正交矩阵及其性质

4.3 正交矩阵及其性质
1 2018/1/4
定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I, 就 称A为正交矩阵.(A-1=AT ) 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设
a11 a21 A an1
a12 a22
an 2
a1Ta n T a2 an
T an an
因此ATA=I的充分必要条件是 a iTa i (a i ,a i ) 1, i 1,2, , n;
且 a iTa j (a i ,a j ) 0,
n
j i, i, j 1,2, , n.
即A的向量组 {a1 ,a 2 , ,a n } 为R 的一组标准正交基 . 此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
3 2018/1/4
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵. 证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也 是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基, (iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵. 4
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2018/1/4
解wenku.baidu.com
a ( x, y, z)T
a1 ,a2 ,a
是标准正交组
a1a 0
a2a 0
x
a 1
4 18
1 3 ( x 2 y 2 z) 0 1 ( y - z) 0 2 x2 y 2 z 2 1
1 yz 18
4 1 1 T a (, , ) 18 18 18
2018/1/4
定理
方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
推论1
A是正交矩阵

A A
T
-1
A
T
是正交矩阵
方阵A的列向量构成 标准正交组
方阵A的行向量构成 标准正交组
5 2018/1/4
例
现有标准正交组 1 1 1 2 2 a 2 (0, ,) a1 ( , , ) 2 2 3 3 3 求三维向量 a 使得矩阵 (a1 , a 2 , a ) 为正交矩阵
6 2018/1/4
定义 若A为正交矩阵，则线性变换 Y AX
y1 a11 x1 y a x m1 1 m
n
a1n xn amn xn
或
yi aij x j i 1, , m.
j 1
称为正交变换。 定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
a1n a2 n ann
按列分块为[a1,a2,...,an],
2 2018/1/4
于是
T a1 a T T A A 2 a1 ,a 2 , T a n
a1Ta1 a1Ta 2 a Ta a Ta 2 2 ,a n 2 1 T T a a a n a2 n 1
7 2018/1/4
也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩 阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积 与长度及向量间的夹角都保持不变, 即 (AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|, {AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y =XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此 ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos AX , AY cos X , Y , | AX || AY | | X || Y |