正交矩阵及其性质
正交矩阵及其性质
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此 cos AX , AY ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos X ,Y ,
| AX || AY | | X || Y |
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 7时42 分29秒0 7:42:29 20.12.1 3
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 7时42 分20.12. 1307:4 2December 13, 2020
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所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2020/12/13
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。07:4 2:2907: 42:2907 :4212/ 13/2020 7:42:29 AM
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
正交矩阵及其在数学建模中的应用
正交矩阵及其在数学建模中的应用正交矩阵是一种特殊的方阵，其每一行（或每一列）互相垂直且归一化。
其数学特性和应用十分广泛，在数学建模中也有重要的应用。
首先，我们来看一下正交矩阵的基本概念和性质。
正交矩阵的定义是满足 $A A^T = A^T A = I$ 的方阵$A$，其中 $I$ 是单位矩阵。
其中 $A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
这里需要注意的是，正交矩阵不一定是方阵，但是一定是列满秩的。
正交矩阵有一个重要的性质是保持向量的模长和内积不变。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 和 $y$ 是$n$ 维向量，则有 $||Ax|| = ||x||$ 和 $<Ax, Ay> = <x, y>$。
这个性质在数学和物理中有广泛的应用。
正交矩阵在数学中有很多重要的应用。
其中一个是它可以用来描述旋转操作。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 是 $n$ 维向量，则 $Ax$ 可以看做将向量 $x$ 绕某个轴旋转一个角度后得到的向量。
这个在三维几何中有着非常广泛的应用。
另一个重要的应用是在信号处理中。
通常情况下，我们需要对信号进行傅里叶变换以提取频率信息。
然而，傅里叶变换只适用于周期性信号，而实际上很多信号并不是周期性的。
因此，我们需要寻找一种方法将非周期性信号转化为周期性信号来进行傅里叶变换。
正交矩阵可以作为一种有效的转换方式，在信号处理中得到广泛的应用。
除此之外，正交矩阵还在机器学习和图像处理中有不少应用。
例如，PCA算法（主成分分析）中利用的就是正交矩阵的性质。
在图像处理中，通过对图像进行奇异值分解并将其分解为正交矩阵和奇异值矩阵，我们可以实现对图像的压缩和降噪等效果。
综上所述，正交矩阵作为一种重要的数学工具，在不同领域中都有广泛的应用。
不仅能够描述旋转操作，还能够用来处理非周期性信号、实现图像压缩和降噪等效果。
正交矩阵的判断方法
正交矩阵的判断方法正交矩阵是一个非常重要的概念，在数学和工程学科中都有广泛应用。
正交矩阵的性质包括不改变向量的长度和角度，因此在许多应用中有着重要的作用。
在本文中，我们将介绍判断矩阵是否是正交矩阵的方法。
一、正交矩阵定义及性质在线性代数中，矩阵的转置和逆是非常重要的概念，而正交矩阵可以看作是一种比较特殊的矩阵，它的定义和性质包括：1. 定义：一个矩阵A被称为正交矩阵，当且仅当满足AA^T=A^TA=I，其中I表示单位矩阵。
2. 性质：正交矩阵有很多重要的性质，其中最重要的包括：（1）行向量互相正交，列向量也互相正交。
（2）行向量和列向量的范数都等于1。
（3）行列式的值为1或-1。
（4）矩阵的转置就是它的逆，即A^{-1}=A^T。
（5）正交矩阵的逆也是正交矩阵。
二、正交矩阵的判断方法判断矩阵是否是正交矩阵，通常需要用到正交矩阵的定义和性质。
下面我们将介绍一种比较常用的判断方法，包括以下几个环节：1. 矩阵是否是方阵：正交矩阵必须是一个方阵，因此首先需要判断矩阵是否是方阵。
2. 判断矩阵是否满足AA^T=A^TA=I：这是判断矩阵是否是正交矩阵的核心方法，需要将矩阵自身乘以它的转置，并且将转置乘以矩阵自身，判断是否等于单位矩阵，即AA^T=A^TA=I。
3. 判断行向量和列向量是否互相正交：如果矩阵满足条件1和条件2，那么可以进一步判断行向量和列向量是否互相正交。
具体方法是计算每一行与每一列的点积，如果结果都等于0，则说明行向量和列向量互相正交。
4. 判断行向量和列向量是否归一化：如果矩阵满足条件1和条件2，那么还需要判断行向量和列向量是否归一化，即是否满足每一行和每一列的范数都等于1。
5. 判断矩阵的行列式是否为1或-1：如果矩阵满足条件1和条件2，那么它的行列式值必须为1或-1。
如果行列式的值不是1或-1，则说明矩阵不是正交矩阵。
三、具体实现方法下面我们将详细介绍上述几个环节的具体实现方法。
1. 判断矩阵是否是方阵：在 Python 中，可以使用 NumPy 库的 shape 函数来获取矩阵的形状，如果矩阵的行数和列数相等，则说明矩阵是方阵，具体实现代码如下：``` pythonimport numpy as npdef is_square_matrix(matrix):shape = np.shape(matrix)return shape[0] == shape[1]```2. 判断矩阵是否满足AA^T=A^TA=I：在 Python 中，可以使用 NumPy 库的 dot 函数和 transpose 函数求解矩阵乘积和矩阵转置，具体实现代码如下：``` pythonimport numpy as npdef is_orthogonal_matrix(matrix):if not is_square_matrix(matrix):return FalseAAt = np.dot(matrix, matrix.T)AtA = np.dot(matrix.T, matrix)return np.allclose(AAt, np.eye(matrix.shape[0])) and np.allclose(AtA,np.eye(matrix.shape[1]))```其中 np.allclose 函数用于判断两个数组是否相等，可以通过设置 rtol 和 atol参数来控制误差容限。
标准正交矩阵
标准正交矩阵在线性代数中，正交矩阵是一种非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在物理、工程等应用领域也有着广泛的应用。
本文将对标准正交矩阵进行详细的介绍，包括定义、性质、应用等方面的内容。
首先，我们来看一下标准正交矩阵的定义。
一个n阶实矩阵A称为正交矩阵，如果它满足下面的条件，A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^(-1)，即A^T·A=I，其中I是n阶单位矩阵。
另外，如果A的每一列都是单位向量，并且两两正交（即内积为0），那么A也被称为标准正交矩阵。
标准正交矩阵具有一些重要的性质。
首先，它的行列式的值为1或-1，这是因为A^T·A=I，所以|A^T|·|A|=|I|=1，因此|A|^2=1，所以|A|=1或-1。
其次，标准正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵，即A^(-1)=A^T。
另外，标准正交矩阵的行（或列）向量构成一个标准正交基，这对于解决线性方程组、求解特征值等问题非常有用。
标准正交矩阵在实际中有着广泛的应用。
在几何学中，标准正交矩阵可以表示旋转、反射等刚体运动，它可以保持向量的长度和夹角不变。
在信号处理中，标准正交矩阵可以用来进行正交变换，如傅里叶变换、离散余弦变换等。
在密码学中，标准正交矩阵也有着重要的应用，如Hadamard矩阵就是一种特殊的标准正交矩阵，它被广泛应用于分组密码算法中。
总之，标准正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
通过对标准正交矩阵的深入理解，可以帮助我们更好地理解线性代数的知识，同时也可以为我们在实际问题中的应用提供有力的工具。
希望本文对读者对标准正交矩阵有所帮助，也希望读者能够进一步深入学习和探讨这一重要的数学概念。
正交向量与正交矩阵
正交向量与正交矩阵1. 引言（约200字）正交向量是线性代数中非常重要的概念之一。
在向量空间中，如果两个向量相互垂直（即内积为零），则称它们是正交向量。
正交矩阵是一种特殊的方阵，其每一行、每一列都是正交向量。
本文将介绍正交向量和正交矩阵的定义、性质以及应用。
2. 正交向量（约800字）2.1 正交向量的定义和性质正交向量的定义是指两个向量之间的积为零。
如果向量A和B是正交向量，则满足以下条件：A·B = 0正交向量的几何意义是相互垂直，因此可以直观地理解为两个向量在空间中没有任何夹角。
2.2 正交向量的判定方法判定一组向量是否正交可以通过计算它们的内积来实现。
如果内积为零，则说明向量间相互垂直，即正交；反之，如果内积不为零，则不是正交向量。
2.3 正交向量的一些性质正交向量具有以下性质：a) 任意两个非零向量相互正交，则它们线性无关；b) 若向量组{A1, A2, ... , An}中的向量两两正交，则称为正交向量组；c) 正交向量组中如果每个向量的范数（长度）都是1，则称为标准正交向量组；d) 如果向量组{A1, A2, ... , An}是正交向量组，且向量Ai的长度为1，则称它为标准正交基。
3. 正交矩阵（约800字）3.1 正交矩阵的定义和性质正交矩阵是指一个方阵，其每一行、每一列都是正交向量。
设A是一个n阶方阵，如果满足AT·A = AA·T = I（I为单位矩阵），则称A 为正交矩阵。
正交矩阵具有以下性质：a) 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵：A^(-1) = A^T；b) 正交矩阵的行列式的绝对值等于1或-1：|A| = ±1；c) 正交矩阵的行（列）向量组是正交基。
3.2 正交矩阵的应用正交矩阵在许多领域有广泛的应用，其中最主要的应用之一是在旋转变换中。
在计算机图形学中，正交矩阵被用来进行三维空间的旋转变换，例如计算机动画中的物体旋转、镜头视角的变换等。
线性代数中的对称矩阵与正交矩阵
线性代数中的对称矩阵与正交矩阵线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间、线性变换和矩阵等概念和性质。
在线性代数的学习过程中，对称矩阵和正交矩阵是两个重要的概念。
本文将深入探讨对称矩阵和正交矩阵的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、对称矩阵的定义和性质对称矩阵是一个n阶方阵，其主对角线上的元素对称分布。
即对于一个n阶方阵A，如果对于所有的i和j，都有A(i,j) = A(j,i)，那么A 就是一个对称矩阵。
对称矩阵的重要性质包括：1. 对称矩阵的特征值都是实数：对于一个对称矩阵A，其特征值都是实数，这使得对称矩阵在实际问题中的应用更为广泛。
例如，在物理学中，对称矩阵可以表示刚体的惯性矩阵，而其实数特征值可以表示刚体的转动惯量。
2. 对称矩阵的特征向量正交：对于一个对称矩阵A，若v是其非零特征值λ对应的特征向量，那么与v对应的特征值也是λ的特征向量与v正交。
这一属性使得对称矩阵在正交变换和对角化等方面具有重要的应用。
二、正交矩阵的定义和性质正交矩阵是一个n阶方阵，其列向量两两正交且模长为1。
换句话说，对于一个n阶方阵Q，如果满足Q^TQ = QQ^T = I，其中Q^T是Q的转置矩阵，I是单位矩阵，那么Q就是一个正交矩阵。
正交矩阵的重要性质包括：1. 正交矩阵的行和列都是单位向量：正交矩阵的行和列向量都是单位向量，这意味着正交矩阵保持了向量的模长不变，并保持了向量之间的正交性。
2. 正交矩阵的逆等于其转置：对于一个正交矩阵Q，Q的逆矩阵等于其转置矩阵。
即Q^(-1) = Q^T。
这一属性使得正交矩阵在求逆和解线性方程组等方面具有重要的应用。
三、对称矩阵与正交矩阵的关系对称矩阵与正交矩阵之间存在着一定的关系。
具体来说，如果A是一个n阶对称矩阵，那么必存在一个正交矩阵Q，使得Q^TAQ = D，其中D是一个对角矩阵。
这个对角矩阵的对角线上的元素就是A的特征值。
这个关系被称为对称矩阵的正交对角化定理，它表明对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。
在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。
本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。
首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。
这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。
标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。
正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。
这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。
此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。
当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。
这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。
然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。
首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。
因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。
其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。
例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。
最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。
这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。
然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。
正交矩阵的有关结果
正交矩阵的有关结果一、定义：设A 是n 阶矩阵，若T A A E =，则称矩阵A 为正交矩阵。
由定义容易验证：(1) 正交矩阵的每一行(列)元素的平方和等于1；(2) 不同行(列)对应元素的乘积等于0。
二、性质：1、若A 是正交矩阵，则||1A =或-1。
2、设A 是n 阶正交矩阵，证明：(1) 如果||1A =，则A 的每一元素等于它自己的代数余子式；(2) 如果||1A =-，则A 的每一元素等于它自己的代数余子式的负值。
证明：由定义知：1T A A -=，而*1||A A A -= ，所以*||T A A A =。
又*()T ij A A =，所以()||ij A A A =。
从上式得需要的结果。
3、设A 是n 阶实矩阵，证明：(1) 如果||1A =，且A 的每一元素等于它自己的代数余子式，则A 是正交矩阵；(2) 如果||1A =-，且A 的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则A 是正交矩阵。
证明：(1) 因为1**1()()||T T T ij ij A A A A a A A -=====，所以A 是正交矩阵。
类似可以证明(2)。
4、设A 是n 阶实矩阵，3n ≥，且0A ≠。
证明：(1) 如果A 的每一元素等于它自己的代数余子式，则A 是正交矩阵；(2) 如果A 的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则A 是正交矩阵。
证明：由A 的每一元素等于它自己的代数余子式，得：*T A A =。
两边取行列式得：*||||T A A =，所以1||||n A A -= (*)。
因为0A ≠，所以至少有一个元素不等于零。
不妨设110a ≠，则111111||n n A a A a A =++ 221110n a a =++>而3n ≥，则从(*)式得||1A =。
从性质3结果知A 是正交矩阵。
类似可以证明(2)。
5、设A 是一个n 阶正交矩阵，证明：（1）如果A 有特征值，则A 的特征值只能是1或1-；（2）如果1A =-，则1-是A 的一个特征值；（3）如果1A =，且n 是奇数，则1是A 的一个特征值。
标准正交矩阵
标准正交矩阵标准正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
本文将对标准正交矩阵进行详细的介绍，包括定义、性质、以及其在实际中的应用等方面。
首先，我们来看一下标准正交矩阵的定义。
在数学中，一个实数的正交矩阵是一个满足以下条件的矩阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即满足$A^T=A^{-1}$。
同时，正交矩阵的列向量是两两正交的，即它们的内积为0，且列向量的模为1。
这样的矩阵在矩阵乘法下保持向量的长度和角度不变，因此在几何变换中有着重要的作用。
接下来，我们来看一下标准正交矩阵的性质。
首先，正交矩阵的行向量和列向量都是标准正交的，即它们满足单位长度和两两正交的性质。
其次，正交矩阵的行列式的值为1或-1，这意味着正交矩阵是一个保持体积不变的线性变换。
此外，正交矩阵是可逆的，因为其转置矩阵就是其逆矩阵。
最后，正交矩阵的特征值的模长都为1，这使得它在特征分解中有着特殊的性质。
除了上述的性质外，标准正交矩阵还有许多重要的应用。
在计算机图形学中，正交矩阵常常用来表示旋转、缩放和平移等几何变换，它可以保持图形的形状和大小不变。
在量子力学中，正交矩阵常常用来表示旋转和波函数的变换，它在描述粒子的运动和相互作用中起着重要的作用。
在信号处理中，正交矩阵常常用来表示正交变换，例如傅里叶变换和小波变换等，它可以将信号分解成不同频率的分量，方便分析和处理。
总之，标准正交矩阵是线性代数中一个重要且有着广泛应用的概念。
它具有许多重要的性质，可以在几何变换、量子力学、信号处理等领域发挥重要作用。
因此，对于标准正交矩阵的深入理解和应用，对于我们的学习和工作都有着重要的意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用标准正交矩阵的相关知识。
矩阵的正交变换
矩阵的正交变换是指一个线性变换，该变换通过正交矩阵来实现。
正交矩阵是
一种特殊的矩阵，它的行向量和列向量都是正交的，即它们的点积为零。
如果矩阵P是正交矩阵，那么线性变换y = P x称为正交变换。
正交变换具有
以下性质：
1. 保持向量的长度不变：对于任意向量x，有∣∣y∣∣ = ∣∣x∣∣，即变
换前后的向量长度保持不变。
2. 保持向量的正交性：如果变换前向量x和向量y正交，那么变换后向量y'
和向量x'也正交。
3. 在标准正交基下，正交变换对应的矩阵为正交矩阵。
此外，正交矩阵还有以下性质：
1. 正交矩阵的所有特征值为±1。
2. 正交矩阵的行列式为±1。
3. 正交矩阵的逆矩阵和共轭转置矩阵仍为正交矩阵。
4. 正交矩阵乘积仍为正交矩阵。
这些性质使得正交变换在许多领域中都有重要的应用，例如线性代数、几何学、信号处理等。
对称矩阵与正交矩阵
对称矩阵与正交矩阵在线性代数中，矩阵是一种十分重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
其中，对称矩阵和正交矩阵是两个常见的矩阵类型。
本文将介绍对称矩阵和正交矩阵的定义、性质以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、对称矩阵对称矩阵是指一个方阵，其转置矩阵等于其本身。
换句话说，设A是一个n×n矩阵，如果对于任意的i,j(1≤i,j≤n)，都有A(i,j)=A(j,i)，那么A就是一个对称矩阵。
对称矩阵的一些性质如下：1. 对称矩阵的特征值都是实数：由于对称矩阵是一个实数矩阵，它的特征方程也是一个实系数的多项式，所以它的特征根（特征值）一定是实数。
2. 对称矩阵可以对角化：对于任意一个对称矩阵A，存在一个正交矩阵P和一个对角矩阵D，使得P^TAP=D，其中D的对角元素是A的特征值。
这意味着对称矩阵可以由正交矩阵对角化，简化了对称矩阵的运算。
3. 对称矩阵的特征向量正交：对于一个对称矩阵A，如果x和y是A的两个特征向量，对应于不同的特征值λ和μ，那么x和y是正交的，即x·y=0。
对称矩阵在实际应用中有广泛的应用，例如在物理学、金融学、图像处理等领域，对称矩阵的性质使其能够简化计算过程，提高计算效率。
二、正交矩阵正交矩阵是指一个方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即A^T·A=AA^T=I，其中I是单位矩阵。
正交矩阵的一些性质如下：1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交：设A是一个n×n的正交矩阵，其中的每个列向量都是单位向量（长度为1），则任意两个不同的列向量都是正交的。
2. 正交矩阵保持向量长度不变：设A是一个正交矩阵，x是任意一个列向量，则有||Ax||_2=||x||_2，其中||x||_2表示向量x的二范数（Euclidean距离）。
3. 正交矩阵的行（列）向量构成标准正交基：设A是一个n×n的正交矩阵，其中的每个列向量都是单位向量，那么这些列向量就构成了n 维欧几里得空间（实数域下）中的一个标准正交基。
正交矩阵的性质
习题课 正交矩阵的性质
三、正交矩阵的特征根
1 在不同的教材上曾出现下面的命题 ①正交变换的特征根为1或－1； ②正交矩阵的实特征根为1或－1； ③正交矩阵的特征根的模等于1。
（5）
习题课 正交矩阵的性质
4 正交矩阵 A Rnn的三类特征根 ① n为偶数时， t 与 s 的奇偶性相同 ② n为奇数时，t 与s 的奇偶性相反，且至少有1个 特征根为1或－1。
习题课 正交矩阵的性质
5 n 维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况
注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根
习题课 正交矩阵的性质
3 正交矩阵的判定
1
A
(aij
)
(1, 2 ,,n)Fra bibliotek 2 n
Rnn
① A为正交矩阵 A' A1
②
A为正交矩阵
i ' j
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
③ A为正交矩阵
i
j
'
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
习题课 正交矩阵的性质
习题课 正交矩阵的性质
3 A为n维欧氏空间Vn (R)的线性变换， 1, 2 , , n 是一组
标准正交基，若 A(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A ， A Rnn
则
A是正交变换 A为正交矩阵
习题课 正交矩阵的性质
4 n维欧氏空间 Vn (R) 的正交变换的分类 ① A为第一类的(旋转)，若 A 1； ② A为第二类的，若 A 1。
线性代数第12讲
关于n维线性空间V(F)中向量在基B下的坐标 的概念, 是与Fn中向量关于基B的坐标概念是 完全类似的, 那里的主要结论: (i)向量在给定基下的坐标是唯一确定的; (ii)由基B1到基B2的过渡矩阵的概念以及过渡 矩阵是可逆的; (iii)基变换与坐标变换的公式, 即定理2. 在这里都是适用的.
即A的向量组{a1 , a 2 , ,a n } 为R 的一组标准正交基.
n
3 2013-7-10
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT; (iii) AT(即A-1)也是 正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵. 证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也是 正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基, (iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得AB也 是正交矩阵.
23 2013-7-10
具有上述对应关系的两个线性空间V(F)与Fn, 我们称它们是同构的. 上述对应关系表明, 研 究任何n维线性空间V(F), 都可以通过基和坐 标, 转化为研究n维向量空间Fn. 这样, 我们对 不同的n维线性空间就有了统一的研究方法, 统一到研究Fn, 因此, 通常把线性空间也称为 向量空间, 线性空间中的元素也称为向量.
17 2013-7-10
由于线性空间关于两种运算和Fn关于其线性 运算一样满足相同的8条规则和简单的性质, 因此, Fn中的向量的线性相关性的定义及有关 的基本结论也都适用于一般的线性空间V. 对 此, 不再重复叙述, 但要注意, 那里的向量 a,b,g, ..., 在这里是V中的元素, 那里的零向量 是这里的V的零元素.
正交矩阵概念
正交矩阵概念正交矩阵概念正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
本文将从定义、性质、构造和应用四个方面详细介绍正交矩阵的概念。
一、定义1.1 矩阵的定义在线性代数中，矩阵是由一组数排成若干行若干列的表格形式表示的数学对象。
一个$m\times n$的矩阵$A$可以写成如下形式：$$A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：(1) 所有列向量互相垂直；(2) 所有列向量模长为1。
即对于一个$n\times n$的矩阵$Q$，满足以下条件：$$Q^TQ=QQ^T=I_n$$其中$I_n$表示$n$阶单位矩阵。
二、性质2.1 正交矩阵的性质正交矩阵具有以下性质：(1) 正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且互相垂直；(2) 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵；(3) 正交矩阵的行列式为$\pm 1$，即$\det(Q)=\pm 1$；(4) 正交矩阵保持向量长度和角度不变，即对于任意向量$x$，有$\|Qx\|=\|x\|$且$\angle(Qx,Qy)=\angle(x,y)$。
2.2 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵如果$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，则它们的乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
证明：由于$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，所以有：$$Q^T=Q_2^TQ_1^T=(QQ)^T=I_n$$因此，乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
有关正交矩阵性质的探讨
在探讨性质之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义：设A 是欧几里得空间的线性变换，如果A保持内积，也就是说，对任意的，有A A ＝。
正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等。
●定义一：正交变换关于规范正交基的矩阵称为正交矩阵。
根据规范正交基的性质，我们可证得：矩阵是正交变换A关于规范正交基得矩阵得充分必要条件是。
由此可得：●定义二：满足的方阵为正交矩阵。
现在探讨正交矩阵的性质：一、正交矩阵与矩阵运算的关系：设，即有。
1)正交矩阵的和：令则，不是正交矩阵。
2)正交矩阵的积：∴为正交矩阵。
3)正交矩阵的逆和转置：由,故均为正交矩阵。
4)正交矩阵的伴随:，，∴为正交矩阵。
二、正交矩阵的特征：行列式：由。
其中行列式等于的称为第一类正交变换，行列式等于的称为第二类正交变换。
正交变换的特征值：欧几里得空间里正交变换的特征值为，证明如下：设A( )＝，则(A( ),A( ))且奇数维欧几里得空间的第一类正交变换，必以为特征值，偶数维欧几里得空间的第二类正交变换，必以为特征值。
正交矩阵显然是可逆的。
三、正交矩阵与特殊矩阵的关系：特征值全是实数的的正交矩阵必是对称矩阵。
证明如下：设是阶正交矩阵，且其特征值都是实数。
那么就可以看作是某个欧几里得空间上的正交变换A关于某个规范正交基的矩阵。
设是的任一特征值，是相应的特征向量。
令。
则是A的不变子空间：任取，则。
所以A＝( A＝(A A)＝( )=0。
因A是正交变换，所以特征值是非零实数，从而A＝0，即是A不变的。
A 仍是正交变换，且A 的特征值就是A的特征值，因此其特征值也都是实数。
对A 重复上述步骤的话，就能得到A的个实特征值以及相对应的个两两正交的特征向量。
将单位化即得得一个新的规范正交基。
而A在这一基下的矩阵实对角阵。
设是从旧的规范正交基到新的规范正交基的过渡矩阵，则。
由于也是正交矩阵，所以是对称矩阵。
任意阶实可逆方阵均可分解为，其中是正交矩阵，是下三角矩阵。
正交矩阵Word
正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =； 当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然 1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1A A A A-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知111()()AB B A B A AB ---'''===故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>， ,ji w w c d s s==，则称n 阶矩阵11ij c d i T dcj i j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质： 〈1〉ij T 是正交矩阵； 〈2〉设12(,,,)ij n T W u u u '= 则有 ,0,(,)i j k k u s u u w k i j ===≠；〈3〉用ij T 左乘任一矩阵A ，ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元 素（用ij T 右乘任一矩阵A ，A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c d s++==，故ij ij T T E '=，ij T 是正交矩阵.〈2〉由ij T 的定义知，用ij T 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j i i j j i j w w w wu dw cw s s =-+=-+= 所以ij T 左乘W ，使ij T W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量22ji i i j w w u cw dw s ss =+=+=不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ij n n A a ⨯=，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P PP P =；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P PP P =n E -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩阵.nE -1111n n⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1）由P 是正交矩阵和（1）式得E R S S S S R P P r r ='''=' 11 即 E R R =' （2）设 R =11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中，ii r >0(i =1,2,…n -1)则R R '=11122212nnnn r rr r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1n E P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当 （３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''=；<2>当1-=P 时， 12r P S S S '''=n E -.记(1,2,,)i i P S i r '==，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2 设()ij n m R A a A m A P O ⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P 是n阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得：定理2 设()ij n m A a A m ⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m 阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P P P E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩其中），（r i P i ,21=是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A PP P R R P P A O O ⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，<2>当1-=P 时，112r n R A PP P E O -⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，……，12m mm nm a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m m m n n nm a a a aa a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ij n m A a ⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,r P P P ，使1r R P P A O⎛⎫''= ⎪⎝⎭ （４） 且),,,(21r P P P P P E ='=21(,,,)r P P P '''12121r r rP P P P E P P P P -''''''''∴== （５）由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'==为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα为列向量构成矩阵()ij n m A a ⨯=；<２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E 就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法. 下面，我们通过实例说明此方法的应用.例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝0000001001⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,23T=100000000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=100001001021002⎛⎫ ⎪ -⎪ ⎪-⎪ ⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=1002100610022311110002222⎫-⎪⎪ ⎪-⎪-⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭则0011112222P ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪'= ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭，12121021002P ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭取100P ⎛⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，20P ⎛- - = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3P ⎛ = ⎪ ⎪⎝⎭则321,,P P P 就是由,,,,32ααα得到的3V 的一组标准正交基. (二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n 阶正交矩阵作成的集合，记为()n O ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群. (1)()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足： 1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3o ℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足： 1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈=； 2o st G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a ==；3o st G a G a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --==； 则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u ： G ⨯G →G ； 求逆运算 v ： G →G ； 是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群.〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ij a 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2nE ，也就是将A =()ij a 对应于2nE 的点111212122231(,,,,,,,,,,)n n nn a a a a a a a a .ℜ是点集2n E 的子集族，则2n E 和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2nE 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M 的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o )(,,n O C B A ∈∀ 由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o st O E n n ,)(∈∃ A AE A E O A n n n ==∈∀,)(3o st A A O A n ,,1)('=∃∈∀- E A A AA A A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：M M M ⨯→设(),()ij ij A a B b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M E π→，将矩阵A 映为它的第ij 个元素.合成映射1:ij m M M M E π⨯→→，将A 和B 的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ij mπ连续，投影映射ij π是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M 的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O 中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A -∀∈=.由于合成映射1()():ij n n f O O E π→→，将()n A O ∀∈映为1A -的第ij 个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*A A A '=，所以ji ji A a A=，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A ≠，所以ij f π为连续的，而投影映射ij π为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群. （2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析流形，且映射11212(,)g g g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点1112121231(,,,,,,)n n nn a a a a a a a α，M 可作为2n 维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素1112121231,,,,,,n n nn a a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M 的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M 中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2n E 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nij kjik j a bδ==∑ 1,i k n ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E → A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集 1(0)ik f - 1,i k n ≤≤ i k ≠ 1(1)ii f - 1i n ≤≤由于(1,)ik f i k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ij j a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A B X =和A B =Φ成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E →是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为 ()()n n SO S O =，()n SO S =Φ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.(三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k ==，k φ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k k n φ=满足1k k d τφφ=⎰. 〈2〉 杂化轨道的正交性0()k ld k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nki i i ni k c c c c ==+++∑=1.由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4CH 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2y p φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442x y z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 2222x yz s p p p A φφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a a a a +++=11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值) 因为是等性杂化轨道.222211213141a a a a === 222211121314a a a a +++=1 ∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴ 22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++= 22222223241()12a a a +++= 222324a a a == ∴ 取符合条件的 2212a =，2312a =，2412a = 32333411111022222a a a ⨯+++= 22322333243411022a a a a a a ⨯+++= 即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=- 3334a a =-取 3312a =，3412a =-42434411111022222a a a ⨯+++=42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-= 4212a ∴=- 4312a =- 4412a =-11112222111122221111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122x s p a a a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交矩阵. 根据等性杂化理论 2211211a a += ，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=22220,a a +=∴=A ⎫⎪⎪∴= sp ∴杂化轨道式为：122)x s p φφφ=+222)x s p φφφ=- (四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,b b b 是常数. 对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪'''''''''''''''==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵T A z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T ''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111现在取（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=（()r t ' ()r t '' ()r t '''） 来讨论， 而（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=-（()r t ' ()r t '' ()r t '''）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x zx x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x xa x x z z xa z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6） 因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x ax z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''''' 111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a y y x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ij ij a A =且由 1(,1,2,3)nji kj jk i A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z AAA y z ''++''''+21122221222311()z x AAAz x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.参考文献[1]张凯院 徐仲等编 《矩阵论》 西北工业大学出版社 2001.3 160~164页[2]赵成大等 《物质结构》 人民教育出版社 1982.9 219~226页 [3]熊金城编 《点集拓扑讲义》 高等教育出版社 1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等 《lie 群及其lie 代数》 高等教育出版社 1985.10 11，16~17页[5]丘维声 《有限群和紧群的表示论》 北京大学出版社 1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等 《正交矩阵的若干性质》 华东地质学院学报 2002.9 第25卷第31期 267~268页[7]刘钊南 《正交矩阵的作用》 湘潭师范学院学报 1987 11~16页 [8]刘国志 《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens 变换法》抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78~ 81页[9]张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学1996.3 9卷1期14~16页[10]陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》武汉科技大学学报2003.12 26卷4期424~426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
正交矩阵及其性质
定义 若A为正交矩阵，则线性变换 Y AX
y1
a11x1
ym am1x1
a1n xn amn xn
n
或 yi aij x j i 1, , m. j 1
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
解 a (x, y, z)T a1,a2 ,a 是标准正交组
a1a 0 a2a 0
a 1
1 3
(x
2
y
2
z)
0
1 (y - z) 0
2
x2 y2 z2 1
x 4 yz 1
18
18
a (- 4 , 1 , 1 )T
18 18 18
4.3 正交矩阵及其性质
1 2019/12/13
定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I,
就
称A为正交矩阵.(A-1=AT )
定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A
的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.
证设
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2
3 2019/12/13
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则:
(i) det A=1或-1;
(ii) A-1=AT（充要条件）;
(iii) AT(即A-1)也是正交矩阵;
(iv) AB也是正交矩阵.
证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立,
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定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵. 证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也 是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基, (iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵. 4
a1Ta n T a2 an
T an an
因此ATA=I的充分必要条件是 a iTa i (a i ,a i ) 1, i 1,2, , n;
且 a iTa j (a i ,a j ) 0,
n
j i, i, j 1,2, , n.
即A的向量组 {a1 ,a 2 , ,a n } 为R 的一组标准正交基 . 此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
4.3 正交矩阵及其性质
1 2018/1/4
定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I, 就 称A为正交矩阵.(A-1=AT ) 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设
a11 a21 A an1
a12 a22
an 2
2018/1/4
定理
方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
推论1
A是正交矩阵
A A
T
-1
A
T
是正交矩阵
方阵A的列向量构成 标准正交组
方阵A的行向量构成 标准正交组
5 2018/1/4
例
现有标准正交组 1 1 1 2 2 a 2 (0, ,) a1 ( , , ) 2 2 3 3 3 求三维向量 a 使得矩阵 (a1 , a 2 , a ) 为正交矩阵
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2018/1/4
解
a ( x, y, z)T
a1 ,a2 ,a
是标准正交组
a1a 0
a2a 0
x
a 1
4 18
1 3 ( x 2 y 2 z) 0 1 ( y - z) 0 2 x2 y 2 z 2 1
1 yz 18
4 1 1 T a (, , ) 18 18 18
6 2018/1/4
定义 若A为正交矩阵，则线性变换 Y AX
y1 a11 x1 y a x m1 1 m
n
a1n xn amn xn
或
yi aij x j i 1, , m.
j 1
称为正交变换。 定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
7 2018/1/4
为AX, AYRn, 则向量的内积 与长度及向量间的夹角都保持不变, 即 (AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|, {AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y =XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此 ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos AX , AY cos X , Y , | AX || AY | | X || Y |
a1n a2 n ann
按列分块为[a1,a2,...,an],
2 2018/1/4
于是
T a1 a T T A A 2 a1 ,a 2 , T a n
a1Ta1 a1Ta 2 a Ta a Ta 2 2 ,a n 2 1 T T a a a n a2 n 1