数关系式为
y=kx+b,由x=800,y=1 000及x=700,y=2 000,
(a b)2 , 8
4
当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
探究提高 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建 立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的 最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取 值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的 区间之间的位置关系讨论求解.
数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,
因此在（0,+∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有 __a_x>_x_n_>_l_o_g_ax___.
3.常用的几类函数模型
(1)一次函数模型 f(x)=kx+b (k、b为常数，k≠0);
(2)反比例函数模型 y k b (k、b为常数,k≠0); x
1 2
x2,
S△BEF=S△DGH=
1 (a-x)(b-x)， 2
S ab 2 [1 x2 1 (a x)(b x)] 22
2x2 (a b)x 2(x a b )2 (a b)2 ,
4
8
由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.
又0<b<a,∴0<b< a b , 2
2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，
到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,
则该存款人的本金介于
A.3万~4万元
B.4万~5万元
（A）
C.5万~6万元
D.2万~3万元
解析 设存入的本金为x，
则x·2%·20%=138.64，
x 1 386 400 34 660. 40
若 a b ≤b,即a≤3b时，
4 则当 x
a
b
4
时，S有最大值
(a b)2 ;
8
若 a b b,即a>3b时,S(x)在（0,b］上是增函数，
4
此时当x=b时，S有最大值为
2(b a b)2 (a b)2 ab b2 ,
4
8
综上可知，当a≤3b时，x a b 时，
四边形面积Smax=
4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意 图表示为
5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果 要回到实际问题中写答案.
基础自测
1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税
外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，
不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100
元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量
(3)二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数， a≠0)； (4)指数函数模型 f(x)=a·bx+c （a、b、c为常数， a≠0,b>0,b≠1）； (5)对数函数模型 f（x）=mlogax+n（m、n、a为常 数，m ≠0, a>0,a≠1）; (6)幂函数模型 f(x)=axn+b(a、b、n为常数，a≠0, n≠1).
（2）对数函数y=logax (a>1)与幂函数y=xn (n>0) 对数函数y=logax (a>1)的增长速度，不论a与n值的 大小如何总会__慢__于__y=xn的增长速度,因而在定义域 内总存在一个实数x0,使x>x0时有_l_o_g_a_x_<_x_n____. 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函
题型分类 深度剖析
题型一 一次、二次函数模型 【例1】如图所示，在矩形
ABCD中，已知AB=a，BC=bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（b<a）,在AB，AD，CD， CB上分别截取AE，AH,CG, CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最 大？并求出最大面积.
解 设四边形EFGH的面积为S，
则S△AEH=S△CFG=
减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附
加税额不少于112万元，则x的最小值为
（A）
A.2
B.6
C.8
D.10
解析 依题意 (100 10x) • 70• x 112, 100
解得2≤x≤8,则x的最小值为2.
2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利
息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人
5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一 种方式其加密、解密原理如下： 明文 加密 密文 发送 密文 解密 明文
已知加密为y=ax-2 （x为明文,y为密文）,如果明文 “3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受
方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为
“14”，则原发的明文是___4___. 解析 依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2， 解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由 14=2x-2,解得x=4.
可得k=-10,b=9 000,即y=-10x+9 000,
将y=400代入得x=860.
4.某物体一天中的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h)
的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00，其后t
取正值,则下午3时温度为
（B ）
A.8℃ B.78℃ C.112℃ D.18℃
解析 由题意，下午3时，t=3，∴T(3)=78℃.
随x增大逐渐 随x增大逐 随n值变 图象的变化 表现为与 渐表现为与 化而不同
__y_轴___平行 __x_轴___平行
2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax (a>1)与幂函数y=xn (n>0) 在区间(0,+∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_快__于__y=xn 的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有__a_x>_x_n__.
§2.8 函数模型及其应用
基础知识 自主学习
要点梳理
1.三种增长型函数模型的图象与性质
函
性
数
质
y=ax (a>1)
y=logax (a>1)
y=xn (n>0)
在(0,+∞)上 的增减性
_增__函__数___
_增__函__数__
_增__函__数___
增长速度 越__来__越__快__ 越__来__越__慢__ 相对平稳