作抛物线的切线

作抛物线的切线

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求

典例剖析

题型一

平均变化率

例1：在曲线的图象上取一点及邻近一点（1＋Δ，2＋Δy）求

解：Δy=

-=+2，

=+2

评析：平均变化率

题型二

抛物线的切线

例2.求抛物线y=f=2-x在（1，1）点处的切线斜率

解：

=3+2，令趋于0，则3+2趋于3.切线的斜率k=3,

评析：以上三种类型的问题中例1是平均变化率，而例2与例3都是瞬时变化率。瞬时变化率就是平均变化率在改变量趋于0时的极限值。

备选题

例3：曲线在点P的切线斜率为2,求点P的坐标.

解：设

则

点评：直线与抛物线相切,一般的解题方法是将直线方程代入抛物线方程消元,,利用求解.

点击双基

.抛物线f=x2－3x+1在点（1，－1）处的切线方程为（）

A．y=-x－1

B．y=x

c．y=－x

D．y=x+1

解：=-1+,当x趋于0时,得切线斜率k=-1，切线方程为y+1=-1，故选c

2.若抛物线y=+1的一条切线与直线y=2x-1平行，则切点坐标为（

）

A．（1，1）

B（1，2）

c（2，5）

D（3，10）

解：平均变化率==2x+,所以斜率k=2x=2,得

x=1,y=1.故选A

3过点m（－1，0），则切线方程为（

）

（A）3x+y+3=0或

（B）或

（c）

（D）

解：设切点N（a,b）,则切线斜率k=2a+1===,得a=0或a=-2

切线斜率k=1或k=-3，故选A

4.已知曲线上有两点A（2,0），B（-2,-8），则割线AB 的斜率为

解：由斜率公式求得=2

5．已知曲线在点m处的瞬时变化率为-4，则点m的坐标是为＿＿＿

＿＿

解：，点m的坐标是（-1，3）

课外作业：

一．选择题

、若曲线

斜率（

）

A．大于0

B．小于0

c．等于0

D．符号不定

解：由切线方程得斜率为-1<0，故选B

2、已知曲线过点,则该曲线在该点处的切线方程为（

）

A．

B．

c．

D．

解：先将点代入得,然后求切线斜率，故选B

3、若曲线y=-+4x的一条切线与直线2x-y-5=0平行，则的方程为（

）

A.2x-y-4=0

B.2x+y=0

c.2x-y+1=0

D.2x+y-5=0

解：易得=-2x+4,则-2x+4=2，得x=1；切点（1，3），切线斜率k=2;故选c

4、若曲线f=的一条切线与直线垂直，则的方程为

A．4x-y-4=0

B．

c．

D．

解：易得=2x，则2x=4,x=2；切点（2，4），切线斜率k=4，故选A，

5、已知直线与抛物线y=+a相切，则a=

A.4

B.-

c.-

D.

解;=2x+,

=2x=1,得x=.切点（，+a）

在切线上，a=-.

故选B

6、曲线f=在点（1，－5）处的切线斜率为

A．k=3

B．k=－3

c．k=－4

D．k=4

解：平均变化率==x-4.当x趋向0时，平均变化率

趋于-4，故选c

7、函数y＝x2＋1的图象与直线y＝x相切，则＝

A．

B．

c．

D．1

解：把两个解析式联立得方程x2-x＋1=0,由=0即得＝，故选B

8、过点（－1，0），则其中一条切线为（

）

（A）

（B）

（c）

（D）

解：

，设切点坐标为，则切线的斜率为2

，且，于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得

＝0或－4，故选D。

二．填空题：

9、设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则

解：，于是切线的斜率，∴有

10、曲线y=-3的一条切线的倾斜角为，则切点坐标为

＿＿＿＿＿＿

解：=2x=tan=,x=,则切点坐标为（，）

1、设P为曲线c：上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为

解：设切点的横坐标为,且（为点P处切线的倾斜角），又∵，∴，∴

三解答题：

2.求抛物线y=f=2-x在（1，1）点处的切线斜率.

解：

=3+2，令趋于0，则3+2趋于3.切线的斜率k=3,

3、曲线在点P的切线斜率为2,求点P的坐标.

解：设

4、已知抛物线y=f=

+3与直线y=2x+2,求它们交点处的切线方程。

解由方程组

得-2x+1=0

解得x=1,y=4,,

交点坐标为（1，4）

又=+2.当趋于0时（+2.）趋于2.所以在点

（1，4）处的切线斜率k=2.所以切线方程为y-4=2

即y=2x+2

思悟小结