三角形旋转与折叠

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中考数学折叠,旋转问题专题含答案

【经典例题1】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC 折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（）A．6B．C．2D．4【解析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故选：A．练习1-3在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）【解析】（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．旋转类【经典例题2】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=45∘. 计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2，当点C1在线段CA的延长线上时。

三角形折叠问题解题技巧

三角形折叠问题解题技巧
三角形折叠问题是一种常见的几何问题，它的解题技巧也有很多种。

本文将介绍一些解决三角形折叠问题的技巧和方法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

1. 观察三角形的形状和特征
在解决三角形折叠问题时，首先需要观察三角形的形状和特征。

三角形的形状和大小不同，折叠方式也会有所不同。

如果三角形是等边三角形，那么可以通过将三角形对折来确定对称轴，从而确定折叠的方向和方式。

2. 利用对称性质
三角形具有对称性，这也是解决三角形折叠问题的重要技巧之一。

利用对称性质，可以确定三角形的对称轴，并通过对折或旋转来确定折叠方式。

3. 利用三角形的三边关系
在解决三角形折叠问题时，还可以利用三角形的三边关系。

例如，如果已知三角形的三边长度，可以通过计算三角形的面积来确定折叠后
的形状和大小。

4. 利用平行四边形的性质
在一些情况下，三角形折叠问题可以转化为平行四边形折叠问题。

例如，如果已知三角形的一条边平行于另一条边，那么可以将三角形折叠为一个平行四边形，并利用平行四边形的性质来解决问题。

5. 利用剪裁和组合
在解决三角形折叠问题时，还可以利用剪裁和组合的方法。

例如，可以将三角形剪裁成一个矩形和两个三角形，然后将其组合成一个更简单的形状，再对其进行折叠。

这种方法可以大大简化问题的难度和复杂度。

综上所述，解决三角形折叠问题需要观察三角形的形状和特征，利用对称性质和三角形的三边关系，以及利用剪裁和组合的方法。

通过掌握这些技巧和方法，读者可以更好地解决三角形折叠问题，并提高其几何解题能力。

三角形中的折叠

一：三角形中的折叠
问题1：有一直角三角形纸片，直角边
AC=8,BC=6,将直角边AC沿着直线AE折叠，使它落在斜边AB上与AD重合，
(1) 求CE的长度
A
(2)求折痕AE的长度
D
CE
B
问题2：有一直角三角形纸片，直角边
AC=8,BC=6,将直角边AB沿着直线AE折叠，使它与AD重合，
(1) 求BE的长度
A
(2)求折痕AE的长度
CEB D
问题3：有一直角三角形纸片，直角边
AC=8,BC=6,将三角形沿着直线DE折叠，使点A与点B重合，
(1) 求AE的长度
A
(2)求折痕DE的长度
D
E
C
B
问题4：有一直角三角形纸片，直角边
AC=8,BC=6,将直角边AC沿着直线AE折叠，使它落在斜边AB上与AD重合，
重合,则CONN的的长长为为______
DM
C
O
A
B N
折叠矩形ABCD,沿DG折叠使边AD
与对角线BD重合,若AB=2,BC=1,
求AG的长
D
C
A′
AG
B
在△ABC,∠A=90°,AB=AC ,D是
斜边BC的中点，DE⊥DF。
BE=8,CF=6
A
求△DEF E
的面积
M
F
B
D
C
△ABC,∠A=90°, AB=AC , D是斜边BC的中点, DE⊥DF。
求证：BE 2 CF 2 EF 2
A
EE FF
BB
DD
CC
C
A
DB
(1) 求AD的长度
A
(2)求折痕DE的长度

三角形折叠问题总结

三角形折叠问题总结引言三角形折叠问题是一个有趣且具有挑战性的数学问题。

它涉及到折叠一张纸使得两个已知点重合，这两个已知点可能位于纸的不同边上。

本文将全面、详细、完整且深入地探讨三角形折叠问题，并提供解决这个问题的方法和技巧。

二级标题1：问题描述三角形折叠问题可以简洁地描述为：给定一张纸和两个已知的点P和Q，如何将纸折叠，使得点P和点Q重合？二级标题2：解决方法解决三角形折叠问题的方法有很多，下面将介绍几种常用的方法。

三级标题1：正向折叠法正向折叠法是解决三角形折叠问题最直观且易于理解的方法之一。

它的基本思想是在纸上绘制一条连接点P和点Q的直线段，然后将纸沿着这条直线段折叠，使得点P和点Q重合。

这种方法简单明了，特别适用于简单的三角形折叠问题。

三级标题2：逆向折叠法逆向折叠法是一种更加高效的解决三角形折叠问题的方法。

它的基本思想是将纸上的点P和点Q重合，然后逆向还原折叠的过程，找到折叠纸的方法。

这种方法需要一定的推理和观察能力，适用于较为复杂的三角形折叠问题。

三级标题3：裁剪法裁剪法是解决三角形折叠问题的一种替代方法。

它的基本思想是将纸上的三角形裁剪下来，然后通过将裁剪得到的三角形进行旋转、平移等操作，最终将点P和点Q 重合。

这种方法可以通过适当选择裁剪的形状和位置，将复杂的三角形折叠问题简化为简单的几何操作。

二级标题3：解决技巧解决三角形折叠问题的过程中，有几个技巧是值得注意的。

三级标题1：观察几何关系观察几何关系是解决三角形折叠问题的关键。

通过观察纸上已知点和边之间的几何关系，可以帮助我们找到折叠纸的方法。

例如，当点P和点Q位于纸的两个不同边上时，我们可以找到一条边上的一点，使得与点P和点Q连线构成一个直角三角形，从而简化问题。

三级标题2：利用对称性利用纸的对称性是解决三角形折叠问题的另一个重要技巧。

通过利用纸的对称性，可以减少问题的复杂度，找到折叠纸的更简单方法。

例如，当纸是对称的，我们可以将问题简化为在一半大小的纸上折叠，然后通过对称操作得到整个纸的折叠方法。

(完整版)几何图形折叠问题

几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=A．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．335.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．712.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B．C．D．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.【探究篇】19.（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=12AB，EF=32，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC=2，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD\1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．故答案为：或．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，∴BC的长为3++．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E．∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．故答案为：5．故选B12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故选B．13. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O 中，点C 在优弧上，将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为，AB=4，则BC 的长是（）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∴AD=BD=AB=2，在Rt △OBD 中，OD=22(5)2 =1， ∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴=，∴AC=DC ， ∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22(5)1 ， ∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3．故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若=，则= ．【解答】解：连接GE ．∵点E 是CD 的中点，∴EC=DE ．∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，∴EF=DE ，∠BFE=90°．在Rt △EDG 和Rt △EFG 中，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC==，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴=，∴=，∴AM=，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=，，∴AE=，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长. 【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。

2022年九年级数学复习专题---图形的变换(平移、翻折、旋转)综合问题题

2022年中考数学复习专题---图形的变换（平移、翻折、旋转）综合题班级：___________姓名：___________学号：___________1．综合与实践问题情境：综合与实践课上，同学们以“三角形纸片的折叠与旋转“为主题展开数学活动，探究有关的数学问题．动手操作：已知：三角形纸片ABC 中，6120AB AC BC BAC ==∠=︒，，.将三角形纸片ABC 按如下步骤进行操作：第一步：如图1，折叠三角形纸片ABC ，使点C 与点A 重合，然后展开铺平，折痕分别交BC AC ，于点D E ，，连接AD ，易知AD CD =．第二步：在图1的基础上，将三角形纸片ABC 沿AD 剪开，得到ABD ∆和ACD ∆.保持ABD ∆的位置不变，将ACD ∆绕点D 逆时针旋转得到FDG ∆(点F G ，分别是A C ，的对应点)，旋转角为()0360αα︒<<︒问题解决：（1）如图2，小彬画出了旋转角0120α︒<<︒时的图形，设线段FG AC ，交于点P ，连接AG DP ，.小彬发现DP 所在直线始终垂直平分线段AG .请证明这一结论；（2）如图3，小颖画出了旋转角90α=︒时的图形，设直线AF 与直线CG 相交于点O ，连接CF 判断此时COF ∆的形状，说明理由；（3）在ACD ∆绕点D 逆时针旋转过程中，当FG BC ⊥时，请直接写出B F ，两点间的距离．2．如图，△ABC 中，已知∠C=90°，∠B=60°，点D 在边BC 上，过D 作DE ⊥AB 于E ．（1）连接AD ，取AD 的中点F ，连接CF ，EF ，判断△CEF 的形状，并说明理由（2）若．把△BED 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m=3．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，30AB ABD =∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现AEDF=_________．将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，连接,AE DF ，如图2所示，发现AEDF=_________．（2）小亮同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，连接,AE DF ，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立?并说明理由．拓展延伸：（3）在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，AE 的长为____________．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠．P 为边BC 上一动点，将DPB 沿着直线DP 翻折到DPE ，点E 恰好落在CDP 的外接圆O 上．（1）求证：D 是AB 的中点．（2）当60BDE ∠=︒，BP =DC 的长．（3）设线段DB 与O 交于点Q ，连结QC ，当QC 垂直于DPE 的一边时，求满足条件的所有QCB ∠的度数．5．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点,F E ，使OF=2OA ，OE 2OD =，连接EF ，将FOE ∆绕点O 按逆时针方向旋转角α得到F OE ''∆，连接,AE BF ''（如图2）．（1）探究AE '与BF '的数量关系，并给予证明；（2）当30α=︒时，求证：AOE '为直角三角形．6．如图，在△ABC 中，AB =∠B =45°，∠C =60°．（1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．7．如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN ，连结AM 、BD ．（1）AM与BD的关系是：________．（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．8．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．9．如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．(1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°；(2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．(3)已知线段AB＝BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．10．我们知道，直角坐标系是研究“数形结合”的重要工具．请探索研究下列问题：（1）如图1，点A 的坐标为（-5，1），将点A 绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点A '，若反比例函数(0)k y x x=>的图像经过点A '，求k 的值．（2）将（1）中的(0)ky x x =>的图像绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转45°，如图2，旋转后的图像与x 轴相交于点B ，若直线x =C 与点D ，求△BCD 的面积．（3）在（2）的情况下，半径为6的M 的圆心M 在x 轴上，如图3，若要使△BCD 完全在M 的内部，求M 的圆心M 横坐标xm 的范围（直接写出结果，不必写详细的解答过程）．11．对于平面直角坐标系xOy 中的点A 和点P ，若将点P 绕点A 逆时针旋转90︒后得到点Q ，则称点Q 为点P 关于点A 的“垂链点”，图1为点P 关于点A 的“垂链点”Q 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(0,0)，点P 关于点A 的“垂链点”为点Q ；①若点P 的坐标为(2,0)，则点Q 的坐标为________； ②若点Q 的坐标为(2,1)-，则点P 的坐标为________；（2）如图2，已知点C 的坐标为(1,0)，点D 在直线113y x =+上，若点D 关于点C 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D 的坐标；（3）如图3，已知图形G 是端点为(1,0)和(0,2)-的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M 为图形G 上的动点，点N 为图形H 上的动点，若存在点(0,)T t ，使得点M 关于点T 的“垂链点”恰为点N ，请直接写出t 的取值范围．12．如图，正比例函数y ＝12x 与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点A ，将正比例函数y ＝12x 向上平移6个单位，交y 轴于点C ，交反比例函数图象于点B ，已知AO ＝2BC ．（1）求反比例函数解析式；（2）作直线AB ，将直线AB 向下平移p 个单位，恰与反比例函数图象有唯一交点，求p 的值．13．综合与实践：问题情境：（1）如图，点E 是正方形ABCD 边CD 上的一点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①线段BE 和BF 的数量关系是______．②写出线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系．并说明理由；操作探究：（2）在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边CD 所在直线上的－点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①如图，点E 在线段DC 上时，请探究线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若2==，直接写出线段FM和AGDE DC a的长度．14．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝4．固定△ABC不动，将△DEF 进行如下操作：(1)操作发现如图①，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，那么它的面积大小是否变化呢?如果不变化，请求出其面积．(2)猜想论证如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)拓展探究如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求sinα翻折问题姓名：___________班级：___________学号：___________1．如图将矩形纸片ABCD 沿AE 翻折，使点B 落在线段DC 上，对应的点为F ．（1）求证：EFC DAF ∠=∠；（2）若3tan 4AE EFC =∠=，求AB 的长．2．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2,AD 是BC 边上的中线，将A 点翻折与点D 重合，得到折痕EF ，求:CE AE 的值.3．如图，点A ，M ，N 在O 上，将MN 沿MN 折叠后，与AM 交于点B ．（1）若70MAN ∠=︒，则ANB ∠=________°；（2）如图1，点B 恰好是翻折所得MN 的中点， ①若MA MN =，求AMN ∠的度数；②若tan MAN ∠=tan AMN ∠的值；（3）如图2，若222AB BN MN +=，求MBAB的值．4．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝m ，点E 是边BC 上一点，BE ＝1，连接AE ，沿AE 翻折△ABE 使点B 落在点F 处．（1）连接CF ，若CF ∥AE ，求m 的值；（2）连接DF ，若65≤DF ，求m 的取值范围．5．如图1，一张矩形纸ABCD ，ABa AD=，点,E F 分别在边,CD AB 上，且AE EF =，把ADE 沿AE 翻折得到AGE ．（1）如图1，若1AD =．（Ⅰ）当AD DE =时，AFE ∠=_____度；（Ⅱ）当//AG EF 时，求AF 的长度．（2）若直线EG 与边AB 交于点H ，当2AH FH =时，求a 的最小值．6．如图，在折纸游戏中，正方形ABCD 沿着BE ，BF 将BC ，AB 翻折，使A ，C 两点恰好落在点P ．（1）求证：45EBF ∠=︒．（2）如图，过点P 作//MN BC ，交BF 于点Q ． ①若5BM =，且10MP PN ⋅=，求正方形折纸的面积． ②若12QP BC =，求AM BM的值．7．如图，在ABC 中，12,120AC BC ACB ==∠=︒，点D 是AB 边上一点，连接CD ，以CD 为边作等边CDE △．（1）如图1，若45CDB ∠=︒，求等边CDE △的边长；（2）如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接,CF DF ，过点D 作DG AC ⊥于点G ． ①求证：CFDF ．②如图3，将CFD 沿CF 翻折得CFD '，连接BD '，求出BD '的最小值．8．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 是边BC 上一动点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点为点B '．（1）如图，设BE x =，BC =E 从B 点运动到C 点的过程中． ①AB CB ''+最小值是______，此时x =______； ②点B '的运动路径长为．（2）如图，设35BE a =，当点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上时，求a 的值．9．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CD 边的垂直平分线EH 交BD 于点E ，连接AE ，CE ．（1）过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，求证：AF BF =；（2）如图2，将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △．①求证：'//BE CE ；②若'//AE BC ，1OE =，求CE 的长度．10．如图，矩形ABCD 中，已知6AB =．8BC =，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ．将ABE △沿直线AE 翻折，点B 的对应点为点B '，延长AB '交直线CD 于点M ．（1）如图1，若点B '恰好落在对角线AC 上，求BE CE的值．（2）如图2．当点E 为BC 的中点时，求DM 之长．（3）若32BE CE =，求sin DAB '∠．11．【基础巩固】（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△．【尝试应用】（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AE AF的值．【拓展提高】（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．12．如图，在ABC 中，60B ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AB CE =．（1）如图1，将ABD △沿AD 翻折到AFD ，AF 交CE 于点G ，探索线段AB 、AG 、CG 之间有何等量关系，并加以证明；（2）如图2，H 为直线BC 上任意一点，连接AH ，将AH 绕点A 逆时针旋转60°到AH '，连接CH '，若BD =，求CH '的最小值．13．如图，在矩形ABCD 中，12BC AB =，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ，沿GF 将四边形AFGD 翻折至四边形EFGP ，点E 落在BC 上，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O（1）GF 与AE 之间的位置关系是：______，GF AE 的值是：______，请证明你的结论；（2）连接CP ，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长14．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP ∆，形成如下四种情形，设DP x =，ADP ∆和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP ∆后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？15．如图1，ABC 中，AB AC =，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，连接DE 、DC ，DE 交AC 于点G ，且DE DC =．（1）找出一个与BDE ∠相等的角；（2）若AB =mAD ，求DG GE的值（用含m 的式子表示）；（3）如图2，将ABC 沿BC 翻折，若点A 的对应点A '恰好落在DE 的延长线上，求BE EC的值．16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，连接AD．（1）如图1，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当时，求AE的值．（2）如图2，在AC上取一点E，使得CE=13AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF=CF．。

盘点三角形折叠中的一次折叠问题

盘点三角形折叠中的一次折叠问题50.牛P.7擞,7(2ol1年第5期?初中版)?复习参考?盘点三角形折叠中的一次折叠问题312300浙江华维外语学校徐骏近年来三角形折叠类问题频频出现,成为中考命题的高频热点.这类问题涉及知识面广,往往与相似,函数,方程等知识融为一体,主要考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力.解决这类问题的关键是要抓住折叠前后图形的对称关系,灵活运用轴对称的性质.本文以近几年中考题为例,归纳其类型与解法,供参考.1求角度例1(2010年东阳)如图1,D是AB边上的中点,将AABC沿过D的直线折叠,使点A落在BC上,处,若LB:50.,则LBDF:度.F图1C解析由折叠可知FD=AD,又AD:BD,所以FD=BD,则LBFD=LB=50.,故BDF:180.一曰一日FD=80..例2(2010年泉州)如图2所示,在折纸活动中,小明制作了一张AABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将AABC沿着DE折叠压平,A与A重合,若厶4=7O.,则l+2:A.140oB.130~C110oD.70~图2图3解析连接AA(如图3),由折叠可知AE=AE,则LF_AA:F_AA,又1=LEAA+EAA.所以1=2/_EAA.同理/_2=2LDAA,则1+2=2(¨+DAA)=2BAC=140..故选2求三角函数值例3(2008年泰安)直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将AABC如图4那样折叠,使点与点曰重合,折痕为DE,则tanCBE的值是囝4A.等B.迎3c.247D.÷解析由折叠可知肥:旭设c.:,贝ⅡBE=8一.在RtABCE中,BE2=曰c+CE,即(8一)2=6+2,三解得=7,则tanc船==4=7.故选C.例4(2009年泰安)如图5,在RtAABC中,/_ACB:;,\90.,厶<B,AABC的中,,,,M线CM将ACMA折叠,使点A落在点D处,若CD恰好与MB垂直,则tanA的值为——.解析由折叠可知LACM=DCM.C图5D因为CM是RtAABC中斜边AB上的中线,所以AM=CM=BM,则A:LACM=/_DCM=÷x90.:30..J所以tanA:tan30.:拿.j3求点到直线的距离例5(2oo9年上海)在Rt△加C中,/_BAC=90.,AB=3,M为边BC上的点,连接AM(如图6).如果将复习参考?中.毒幺??(2Oil年第5期?初中版)△4BM沿直线AM翻折后,点8恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是.解析由折叠可知A431=BAM=45.,/_AA,:,A,A:Ac=BA=3.故AC=6.过点M作MD_LAC(如图7图7),则AADM为等腰直角三角形.设MD=,贝ⅡAD:,CD:6一.由MD∥AB,可得ACDM,~△CAB,则:,即=詈,解得:2,即点M到AC的距离是2.4求周长例6(2008年徐州)如图8,RtAABC中,/_B:90.,AB=3cm,AC=5cm,将AABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,则△A船的周长等于cnLBEC解析在RtAABC中,BC:图8~/c2一:4.由折叠可知c=AE.所以AABE的周长=AB+BE+AE=AB+(BE4-CE):AB+BC=7cm.例7(2oo9年衢州)在AABC中,AB:12,AC:10,BC:9,AD是BC边上的高.将AABC按如图9所示的方式折叠,使点A与点D重合,折痕为,则ADEF的周长为/|.BDCBDtA)C图9A.9.5B.10.5C.11D.15.5解析由折叠可知DE=AE,DF=AF.由DE:AE,得￡EAD="M.嘻/EAD七EBo:=90o上E【}A/_EDB=90o,所以EBD=EDB,则BE=DE:,:6.同理CF=DF=AF:5,从而可得EF足L\ABC的中位线,则肼:BC=4.5.所以ADEF的周长=DE+肼+D'=6+._:.5+5=15.5.10分沿处部=5=.-——11落为4,故选D.,,例8(2009年河北)如图./\A△BAcCAADEE别是,上的点,将一L△r直线DE折叠,点A落在点A,,且点A在AABC外部.则阴影图10分图形的周长为cm.'解析由折叠可知AD=AD,AE=AE.则阴影部分图形的周长=BD+AD+C十AE+CE (BD+AD)+c+(A+cE)=AB+曰C+AC=3cm.求线段的长角形与AABC相似,那么BF的长度是解析由AB=AC,得=C由折叠可知F=BF.设F:,贝ⅡF=,FC:4一.若以点B,F,C为顶点的三角形与AABC相似,则FBC=B或/FBC:A.当/__FBC=,即Z.FBC=C时,FB:FC,贝U:4一,解得=2.当/FB'C:时,BF//'AB,可得△FC'~AABC,则=,即{一:,解得:.所以,BF的-K度是2或等.例10(2010年扬州)如图l2,在RtAABC中,C=90.,AC=8,BC=6,按图中所示方法将ABCD沿BD折叠,使点C落在边AB上的点C处,则折痕BD的长为二二,,52十?7歆??(2011年第5期?初中版)?复习参考?解析由折叠可知BC=BC=6.CD=CD.在RtAABC中,AB=~/A—C2+—BC2:10.AC,:AB—BC,=4.DC图12设CD=,贝0CD:,AD:8一.在RtAACD中,AD=AC+CD.艮口(8一)=4+,解得=3,辰pCD=3.在RtaBCD中,BD==3.例11(2010年绵阳)如图l3,一副三角板拼在一起,0为AD的中点,AB:a.将AABO沿BO对折于AABO,M为BC上一动点,则A'M的最小值为——.D8J'\'E45"U//C图l3图14D解析过A作A上BC于(如图14),此时垂线段AJIlf的长度即为A吖的最小值.议OABD于点E,连授AC,易让0,A,C二点哭线. 在RtAABD中,AB=口,A=60.,~tJAD=2a,BD=,OE=曰;.由折叠可知OA=OA=÷AD=a.在RtABCD中,BD:,LBDC=45.,则CE=÷肋=cu-45.,tV~A'c=OE+CE—OA=.每…a.在RtAA,CM中,A,c:亟口,LA,CM:45.,所=,c一n,即,的最小值为.6求点的坐标例12(2009年天津)已知一个直角三角形纸片OAB,其中/_AOB=90.,0A=2,OB=4.如图l5,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.(1)若折叠后使点曰与点A重合,求点C的坐标;-B\,DA图15(2)若折叠后点落在边OA上的点为,设OB=,OC=y,试写出关于的函数解析式,并确定y的取值范围;(3)若折叠后点日落在边OA上的点为,且使B"D//OB,求此时点C的坐标.解析(1)设OC=,如图16,由折叠可知AC:BC=4一.在RtAAOC中,AC=OC+OA,t~p(4一)=.+2.,解得=÷二所以,点C的坐标为(0,J,'\BCDAj图16(2)如图l7,由折叠可知BC=BC=4一y.在RtABOC中,BC2=OC+OB",即(4一,,):y+,所以y=一+2(O--<≤2)?因为当0≤--<2时,Y随的增大而减小,所以Y的取值范围为÷--<y--<2..y'BC'DA】图17',,,,CDB"A图l8复习参考?中'7歆??(2ol1年第5期?初中版)53 (3)如图18,由折叠西]知咄D=CBD.因为BD∥OB,所以OCB=/CB"D=CBD,~1]tan/_OCB"=tan/_CBD,即OB"=OA=1,故OC=20B".设"=,由(2)知OC=一1+2,从而可得一1+2=2,解得-=一8+4,:一8-4(不合题意,舍去),此时OC=8一16,所以点C的坐标为(0,8一16).7求面积例13(2010年广西)如示)图19含S的式子表解析由折叠可知Sa踟:|s△脚,DF=DB=3+一1=2+√3,F=/B:60.,又/FNM=/_AND,所以FMN=/ADN=90..在RtAADN中,AD=l,A=60.,则DN=.在RtANMF中,』vF=DF—DN=2,F=60., 则:1,:,S△:,所以重叠部分的面积为sDFE—S咐P=s啪一sMF=S一43.例l4(2009年恩施)如图2O,在ZXABC中,A:9O.,日C=10,/XABC的面积为25,D是AB上的动点(不与,B重合),过D点作DE∥BC交AC于点E,以DE为折线将AADE翻折(使AADE的平面内).令DE=.C图20落在四边形DBCE所在(1)用含的代数式表示△ADE的面积S;(2)在动点D的运动过程中,记△ADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为Y,试写出y关于的函数解析式,并求为何值时,Y的值最大,最大值是多少?解析(1)由DE∥Bc,得△ADE"AABC,则=(黔即=(所以S:DE=5△^胞:IL(O<<10).(2)随点D的运动,当A点落在直线BC上时,连接AA,交DE于点(如图21),则DE垂直平分A4.ZaADg"ZXABC,得器==,即孟=÷,=5.故以下分两种情况讨论:①当0<≤5时,,,=s雎=12.所以当=5时,y最大:÷×5=孕.,②当5<<10时,设AD,AA,AE分另Ⅱ交BC于M,F,N(如图22).易得肌=C图2l埘::挲:争,2则AA=2AH=,A:一5.~zxa'删AABC,得=/aV!即=(字)删.s删,故),=S~A,DEs:12一(x-5)=一}+10x-25=一3(一)+莩.所以当=时,满足5<<10,',矗大=2_.5 综上所述,当=时,y的值最大,最大值是莩.。

三角形的折叠问题

三角形的折叠问题嘿，同学们！今天咱们来聊聊三角形的折叠问题，这可有意思啦！记得有一次，我在教室里给学生们讲三角形的折叠问题，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这三角形折来折去的，到底有啥用啊？”我一听，乐了，这问题问得还挺实在。

咱们先来说说三角形折叠问题为啥重要。

你想想看，咱们生活里好多东西都跟三角形有关系呢！就比如说，咱们折纸飞机的时候，那纸飞机的翅膀是不是有点像三角形？有时候你折一折，就能让它飞得更远更稳。

这三角形一折叠，里面的角度、边长可都有变化，这里面的学问大着呢！比如说，一个等边三角形，咱们沿着一条高给它对折。

那折痕就把三角形分成了两个直角三角形。

原来等边三角形的每个角都是 60 度，这一折，其中一个角变成了 90 度，另外两个角就变成了 30 度。

这角度的变化可有意思啦！再说说边长。

假如一个等腰三角形，腰长是 5 厘米，底边长是 6 厘米。

咱们把它沿着对称轴折叠，那重合的部分对应的边长可就相等啦。

如果让你求折叠后某个线段的长度，你就得好好想想原来三角形的边长关系。

有时候做这种题啊，就像是在玩一个解谜游戏。

你得仔细观察图形，找出那些隐藏的条件。

比如说，有个题里，给了你一个三角形折叠后的图形，其中一个角标了度数，但是另一个关键的角没标。

这时候你就得想想，折叠前后角度的关系，说不定就能找到答案。

我还记得有一次，我们班组织了一个数学活动，就是让大家自己动手折三角形，然后根据折叠的情况来计算一些数据。

有个小组特别厉害，他们折了一个不规则的三角形，然后通过仔细测量和计算，把所有的边长和角度都算得特别准。

总之呢，三角形的折叠问题虽然看起来有点复杂，但只要咱们多动手、多思考，就一定能把它拿下！就像咱们解决生活中的其他难题一样，只要有耐心、有方法，啥都不是事儿！同学们，加油吧，让我们一起在三角形的折叠世界里畅游，发现更多的乐趣和奥秘！。

初二数学下册：勾股定理处理折叠的三种模型

初二数学下册：勾股定理处理折叠的三种模型01模型一：折叠构造直角三角形折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。

例题1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．分析：先通过勾股定理求出线段AB的长度，将直角边AC沿直线AD 对折，使它落在斜边AB上，得到AE=AC=6。

求线段CD的长度，可设CD=x，那么DE=CD=x，再表示出线段DB的长度，求出线段BE，利用勾股定理得到关于x的方程。

解：∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB=10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=DE，AE=AC=6，∴BE=10-6=4，设DE=CD=x，BD=8-x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD^2=DE^2+BE^2，即（8-x）^2=x^2+4^2，解得x=3．即CD的长为3cm．02模型二：折叠构造全等三角形例题2：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，DB交OA于点E．（1）求证：OE=BE；（2）求△OEB的面积.分析：（1）通过折叠可知：OC=OD，∠D=∠OCB=90°，由于四边形OABC为矩形可得：OC=AB，∠BAO=90°，那么∠D=∠BAO=90°，再加上对顶角∠BEA、∠OED相等，通过“AAS”判定两个三角形全等；（2）可设OE=BE=x，然后表示出线段AE的长度为4-x，在直角三角形ABE中，通过勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，然后利用三角形的面积公式求出三角形OEB的面积。

2020-中考数学几何变形题归类辅导专题04 折叠问题(解析版)

【2019年中考数学几何变形题归类辅导】专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明见解答．【分析】（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．【解答】解：（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，∴B'E=B'F，∴AF=AB'+B'F，即DF+BE=AF；（3）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB=∠EAD，∵∠BAE=∠B'AE，∴∠B'AE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAE，∴∠AGD=∠GAF，∴GF=AF，∴BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∴∠BAM=∠FAD，AF=AM ∵ΔABE≌AB'E∴∠BAE=∠EAB′，∴∠MAE=∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM=∠DAE，∴∠MAE=∠AEM，∴ME=MA=AF，∴BE﹣DF=AF．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC 使点C 与点A 重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC 沿折痕DE 展开，然后将△DEC 绕点D 逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C 的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC 交于点M(点M 不与点A 重合)，与边AB交于点N，线段DG 与边AC 交于点P.数学思考：（1）求DC 的长；（2）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，试判断MF 与ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC 时，求AM 的长；②如图3，当GF 经过点B 时，AM 的长为③当△DEC 绕点D 旋转至DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线GF，并直接写出AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）【答案】(1) DC＝5;(2)相等，理由见解析；（3）①AM＝3；②AM＝74；③AM＝10 3√5【分析】（1）理由勾股定理求出BC即可解决问题．（2）结论：MF=ME．证明Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可解决问题．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．由KM∥CH，推出AK AH =AMAC，求出AK，AH即可解决问题．②证明BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，根据BM2=AB2+AM2，构建方程即可解决问题．③尺规作图如图4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4-1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可．【解答】解：（1）如图1中，∵DE⊥AC，∴∠DEC=∠A=90°，∴DE∥AB，∵AE=EC，∴BD=DC，在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=8，∴BC=√AB2+BC2=√62+82=10，∴CD=12BC=5．下载后可编辑可打印（2）结论：MF=ME．理由：如图1中，连接DM，∵∠DFM=∠DEM=90°，DM=DM，DF=DE，∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），∴MF=ME．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．易知AH=AB⋅ACBC =245，四边形DFKH是矩形，∴DF=KH=3，∴AK=AH-KH=95，∵KM∥CH，∴AKAH =AMAC，∴95245=AM8，∴AM=3．②如图3中，∵DG=DB=DC，∴∠G=∠DBG，∵∠G=∠C ， ∴∠MBC=∠C ，∴BM=MC ，设BM=MC=x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2=AB 2+AM 2， ∴62+（8-x ）2=x 2， ∴x=254∴AM=AC-CM=8-254=74．故答案为74.③尺规作图如图4-1所示．作DR 平分∠CDF ，在DR 上截取DG=DC ，分别以D ，G 为圆心，DE ，CE 为半径画弧，两弧交于点F ，△DFG 即为所求．如图4-1中，连接DM ，设DG 交AC 于T ，作TH ⊥CD 于H ，作DK 平分∠CDG 交TH 于K ，作KJ ⊥DG 于J ．易证△DEM ≌△DHK （AAS ），推出EM=HK ，只要求出HK 即可． ∵TE ⊥DE ，TH ⊥DC ，DG 平分∠CDE ，∴TE=TH ，设TE=TH=x ，在Rt △TCH 中，x 2+22=（4-x ）2， ∴x=32，∴DT =√32+(32)2=32√5，∵DK 平分∠CDT ，KJ ⊥DT ，KH ⊥CD ， ∴KJ=KH ，设KJ=KH=y ，在Rt △KTJ 中，y 2+(32√5−3)2=(32−y)2∴y =3√5−6， ∴EM=3√5−6∴AM =AE −EM =4−(3√5−6)=10−3√5．2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF 的值．【答案】（1）52；（2）①四边形AE M F 为菱形；②4√109；（3）32．【分析】试题分析：（1）先利用折叠的性质得到EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，则S △AEF ≌S △DEF ，则易得S △ABC =4S △AEF ，再证明Rt △AEF ∽Rt △ABC ，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE 的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF 为菱形；②连结AM 交EF 于点O ，如图②，设AE=x ，则EM=x ，CE=4﹣x ，先证明△CME ∽△CBA 得到==，解出x 后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM ，然后根据菱形的面积公式计算EF ；（3）如图③，作FH ⊥BC 于H ，先证明△NCE ∽△NFH ，利用相似比得到FH ：NH=4：7，设FH=4x ，NH=7x ，则CH=7x ﹣1，BH=3﹣（7x ﹣1）=4﹣7x ，再证明△BFH ∽△BAC ，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH 和BH ，接着利用勾股定理计算出BF ，从而得到AF 的长，于是可计算出的值．【解答】（1）如图①，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA，∴==，即==，解得x=，CM=，在Rt△ACM中，AM===，∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，∴EF=2×=；（4）如图③，作FH⊥BC于H，∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，在Rt△BFH中，BF==2，∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，∴=．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【解答】（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴，∴，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，∴（负根已经舍弃），∴．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴，∴，即∴PC=1． 4．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝7，点P 是边AC 上不与点A 、C 重合的一点，作PD ∥BC 交AB 边于点D ．（1）如图1，将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ，作AE ∥PD ．求证：AE ＝ED ；（2）将△APD 绕点A 顺时针旋转，得到△AP 'D '，点P 、D 的对应点分别为点P '、D '，①如图2，当点D '在△ABC 内部时，连接P ′C 和D 'B ，求证：△AP 'C ∽△AD 'B ；②如果AP ：PC ＝5：1，连接DD '，且DD '＝√2AD ，那么请直接写出点D '到直线BC 的距离．【答案】(1)见解析；（2）①见解析；②点D '到直线BC 的距离为176或536【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD ＝∠ADP ＝∠ADP '，即可得AE ＝DE ；（2）①由题意可证△APD ∽△ACB ，可得AP AC =AD AB ，由旋转的性质可得AP ＝AP '，AD ＝AD '，∠PAD ＝∠P 'AD '，即∠P 'AC ＝∠D 'AB ，，则△AP 'C ∽△AD 'B ；②分点D '在直线BC 的下方和点D '在直线BC 的上方AP′AC =AD′AB 两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD ＝356，通过证明△AMD '≌△DPA ，可得AM ＝PD ＝356，即可求点D '到直线BC 的距离．【解答】证明：（1）∵将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ，∴∠ADP '＝∠ADP ，∵AE ∥PD ，∴∠EAD ＝∠ADP ，∴∠EAD ＝∠ADP '，∴AE ＝DE（2）①∵DP ∥BC ，∴△APD ∽△ACB ，∴AP AC =AD AB ，∵旋转，∴AP ＝AP '，AD ＝AD '，∠PAD ＝∠P 'AD '，∴∠P 'AC ＝∠D 'AB ，AP′AC =AD′AB ，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴APAC =PDBC=56，∵BC＝7，∴PD＝356，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝12D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝DFAD ＝12D′DAD=√22ADAD√22，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝356，∵CM＝AM﹣AC＝356﹣3，∴CM＝176，∴点D'到直线BC的距离为176若点D'在直线BC的上方，如图，过点D'作D'M⊥AC，交CA的延长线于点M，同理可证：△AMD '≌△DPA ， ∴AM ＝PD ＝356，∵CM ＝AC +AM ，∴CM ＝3+356＝356，∴点D '到直线BC 的距离为356综上所述：点D '到直线BC 的距离为176或536；。

布符三角形的折叠方法

布符三角形的折叠方法布符三角形是一种非常有趣的折纸艺术，它由三个相等的正方形组成，通过特定的折叠方式将它们转化成一个三角形。

下面将介绍如何通过简单的步骤来完成布符三角形的折叠。

材料准备首先，我们需要准备一些必要的材料，包括：1. 三张相等大小的正方形纸片。

这些纸片可以使用普通的打印纸或者颜色不同、质地不同的彩色纸制作。

2. 一支笔或者铅笔。

这支笔用来标记折叠线和方向。

3. 一条直尺。

这条直尺用来帮助我们画出精确的折叠线。

步骤一：画出基本图案首先，我们需要在每张正方形纸片上画出基本图案。

具体步骤如下：1. 将每张纸片放在桌子上，确保它们都是正方形，并且边长相等。

2. 在第一张纸片上画出一个正方形，并且将其分成四个小正方形。

具体方法是：从左上角开始，沿着边缘向右、向下分别划分两条平行线，然后再沿着这两条平行线分别向下、向右画出两条垂直线，最后就可以将整个正方形分成四个小正方形了。

3. 在第二张纸片上也画出一个相同的正方形，并且将其分成四个小正方形。

同样是从左上角开始，沿着边缘向右、向下分别划分两条平行线，然后再沿着这两条平行线分别向下、向右画出两条垂直线。

4. 在第三张纸片上也画出一个相同的正方形，并且将其分成四个小正方形。

同样是从左上角开始，沿着边缘向右、向下分别划分两条平行线，然后再沿着这两条平行线分别向下、向右画出两条垂直线。

步骤二：折叠基本图案接下来，我们需要按照一定的顺序对每张纸片进行折叠。

具体步骤如下：1. 将第一张纸片对折成一个长方形，并且将其展开。

2. 将第一张纸片沿着中心横线对折，并且将其展开。

3. 将第一张纸片沿着中心竖线对折，并且将其展开。

4. 将第二张纸片对折成一个长方形，并且将其展开。

5. 将第二张纸片沿着中心横线对折，并且将其展开。

6. 将第二张纸片沿着中心竖线对折，并且将其展开。

7. 将第三张纸片对折成一个长方形，并且将其展开。

8. 将第三张纸片沿着中心横线对折，并且将其展开。

二次函数中三角形折叠问题

二次函数中三角形折叠问题三角形折叠问题在二次函数中的探讨在二次函数的研究中，我们经常遇到三角形折叠问题。

这个问题涉及到如何将一个平面上的三角形通过折叠变换成一个新的形状。

我们需要定义一个二次函数，该函数描述了我们要折叠的三角形的形状。

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，并且a≠0。

我们以一个具体的例子来说明这个问题。

假设我们要折叠的三角形的顶点坐标分别为（x1, y1）、（x2, y2）、（x3, y3）。

根据这些坐标点，我们可以得到对应的二次函数。

我们需要找到这个二次函数的顶点。

顶点的x坐标可以通过求解二次函数的一阶导数等于零得到。

当一阶导数为零时，函数取得极值，这个极值就是顶点的横坐标。

然后，将这个横坐标代入二次函数，可以得到顶点的纵坐标。

得到顶点之后，我们可以对二次函数进行平移、旋转和缩放等变换操作，从而将三角形折叠成我们期望的形状。

这些变换可以通过调整二次函数的参数来实现。

具体来说，平移可以通过调整常数项c来实现。

旋转可以通过调整二次函数的导数项b来实现。

缩放可以通过调整二次函数的系数a来实现。

当我们完成这些变换后，我们就得到了折叠后的三角形的形状。

可以通过求解这个新形状的顶点坐标来获得折叠后三角形的具体信息。

二次函数可以帮助我们探讨三角形折叠问题。

通过定义二次函数并对其进行变换，我们可以将一个三角形折叠成我们期望的形状。

这个问题在数学研究和实际应用中有重要的意义，例如在计算机图形学中的三维建模和动画制作中都会涉及到三角形的变换和折叠。

相似三角形折叠旋转

相似三角形折叠旋转在初中数学的学习中，相似三角形是一个重要的知识点，而其中涉及到折叠和旋转的问题更是让许多同学感到困惑。

但别担心，今天咱们就来好好捋一捋相似三角形折叠旋转的那些事儿。

先来说说折叠。

当一个三角形被折叠时，会产生一些相等的线段和角。

比如说，沿着某条直线折叠后，对应点重合，那么这条折痕就是对应点连线的垂直平分线。

而且，折叠前后的图形是全等的，对应边相等，对应角也相等。

那折叠和相似三角形有什么关系呢？咱们来看一个例子。

有一个三角形 ABC，沿着某条直线折叠后得到三角形 A'B'C'，假设折叠后的三角形与原三角形相似。

那么，我们就可以利用相似三角形的性质来求解一些未知的量。

比如说，如果知道了原三角形的边长和角度，以及相似比，就能通过比例关系求出折叠后三角形的边长和角度。

再说说旋转。

三角形的旋转是指将三角形绕着一个定点按照一定的方向旋转一定的角度。

在旋转过程中，三角形的形状和大小都不会改变，只是位置发生了变化。

当相似三角形与旋转结合在一起时，问题可能会变得更加复杂，但也有一定的规律可循。

比如，一个三角形 ABC 绕着点 O 旋转一定角度得到三角形 A'B'C'，如果这两个三角形相似，那么我们同样可以利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等的性质来解决问题。

为了更好地理解相似三角形的折叠和旋转，咱们来做几道例题。

例 1：在三角形 ABC 中，∠A ＝ 90°，AB ＝ 6，AC ＝ 8。

将三角形 ABC 沿着斜边 BC 的中线 AD 折叠，使点 C 落在点 C'处。

求 AC'的长。

解：因为 AD 是斜边 BC 的中线，所以 BD ＝ DC。

根据勾股定理，BC ＝√（AB²＋ AC²) ＝√（6²＋ 8²) ＝ 10，所以BD ＝ DC ＝ 5。

因为折叠前后的三角形全等，所以 AC' ＝ AC ＝ 8。

三角形面积公式分解只折叠法

三角形面积公式分解只折叠法咱都知道，数学这玩意儿有时候挺让人头疼的，但要是找着了窍门，那可就有意思多啦！今天咱就来说说三角形面积公式，特别是用折叠法来分解它，保准让您眼前一亮！我记得有一次，我去表弟家给他辅导功课。

表弟正为三角形面积的问题抓耳挠腮，那小模样可着急了。

我就跟他说：“别慌，咱们一起来用折叠法搞定它！”咱们先拿一张纸，剪出一个三角形。

就像这样，随便一个三角形都行。

然后呢，咱们把这个三角形对折。

您瞧，对折之后，是不是就把这个三角形分成了两个完全一样的部分？这时候，神奇的事情就来啦！如果咱们把这两个部分再沿着中间对折一次，您就会发现，这个三角形好像被我们分成了好多小块。

那这跟三角形的面积公式有啥关系呢？您别急，听我慢慢说。

咱们知道三角形的面积公式是：面积＝底×高÷2 。

那为啥要除以 2 呢？通过咱们刚才的折叠就能明白啦！您想啊，咱们把一个三角形通过折叠，变成了和它完全一样的两个部分。

这就相当于，一个大三角形是由两个完全一样的小三角形组成的。

那算面积的时候，不就得把算出的整个的面积除以 2 ，才是一个三角形的面积嘛。

就好比说，有一块大蛋糕，切成了完全一样的两块，那其中一块的大小不就是整个蛋糕的一半嘛。

再比如说，咱去买东西，一个大包装里有两个一样的小物件，那算单个物件价格的时候，不就得把大包装的总价除以 2 嘛。

所以啊，通过这个折叠法，咱们就能特别直观地理解为啥三角形面积公式里要除以 2 啦。

表弟听我这么一讲，眼睛一下子亮了，兴奋地说：“原来是这样啊，这下我可懂啦！”您看，这折叠法是不是特别有趣又有用？以后再遇到三角形面积的问题，咱们就可以想想这个折叠的过程，保证不会出错！总之，数学里的这些小窍门就像是一把把神奇的钥匙，能帮咱们轻松打开知识的大门。

只要咱们多动手、多思考，那些看似复杂的公式定理，也能变得简单易懂！希望您也能通过这种有趣的折叠法，把三角形面积公式掌握得牢牢的！。

三角形折角模型结论和证明

三角形折角模型结论和证明1. 引言三角形是几何学中最基础的图形之一，其性质和定理在数学中占据重要地位。

本文将重点研究三角形折角模型的结论和证明，通过详细的推导和论证，揭示三角形折角模型的几何特性和数学原理。

2. 结论1：三角形内角和为180度在三角形ABC中，我们可以得出一个重要结论：三角形内角和为180度。

这一结论是由欧几里得几何学的基本公理和角度定义推导而来。

我们可以通过如下步骤证明这一结论：我们可以将三角形ABC的一条边AB延长，得到一条直线l。

然后，我们在直线l上任取一点D，使得AD与BC相交于点E。

根据角的定义，我们可以得知∠BAC与∠EAD是相等的。

接下来，我们通过两个三角形的对应角的相等关系进行推导。

根据三角形ABC和三角形AED，我们可以得到∠BAC=∠EAD，∠ABC=∠AED，以及∠CAB=∠DAE。

由于∠BAC与∠EAD相等，那么∠ABC与∠AED也必然相等。

根据直线l的性质，我们知道∠ABC与∠AED是同旁内角，它们的和等于两个内角和，即∠ABC+∠AED=180度。

由于∠ABC与∠AED相等，所以它们的和等于2∠ABC=180度。

因此，我们可以得出结论：三角形ABC的内角和为180度。

3. 结论2：三角形外角等于其对应内角之和在三角形ABC中，我们可以得出另一个重要结论：三角形的外角等于其对应内角之和。

这一结论可以通过如下推导得到：我们以三角形ABC的一条边AB为基准，构造其外角BAD。

然后，我们延长边BC，得到一条直线l。

在直线l上任取一点D，使得AD与BC相交于点E。

根据角的定义，我们可以得知∠BAD与∠DAE是相等的。

接下来，我们通过两个三角形的对应角的相等关系进行推导。

根据三角形ABC和三角形AED，我们可以得到∠ABC=∠AED，以及∠CAB=∠DAE。

由于∠ABC与∠AED相等，所以它们的和等于2∠ABC。

根据直线l的性质，我们知道∠ABC与∠AED是同旁外角，它们的和等于两个外角和，即∠ABC+∠AED=180度。

全等三角形-和--折叠问题

学生姓名龚家兴年级八年级授课时间 2014年8月12日教师姓名韦富星课时 2全等三角形知识点：全等三角形的概念1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

注意:两个图形是否为全等形，关键是看两个图形的形状是否相同，大小是否相等，而与图形所在的位置无关；判断两个图形是否是全等形，只要把它们叠在在一起，看是否完全重合；一个图形经过平移、翻折、旋转等变换后，所得到的图形与原图形全等。

2、全等三角形、对应顶点、对应边、对应角的定义1.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“≅”表示，读作“全等于”2. 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

（注意：在记两个三角形全等时，通常要把表示对应顶点的字母写在相应的位置上）全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的中线相等、对应角的平分线相等、对应边上的高相等三角形全等的判定1、三条边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS ”)2、边角边定理（SAS ）：两边及夹角对应相等的两个三角形全等。

345或“HL ”（重点）基础题:1. 如图所示根据SAS ，如果AB=AC ， = ，即可判定∆≌ACE ∆，并且∠=∠BDC 。

2. 如图要证明ACB ABC ∠=∠，可通过∆ ≌∆ 来得出，外，再需要 = 即可。

3.下列说法不正确的是（）A．形状相同的两个图形是全等形 B.大小不同的两个图形不是全等形C. 形状、大小都相同的两个图形是全等形D.能够完全重合的两个图形是全等形4.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )A、3个B、2个C、1个D、0个【能力提升】1 已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BEABDCE122（1）在△ABC中, AB = AC, AD和CE是高,它们所在的直线相交于H.若∠BAC = 45°（如图①）,求证：AH = 2BD; （2）若∠BAC = 135°（如图2）,上面（1）中的结论是否还能成立？请在图2中画出图形并证明你的结论。