条件概率(公开课)

B
A
基本概念 3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P( AB) 表示在样本空间 中, 计算 AB发生 的概率, 而 P(B A ) 表示在缩小的样本空间 A 中, 计算 B 发生的概率.用古典概率公式, 则 AB 中样本点数 P( B A ) , A 中样本点数 AB 中样本点数 P( AB) 中样本点数 一般来说, P(B A ) 比 P( AB) 大.
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就 按对的概率。
1 9 1 1 (1) P( A) P( A1 ) P( A1 A2 ) 10 10 5 9 1 4 2 1 (2) P( A | B) P( A1 | B) P( A1 A2 | B ) 5 54 5
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
只需求事件 A 发生的条件下，

5
1 p ( AB ) 3 2 P( B | A) p ( A) 1 3 解法二（条件概率定义法）
事件 B 的概率即Ｐ（B｜A） 由条件概率定义得：
B
1 3
2 4,6
A
探究：
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。
例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字
（1）任意按最后一位数字，丌超过2次就按对 的概率；
都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款 机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，丌超 过2次就按对的概率。
1 9 1 1 (1) P( A) P( A1 ) P( A1 A2 ) 10 10 5 9 1 4 2 1 (2) P( A | B) P( A1 | B) P( A1 A2 | B ) 5 54 5
二、内涵理解:
为什么上述例中P(B|A) ≠ P(B)？
样本空间丌一样
P(B)以试验下为条件,样本空间是
P(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为A
Ω
B A
P(B |A)相当亍把Ａ看作 新的样本空间求AB发生 的概率
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
2.2.1 条件概率
浙江省富阳市新登中学高二数学备课组
2013-3-17
复习引入：
事件概率加法公式： 若事件A与B互斥，则. P( A B) P( A) P( B) 注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 A B (或 A B );
2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件, 记为 A B (或 AB );
例 3 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象 记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20% 和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？
2、盒中有25个球，其中白球若干个，黄球5个，黑球 10个，从盒中任意取出一个球，已知它不是黑球，试 求它是黄球的概率。
条件概率计算中注意的问题 1、条件概率的判断： （1）当题目中出现“在……前提（条件） 下”等字眼，一般为条件概率。 （2）当已知事件的发生影响所求事件的概 率，一般也认为是条件概率。 2、相应事件的判断：
在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意： （1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A) ≤1 （2）如果B和C是互斥事件，则 P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A)
反思
求解条件概率的一般步骤：
（1）用字母表示有关事件
P(B |A)相当于把Ａ看作新的 基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的 概率

B
A
基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
2.条件概率计算公式:
P ( AB) P( B | A) P( A)
注:⑴ 0 ≤ P ( B | A) ≤1 ; ⑵几何解释: ⑶可加性： 如果 B和 C 互斥， 那么 P ( B C ) | A P ( B | A) P (C | A)
首先用相应的字母A、B表示出相应的事件，然 后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件 的概率。
当A B时，P(AB)=P(A)
例 2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从
0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘 记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A)
( 3 )利用条件概率公式求
P ( AB) n( AB) P B A P ( A) n( A)
例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如 果丌放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
n( AB) 5 P( B | A) n( A) 12
P(AB)=5/36
5 P( AB) 36 5 P( B | A) 1 12 P( A) 3
思 考
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢？
n( AB ) n( AB ) P ( AB ) n ( ) P ( B | A) n( A) n( A) P ( A) n ( )
一般地，我们用来 表示所有基本事件 的集合，叫做基本 事件空间（或样本 空间）
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖 奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券 的概率又是多少？ “第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B 第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后 一名同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A）
3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
三张奖券中只有一张能中奖，现分 别由3名同学无放回地抽取，问最后 一名同学抽到中奖奖券的概率是否比 前两位小？
解：记“最后一名同学中奖”为事件B Ω Байду номын сангаас所有结果组成的全体

B
一般地，n(B)表示 事件B包含的基本 事件的个数
由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的 n( B ) 1 概率为：P ( B ) n( ) 3
练习：设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二 等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件， 求 (1) 取得一等品的概率； (2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 70 P 0.7 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品， ( B ) 100 （2）方法1：因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 B A AB B
只需求事件 A 发生的条件下， 事件 B 的概率即Ｐ（B｜A） 5 1 3
B
n( AB) 2 P( B | A) n( A) 3
2 4,6
A
解法一（减缩样本空间法）
例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.
（1）若已知 某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩 的概率； （2）若已知 某家第一个是男孩，求这家有两个男孩 （相当于第二个也是男孩）的概率 （假定生男生女为等可能）
引例:
掷红、蓝两颗骰子,设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”
事件B=“两颗骰子点数之和大于8”
求(1)P(A)，P(B)，P(AB)
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发生的概率？
(3)比较(2)中结果与P(AB)的大小及三者概率之间关系
P(A)=12/36=1/3 P(B)=10/36=5/18
思考1？
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件B发 生的可能性大小不一定再是P(B).即 P( B | A) P( B) 条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
2 3
n( AB ) 6 3 P ( AB ) n( ) 20 10
例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如 果丌放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
（3）在第一次抽到理科题的条件 下，第二次抽到理科题的概率。
解
70 P ( B A) 0.7368 95 方法2：

P( AB) 70 100 P( B A) 0.7368 P( A) 95 100
B
5
70
95
A
反思
求解条件概率的一般步骤：
（1）用字母表示有关事件
（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A)
( 3 )利用条件概率公式求
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为
n() A 20
2 5
根据分步乘法计数原理，n( A) A A 12 n( A) 12 3 P ( A) n( ) 20 5