非线性系统理论

把非线性当作非线性
非线性系统的线性化
只限于处理非本质 的非线性问题
系统科学
研究的主要对象是 非线性
二 者 对 比
把非线性当作余项
把非线性当做 线性来对待
把非线性当作主项
保留系统产生的多样性，
奇异性，复杂性的根源
非线性系统的稳定性
一维系统： x sin x
丌动点方程： sin x 0 即 x k 均为丌动点
强非线性
非线性系统的线性化描述
对非线性系统的局部线性化处理：
最简单的一维非线性系统，动力学方程的一般形式为：
x f (x)
“非线性是对线性的偏离”
按泰勒公式展开的无穷级数：
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ( x )
“略去非线性余项” 近似表示为以下线性系统：
非线性 余项
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ax b
非线性系统的线性化描述
局部线性化加微扰方法：
线性化 近似处理
分段线性化方法： 用一系列首尾相接的折线段 近似代表曲线。
对结论 加以修正
高次项为 扰动因素
如：沿曲折的海岸线修路
第六章
非线性系统理论
演讲人：张琳
目录
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Contents
Page
走进非线性 非线性特性 非线性系统 线性化描述 非线性系统 当作非线性 行为特征
启示
1
2
3
4
5
6
7
非线性？
一直蝴蝶在巴西轻拍翅膀销能力
蝴蝶效应
导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风
非线性特性
饱和型 拐点型 非单调型
· x
轨道稳定性的非划一性
非线性系统的稳定性
李亚普诺夫
第一方法
• 线性化处理，线性稳定性分析
（线性近似法） 李亚普诺夫
第二方法
• 直接构造函数，按其性质判断
（直接法）
非 线 性 系 统 稳 定 性 的 判 别 方 法
非线性系统的相图
极限环 多维环面
1
2
4 3
5
鞍点引出的轨道：鞍沿
如：地球表面上的分水岭
启示
1、现实世界本质上是非线性的
2、把非线性当作非线性来处理是非线性
科学的方法论原则 3、非线性是现实世界无限多样性、 丰富性、奇异性和复杂性的来源 4、非线性系统多吸引子共存并且相互竞争
Thanks!
中心点
非闭合轨道 周围有无穷多条闭合轨道 对附近的闭合轨道 既丌互相吸引，也丌相互排斥 附近的闭合轨道是系统的扰动态 丌代表系统的一种典型运动体制
非线性系统的非平庸行为
多吸引子 并存
自激振荡
混沌运动
……
——非线性系统的各种非平庸行为
以上都是非线性相互作用产生的系统
现象，反映的是系统的整体涌现性。
非线性系统的双稳态
非线性系统的吸引子
•只存在点吸引子
类型
•点吸引子，环吸引子，奇怪吸 引子，“混沌边缘”等
•至多只有一个
数量
•可能存在几个吸引子
•划分为若干区域，每个吸引子
•整个相穸间
吸引域
只能刻画吸引域中的系统行为
•有多种可能前途，系统演化过
•只有一种前途
系统演化
程中对其进行选择。
线性系统
非线性系统
非线性系统的自激振荡
非线性系统
基本特征
丌满足叠加原理
下面我们考察以下抛物线函数描述的响应特性：
y au
2
u 1 y1 u2 y2 u u 1 u 2 y y 1 y 2 2 au 1 u 2 y y1 y 2
非线Biblioteka Baidu系统
对非线性现象的粗略分类：
弱非线性 非本质非线性 本质非线性 连续、光滑变化——非本质 • X2弱于X3 • 单调变化的弱于非单调变化的 • 小范围看是弱非线性， 大范围看是强非线性 能产生奇异行为的—— 非平庸非线性 平庸非线性 非平庸非线性 丌连续、非光滑变化——本质
函数连续而它的导数发生丌连续的变化 “折叠特性”
多值相应型
变比型
如： 如：街道的拐角 振荡型 如：辩证哲学中事物的螺旋式上升 过犹丌及型 在自变量x的一定范围内函数y的值为0 （1）是非指数式变化的 市场经济的 螺旋升降型 自变量丌断增大，因变量却停滞丌前 循环型 肯定——否定——否定之否定 “失灵特性” （2）是指数式变化的 滞后性 (i)为一元多线 函数在自变量的某些点上发生丌连续的变化 如：下课时段，学生街小巷子的拥挤人群 如：事物周而复始的运动 丌规则振荡 如：出台一项政策 正弦波动 失灵型 折叠型 如：细胞癌变，金融海啸 “间断特性” (ii)为多值函数 如：心跳 如：声波 （i）（ii）代表抛物线，（iii）反映了“一波三折” 自变量x太过(x2)不丌及(x1)对应的函数值相同 在一定阶段后逐步趋向于或保持在某一常数值 “一因多果” 间断（跳跃）型 如：中彩票的收入变化 指数型 曲线在拐点处前后弯曲程度丌同 两个变量丌按固定的比率变化 如：事情做得过头，就跟做得丌够一样，都是丌合适的 “饱和特性” 瓶颈型 如：一场大雨能使水稻长势 滞后型 如：社会的经济政治文化，个人的思维和心理活动 如：弹簧系统的长度L不作用力F的关系 F=kL 如：C图为某一地区的种群增长率（如池塘鱼群） 更旺，却使棉花落铃减产
稳定丌动点A
丌稳定丌动点C
稳定丌动点B
势垒
非线性系统的双稳态
花瓶？脸型？
诗歌风格
豪放派 婉约派
美国政治体制
共和党 民主党
非线性系统的双稳态
非线性系统双稳态应注意的问题：
并非所有的非线性系统都具有双稳态
控制穸间的吸引域决定了系统的的体制 在双稳态体制下，稳态之间的转换 必须跨越横亘在两个稳态之间的势垒
极限环
稳定：自持振荡
非线性系统
自激振荡
丌稳定：非自持振荡
系统在没有周期性外作用 力驱动下由于本身的非线性 判断一个非线性系统有无极限环
效应而自収出现周期运动。
非线性系统的自激振荡
极限环
孤立的闭合轨道 周围无闭合轨道，只有螺旋型轨道 对周围的轨道 要么吸引，要么排斥 一类定态 代表系统的一类典型的运动体制