28函数模型及其应用

3.在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x元之
间满足一次函数关系,如果购买1 000 吨,每吨为800
元；购买2 000 吨,每吨为700元;一客户购买400 吨,
单价应该是 A.820元 B.840元
C.860元
（C） D.880元
解析 依题意，可设y与x的函数关系式为
y=kx+b,由x=800,y=1 000及x=700,y=2 000,
（2）对数函数y=logax (a>1)与幂函数y=xn (n>0) 对数函数y=logax (a>1)的增长速度，不论a与n值的 大小如何总会__慢__于__y=xn的增长速度,因而在定义域 内总存在一个实数x0,使x>x0时有_l_o_g_a_x_<_x_n____. 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函
若 a b ≤b,即a≤3b时，
4 则当 x
a
b
4
时，S有最大值
(a b)2 ;
8
若 a b b,即a>3b时,S(x)在（0,b］上是增函数，
4
此时当x=b时，S有最大值为
2(b a b)2 (a b)2 ab b2 ,
4
8
综上可知，当a≤3b时，x a b 时，
四边形面积Smax=
减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附
加税额不少于112万元，则x的最小值为
（A）
A.2
B.6
C.8
D.10
解析 依题意 (100 10x) • 70• x 112, 100
解得2≤x≤8,则x的最小值为2.
2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利
息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人
(3)二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数， a≠0)； (4)指数函数模型 f(x)=a·bx+c （a、b、c为常数， a≠0,b>0,b≠1）； (5)对数函数模型 f（x）=mlogax+n（m、n、a为常 数，m ≠0, a>0,a≠1）; (6)幂函数模型 f(x)=axn+b(a、b、n为常数，a≠0, n≠1).
(a b)2 , 8
4
当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
探究提高 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建 立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的 最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取 值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的 区间之间的位置关系讨论求解.
§2.8 函数模型及其应用
基础知识 自主学习
要点梳理
1.三种增长型函数模型的图象与性质
函
性
数
质
y=ax (a>1)
y=logax (a>1)
y=xn (n>0)
在(0,+∞)上 的增减性
_增__函__数___
_增__函__数__
_增__函__数___
增长速度 越__来__越__快__ 越__来__越__慢__ 相对平稳
1 2
x2,
S△BEF=S△DGH=
1 (a-x)(b-x)， 2
S ab 2 [1 x2 1 (a x)(b x)] 22
2x2 (a b)x 2(x a b )2 (a b)2 ,
4
百度文库
8
由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.
又0<b<a,∴0<b< a b , 2
4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意 图表示为
5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果 要回到实际问题中写答案.
基础自测
1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税
外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，
不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100
元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量
可得k=-10,b=9 000,即y=-10x+9 000,
将y=400代入得x=860.
4.某物体一天中的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h)
的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00，其后t
取正值,则下午3时温度为
（B ）
A.8℃ B.78℃ C.112℃ D.18℃
解析 由题意，下午3时，t=3，∴T(3)=78℃.
题型分类 深度剖析
题型一 一次、二次函数模型 【例1】如图所示，在矩形
ABCD中，已知AB=a，BC=b （b<a）,在AB，AD，CD， CB上分别截取AE，AH,CG, CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最 大？并求出最大面积.
解 设四边形EFGH的面积为S，
则S△AEH=S△CFG=
随x增大逐渐 随x增大逐 随n值变 图象的变化 表现为与 渐表现为与 化而不同
__y_轴___平行 __x_轴___平行
2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax (a>1)与幂函数y=xn (n>0) 在区间(0,+∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_快__于__y=xn 的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有__a_x>_x_n__.
数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,
因此在（0,+∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有 __a_x>_x_n_>_l_o_g_ax___.
3.常用的几类函数模型
(1)一次函数模型 f(x)=kx+b (k、b为常数，k≠0);
(2)反比例函数模型 y k b (k、b为常数,k≠0); x
2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，
到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,
则该存款人的本金介于
A.3万~4万元
B.4万~5万元
（A）
C.5万~6万元
D.2万~3万元
解析 设存入的本金为x，
则x·2%·20%=138.64，
x 1 386 400 34 660. 40
5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一 种方式其加密、解密原理如下： 明文 加密 密文 发送 密文 解密 明文
已知加密为y=ax-2 （x为明文,y为密文）,如果明文 “3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受
方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为
“14”，则原发的明文是___4___. 解析 依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2， 解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由 14=2x-2,解得x=4.