抽样方法与总体分布的估计
必修3 抽样方法与总体分布的估计
抽样方法与总体分布的估计【知识要点】1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N 。
如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。
实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。
系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号。
采用随机的方式将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段。
为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k .当n N 是整数时，nN k =；当n N 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数N ´能被n 整除，这时nN k '=； （3）确定起始的个体编号。
在第1段用简单随机抽样确定起始的个体边号l ； （4）抽取样本。
按照先确定的规则（常将l 加上间隔k ）抽取样本：k n l k l k l l )1(,,2,,-+⋅⋅⋅++。
3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层4、频率分布直方图、折线图与茎叶图样本中所有数据（或数据组）的频率和样本容量的比，就是该数据的频率。
所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。
频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。
注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×组距频率=频率。
折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。
总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。
抽样方法与总体分布的估计
抽样方法与总体分布的估计●知识梳理1.简单随机抽样：一样地，设一个总体的个体数为N ，假如通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称如此的抽样为简单随机抽样.2.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情形，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.3.两种抽样方法的比较（略）.4.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.5.频率分布：用样本估量总体，是研究统计问题的差不多思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，确实是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.能够用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.6.总体分布：从总体中抽取一个个体，确实是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n 的样本，确实是进行了n 次试验，试验连同所显现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.●点击双基1.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情形，从中抽查了100名运动员的年龄，就那个问题来说，下列说法正确的是A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是1002.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是A.310C 3B.89103⨯⨯C.103 D.101 3.一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n 的值为 A.640 B.320 C.240 D.1604.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种方法中较合适的抽样方法是___________.那么分数在［100，110）中的频率和分数不满110分的累积频率分别是______________、_______（精确到0.01）.●典例剖析【例1】 （2004年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情形，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情形，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采纳的抽样方法依次是A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法【例2】 （2004年福建，15）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定假如在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同.若m =6，则在第7组中抽取的号码是___________.【例3】 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；（3）估量电子元件寿命在100～400 h 以内的概率； （4）估量电子元件寿命在400 h 以上的概率.剖析：通过本题可把握总体分布估量的各种方法和步骤. 解：（1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如下：100 200 300 400 500 600 寿命(h )寿命(h )1.000.800.600.400.20累（3）由累积频率分布图能够看出，寿命在100～400 h 内的电子元件显现的频率为0.65，因此我们估量电子元件寿命在100～400 h 内的概率为0.65.（4）由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件显现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估量电子元件寿命在400 h 以上的概率为0.35.评述：画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义. ●闯关训练 夯实基础1.（2004年江苏，6）某校为了了解学生的课外阅读情形，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时刻的数据，结果用下面的条形图表示，依照条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时刻为2015105人数(人)时间(h )0 0.5 1.0 1.5 2.0A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h 2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为A.7，5，8B.9，5，6C.6，5，9D.8，5，73.某单位共有N 个职工，要从N 个职工中采纳分层抽样法抽取n 个样本，已知该单位的某一部门有M 个职员，那么从这一部门中抽取的职工数为___________.4.下图是容量为100的样本的频率分布直方图，试依照图形中的数据填空：组距0.00.00.02样本数据（1）样本数据落在范畴［6，10）内的频率为___________； （2）样本数据落在范畴［10，14）内的频数为___________； （3）总体在范畴［2，6）内的概率约为___________.●思悟小结1.采纳什么抽样方法，要视情形来定：当总体中的个体较少时，一样可用随机抽样；当总体中的个体较多时，一样可用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一样可用分层抽样.2.用样本估量总体，是研究统计问题的一个差不多思想方法.用样本估量总体，本节要紧研究在整体上用样本的频率分布估量总体的分布.教学点睛1.常用的抽样方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，其中第一种是最简单、最差不多的抽样方法.三种抽样方法的共同点：差不多上等概率抽样，表达了抽样的公平性；三种抽样方法各有其特点和适用的范畴.2.总体分布反映了总体在各个范畴内取值的概率.当总体中所取不同数值比较少时，常用条形图表示相应样本的频率分布；否则，常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布.3.系统抽样的步骤：（1）将总体中的个体随机编号；（2）将编号分段；（3）在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；（4）按照事先研究的规则抽取样本.4.分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法能够不同）；（4）汇合成样本.5.解决总体分布估量问题的一样程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别运算各组的频数及频率（频率=总数频数）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估量.6.条形图是用其高度表示取各值的频率；直方图是用图形面积的大小表示在各区间内取值的频率；累积频率分布图是一条折线，利用任意两端值的累积频率之差表示样本数据在这两点值之间的频率.。
新高考数学总复习专题十一抽样方法与总体分布的估计课件
位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等,第75百分
位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 4)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤如下: ①按从小到大排列原始数据; ②计算i=n×p%; ③若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据,若i是 整数,则第p百分位数为第i项与第(i&的一等级产品有20件,B生产线生产的一
等级产品有35件,由样本频率估计总体概率,得该工厂生产产品为一等级
产品的概率估计值为
20 35 200
=
11 40
,当产品产量为2
000件时,估计该工厂一
等级产品获利2 000× 11 ×10=5 500(元).
40
11.4 抽样方法与总体散布的估计
考点一 随机抽样 1.简单随机抽样 1)定义:一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤ n<N)个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个 体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样; 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽 到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样,放回 简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. 2)最常用的方法:随机数法和抽签法.
A.2.25吨 B.2.24吨 C.2.06吨 D.2.04吨
解析 由频率散布直方图可知,月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5= 0.04.同理,月均用水量在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]的频率分 别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0. 02)=2×0.5×a,解得a=0.30,设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+ 0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21= 0.48<0.5,所以2≤x<2.5.由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.
7.43抽样方法与总体分布的估计
3．下图是 2014 年歌手大奖赛中，七位评委为甲、 乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0～9 中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙 两名选手得分的平均数分别为 a1、a2，则一定有( B )
A.a1>a2 B．a2>a1 C．a1＝a2 D．a1，a2 大小与 m 的值有关
④列频率分布表(下图)
分组 频数 频率 累计频率 [t0，t1) r1 f1 f1 [t1，t2) r2 f2 f1＋f2 „ „ „ „ [tk－1，tk] rk fk f1＋f2＋„＋fk＝1
⑤画频率分布直方图，将区间[a，b)标在横轴上， 纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距形叫做 频率分布直方图 ．
【 解 析 】 抽 样 比 例 60∶3 ＝ 20∶1 ， 则 n ＝ 120＋80＋60 ＝13. 20
2．(2013 江西)总体由编号为 01，02，„，19， 20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个 个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的 第 5 个个体的编号为( D ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B．07 C．02 D．01
1 2 2 2 x x x [( x － ) ＋ ( x － ) ＋„＋ ( x － ) ] 2 n n 1 叫做这组数据 的方差，而 s 叫做标准差． 1 2 2 2 2 x [( x ＋ x ＋„＋ x ) － n ] ． 1 2 n 2 n (2)公式 s ＝ ．
(3)当一组数据 x1，x2，„，xn 中各数较大时，可以 将各数据减去一个适当的常数 a，得到 x1′＝x1－a， 2 x2′＝x2－a，„，xn′＝xn－ a ，则 s 1 2 2 2 2 x [( x ′ ＋ x ′ ＋„＋ x ′ ) － n ′ ] 1 2 n n ＝ ． 4．利用频率分布直方图估计样本的数字特征 (1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右 边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数值． (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积 乘以矩形底边中点横坐标之和． (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．
抽样方法、总体分布的估计
简单随机抽样、系统抽 题型一 样 ①抽签法、随机数表法 思维提 ； 示 ②系统抽样的步骤.
题型二 思维提示
分层抽样 由差异明显的几部 分组成的总体适于 用分层抽样
题型三 思维提示
频率分布条形图的有关 问题 条形图与频率分布直方 图的区别
例3
为了估计某人的射击技术状况，在他的 训练记录中抽取了50次进行检验，他命中的 环数如下：
(3)注意频率分布条形图和频率分布直方图
是两个不同的概念．虽然它们的横轴表示 的内容是相同的，但是频率分布条形图的 纵轴(矩形的高)表示频率；频率分布直方图 的纵轴(矩形的高)表示频率与组距的比值， 其相应组距上的频率等于该组距上的矩形 的面积． (4)无论样本容量多大，用样本频率分布估 计总体分布时，所作的只是一种估计，可 能出现误差甚至错误，也允许存在误 差．当然希望这种误差越小越好，因此常 在条件许可下，适当增加样本容量，合理
(1)请作出频率分布表，并画出频率分布直
方图； (2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤 度小于1.40的概率是多少？ (3)统计方法中，同一组数据常用该组区间 的中点值(例如：区间[1.30,1.34)的中点值 是1.32)作为代表．据此，估计纤度的期 望． [分析] 按题目要求作出频率分布表、绘出 频率分布.抽样方法 全体 (1)总体：所要考查的对象的 个体 叫做总体，其中每一个要考察的对象称
为 ．总体与个体之间的关系类似 从总体中抽取一部分个体 集合与元素之间的关系． 样本的容量 (2)样本： 叫做总 体的一个样本，样本中个体的数目称 为 ．样本和总体之间的 关系类似于子集与集合之间的关系．
分组 频数 [解] (1)频率分布表如下： [1.30,1.34) 4 [1.34,1.38) 25 [1.38,1.42) 30 [1.42,1.46) 29 [1.46,1.50) 10 [1.50,1.54) 2 100 合计
高中数学：抽样方法与总体分布的估计
抽样方法与总体分布的估计 一、高考考点梳理1.随机抽样例1.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1,p 2,p 3,则（ ）A.p 1=p 2<p 3B.p 2=p 3<p 1C.p 1=p 3<p 2D.p 1=p 2=p 32.用样本估计总体通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布①频率分布直方图的理解a.纵轴表示组距频率，即小长方形的高=组距频率； b.小长方形的面积=组距×组距频率=频率； c.数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.②频率分布折线图a.频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图；b.总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数不断增多，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近一条光滑曲线，即总体密度曲线。
③茎叶图的特点茎是指中间的一列数，通常为十位；叶是从茎的旁边生长出来的数，通常为个位。
（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征①平均数、中位数、众数 数字特征 样本数据 平均数样本数据的算数平均数 中位数将数据按大小顺序依次排列， 处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 众数出现次数最多的数据②样本方差与标准差设样本的元素为n x x x ,,,21 ，样本的平均数为x ，则a.样本方差：()()()[]2222121s x x x x x x nn -++-+-= b.样本标准差： ()()()[]222211s x x x x x x n n -++-+-=③关于平均数、方差的有关性质a.若n x x x ,,,21 的平均数为x ，则a ,,,21+++n mx a mx a mx 的平均数为a x m +；b.若n x x x ,,,21 的方差为s 2，则a ,,,21+++n mx a mx a mx 的方差为22m s 。
抽样方法与总体分布的估计
抽样方法与总体分布的估计在统计学中，抽样是指从总体中选取一部分个体进行观察和测量的过程。
抽样方法的选择是统计研究的重要环节，将直接影响到对总体分布的估计。
抽样方法一般分为概率抽样和非概率抽样两种。
概率抽样是指以确定的概率规则随机抽取样本，每个个体有确定的概率被选中，如简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等。
非概率抽样是指个体被选入样本的概率不可确定，无法通过概率规则进行抽样，如方便抽样、判断抽样和定额抽样等。
简单随机抽样是一种常用的概率抽样方法，即从总体中抽取n个个体，每个个体被选中的概率相等。
简单随机抽样可以保证样本与总体之间的代表性，并且可以应用于任何样本容量的情况。
分层抽样则是将总体分成若干个层次，然后从各个层次中分别进行简单随机抽样。
这种方法可以保证各个层次在样本中的比例与总体中的比例相同，适用于当总体具有明显的层次结构时。
系统抽样是指按照一定间隔从总体中随机选择一个个体作为初始个体，然后以固定的间隔选择后续的个体，直到达到样本容量。
概率抽样方法是基于随机性的，可以使得抽样结果具有代表性，从而可以通过对样本数据的分析来推断总体的特征。
在进行总体分布的估计时，可以利用样本数据的统计量，如样本均值、样本方差等，对总体参数进行估计。
利用抽样数据进行总体分布的估计是统计学中的重要内容，旨在通过样本数据来推断总体的分布特征。
常见的对总体分布的估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是指通过样本数据得到总体参数的一个估计值，常用的点估计方法包括最大似然估计和矩估计等。
最大似然估计是基于样本数据的似然函数，通过使似然函数最大化来得到总体参数的估计值。
矩估计是通过样本矩的特征来估计总体参数，如样本均值、样本方差等。
点估计方法可以对总体的分布参数进行估计，但无法提供估计值的准确度信息。
区间估计是对总体参数进行估计时，给出一个区间范围，该范围内有一定的置信度包含总体参数的真值。
常见的区间估计方法包括置信区间法和预测区间法。
[品质管理抽样检验]抽样办法总体分布的估计
![[品质管理抽样检验]抽样办法总体分布的估计](https://img.taocdn.com/s3/m/59386a9f336c1eb91b375d2d.png)
{品质管理抽样检验}抽样办法总体分布的估计10.10抽样方法总体分布的估计一、明确复习目标1.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本2.会用样本频率分布去估计总体分布3.了解正态分布的意义及主要性质4.了解线性回归的方法和简单应用二．建构知识网络1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.⑴简单随机抽样的特点:逐个抽取，不放回抽样,各个个体被抽到的概率相等.简单随机抽样方法是其他更复杂抽样方法的基础．(2)简单随机抽样的两种方法:①抽签法：编号写签,搅拌均匀，逐个抽取.先后抽取概率均等.抽签法简便易行，适用于个体数不太多总体．②随机数表法：“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码2.系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．系统抽样的步骤：（总体中的个体的个数为N，样本容量为n）①采用随机的方式将总体中的个体编号.为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号，等等②确定分段(部分)的间隔k当是整数时，k=;当不是整数时，先从总体中用简单随机抽样剔除一些个体,使剩下的总体中个体数能被n 整除，取k=.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号.④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将加上间隔k ，得到第2个编号+k,第3个编号+2k ，……）与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的.可以证明:当n 不能整除N 时,先刎除的个体与其它个体一样,被抽的概率也是1/N. 3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层.简单随机抽样,系统抽样,分层抽样都是等概率抽样,简单随机抽样是基础,系统抽样的第一部分和分层抽样的每一层都采用简单随机抽样.随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样4.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.5.总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n 的样本，就是进行了n 次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.总体分布是不易知道的,通常用“样本频率分布估计总体分布”，这是统计的基本思想方法，样本容量越大,估计越精确.6.总体密度曲线:如果ξ是连续型随机变量,就把ξ的取值区间分组,当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间（a，b）内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与x轴、直线x=a、x=b所围成曲边梯形的面积。
12.3 抽样方法、总体分布的估计
那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线 ——总体密度曲线．总体密度曲线反映了总体分布， 即反映了总体在各个范围内取值的 百分比 .
基础自测
1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性 ( C ) A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大 B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小 C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等 D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关
解析 ①中总体由差异明显的几部分构成，宜采用分 层抽样法，②中总体中的个体数较少，宜采用简单随 机抽样法．
3．(2009· 陕西文，5)某单位共有老、中、青职工 430 人，其中有青年职工 160 人，中年职工人数是老年 职工人数的 2 倍．为了解职工身体状况，现采用分 层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为( B ) A． 9 B．18 C．27 D．36
(2)不同层次的人员情况有明显差异，故采用分层抽 样．
解
用分层抽样方法抽取．
具体实施抽取如下： (1)∵20∶100＝1∶5， 10 70 20 ∴ 5 ＝2， 5 ＝14， 5 ＝4， ∴从副处级以上干部中抽取 2 人，从一般干部中抽取 14 人，从工人中抽取 4 人． (2)因副处级以上干部与工人的人数较少， 他们分别按 1～10 编号与 1～20 编号，然后采用抽签法分别抽取 2 人和 4 人；对一般干部 70 人采用 00,01,02，…，69 编号，然后用随机数表法抽取 14 人． (3)将 2 人，4 人，14 人的编号汇合在一起就取得了容 量为 20 的样本．
§12.3
抽样方法、总体分布的估计 基础知识 自主学习
要点梳理
1．抽样方法 (1)简单随机抽样 ①定义：设一个总体含有 N 个个体，从中 逐个不
§11.4 抽样方法与总体分布的估计(讲解部分)
解析 (1)80~90分数段的频率p1=(0.04+0.03)×5=0.35, 此分数段的毕业生人数为21,
∴毕业生的总人数N= 21 =60,
0.35
90~95分数段的频率p2=1-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.1,
第十二页，编辑于星期六：七点 三十四分。
考法二 样本的数字特征及其应用
例2 (2018河南新乡一模,19)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度 是否达标,从两厂各随机选取了10个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:mm)记 录下来并绘制出如下的折线图:
第十三页，编辑于星期六：七点 三十四分。
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值;
注意:方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程度,反映了一组数据相
对于平均数的波动情况,标准差和方差越大,说明这组数据的波动性越大.
4.茎叶图
(1)茎叶图是统计中用来表示数据的一种图,茎是指中间的一列数,叶就是
从茎的旁边生长出来的数.
(2)茎叶图的画法步骤 第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;
195)2]s1=2
1
6,
2
3
第十五页，编辑于星期六：七点 三十四分。
乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195,
平均数
x
2
=
1 6
×(195+196+195+194+195+195)=195,
方差
s22
=
1 6
第1讲抽样方法与总体分布的估计
• 【真题探究】► (2012·江苏)某学校高一、高二、高三年 级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该 校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从 高二年级抽取________名学生． [教你审题] 一审 等比例性质； 二审 抽取的样本容量．
•[答案] 15
• 【试一试】 (2013·徐州模拟)从某小学随机抽取100名同 学，这些同学身高都不低于100厘米，将他们的身高(单 位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．现用分层 抽样的方法从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三 组学生中，选取18人参加一项活动，则从身高在 [140,150]内的学生中选取的人数应为________．
•(1)求这次铅球测试成绩合格的人数； •(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数 在第几组内，并说明理由．
•考向三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
•【例3】►甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试 • 成绩得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． [审题视点] (1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩； (2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评 价．
[审题视点] 因为802不能整除80，为了保证“等距”分段，应 先剔除2个个体．
•第三步：从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随 机抽样的方法抽取一个编号(如5)作为起始编号； •第四步：从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽 出，得到一个容量为80的样本．
解决系统抽样问题的两个关键步骤为： (1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义每 段抽取一个样本． (2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编 号确定，其他编号便随之确定了．
抽样方法、总体分布的估计
解析：编号之差为 5 的整数倍． 答案：C
4．一个高中研究性学习小组对本地区 2000 年至 2002 年快 餐公司发展情况进行了调查， 制成了该地区快餐公司个数情况的 条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图， 根据图中 提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 __________万盒．
30×1＋45×2＋90×1.5 解析：由题图得： ＝85(万盒)． 3 答案：85
思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思
疑难精讲 1.在随机抽样中，当总体中的个体数目较少时，用简单随机 抽样；当总体中的个体数目较多时，用系统抽样；当总体由差异 明显的几部分组成时，用分层抽样． 2．总体分布反映的是总体在各个范围内的取值概率，这种 分布一般我们是不知道的，所以用样本分布估计总体分布． 对于每个个体所取不同数值较少的总体， 常用条形图表示其 样本分布， 而对于每个个体所取不同数值较多或可以在实数区间 内取值的总体，常用频率分布直方图表示其样本分布.
(4) 系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体 分成均衡的几个部分 ________________________ ，然后按照事先定出的规则，从 每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样称为 系统抽样． 差异明显 (5) 分层抽样：如果总体由 ______________ 的几部分组 成，为了使样本更充分地反映总体的这种差异情况，往往 将总体分成几部分 比例 ______________，然后按照各部分所占的______________ 抽 取， 这种抽样叫做分层抽样， 而其中所分成的各部分叫做层．
互动探究 题型 1 抽样方法的应用 例 1 某单位最近组织了一次健身活动， 活动分为登山组和游 泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中， 青年人占 42.5%，中年人占 47.5%，老年人占 10%，登山组的职 1 工占参加活动总人数的 ，且该组中，青年人占 50%，中年人占 4 40%，老年人占 10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次 活动的满意程度， 现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽 取一个容量为 200 的样本．试确定： (1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
抽样方法与总体分布的估计
抽样方法与总体分布的估计概述：抽样是统计学中非常重要的概念，它可以帮助我们从一个庞大的总体中选择出一部分个体，从而对总体的特征进行推断和估计。
在实际应用中，我们很难对整个总体进行研究，因此抽样方法能够帮助我们通过研究抽取的样本来对总体进行估计和推断。
抽样方法：1.简单随机抽样：简单随机抽样是指从总体中随机地选择一部分个体作为样本，每个个体被选中的概率是相等的。
这种抽样方法能够减少主观因素的干扰，得到较为可靠的估计结果。
2.分层抽样：分层抽样是将总体分成若干个互不重叠的子总体，然后在每个子总体中进行简单随机抽样。
这样可以保证样本的代表性，并且可以在不同子总体中设置不同的抽样比例，更好地反映总体的各个特征。
3.系统抽样：系统抽样是按照一定的规则从总体中选择个体作为样本，例如每隔k个个体选取一个个体。
这种抽样方法适用于总体中个体之间的顺序关系比较明显，具有方便和高效的特点。
4.整群抽样：整群抽样是将总体划分为若干个群体，然后随机地选择几个群体，对选择的群体进行抽样。
这种抽样方法在样本容量较小时，能够减少抽样误差，提高估计结果的可靠性。
总体分布的估计：估计总体分布是指通过样本推断总体的概率分布情况。
常见的总体分布估计方法有以下几种：1.参数估计：根据样本统计量的分布特征，推断总体分布中的参数值。
例如，通过样本均值来估计总体均值，通过样本方差来估计总体方差等。
2.核密度估计：核密度估计通过考虑每个样本点附近一定范围内的密度来估计总体分布的概率密度函数。
该方法可以克服一些分布假设的限制，更加灵活地估计总体分布。
3.经验分布函数：经验分布函数通过计算累积概率来估计总体的分布。
该方法不对总体的具体分布形式进行假设，适用于对总体分布不了解或不确定的情况。
4.模型拟合：模型拟合是指将已知的概率分布模型与样本进行拟合，从而得到总体的估计分布。
常用的拟合方法包括最大似然估计和贝叶斯估计等。
总结：抽样方法和总体分布的估计是统计学中重要的内容。
§5抽样方法与总体分布的估计
§5抽样方法与总体分布的估计抽样方法与总体分布的估计是统计学中一个重要的概念和技术。
它涉及到从总体中选择一个样本来推断总体特征的过程。
本文将介绍抽样方法的基本原理、常用的抽样方法以及如何使用抽样方法来估计总体分布。
一、抽样方法的基本原理抽样方法是通过从总体中选择一个样本来推断总体特征的方法。
它的基本原理是假设从总体中选择一个具有代表性的样本，样本中的个体与总体中的个体具有相似的特征。
通过对样本数据的统计分析，可以得出关于总体特征的推断。
抽样方法的基本原理包括以下几个关键概念：1.总体：总体是指研究人群或对象的全体，可以是有界的，也可以是无限的。
2.样本：样本是从总体中选择的一个部分。
样本应该具有代表性，即样本中的个体应该和总体中的个体具有相似的特征。
3.样本容量：样本容量是指样本中包含的个体数量。
样本容量越大，样本的代表性越好，对总体特征的推断也越准确。
4.代表性：样本的代表性是指样本中的个体能够准确反映总体的特点。
抽样方法的选择取决于多种因素，包括总体大小、资源限制、时间限制以及研究目的等。
下面将介绍几种常用的抽样方法。
二、常用的抽样方法1. 简单随机抽样（Simple Random Sampling）：简单随机抽样是从总体中以相等的概率独立地抽取样本个体的方法。
这种方法要求每个个体具有相等的机会被选入样本中，使样本具有代表性。
2. 分层抽样（Stratified Sampling）：分层抽样将总体分为若干个层级，然后从每个层级中抽取样本。
这种方法可以确保每个层级在样本中的比例与总体中的比例相同。
3. 系统抽样（Systematic Sampling）：系统抽样是按照一些固定的规则抽取样本个体的方法。
例如，选择一个起点，然后每隔一定间隔选择一个个体，直到达到所需的样本容量。
4. 整群抽样（Cluster Sampling）：整群抽样是将总体分为若干个群组（或簇），然后从每个群组中随机选择一个或多个群组作为样本。
抽样方法跟总体分布的估计
抽样方法跟总体分布的估计抽样方法是指从总体中选取一部分样本来进行研究或调查的方法，其目的是通过对样本数据的分析，推断或估计总体的特征和参数。
抽样方法的选择对研究的结果至关重要，因为不恰当的抽样方法可能导致样本偏倚，从而使总体的估计结果失真。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样和多阶段抽样等。
下面对这些方法进行详细说明。
简单随机抽样是从总体中随机选取样本的方法，每个样本都有相同的被选中的概率。
这种方法可以减少样本选择的主观因素，并能够反映总体特征。
但在实际操作过程中，随机选样的困难度较高，需要随机数发生器进行操作。
分层抽样是将总体划分为若干个相互独立的层，并从每个层中随机选取一定数量的样本。
这种抽样方法适用于总体分层特征明显的情况，可以确保每个层都能被充分代表。
整群抽样则是将总体划分为若干个相互不重叠但完全相似的整群，随机选取其中若干群作为样本进行研究。
这种方法适用于总体内群体特征相近的情况，可以减少样本选择的成本。
系统抽样是根据其中一种规律从总体中选取样本，如每隔一定间隔选取一个样本。
这种方法的优势在于实施简单，适用于总体有明显的排列顺序的情况。
多阶段抽样是将总体按照多个层次划分，并在每个层次中随机选择样本。
这种方法适用于总体复杂，样本选择难度大的情况，可以减少样本选择的成本。
抽样方法的选择应根据研究目的、总体属性和可行性来确定。
在进行抽样之前，需要对总体进行充分了解，确定抽样框架，制定合理的抽样方案。
总体分布的估计是通过对样本数据的分析，利用统计模型和方法来推断总体的特征和参数。
常用的估计方法有点估计和区间估计。
点估计是利用样本数据得出总体参数点估计值的方法，常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计等。
点估计可以得到总体参数的一个具体估计值，但缺点是无法给出估计值的准确性。
区间估计是利用样本数据得出总体参数区间估计值的方法，常见的区间估计方法有置信区间和可信区间等。
11.5 抽样方法、总体分布的估计(1)
高三数学抽样方法、总体分布的估计（1）第76课时课题：抽样方法、总体分布的估计一、教学目标：1．理解简单随机抽样的概念，会用简单随机抽样（抽签法、随机数表法）从总体中抽取样本；理解系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本；理解分层抽样的概念，会用分层抽样从总体中抽取样本。
2．了解当总体中的个体取不同数值很少时，可用频率分布表或频率分布条形图估计总体分布，并会用这两种方式估计总体分布。
3．了解当总体中的个体取不同值较多，甚至无限时，可用频率分布表或频率分布直方图去估计总体分布，并会用这两种方式估计总体分布。
二、教学重点：1．分层抽样概念的理解及三种抽样方法的比较。
2．会用样本频率估计总体分布。
三、教学过程：（一）主要知识：12．频率分布表中列出的可以是几个不同数值的频率，相应的条形图是用其高度来表示取各个值的频率；也可以是各个不同区间内取值的频率，相应的直方图是用图形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．3．频率分布将随着样本容量的增大更加接近总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线——反映总体分布的密度曲线．总体密度曲线较为直观地表达了它们之间的关系，基于频率分布与相应的总体分布的关系，由于通常我们不知道一个总体的分布，因此我们往往从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布估计相应的总体分布．4．总体密度曲线反映了总体分布，即反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，总体在区间(a，b)内取值的概率是总体密度曲线，直线x＝a、x＝b及x轴所围图形的面积．本节的密度曲线正是下节的正态分布曲线．（二）知识点详析Ⅰ．数理统计学的核心问题是如何根据样本的情况对总体的情况作出一种推断。
这里包括两类问题：一类是如何从总体中抽取样本；另一类是如何根据对样本的整理、计算和分析，对总体的情况作出判断。
最常用的有三种基本的抽样方法。
1．简单随机抽样简单随机抽样在本章既是重点又是难点。
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频数为0.32×150＝48.
•
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答案 B
抽样方法与总体分布的估计
5．(长沙模拟)如图是某学校一名篮球运动 员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则
•该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．
答案 6.8
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抽样方法与总体分布的估计
考向一 抽样方法
•【例1】从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项 性 能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过 程． [审题视点] 因为802不能整除80，为了保证“等距” 分段，应先剔除2个个体．
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抽样方法与总体分布的估计
•(3)平均数
样本数据的算术平均数，即 ＝__________________． (4)方差与标准差
方差：s2＝__________________________________．
标准差：s＝ _____________________________________.
抽样方法与总体分布的估计
•
考点自测
1．(山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做 问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法 抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间 [1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的 人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中， 做问卷B的人数为 ( )． •A．7 B．9 C．10 D．15
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抽样方法与总体分布的估计
•第三步：从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随 机抽样的方法抽取一个编号(如5)作为起始编号； •第四步：从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽 出，得到一个容量为80的样本．
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抽样方法与总体分布的估计
解决系统抽样问题的两个关键步骤为： (1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义 每段抽取一个样本． (2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始 编号确定，其他编号便随之确定了．
B．30,45,15
C．20,30,10
D．30,50,10
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抽样方法与总体分布的估计
答案 B
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抽样方法与总体分布的估计
3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名
工人生产的零件的中位数是
( )．
•端点的线段为底作矩形，它的高等于该组的____.此时，每
•个矩形•1的面积恰好就是该组的频率，显然所有矩形的面积
之和为___.
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抽样方法与总体分布的估计
•3．样本的数字特征
(1)众数 在样本数据中，出现次数最多的那个数据． (2)中位数 样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数 据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的 平均数作为中位数．
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抽样方法与总体分布的估计
一条规律
•
两个特性
•(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的
频率等于这一组的频数除以样本容量，各小组频率的和等
于1；
•(2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/
组距，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的
面积之和为1.
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频率分布表．绘制频率分布表的步骤为：①_•求__极__差__； ②_•_决__定__组__距__和__组___；③_•_将__数__据__分__组_；④_•_列__频__率__分__布___. •(2数)利用直方图反映样本的频率分布，这样表的直方图称为频 率分布直方图．画频率分布直方图的一般步骤是：①绘制频 率分布表；②作直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对 应一个组的组距；③在上面标出的各点中，分别以相邻两点 为
考向二 频率分布直方图的绘制及应用
【例2】►某班同学利用国庆节进行社会实践，对 [25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习 惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低 碳观念，称为“低碳族”，否则称为“非低碳 族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布 直方图：
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抽样方法与总体分布的估计
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抽样方法与总体分布的估计
• 【训练1】 (天津)某地区有小学150所，中学75所， 大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽 取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 ________所学校，中学中抽取________所学校．
答案 18 9
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抽样方法与总体分布的估计
101_抽样方法与总体分 布的估计
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2020/11/20
抽样方法与总体分布的估计
•
•1. 三种抽样方法的比较
考点梳理
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抽样方法与总体分布的估计
•2.频率分布直方图与茎叶图
(1)当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布去估
计总体的频率分布，我们把反映样本频率分布的表格称为
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抽样方法与总体分布的估计
答案 C
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抽样方法与总体分布的估计
2．(西安模拟)甲校有3 600名学生，乙校有5 400
名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生
某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一
个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的
学生人数是 ( )．
A．30,30,30
A．14
B．16 C．15 D．17
答案 C
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抽样方法与总体分布的估计
4．(西北工大附中测试)如图是容量为150的样本的频 率分布直方图，则样本数据落在[6,10)内的频数为 ( )．
•A．12 B．48 C．60 D．80
• 解析 落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，故
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抽样方法与总体分布的估计
•(1)补全频率分布直方图； •(2)求n，a，p的值．
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抽样方法与总体分布的估计
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抽样方法与总体分布的估计
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抽样方法与总体分布的估计
• • •(1)•绘制频率分布直方图时需注意：•①•制作好频 •率分布表后可以利用各组的频率之和是否为•1•来检验该表是 •否正确；•②•频率分布直方图的纵坐标是••频组率距•，而不是频率．• •(2•)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式： ••频组率 距•×•组距＝频率．•