高二数学11月月考试题 (2)
2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市四校联考高二上学期11月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市四校联考高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知向量(2,3,1),(2,0,3),a b =-=则()a a b ⋅+=（ ） A ．21 B ．－21 C ．20 D ．－20【答案】A【解析】先求a b +的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求数量积. 【详解】()4,3,4a b +=-，所以()()()24331421a a b ⋅+=⨯+-⨯-+⨯=. 故选：A2．圆()2224x y -+=与圆()()22219x y +++=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．相离【答案】C【解析】计算出两圆的圆心距离，比较与半径之和、半径之差的大小关系即可得解. 【详解】由题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，圆()()22219x y +++=的圆心为()2,1--，半径为3，因为两圆心的距离d ==3232d -<<+，所以两圆相交. 故选：C.3．已知椭圆C ：22194x y +=的左右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且118AF BF +=，则AB =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】利用椭圆的定义得到 114AF BF AB a ++=，再根据118AF BF +=求解. 【详解】由椭圆22:194x y C +=知：a =3， 由椭圆的定义得：121226,26AF AF a BF BF a +==+==，所以11412AF BF AB a ++==， 又因为118AF BF +=， 所以AB 4=， 故选：A 4．“14a =”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先根据直线平行的充要条件求出a ，然后可得. 【详解】若14a =，则1:240l x y +-=，2:220l x y +-=，显然平行； 若直线12l l ∥，则2(21)a a a -=-且()2a a --≠，即14a =. 故“14a =”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的充要条件. 故选：C5．已知a ，b 为空间向量，若已知a b a b ==+，则,a b =（ ） A ．3π B ．2π C ．56π D ．23π 【答案】D【分析】根据向量的模的公式与夹角公式计算求解即可.【详解】解：因为a b a b ==+，平方可得222222a b a b a b a b ==+=++⋅，所以22ba b ⋅=-，所以2212cos ,2ba b a b a b b-⋅===-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=． 故选：D6．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，01112,2,3,60AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（ ）A ．12B 2C 3D ．0【答案】D【分析】设1,,AB A b c a D AA ===，利用空间向量的线性运算结合空间向量数量积的定义，得到11BC CA ⊥，从而得到答案．【详解】解：设1,,AB A b c a D AA ===， 则111BC BC CC AD AA b c =+=+=+，111CA CA AA CB BA AA a b c =+=++=--+，则2211()()BC CA b c a b c a b b b c a c b c c ⋅=+⋅--+=-⋅-+⋅-⋅-⋅+22112222332439022=-⨯⨯--⨯⨯+=---+=所以11BC CA ⊥，则1BC 与1CA 所成角为90︒，所以1BC 与1CA 所成角的余弦值为0． 故选：D ．7．已知1F ，2F 是双曲线22221(00)x y E a b ab-=>>：，的左，右焦点，点M 在E 上，2MF 垂直于x 轴，121sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）A 3B 2C ．2D ．32【答案】B【分析】在21Rt MF F △中，设2MF x =，根据已知可得13MF x =，2122F F x =. 结合双曲线的定义即可求得x 与a 的关系，进而求得离心率.【详解】由已知可得，21Rt MF F △中，21213s n 1i F MF M F MF ∠==. 设2MF x =()0x >，则13MF x =，22212122F M M x F F F =-=.根据双曲线的定义可知，122MF MF a -=，即22x a =，x a =，12222F F c a ==. 所以，2c a =，2ce a==.故选：B.8．过抛物线22y px =焦点F 的直线，与抛物线交于A 、B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212y y x x = （ ） A ．-4 B ．4C ．4pD ．-4p【答案】A【解析】设直线AB 的方程为2pmy x =-，与抛物线方程联立，化为2220y pmy p --=，利用根与系数的关系即可得出【详解】解：设直线AB 的方程为2pmy x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立222p my x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 消去x 化为2220y pmy p --=，所以21212,2y y p y y pm =-+=，所以2212121212()()()2224p p mp p x x my my m y y y y =++=+++ 22222244mp p p p m mp =-+⨯+=，所以21221244y y p px x -==-， 故选：A【点睛】结论点睛：此题考查抛物线的焦点弦问题，焦点弦有如下常用的结论 设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则（1）2212124p x x y y p ==-；（2）弦长1222sin pAB x x p α=++=（α是直线AB 的倾斜角）； （3）112FA FB p+=二、多选题9．已知空间向量(1,2,1),(3,2,1)=-=--a b ，则（ ） A ．||6a = B ．a b ∥C ．a b ⊥D ．()10+⋅=a b b【答案】AC【分析】根据向量模的计算公式可判断A;看向量,a b 是否有倍数关系可判断B;根据数量积的计算，看a b ⋅是否为零，可判断C ；根据向量的运算结果，可判断D.【详解】因为||1(=+-=a ，所以A 正确； 因为不存在λ使λa b ，所以B 不正确；因为132(2)(1)(1)0⋅=⨯+⨯-+-⨯-=a b ，所以a b ⊥，所以C 正确；因为(4,0,2)+=-a b ，所以()430(2)(2)(1)14+⋅=⨯+⨯-+-⨯-=a b b ，所以D 不正确, 故选：AC.10．已知点(1,3)M -，直线:20l x my --=和圆22:(1)1C x y -+=，则（ ） A ．点M 在圆C 外 B ．直线l 过定点(2,0)C ．直线l 与圆C 相交D ．点M 到直线l 【答案】ABD【分析】根据给定条件求出直线l 过的定点、圆C 的圆心和半径，再逐一分析各选项判断作答. 【详解】直线:20l x my --=恒过定点(2,0)A ，圆22:(1)1C x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1r =，对于A ，||3MC r >，则点M 在圆C 外，A 正确； 对于B ，直线l 过定点(2,0)，B 正确；对于C ，因||1AC r ==，即点(2,0)A 在圆C 上，直线l 与圆C 相交或相切，C 不正确；对于D ，点M 到直线l距离d === 当且仅当3m =-时取“=”，即点M 到直线lD 正确. 故选：ABD11．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：221(1)5x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．CC ．圆D 在C 的内部 D ．|PQ |【答案】BC【分析】根据椭圆方程直接判断A 、B 的正误，判断圆心与椭圆左焦点的距离及圆心横坐标对应椭圆点与圆心的距离，与圆的半径长度关系判断C 的正误，要使||PQ 最小，保证P 、Q 、D共线，即min min ||||PQ PD =设(,)P m n 应用两点距离公式及椭圆方程求||PD 最小值，即可判断D 的正误. 【详解】由椭圆方程知：1,a b c ===故焦距为2c =故A 错误；C的离心率c e a ==，故B 正确；由圆D 的方程知：圆心(1,0)D -1>=1x -的点到D的距离为||y =>D 在C 的内部，故C 正确； 设(,)P m n ，则2216m n =-，而222225564||(1)22()6655PD m n m m m =++=++=++，又m ≤可知min ||PD =min min ||||PQ PD ==D 错误. 故选：BC12．若方程221cos sin x y θθ+=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭,所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ） A ．曲线C 可以表示圆 B ．若曲线C 是椭圆，则02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,C ．曲线C 不可能表示直线D ．若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则C 为双曲线【答案】ACD【解析】当4πθ=时，化简方程可判断出A 正确；曲线C 是椭圆，则cos 0sin 0cos sin θθθθ>⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解出θ可判断B不正确；由0,,22πππθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 0θ≠，sin 0θ≠，可判断出C 正确；若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0,sin 0θθ<>，可判断出D 正确．【详解】当4πθ=时，方程221cos sin x y θθ+=，化为2222x y +=，表示圆，所以A 正确； 曲线C 是椭圆，则cos 0sin 0cos sin θθθθ>⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得0,,44ππθπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 不正确；由0,,22πππθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 0θ≠，sin 0θ≠，所以曲线C 不可能表示直线，所以C 正确；若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0,sin 0θθ<>，C 为双曲线，所以D 正确；故选：ACD三、填空题13．如图，正方形ABCD 的边长为3，则AB AC ⋅=__________________.【答案】9【分析】在正方形中确定向量的模以及夹角，再根据数量积的定义进行计算即可. 【详解】解析：正方形ABCD 的边长为3，则AC 长为32 向量,AB AC 的夹角为4π， 故2||||cos 332942AB AC AB AC π⋅=⋅=⨯⨯=， 故答案为：9.14．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为________．【答案】62【分析】建立空间直角坐标系，按照空间中两点的距离公式求解即可.【详解】解析：以D 为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，可得()21,1,2,1,2,2E F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以20,1,EF ⎛= ⎝⎭，所以EF ＝22261()2+-所以|EF |＝62615．已知线段AB 的端点B 的坐标是(3,4)，端点A 在圆22(2)(1)2x y ++-=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是_________. 【答案】22(21)(25)2x y -+-=【解析】设出A 和M 的坐标，由中点坐标公式把A 的坐标用M 的坐标表示，然后代入圆的方程即可得到答案.【详解】设()11,A x y ，线段AB 的中点M 为(,)x y . 则113242x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即112324x x y y =-⎧⎨=-⎩①. ∵端点A 在圆22(2)(1)2x y ++-=上运动， ∴()()2211212x y ++-=.把①代入得：22(21)(25)2x y -+-=.∴线段AB 的中点M 的轨迹方程是22(21)(25)2x y -+-=. 故答案为22(21)(25)2x y -+-=.四、双空题16．已知直线:4360l x y -+=，抛物线C ：24y x =上一动点P 到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为______，P 到直线l 距离的最小值为______． 【答案】 134##0.75 【分析】将P 到y 轴距离转化为P 到准线的距离减1，再由抛物线的定义转化为PF ，再由点到直线的距离求解即可；先求出平行于直线l 且与抛物线相切的直线方程，再由两平行线间的距离求解即可.【详解】设抛物线C ：24y x =上的点P 到直线:4360l x y -+=的距离为1d ，到准线的距离为2d ，到y 轴的距离为3d ，由抛物线方程可得：焦点F 的坐标为()1,0，准线方程为=1x -，则321d d =-，2PF d =，因此1312111d d d d d PF +=+-=+-，因为1d PF +的最小值是焦点F 到直线:4360l x y -+=的距离，()2246243+=+-，所以1311d d d PF +=+-的最小值为211-=；设平行于直线l 且与抛物线C ：24y x =相切的直线方程为430x y m -+=，由24304x y m y x-+=⎧⎨=⎩，得230y y m -+=，因为直线430x y m -+=与抛物线C ：24y x =相切，所以()2340m ∆=--=，解得94m =，因此该切线的方程为94304x y -+=，所以两平行线间的距离为()229634443-=+-，即P 到直线l 距离的最小值为34．故答案为：1；34.五、解答题17．已知直线12:310:240++=⋅-+=l x y l x y 和圆22:22230C x y x y +---=，设1l 与2l 的交点为P ，直线2l 与圆C 的交点为A ，B ，求： (1)点P 的坐标； (2)线段AB 的长. 【答案】(1)(1,2)- (2)45【分析】（1）两直线方程联立方程组可解得交点坐标； （2）求出圆心到直线2l 的距离，用勾股定理计算弦长．【详解】（1）由310,240,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =-⎧⎨=⎩所以点P 的坐标为(1,2)-；（2）因为圆C 的方程可化为22(1)(1)25x y -+-=， 所以圆C 的圆心坐标为(1,1)C ，半径为=5r ， 所以圆心C 到直线2l 的距离为|2114|55⨯-+==d ， 所以22||245=-=AB r d .18．已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C - （1）求以,AB AC 为边的平行四边形的面积;（2）若向量a 分别与,AB AC 垂直，且|a |=3，求a 的坐标. 【答案】（1）73；（2）()1,1,1a =或()1,1,1--- 【详解】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴||=,||=,cos ∠BAC==,∴∠BAC =60°, ∴S=||·||sin ∠BAC =7. (2)设向量a =(x,y,z ),则由a ·=0, a ·=0,| a |=,得 ∴或∴a =(1,1,1)或(-1,-1,-1). 【点睛】本题主要考查向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示以及向量夹交余弦公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行;（2）两向量垂直.19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>经过1(0,1),3,2⎫⎪⎭ （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:10l x y --=交椭圆E 于不同两点,,A B O 是坐标原点，求OAB 的面积.【答案】(1)2214x y +=；(2)45． 【分析】(1)将两点坐标代入椭圆方程中，求出,a b 的值，可求出椭圆的方程；(2)直线l 方程与椭圆方程联立，消去x ，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标12,y y ，设直线:10l x y --=与x 轴交于点P ，利用1212S OP y y =-进行求解． 【详解】(1)由题意得: 22213114b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩, 解得: 2,1a b == 即轨迹E 的方程为2214x y += (2)记()()1122,,,A x y B x y ，AB 的方程为1x y =+由22441x y x y ⎧+=⎨=+⎩消去x 得25230y y +-=， 所以1231,5y y =-= 设直线l 与x 轴交于点1,0P12118412255S OP y y =-=⨯⨯=20．如图，在四棱锥E ABCD -中，BE ⊥底面ABCD ，BC AD ∥，AB AD ⊥，1AB BC ==，3AD BE ==.(1)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值；(2)求平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值.【答案】2 346【分析】（1）由向量法即可求得异面直线的夹角余弦值；（2）由向量法即可求得面面角的夹角余弦值.【详解】（1）因为BE ⊥底面ABCD ，,BA BC ⊂底面ABCD ，所以BE BA ⊥，BE BC ⊥，且AB AD ⊥，BC AD ∥，所以BA BC ⊥，以B 为坐标原点，分别以,,BE BA BC 为.,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0A ，()0,0,1C ，()3,0,0E ，()0,1,3D ，则()3,1,0AE =-，()0,1,2CD =， 所以2cos ,105AE CD ==⨯ 故异面直线AE 与CD 2（2）()3,0,1CE =-，设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =，则00n CE n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020x z y z -=⎧⎨+=⎩， 令1x =，得()1,6,3n =-.易知()0,0,1m =是平面ABE 的一个法向量， 因为3346cos ,4646m n ==， 所以平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值为34646. 21．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，11,,AA AB AC AB AC M ===⊥，N 分别是棱 1,CC BC 的中点，点P 在线段11A B 上.(1)当直线PN 与平面111A B C 所成角最大时，求线段1A P 的长度；(2)是否存在这样的点P ，使平面PMN 与平面1AC C 6若存在，试确定点P 的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)12(2)存在， A 1P =14【分析】（1）作出线面角，因为对边为定值，所以邻边最小时线面角最大；（2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角列方程可得.【详解】（1）直线PN 与平面A 1B 1C 1所成的角即为直线PN 与平面ABC 所成角，过P 作PH AB H ⊥于,PNH ∠即PN 与面ABC 所成的角，因为PH 为定值，所以当NH 最小时线面角最大，因为当P 为中点时，NH AB ⊥,此时NH 最小，即PN 与平面ABC 所成角最大，此时112A P =.（2）以AB ,AC ,AA 1为x ,y ,z 轴建立空间坐标系，则：A （0,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),A 1(0,0,1)设111(1,0,0)A P A B λλ===00λ（，，）(,0,1)P λ∴，111001222N M （，，），（，，）， 11111122222NP NM λ=--=-（，，），（，，），设平面PMN 的法向量为,,)n x y z =（， 则00NP n NM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即110220x y z x y z λ⎧⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-++=⎩，解得1(3,21,22)n λλ=+-， 平面AC 1C 的法向量为2(1,0,0)n =121222126cos ,98458414n n n n n n λλλλ⋅====+-+-+,21168104λλλ∴-+==，. 所以P 点为A 1B 1的四等分点，且A 1P =14. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为1F ､2F ，离心率为12，过2F 的直线l 交C 于A ､B 两点，若1AF B △的周长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆上存在两点关于直线4y x m =+对称，求m 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）m <<【解析】（1）依题意可得14AF B a C =，即可求出a ，再根据椭圆的离心率求出c ，最后根据,,a b c 的关系求出b ，即可求出椭圆方程；（2）设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为14y x t =-+，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由0∆>求出t 的取值范围，再由AB 的中点在直线4y x m =+上，即可得到m 与t 的关系，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）1AF B △周长为8，即48a =，2a ∴=.又因为12e =，1c ∴=，b =椭圆方程22143x y C +=：， （2）设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为14y x t =-+，由2214143y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 有：2213816480x tx t -+-= 由22(8)413(1648)0.t t ∆=--⨯⨯->得213,4t <① 又1212128124,()213413t t x x y y x x t +=+=-++= 因为AB 的中点在直线4y x m =+上，所以1212422y y x x m ++=+，即12441313t t m =⨯+ 所以1340m t +=②，由①②得：2413m <，即m <<【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
数学-高二年级第二次月考数学试题
王淦昌高级中学2022-2023学年第二学期高二年级第二次月考数学试题2023．5（考试时间：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设,a b 均为非零实数且a b <，则下列结论正确的是()A ．11a b > B ．22a b < C ．2211a b<D ．33a b <2．25()x x -的展开式中含5x 项的系数为 （） A ． 1-B ． 5-C ． 1D ． 53．命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是 （ ）A ． 4a ≥B ．4a ≤C ． 5a ≥D ． 5a ≤4．袁隆平院士是我国的杂交水稻之父，他一生致力于杂交水稻的研究，为解决中国人民的温饱和保障国家粮食安全作出了重大贡献．某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，带二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表示：（注：亲代是产生后一代生物的生物，对后代生物来说是亲代，所产生的后一代交子代）通过上面四组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程是ˆˆ4.4yx a =+，预测第五代杂交水稻每穗的总粒数为 （ ） A ．211 B ．212C ．213D ．2145． 某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c 近似服从2(90,)N σ，()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为 （ ） A ． 5B ． 10C ． 15D ． 306． 某校拟从5名班主任及5名班长(3男2女)中选派1名班主任和3名班长去参加“党史主题活动”， 要求2名女班长中至少有1人参加，则不同的安排方案有（ ）种． A ． 9B ． 15C ． 60D ． 457． 现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为12，甲队接发球赢球的概率为35，在比分为24∶24平且甲队发球的情况下，甲队以27∶25赢下比赛的概率为（ ）A ．18B ．320C ．310D ．7208． 设函数,(),x xx af x e x x a ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 1a ≤B ． 1a <C ． 1a e ≤D ． 1a e<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9． 已知a ，b ∈R ，0,0a b >>，且2a b +=，则下列说法正确的为 （ ） A ．ab 的最小值为1 B ．22log log 0a b +≤C ． 224a b +≥D ． 1222a b+≥10． 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是 （ ） A ． 如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种B ． 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ． 甲乙不相邻的排法种数为72种D ． 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11． 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则 （ ） A ．()0.054P B = B ．()20.03P A B = C ．()10.06P B A = D ．()259P A B = 12．已知函数()()2ln f x x ax x a R =--∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若1a =-，则()f x 是1(0,)2上的减函数 B ．若01a ≤≤，则()f x 有两个零点 C ．若1a =，则()0f x ≥D ．若1a >，则曲线()y f x =上存在相异两点M ，N 处的切线平行 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________．14．命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______．15．某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．（用数字作答） 16．已知x >1，y <0，且3y (1－x )＝x ＋8，则x －3y 的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分10分)已知集合{}|132A x m x m =-≤≤-，不等式411x ≥+的解集为B ． （1）当3m =时，求AB ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：3．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项．19．(本小题满分12分)从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同． （1）若抽取后又放回，抽3次．①分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率； ②求抽到红球次数η的数学期望及方差．（2）若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数ξ的分布列．20．(本小题满分12分)某校成立了生物兴趣小组，该兴趣小组为了探究一定范围内的温度x 与豇豆种子发芽数y该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中任选5组数据建立y 关于x 的线性回归方程，并用该方程对剩下的2组数据进行检验．（1）若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．21．(本小题满分12分)疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有3个红球、7个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供A 、B 两种活动规则：规则A ：顾客一次性从袋子中摸出3个球，如果3个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的3个球中有2个红球，则获得价值200元的优惠券；如果摸出的3个球中有1个红球，则获得价值100元的优惠券；如果摸出的3个球中没有红球，则不享受优惠．规则B ：顾客分3次从袋子中摸球，每次摸出1只球记下颜色后放回，按照3次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则A 相同．（1）某顾客计划消费300元，若选择规则A 参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望； （2）若顾客计划消费300元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数2()ln (12)1f x x mx m x =-+-+． （1）若1m =，求()f x 的极值；（2）若对任意0x >，()0f x ≤恒成立，求整数m 的最小值．。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
高二数学下学期第二次月考试题 理含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。
2022-2023学年河北省唐县第一中学高二上学期11月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河北省唐县第一中学高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有（ ） A ．24种 B ．81种 C ．64种 D ．32种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理计算可得；【详解】三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，对于任意1名同学均有4种不同的选法，故不同的选法有3464=种； 故选：C2．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 3．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<= A ．12p B ．1p - C ．12p -D ．12p -【答案】D【详解】分析：由题可知，正态曲线关于0ξ=对称，根据(1)P p ξ>=，即可求出(10)P ξ-<< 详解：随机变量ξ服从正态分布()0,1N∴正态曲线关于0ξ=对称(1)P p ξ>=∴ 1(10)2P p ξ-<<=- 故选D.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性. 4．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量()0Y aX b a b a ∈>R ＝＋，，，且()10E Y =，()4D Y =，则a 与b 的值分别为( )A ．10a =，3b = B ．3a =，10b = C ．5a =，6b = D ．6a =，5b =【答案】C【分析】根据分布列概率的性质可计算出m ，根据平均数和方差的计算即可计算a 、b . 【详解】由随机变量X 的分布列可知，10.20.8m =-=．∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()()()2200.80.210.80.80.20.80.16D X =-⨯+-⨯=⨯=．∴()()10E Y aE X b =+=，()()24D Y a D X ==，∴0.810a b +=，20.164a =，又0a >，解得5a =，6b =﹒ 故选：C ．5．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( ) A ．310 B ．13C ．38D ．29【答案】B【详解】事件A ：“第一次拿到白球”，B ：“第二拿到红球”，则P(A)＝210＝15，P(AB)＝210·39＝115，故P(B|A)＝()()P AB P A ＝13. 6．已知()01223344414729n n n n n n n n C C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=，则123n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．64B ．32C ．63D ．31【答案】C【解析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值,进而由二项式系数和求得123nn n n n C C C C +++⋅⋅⋅+的值.【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知()()0122334441414n n n n n n n n nC C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=- 所以()6147293n -== 解得6n =所以12360622163n n n n n n C C C C C +++⋅⋅⋅+=-=-=故选:C【点睛】本题考查了二项式定理展开式的逆运用,二项式系数和的应用,属于基础题.7．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为（ ） A ．0.85 B ．0.65 C ．0.145 D ．0.075【答案】C【详解】设A 1＝“他乘火车来”，A 2＝“他乘船来”，A 3＝“他乘汽车来”，A 4＝“他乘飞机来”，B ＝“他迟到”.则Ω＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4，且A 1，A 2，A 3，A 4两两互斥，由全概率公式得P (B )＝(Ai )·P (B |Ai )＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.8．把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为( ) A ．240 B ．144 C ．196 D ．288【答案】B【分析】将6张票按照要求分给4个人，是有2人各得两张，另外2人各得1张票.再将2张具有连续的编号的票的情况求出后可计算出答案.【详解】由题4人分6张票，则有2人各得两张，且具有连续的编号的票，另外2人各得1张票．2张具有连续的编号的票的情况有12和34；12和45；12和56；23和45；23和56；34和56共6种情况．所以不同的分法种数是446A 144=．故选：B二、多选题9．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．0【答案】AD【解析】求出圆心坐标后，利用点到直线的距离公式列式可解得结果. 【详解】因为圆22240x y x y +--=的圆心为(1,2)，所以圆心(1,2)到直线0x y a -+=的距离为|12|2211a -+=+，所以0a =或2a =. 故选：AD【点睛】关键点点睛：掌握点到直线的距离公式是解题关键.10．已知椭圆E ：22194x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，若12F PF △是直角三角形，则12F PF △的面积可能为（ ） A ．5 B ．4 C ．453D ．253【答案】BC【分析】根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，求出1PF 的长，再由面积公式即可求面积，当12PF PF ⊥时，结合122PF PF a +=，()222122PF PF c +=求出12PF PF ⋅，再由面积公式即可求面积.【详解】由22194x y +=可得3a =，2b =，所以22945c a b =-=-=， 根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，将5x =-代入22194x y+=可得43y =±， 如图：12225F F c ==，143PF =，所以12F PF △的面积为144525233⨯⨯=，当12PF PF ⊥时，由椭圆的定义可知：1226PF PF a +==，由勾股定理可得()22212220PF PF c +==， 因为()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅， 所以1220362PF PF =-⋅，解得：128PF PF ⋅=， 此时12F PF △的面积为12142PF PF ⋅=，综上所述：12F PF △的面积为445故选：BC.11．已知椭圆2222x y a b +=1与椭圆222516x y +=1有相同的长轴，椭圆2222x y a b +=1的短轴长与椭圆22219y x +=1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（ ） A ．a 2=25，b 2=16B ．a 2=9，b 2=25C ．a 2=25，b 2=9或a 2=9，b 2=25D ．a 2=25，b 2=9【答案】ABC【解析】由椭圆22221x y a b +=与椭圆2212516x y +=有相同的长轴可确定椭圆22221x y a b +=的焦点位置且225a =，然后再结合条件可得到29b =，进而可得答案．【详解】椭圆2212516x y +=的长轴长为10，椭圆221219y x +=的短轴长为6，由题意可知椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，即有5a =，3b =.故只有D 对故选：ABC【点睛】本题考查椭圆中基本量的判定，解题的关键是掌握椭圆标准方程的特征，特别是注意焦点在标准方程中大的分母对应的变量所在的轴上，属于基础题．12．已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，则（ ） A ．两圆有两条公切线 B ．PQ 垂直平分线段OM C ．直线PQ 的方程为240x y +-=D ．线段PQ 的长为455【答案】ACD【解析】根据圆O 和圆M 的位置关系判断A ；数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减判断C ；先求得圆心O 到直线PQ 的距离，再利用弦长公式求解判断D.【详解】对于A ：因为圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；对于B ：数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，故错误；对于C ：圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减得：240x y +-=，所以直线PQ 的方程为240x y +-=，故正确； 对于D:圆心O 到直线PQ 的距离为：445541d ==+，所以线段PQ 的长为22224545||222()55PQ r d =-=-=，故正确； 故选：ACD.三、填空题13．椭圆2212x y +=的焦距长为__________．【答案】2【分析】根据椭圆方程求出c ，进而可求出结果.【详解】因为椭圆2212x y +=中22a =，21b =，所以2221c a b =-=，所以焦距为22c =. 故答案为2【点睛】本题主要考查椭圆的焦距，熟记椭圆的性质即可，属于基础题型. 14．双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===15．已知P 是圆22:2410C x y x y +-+-=外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为,,A B 则PA PB ⋅的最小值为____________.【答案】18【分析】先将圆的方程化为标准方程，由此确定出圆的半径，设PC d =，根据长度表示出cos APB ∠，然后根据向量的数量积计算公式求解PA PB ⋅，结合基本不等式求解出PA PB ⋅的最小值.【详解】圆C 的标准方程为()2212)6(x y -++=，则圆C ，设PC d =，则PA PB ==因为sin APC ∠=所以2212121cos APB d ∠=-=-⎝⎭，所以()2222127261181818PA PB d d d d ⎛⎫⋅=--=+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2272d d=，即26d =>时，等号成立，故PA PB ⋅的最小值为18，故答案为：18.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将PA PB ⋅表示为d 有关的形式，通过统一变量利用基本不等式简化求最值的方法，其中cos APB ∠的计算需要借助圆的半径去完成.16．已知a ，b ，c 分别是椭圆E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程220ax bx c ++=无实根，则椭圆E 的离心率e 的取值范围是_______________________.【答案】1⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据判别式为负可求,,a b c 的关系，从而可求离心率e 的取值范围. 【详解】由题有2440b ac ∆=-<，即220a c ac --<， 故210e e +->，得e <或e >01e <<，1e <.故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭四、解答题17．（1）已知点()1,1A -在圆C ：22220x y x y m +-++=外，求实数m 的取值范围. （2）已知椭圆221x ny +=的离心率为12，求实数n 的取值. 【答案】（1）62m -<<；（2）43n =或34. 【分析】(1)由点在圆外，代入圆的方程大于0即可.(2)根据椭圆的离心率求方程，分椭圆焦点在x 轴上，或者焦点在y 轴上，由离心率找到,,a b c 之间的关系就可得到结果.【详解】解：（1）若方程22220x y x y m +-++=表示圆，则4440m +->，解得2m <， 根据点()1,1A -在圆外，可得11220m ++++>，则6m >-， 所以62m -<<.（2）由椭圆方程221x ny +=，得22111x y n+=， ①若焦点在x 轴上，则1n >，即21a =，21b n=， ∴22211c a b n=-=-， ∴22211114c n e a -===，即43n =. ②若焦点在y 轴上，则01n <<，即21a n=，21b =， ∴22211c a b n=-=-，∴得到22211114c n e a n-===，即34n =. 故43n =或34. 18．已知圆C 经过原点且与直线40x y --=相切，圆心C 在直线0x y +=上. (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过点()2,1，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22112x y -++= (2)2x =或3420x y --=【分析】（1）由d OC =可求得圆心()1,1C -和半径； （2）分直线k 存在和不存在两种情况讨论.【详解】（1）因为圆心C 在直线0x y +=上，可设圆心为(),C a a -， 则点C 到直线40x y --=的距离d =，OC =据题意，d OC ==解得1a =，所以圆心为()1,1C -，半径r d = 则所求圆的方程是()()22112x y -++=.（2）当弦长为21=. 当k 不存在时，直线2x =符合题意；当k 存在时，设直线方程为210kx y k --+=，1=，∴34k =， ∴直线方程为3420x y --=.综上所述，直线方程为2x =或3420x y --=.19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为45︒的直线l 过椭圆的右焦点F 交椭圆于A ､B 两点，求OAB 的面积. 【答案】(1)22143x y +=..【分析】（1）设椭圆方程，根据题意列出方程组，求得答案即可；（2）由题意求得直线方程，联立椭圆方程，整理得根与系数的关系式，利用弦长公式求得弦长，继而求得原点到直线AB 的距离，即可求得答案. 【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上， 所以设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22222222191441,321a b a c b a c a b c ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⎪=∴=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩，所以椭圆的标准方程为：22143x y +=； （2）由（1）可知：()1,0F ，倾斜角为45︒的直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为：01(1)y x -=⨯-即10x y --=， 代入椭圆方程中，得22(1)143x x -+=， 27880x x ∴--=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以1287x x +=，1287x x =-因此724AB =， 原点到直线AB的距离d =1124227OAB S d AB =⋅=⨯=△ 所以OAB 的面积为7. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，AP AB =，E 为CD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面PAE ；（2）求平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）277. 【分析】（1）在菱形中证明CD AE ⊥，再由已知的线面垂直得线线垂直，从而可证得线面垂直． （2）以A 为坐标原点，向量AB ，AE ，AP 方向分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）证明：连AC∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒∴AC AD =∵AC AD =，DE CE =，∴AE CD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥∵PA CD ⊥，AE CD ⊥，AE ，PA ⊂平面PAE ，AEAP A =∴CD ⊥平面PAE（2）由（1）知CD AE ⊥，又由//AB CD ，可得AB AE ⊥，可得AB 、AE 、AP 两两垂直令2AB =，可得2AD AP ==，3AE =，1ED CE ==以A 为坐标原点，向量AB ，AE ，AP 方向分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系可得点A 的坐标为()0,0,0，点P 的坐标为()0,0,2，点B 的坐标为()2,0,0，点E 的坐标为()，点C 的坐标为()()2,0,0AB =，()BC =-，()2,0,2BP =-由（1）可知AB 为平面PAE 的法向量设平面BCP 的法向量为(),,m x y z =，有30220BC m x BP m x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取x =1y =，z =可得(3,1,m = 由23AB m ⋅=||2AB =，||7m =，有2cos ,7AB m =故平面PAE 与平面PBC 【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法求二面角．求二面角的方法：（1）几何法，通过作证算三个步骤求解，即作出二面角的平面角，并证明，然后计算出这个角．（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，即求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补得解．21．已知圆C ：221x y +=，直线l ：()()1110++--=m x m y （m ∈R ）．（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）若直线l 被圆Cm 的值； （3）若点B 的坐标为()2,0-，在x 轴上存在点D （不同于点B ）满足：对于圆C 上任意一点P ，都有PB PD为一常数，求所有满足条件的点D 的坐标． 【答案】（1）11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1-或1；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先将方程整理成()(1)0m x y x y -++-=，令含参数m 的式子为0即解得定点；（2）先利用圆中弦长与半径，求得圆心到弦所在直线的距离，再结合点到直线的距离公式即求得参数m ；（3）先设点D 的坐标(,0)n ，结合题意计算PB PD，满足其为定值则需对应系数成比例，即求得参数n ，进而验证，即得结果.【详解】解：（1）直线l 的方程整理为：()(1)0m x y x y -++-=，令010x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12x y ==， 故直线l 所过定点A 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由直线l 被圆CC 到直线l的距离为12d ==，又由点到直线的距离公式可知12d ==， 解得21m =，即1m =±，故实数m 的值为1-或1； （3）设点P 的坐标为()00,x y ，x 轴上的点D 的坐标为(,0)n ，由不同于点B 知2n ≠-，由22001,||x y PB +==||PD ==||||PB PD =， 若PB PD 为一常数，必有22145n n -+=，解得：12n =-或2n =-（舍去）， 12n =-时||PD ==，||2||PB PD =为一常数，此时1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故满足条件的点D 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：直线被圆截得的弦长的相关问题，通常利用几何法解决，即直线被圆截得的半弦长2l 、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，且2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可以知二求一，或者结合点到直线的距离公式构建关系式求解参数.22．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点． （Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P，且PF =l 的方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF △的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果； （Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =||||AF BF +，进一步可得ABF △的周长.【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为=1x -，设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=， 又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==，解得0m =或4m =（舍去），故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=， 可得121x x b +=-，21214x x b =， ()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++()22111123044b b b b b =--++=+=， 得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ==()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF △的周长为15+【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.。
2023-2024学年湖北省高二上学期11月期中月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省高二上册11月期中联考数学模拟试题一、单选题1．若(2,1,2)a b +=-- ，(4,3,2)a b -=-- ，则a b ⋅等于（）A ．5B ．5-C ．7D ．1-【正确答案】B【分析】利用空间向量的四则运算与数量积的坐标表示即可求解.【详解】∵(2,1,2)a b +=-- ，(4,3,2)a b -=--，∴两式相加得2(2,4,0)a =- ，∴(1,2,0)a =-，∴(3,1,2)b a b a =+-=- ，∴1(3)(2)1025a b ⋅=⨯-+-⨯+⨯=-，故选：B ．2．已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（）AB ．2C 1D 1【正确答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.1=．解得1a =-+1a =-0a > ，1a ∴=-故选：C.3．如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第40百分位数是（）A ．2℃B ．-1℃C ．-0.5℃D ．2-℃【正确答案】C【分析】通过折线图，将这10天的最低气温按从小到大顺序，第4，第5个数据的平均数为第40百分位数.【详解】由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大排列为：3-，2-，1-，1-，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以1040%4⨯=是整数，则这10天的最低气温的第40百分位数是100.52-+=-(℃).故选：C4．设直线:3l y kx =+与椭圆22:194x yC +=相交于A B 、两点，且AB 的中点为11,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则k =（）A ．43B ．427C ．13-D ．34【正确答案】A【分析】设()()1122,,A x y B x y 、，进而根据点差法求解即可.【详解】解：设()()1122,,A x y B x y 、，故有2211194x y +=①，2222194x y +=②，所以，两式作差得22222121094x x y y --+=，即()()()()21212121094x x x x y y y y +--+=+，所以，()()1221211249AB x x y y k x x y y +-==--+，因为AB 的中点为11,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以121222,3x x y y +=-+=，所以()21214242393AB y y k x x ⨯--==-=-⨯故选：A5．从2名男同学和3名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有2名女同学的概率为（）A ．0.6B ．0.5C ．0.3D ．0.2【正确答案】A【分析】用列举法结合古典概型的概率公式求解即可【详解】设2名男生为,a b ，3名女生为,,A B C ，则任选3人的种数为abA abB abC aAB aAC ,,,,，aBC bAB bAC bBC ABC ,,,,，共10种，其中恰有2名女生的有aAB aAC ,，aBC bAB bAC bBC ,,,，共6种，故恰有一名女同学的概率60.610P ==.故选：A ．6．已知四面体ABCD ，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则AF CE ⋅=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【正确答案】D【分析】在四面体ABCD 中，取定一组基底向量，表示出AF ，CE，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体ABCD 的所有棱长均为2，则向量,,AB AC AD不共面，两两夹角都为60 ，则22cos 602AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，因点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则1()2AF AC AD =+ ，12CE AE AC AB AC =-=-，211()(2)(22)44AF CE AC AD AB AC AC AB AD AB AC AC AD ⋅=+⋅-=⋅+⋅--⋅ 21(222222)24=+-⨯-⨯=-，所以2AF CE ⋅=-.故选：D7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为π4，底面ABCD 为直角梯形，,22π,1ABC BAD AD PA BC ∠=∠====，点E 为棱PD 上一点，满足()01PE PD λλ=≤≤ ，下列结论错误的是（）A ．平面PAC ⊥平面PCD ；B ．点P 到直线CD 3C ．若二面角E ACD --的平面角的余弦值为33，则13λ=；D ．点A 到平面PCD 52．【正确答案】D【分析】A 选项，作出辅助线，证明出AC ⊥BC ，结合PA ⊥平面ABCD 可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B 选项，求出点P 到直线CD 的距离即为PC 的长度，利用勾股定理求出答案；C 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D 选项，过点A 作AH ⊥PC 于点H ，证明AH 的长即为点A 到平面PCD 的距离，求出AH 的长.【详解】A 选项，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故∠PBA 即为PB 与底面ABCD 所成的角，π4PBA ∠=，因为π2∠=∠=ABC BAD ，所以PA =AB =1，因为2,1AD PA BC ===，取AD 中点F ，连接CF ，则AF =DF =AB =CF =BC ，则四边形ABCF 为正方形，∠FCD =∠FCA =45°，所以AC ⊥CD ，又因为AP AC A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ，A 正确；由A 选项的证明过程可知：CD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC 所以CD ⊥PC ，故点P 到直线CD 的距离即为PC 的长度，其中1PA AB BC ===由勾股定理得：222,3AC PC AC PA ==+B 正确；以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，()0,2,1E λλ-，其中平面ACD 的法向量为()0,0,1m =，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则()2100n AE y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩ ，令1y =得：2,11z x λλ==--，所以21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设二面角E AC D --的平面角为θ，显然cos θ=33其中()220,0,11,1,31cos ,32111m n λλλλ⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭=⎛⎫++ ⎪-⎝⎭，解得：13λ=或1λ=-，因为01λ≤≤，所以13λ=，C正确；过点A作AH⊥PC于点H，由于CD⊥平面APC，AH⊂平面APC，所以AH⊥CD，因为PC CD C⋂=，所以AH⊥平面PCD，故AH即为点A到平面PCD的距离，因为PA⊥AC，所以3AP ACAHPC⋅==，D选项错误故选：D8．已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为6的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为A．23B．12C．13D．14【正确答案】D【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以PF2=F1F2=2c,由AP222tan sin cosPAF PAF PAF∠=∴∠∠=由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠,所以22214,π54sin()322c a c ea c PAF=∴==+-∠，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、多选题9．以下四个命题表述正确的是（）A ．直线4120()+-=∈R mx y m 恒过定点(0,3)B ．已知直线0x y m +-=与直线(32)0+-=x m y 互相垂直，则2m =C ．圆22:28130C x y x y +--+=的圆心到直线4330x y -+=的距离为2D ．两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为260x y ++=【正确答案】AB【分析】将直线4120()+-=∈R mx y m 转化为()430mx y +-=对m R ∈恒成立，即可判断A 是否正确；根据直线垂直的关系可知(32)=011+1m ⋅-⋅，解出m 的值，即可判断B 是否正确；求出圆心坐标，再根据点到直线的距离公式即可判断C 是否正确；将两圆方程联立作差，即可求解两个圆的公共弦方程，进而判断D 是否正确；【详解】直线4120()+-=∈R mx y m ，即()430mx y +-=对m R ∈恒成立，所以直线恒过定点(0,3)，所以A 正确；因为0x y m +-=与直线(32)0+-=x m y 互相垂直，所以(32)=011+1m ⋅-⋅，所以2m =，所以B 正确；因为圆22:28130C x y x y +--+=的圆心坐标为()1,4，所以圆心()1,4到直线4330x y -+=的距离为412315-+=，所以C 错误；将两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=方程联立，作差可得260x y -+=，所以D 错误.故选：AB.10．已知圆M ：22(1cos )(sin )1x y θθ--+-=，直线l ：0kx y k --=，下面命题中正确的是（）A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；B ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 都相离；C ．存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相交；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切.【正确答案】ACD【分析】由题意求得圆M 与直线l 有公共点()1,0；求得圆心到直线l 的距离为d r ≤；即可得出答案.【详解】解：对于A ，圆M ：22(1cos )(sin )1x y θθ--+-=的圆心为()1cos ,sin θθ+，半径为=1r ；无论θ取何值，都有22(11cos )(sin )1θθ--+=，∴圆过定点()1,0；又直线l ：0kx y k --=可化为()10k x y --=，过定点()1,0；∴直线l 和圆M 有公共点()1,0，A 正确；对于B ，圆心M 到直线l 的距离为()sin 1d r θα==-≤=，其中tan k α=；∴d r ≤，故B 错误；根据B 的分析，可得C ､D 正确.故选：ACD11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．b =【正确答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，（*）a c m R ∴-=+，故A 正确；a c n R +=+，故B 正确；（*）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确；由（*）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩，两式相乘可得()()22m R n R a c++=-222a c b -= ，()()2b m R n R b ∴=++⇒=，故D 正确.故选ABD本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当λμ=时，1//A P 平面1ACD B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当1λ=时，PBD △的面积为定值D ．当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】ABD【分析】对于A 选项，确定P 点在面对角线1BC 上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B 选项，确定P 点在棱11B C 上，由等体积法，说明三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于C 选项，确定P 点在棱1CC 上，PBD △的底BD 不变，高PE 随点P 的变化而变化；对于D 选项，通过平移直线1A D ，找到异面直线1A D 与1D P 所成的角，在正11D B C △中，确定其范围.【详解】对于A 选项，如下图，当λμ=时，P 点在面对角线1BC 上运动，又P ∈平面11A C B ，所以1A P ⊂平面11A C B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，1AD ⊄ 平面11A BC ，1BC ⊂平面11A BC ，1//AD ∴平面11A BC ，同理可证//AC 平面11A BC ，1AD AC A = ，所以，平面11//AC B 平面1ACD ，1A P ⊂ 平面11A BC ，所以，1//A P 平面1ACD ，A 正确；对于B 选项，当1μ=时，如下图，P 点在棱11B C 上运动，三棱锥1P A BC -的体积111113P A BC A BC P PBC V V S B A --==⋅⋅为定值，B 正确；对于C 选项，当1λ=时，如图，P 点在棱1CC 上运动，过P 作PE BD ⊥于E 点，则12PBD S BD PE =⋅△，其大小随着PE 的变化而变化，C 错误；对于D 选项，如图所示，当1λμ+=时，P ，C ，1B 三点共线，因为11//A B CD 且11A B CD =,所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//A D B C ，所以11D PB ∠或其补角是直线1A D 与1D P 所成角，在正11D B C △中，11D PB ∠的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．【正确答案】13和3-.【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为α，得到tan k α=，得出对角线所在直线的斜率为tan()4πα+，结合两角和的正切公式，求得1tan 3α=，再结合两直线的位置关系，即可求解.【详解】设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率tan k α=，则其中一条对角线所在直线的倾斜角为4πα+，其斜率为tan()4πα+，根据题意值tan()24πα+=，可得tan tantan 1421tan 1tan tan 4πααπαα++==--，解得1tan 3α=，即正方形其中一边所在直线的斜率为13，又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为3-.故13和3-.14．若向量()2,4,a m =-，()1,1,2b =-r ，()0,2,3c =- 共面，则m =______．【正确答案】7【分析】根据a b c λμ=+可构造方程组求得结果.【详解】,,a b c共面，(),a b c R λμλμ∴=+∈ ，204223m λλμλμ=+⎧⎪∴-=-+⎨⎪=-⎩，解得：217m λμ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，m 7∴=.故答案为.715．已知函数()()2f x k x =--有两个不同的零点，则常数k 的取值范围是___________．【正确答案】⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】先求函数的定义域，再将原问题转换为半圆与直线存在2个交点.【详解】()f x 的定义域为210,11x x -≥-≤≤，原问题等价于()g x =与()()2k x k x =-有两个交点，求k 的取值范围，()k x 为过定点()2,0的直线，()()221,0g x x g x +=≥，所以()g x 为圆心在原点，半径为1的圆的x 轴的上半部分，()g x 与()k x的大致图像如下：考虑直线()k x 与半圆()g x相切的情况：1=，解得21,3k k ==（舍）或k =，∴k ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦.故⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16．已知直线l 与圆22:4O x y +=交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且2AB =，则112244x y x y +++++的最大值为___________.【正确答案】8+8,A B 到直线40x y ++=的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线40x y ++=的距离的2倍.求出M 的轨迹即可求得该最大值.,A B 到直线40x y ++=的距离之和，其最大值是AB 的中点M 到直线40x y ++=的距离的2倍.由题可知，OAB 为等边三角形，则OM ，∴AB 中点M 的轨迹是以原点O故点M 到直线40x y ++==+(2，∴112244x y x y +++++的最大值为(28+.故答案为.8+四、解答题17．已知直线l 过点(2,2)P .(1)若直线l 与360x y -+=垂直，求直线l 的方程；(2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【正确答案】(1)380x y +-=；(2)y x =或40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线l 的斜率，再由点斜式写出方程；（2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为0x y m ++=，代入点P ，即可求得参数m【详解】（1）直线360x y -+=的斜率为3，则直线l 的斜率为13-，则直线l 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=；（2）当截距为0时，直线l 的方程为y x =；当截距不为0时，直线l 设为0x y m ++=，代入(2,2)P 解得4m =-，故直线l 的方程为40x y +-=.综上，直线l 的方程为y x =或40x y +-=18．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，BD 的中点，点G 在CD 上，且14CG CD =．（1）求证：1EF B C ⊥；（2）求EF 与C 1G 所成角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（233【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明1EF B C ⊥；（2）直接利用向量法求EF 与CG 所成角的余弦值【详解】（1）建立以D 点为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ，则111(,,)222EF =-uu u r ，1(1,0,1)B C =--，所以()()111101022EF B C ⎛⎫⋅=⨯-++-⨯-= ⎪⎝⎭，即1EF B C ⊥ ，所以1EF B C ⊥.（2）由（1）知，3(0,,0)4G ，1(0,,0)4CG =- ，则110024cos ,||||EF CG EF CG EF CG ⎛⎫+⨯-+ ⎪⋅<>==⋅，因为EF 与CG 所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第二轮考核的概率．【正确答案】（1）36125；（2）1325.【分析】(1)把该选手进入第三轮才被淘汰的事件视为三个相互独立事件的积，再用概率的乘法公式计算即可；(2)把该选手至多进入第二轮考核的事件拆成两个互斥事件的和，再用互斥事件的加法公式计算即得.【详解】记“该选手正确回答第i 轮问题”为事件(1,2,3)i A i =，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，(1)该选手进入第三轮才被淘汰的事件为123A A A ，其概率为123123()()()()P A A A P A P A P A ==43236(1)555125⨯⨯-=；(2)该选手至多进入第二轮考核的事件为112A A A +，其概率为11211244313()()()()(1)(1)55525P A A A P A P A P A +=+=-+⨯-=.20．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[)85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a ，b 的值；(2)计算本次面试成绩的众数和平均成绩；(3)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分.【正确答案】(1)0.005,0.025a b ==；(2)众数为70，平均成绩为69.5分；(3)78分.【分析】（1）先算出第五组频率，可得a .后由前两组频率和为0.3可得b .（2）由众数，平均数计算公式可得答案.（3）中位数对应录取率为50%，本题即是求频率0.81所对应分数.【详解】（1）由题图可知组距为10.第三组，第四组频率之和为()0.0450.020100.65+⨯=，又后三组频率和为0.7，则第五组频率为0.05，第一组频率也为0.05，故第二组频率为0.25.得0.005,0.025a b ==.（2）由题图可知第三个矩形最高，故众数为6575702+=.平均数为()10500.005600.025700.045800.020900.00569.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）前三组频率之和为()100.0050.0250.0450.75⨯++=0.81<.前四组频率之和为0.75100.020.950.81+⨯=>.故频率0.81对应分数在75到85之间.设分数为x ，则有()750.020.750.81x -⨯+=，解得78x =.故若要求选拔录取率为19%，至少需要78分.21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>右焦点为(2,0)F ，离心率6e =(1)求椭圆E 的方程；(2)过焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与圆222x y b +=相切，与椭圆E 相交于M 、N 两点，求椭圆的弦MN 的长度．【正确答案】(1)2213x y +=【分析】（1）根据离心率和焦点即可求解a =b ，（2）根据直线与圆相切求解得1k =，进而联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求解.【详解】（1）由题意可知：3c c a ===，解得a =1b ==，所以椭圆的方程为2213x y +=（2）设直线l的方程为(0y k x ,k =->，由于直线l 与圆221x y +=1=，解得1k =，1k =-（舍去），故直线l的方程为y x =-联立直线与椭圆的方程22243013y x x x y ⎧=⎪⇒-+=⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,M x y N x y ,所以1212,324x x x x +=⋅=，由弦长公式得12MN x x =-22．已知半径为C 的圆心在y 轴的正半轴上，且直线20x y ++=与圆C 相切．(1)求圆C 的标准方程．(2)若圆C 的一条弦经过点()0,2M ，求这条弦的最短长度．(3)已知()0,2A -，P 为圆C 上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B （异于点A ），使得PB PA为定值？若存在，求点B 的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)22(8)50x y +-=；(2)(3)存在，点B 的坐标为(0,3).【分析】（1）由题意圆心坐标为(0，)(0)b b >，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径（2）先判断点M 在圆内，由圆的集合性质可得直线CM 与这条弦垂直时，这条弦的长度最短从而可得出答案．（3）设(0B ，)(2)m m ≠-，(,)P x y ，分别表示出||PB ，||PA ，由||||PB PA 为定值得出答案．【详解】（1）由题意设圆心坐标为(0，)(0)b b >，则圆C 的方程为22()50(0)x y b b +-=>．因为直线20x y ++=与圆C 相切，所以点(0,)C b 到直线20x y ++=的距离d =因为0b >，所以8b =，故圆C 的标准方程为22(8)50x y +-=；（2）因为6CM =<，所以当直线CM 与这条弦垂直时，这条弦的长度最短，故所求最短弦长为=（3）假设存在定点B ，设(0B ，)(1)m m ≠-，(,)P x y ，则22250(8)1614x y y y =--=-+-，则PB PA=当21416201020m m--=>-，即3(2m m ==-舍去）时，||||PB PA 为定值，且定值为12，故存在定点B ，且B 的坐标为(0,3)．。
2021年高二数学11月月考试题新人教A版
2021年高二数学11月月考试题新人教A 版高二（ ）班 姓名：_________________ 得分：_________________一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 若，则下列不等式成立的是 （ ） A. B ． C. D ． 2. 已知数列中，，则（ ）A. 3B. 7C. 15D. 18 3. 在中,分别是角的对边，,则此三角形解的情况是 （ ）A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解 4. 若关于不等式的解集为，则实数的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5. 在中,分别是角的对边，若（ ）A. B. C. D. 6. 已知成等差数列，成等比数列，则= （ ）A. B. C. D. 7. 如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N 处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A. 海里/时B. 海里/时C. 海里/时D. 海里/时8. 已知数列{}满足 (∈N *)且，则的值是 ( )A ．－5B ．－15C ．5 D. 159．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－2或m ≥4B ．m ≤－4或m ≥2C ．－2<m <4D ．－4<m <210. △ABC 中，, 则△ABC 周长的最大值为（ ）A. 2B.C.D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．若实数满足，则的最小值为＿＿＿＿＿＿＿．12. 的内角对边分别为，且满足，则＿＿＿＿．13. 若不等式的解集是，则不等式的解集是＿＿＿＿＿＿＿．14. 对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，则数列的通项公式＝＿＿＿＿＿＿＿．15. 研究问题：“已知关于x 的不等式的解集为（1，2），解关于x 的不等式”. 有如下解法： 解：由且，所以，得，设,得,由已知得：,即，所以不等式的解集是. 参考上述解法，解决如下问题：已知关于x 的不等式的解集是，则不等式的解集是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1,BC =3,CD =DA =2. （1）求C 和BD ； （2）求四边形ABCD 的面积.17．（本题满分12分）已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z＝2y ＋1x ＋1的范围．18．（本题满分12分）已知在△ABC中，内角所对的边分别为，.(1)求证：成等比数列； (2)若，求△的面积S.19．（本题满分12分）已知单调递增的等比数列满足：,且是的等差中项. （1）求数列的通项公式；（2）若,为数列的前项和,求.20．（本题满分13分）如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架(阴影部分)的材料为铝合金，宽均为6cm,上栏与下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为cm和cm，铝合金窗的透光部分的面积为cm2.（1）试用表示；（2）若要使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？21. （本题满分14分）设数列的前项和为，其中，为常数，且成等差数列．（1）当时，求的通项公式；（2）当时，设，若对于，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．兰陵一中3013级数学必修5综合测试参考答案与评分标准1. C 【解析】A. 不成立,例如a>0>b; B．不成立，例如1>-5;C.成立，在不等式的两边同时乘以即可得到（因为）； D．不成立，例如c=0时.2. C 【解析】因为，所以.3. B 【解析】因为，所以，所以此三角形有两解.4. D 【解析】当时，原不等式为，满足题意；当时，要满足题意须，解得.综上知：实数的取值范围是.5. C 【解析】由余弦定理得()22222221cos 222b c b bc c b c a A bc bc +-+++-===-，所以. 6. A 【解析】因为成等差数列，所以，因为成等比数列，所以，所以=.7. B 【解析】由题意知：SM =20，∠NMS=15°+30°=450，∠SNM=60°+45°=1050，所以∠NSM=300，在∆MNS中利用正弦定理得：0020,10sin 30sin105MN MN ==所以海里.所以货轮的速度为.8. A 解析：因为，所以，所以.所以，所以.9. D 【解析】因为x ＋2y =（x ＋2y ）（2x ＋1y）=4+，所以m 2＋2m <8,解得－4<m <2.10. D 【解析】由正弦定理，得：(),4sin sin sin sin sin b a ca c A C B A C+=+=++即， 所以△ABC 的周长()24sin sin 4sin sin 3l a b c A C C C π⎡⎤⎛⎫=++=++=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦34sin 26C C C ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭π， 因为251,0,sin 13366626B C C C ⎛⎫∠=<<<+<<+≤ ⎪⎝⎭ππππππ所以所以,所以， 所以，即△ABC 周长的最大值为.11．− 6 【解析】画出可行域，由可行域知：目标函数过点（4，-2）时取最小值，且最小值为-6.12. 【解析】因为，所以由正弦定理，得：，不妨设，所以. 13. 解析：依题意可知方程的两个实数根为和2，由韦达定理得：+2=，所以=－2，所以，，所以不等式的解集是.14. 【解析】因为的“差数列”的通项公式为，所以，所以 ，，，……，，以上n -1个式子相加， 得，所以.15. 【解析】因为关于x 的不等式的解集是:，用，不等式可化为：1101111c b bx cx x ax dx a d x x-+-+=+<---+-+，可得. 16．（本题满分12分） 解：（1）由题设及余弦定理得-2BC ·CD cos C =13-12cos C ,①-2AB ·DA cos A =5+4cos C.②, -----------------------------------4分由①②得cos C =， 故C =60°，BD =.-----------------------------------7分（2）四边形ABCD 的面积S =AB ·DA sin A +BC ·CD sin C = sin 60°=2.-----------12分 17．（本题满分12分） 作出可行域如图所示，． -----------------------------------4分(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0，5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2.-----------6分(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线的斜率的2倍，由图可知QA 的斜率最大，QB 的斜率最小. -------------------------------8分可求得点A (1,3)、B (3,1)，所以k QA ＝74，k QB ＝38，-------------------------------------11分故z 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72. ------------------------------------12分 18．（本题满分12分） 解： (１)由已知得：，所以，所以， ------------------------------------4分 再由正弦定理可得：，所以成等比数列. ------------------------------------6分 (２)若，则， ------------------------------------7分 所以， ------------------------------------9分 所以，所以△的面积. ------------------------------------12分 19．（本题满分12分） 解：（1）设等比数列的首项为，公比为q ， 依题意，有代入，解得-------------------------------2分∴ ∴ 解之得或------------4分 又单调递增，∴ ∴ -------------------------------6分（2）由（1）知，所以 ， ------------------------------7分 ∴ ① ∴23412122232...(1)22n n n s n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+ ②-------------------------------10分 ∴①-②得23112(12)222 (22212)n nn n n s n n ++-=++++-•=-•-＝--------12分20．（本题满分13分）解：（1）∵铝合金窗宽为acm ，高为bcm ，a>0,b>0.ab=28800,------------------------2分又设上栏框内高度为hcm ，下栏框内高度为2hcm,则3h ＋18=b, ∴h=b －183∴透光部分的面积S=（a －18）×2（b －18）3 ＋（a －12）×b －183=（a －16）（b －18） =ab －2（9a ＋8b ）＋288=29088－18a－16b------------------------------------7分（2）∵9a ＋8b29a×8b =2880, ∴ S=29088－18a －16b=29088－2(9a+8b) 29088-2×2880 当且仅当9a=8b, 即a=160,b=180时S 取得最大值. --------------------------11分∴铝合金窗宽为160cm ，高为180cm 时透光部分面积最大. ---------------------------13分 21. （本题满分14分） 解：（1）由题意知：即 当时，，两式相减得： ------3分 当时，，∴，满足 ------------4分所以是以为首项，以2为公比的等比数列，因为，所以 ------------5分 （2）由（1）得，所以=， ------------6分 所以， ------------7分 所以122334111111111133557(21)(21)n n b b b b b b b b n n +++++=++++⨯⨯⨯-+=1111111111111(1)()()()(1)2323525722121221n n n -+-+-++-=--++----------10分因为，所以，所以 -----------------11分 （3）由（1）得是以为首项，以2为公比的等比数列 所以= --------------------------12分 要使为等比数列，当且仅当所以存在，使为等比数列 --------------------------------14分(E 40058 9C7A 鱺w24877 612D 愭25685 6455 摕>9f28811 708B 炋23537 5BF1 寱{。
河南省周口市太康县第二高级中学2022-2023学年高二上学期11月月考文科数学试题(含答案解析)
河南省周口市太康县第二高级中学2022-2023学年高二上学期11月月考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量()2,1,3a =- ，()4,2,3b =- ，则2a b +=（）A ．()4,2,6-B ．()8,4,6-C ．()0,0,9D ．()2,1,6-2．若()1,1,3A m n +-，()2,,2B m n m n -，()3,3,9C m n +-三点共线，则m n +的值为（）A ．0B ．1-C ．1D ．2-3．已知()1,0,1a =r ，(),1,2b x =- ，且3a b ⋅= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．56πB ．6πC ．3πD ．23π4．在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（）A ．34B ．34-C D ．65．已知(2,4)A ､(3,1)B -两点，直线l ：y kx =与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围（）A ．[2,)+∞B ．(,0][2,)-∞⋃+∞C ．1,[1,)3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ D ．1,[2,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 6．直线1:0l ax y b -+=，2:0(0)l bx y a ab +-=≠的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．7．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为()((2,0,3,2,1,2,A B C -+()4,D a ，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D8．已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．B ．C ．8D ．二、多选题9．设{},,a b c是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A ．若,a b b c ⊥⊥r r r r ，则a c⊥B ．,,a b c 两两共面，但,,a b c不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(, , )x y z ，使p xa yb zc =++D ．,,a b b c c a +++一定能构成空间的一个基底10．四边形ABCD 中，4AB BD DA ===，BC CD ==ABD △沿BD 拆起，当二面角A BD C --的大小在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，直线AB 和平面BCD 所成的角为α，则cos α的值可以为（）A ．12B ．4C ．34D ．211．若椭圆221259x y +=上一点P 与左右焦点1F ，2F 组成一个直角三角形，则点P 到x 轴的距离可以是（）A ．165B ．94C ．95D ．4512．已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线2212x ym +=的离心率是（）A ．2B．3C．4D ．2或4三、填空题13．若(1,1,0)a = ,(1,0,2)b =- ,则与a b +同方向的单位向量是_______.14．若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是______.15．若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为__________．16．设12,F F 分别是椭圆22=1169x y +的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则12||||PF PF =______.四、解答题17．已知()1,1,2a λλ=+，()6,21,2b μ=- .（1）若//a b，分别求λ与μ的值；（2）若a = ，且a 与()2,2,c λλ=-- 垂直，求a.18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且13AA =，E ，F 分别为1CC ，1BD 的中点.（1）证明：EF ⊥平面11BB D D ；（2）若60DAB ∠=︒，求二面角11A BE D --的余弦值.19．已知直线方程l 经过两条直线1:3420l x y +-=与2:220l x y ++=的交点P .(1)求垂直于直线3:210l x y --=的直线l 的方程；(2)求与坐标轴相交于两点，且以P 为中点的直线方程．20．已知圆22:2220C x y x y ++--=，点(),1A m -、()4,2B m +，其中m R ∈．（1）若直线AB 与圆C 相切，求直线AB 的方程；（2）若以AB 为直径的圆D 与圆C 有公共点，求实数m 的取值范围．21．已知椭圆2222:1x y C a b +=的短轴长等于焦距，椭圆C 上的点到右焦点F 的最短距离1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(20)E ，且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于M 、N 两点，P 是点M 关于x 轴的对称点，证明：N F P 、、三点共线．22．已知椭圆222:1(0)9x y C b b+=>上的动点P 到右焦点距离的最小值为3-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 和椭圆C 交于M 、N 两点，A 为椭圆的右顶点，0AM AN ⋅=，求AMN 面积的最大值.参考答案：1．C【分析】根据空间向量的坐标运算公式求解即可.【详解】因为()2,1,3a =- ，所以()24,2,6a =- ，又()4,2,3b =- ，所以()20,0,9a b +=．故选：C.2．A【解析】三点共线转化为向量,AB AC共线，由向量共线可得．【详解】由题意(1,1,23),(2,2,6)AB m m n AC =---=-，,,A B C 三点共线，即,AB AC 共线，所以存在实数λ，使得AB AC λ=，所以1212236m m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪--=⎩，解得0012m n λ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=-⎩．所以0m n +=．故选：A ．【点睛】本题考查空间向量共线定理，考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．3．B【分析】先求出向量a 与b 的夹角的余弦值，即可求出a 与b的夹角.【详解】()1,0,1a =r (),1,2b x =- ，3a b ⋅=所以·23a b x =+=，∴1x =，∴()1,1,2b =-，∴cos ||||a ba b a b ⋅==⨯，=，又∵]0[a b π∈ ，，，∴a 与b 的夹角为6π.故选：B.4．A【分析】分别以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正方向建系，则可求出11,,,A F B E 的坐标，进而可求出1A F ，1B E的坐标，代入公式即可求解.【详解】分别以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则点()10,0,4A ，()2,2,0F ，()14,0,4B ，()0,1,4E ，则()12,2,4A F =- ，()14,1,0B E =-.设直线1A F 与1B E 所成角的大小为θ，则02πθ≤≤，所以1111cos 34A F B E A F B Eθ⋅=== .故选：A .【点睛】本题考查空间向量中异面直线夹角的求法，关键在于建立适当的坐标系，属基础题.5．D【分析】作出图形，求出当直线l 分别经过点A 、B 时，直线l 的斜率k 的值，数形结合可得出实数k 的取值范围.【详解】直线:l y kx =恒过点()0,0O ，则直线OA 的斜率为40220AO k -==-，直线OB 的斜率为101303OB k -==---，如图，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围是[)1,2,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选：D 6．C【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定1l ，判断另外一条是否与之相符【详解】直线1l 可化为y ax b =+，直线2l 可化为y bx a =-+.A 中，由1l 可知，0,0a b ><，但此时与2l 图像不符，错误；B 中，由1l 可知，0,0a b >>，但此时与2l 图像不符，错误；C 中，由1l 可知，0,0a b <>，此时2l 图像合理，正确；D 中，由1l 可知，0,0a b >>，但此时与2l 图像不符，错误.故选：C 7．C【分析】设出圆的一般式220x y Dx Ey F ++++=，根据()((2,0,3,2,1,2,A B C -+求出444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，然后将点()4,D a 带入圆的方程即可求得结果.【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意得((((2222222020323201220D F D E F D E F ⎧+++=⎪⎪+-++-+=⎨⎪⎪++++++=⎩，解得444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以224440x y x y +--+=，又因为点()4,D a 在圆上，所以22444440a a +-⨯-+=，即2a =.故选：C.8．A【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由直线方程可确定直线所过定点；由过圆内一点最长弦为直径、最短弦为与最长弦垂直的弦，结合垂径定理可求得最长弦和最短弦，由对角线垂直的四边形面积公式可求得结果.【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ的距离为=dPQ ∴===；∴四边形PMQN的面积11422S MN PQ =⋅=⨯⨯故选：A.【点睛】结论点睛：过圆内一点()00,P x y 的最长弦为圆的直径；最短弦为过P 且与最长弦垂直的弦.9．BCD【分析】对于A 选项，垂直关系不传递判断；对于B 选项，由基底的概念判断；对于C 选项，由空间向量的基本定理判断；对于D 选项，易知,,a b c不共面．假设,,a b b c a c +++ 共面，利用反证法判断.【详解】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，A 选项错误．对于B 选项，根据基底的概念可知,,a b c 两两共面，但,,a b c不可能共面，B 选项正确．对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确．对于D 选项，由于{},,a b c 是空间一个基底，所以,,a b c不共面．假设,,a b b c a c +++ 共面，不妨设()()a b x b c y c a +=+++r r r r r r ，化简得()()()110y a x b x y c -+--+=r r r r ，因为,,a b c 不共面，则10100y x x y -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，而方程无解，所以,,a b b c a c +++ 不共面，可以作为空间的一个基底，D 选项正确．故选：BCD ．10．AB【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得cos α的取值范围，由此确定正确选项.【详解】ABD △是边长为4的等边三角形，BCD △是以BCD ∠为直角的等腰三角形，设BD 的中点为O ，则,OA BD OC BD ⊥⊥，二面角A BD C --的平面角为AOC ∠.以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B ，设2,33AOC ππθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦.则()0,cos ,sin A OA OA θθ⋅⋅，即()0,,A θθ，()2,,BA θθ=-，平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，直线AB 与平面BCD 所成角为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则sin sin 2n BA n BAαθ⋅==⋅，cos α2223339317sin ,sin ,1,sin ,,1sin ,444164416θθθθ⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈∈-∈---∈⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1cos 24α⎡∈⎢⎣⎦.故选：AB11．BC【分析】先由椭圆的标准方程求得,,a b c ，当112PF F F ⊥时，利用代入法即可求得所求；当212PF F F ⊥时，利用椭圆的对称性即可得解；当12PF PF ⊥时，利用椭圆的定义与勾股定理，结合三角形面积公式即可得解.【详解】因为椭圆221259x y +=，所以2225,9a b ==，则5a =，3b =，216c =，4c =，所以()()124,0,4,0F F -，1228F F c ==，当112PF F F ⊥时，不妨设()04,P y -，则()22041259y -+=，解得095y =±，所以点P 到x 轴的距离为095y =；当212PF F F ⊥时，由椭圆的对称性可知该情况与112PF F F ⊥的情况类同，故点P 到x 轴的距离也为95；当12PF PF ⊥时，不妨设12,PF m PF n ==，则222121064m n m n F F +=⎧⎪⎨+==⎪⎩，所以()()22221006436mn m n m n =+-+=-=，则18=mn ，所以,m n 是方程210180x x -+=的两根，易得()2104180∆=--⨯>，即存在,m n 满足题意，设点P 到x 轴的距离为h ，则12121122PF F S mn F F h == ，所以1218984mn h F F ===，即点P 到x 轴的距离为94；综上：点P 到x 轴的距离为95或94.故选：BC.12．AB【分析】根据已知条件可得6m =±，再分6m =和6m =-两种情况讨论，结合,,a b c 的关系以及离心率公式即可求解.【详解】因为m 是3与12的等比中项，所以231236m =⨯=，可得6m =±，当6m =时，曲线方程为22162x y +=，可得26a =，22b =，所以222624c a b =-=-=，所以2224263c e a ===，此时3e =，当6m =-时，曲线方程为22126y x -=，可得22a =，26b =，所以222268c a b =+=+=，所以222842c e a ===，此时2e =，所以圆锥曲线2212x y m +=的离心率是2或3，故选：AB.13．0,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由已知求出a b + 的坐标，再除以a b + 可得答案【详解】因为(1,1,0)a = ,(1,0,2)b =- ，所以(0,1,2)a b +=所以与a b +⎛= ⎝⎭，故答案为：55⎛⎫ ⎪⎝⎭14．1⎡⎤-⎣⎦【解析】曲线3y =表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出b 的取值范围.【详解】由240x x - ，解得04x根据二次函数的性质得出02，即13y曲线3y =可化为22(2)(3)4-+-=x y ，()04,13x y所以该曲线表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆因为直线y x b =+与曲线3y =有公共点，所以它位于12,l l 之间，如下图所示当直线y x b =+运动到1l 时，过(0,3)，代入y x b =+得：3b =当直线y x b =+运动到2l 时，此时y x b =+与曲线相切2=，解得1b =-或1+要使得直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则[1b ∈-故答案为：1⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.15．22(2)16x y -+=【解析】根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.【详解】由椭圆方程可知221612a b ==，则24c =所以椭圆右焦点为()2,0长半轴为4.根据题意可知，()2,0为圆心，4为圆的半径.则圆的方程为()22216x y -+=.故答案为：()22216x y -+=.16．239【分析】先设P 点，中点，再求焦点12,F F ,再根据线段1PF 的中点在y 轴上，求出P 点坐标，再利用焦半径公式即可得12||,||PF PF 的长,则12||||PF PF 可解.【详解】设(,)p p P x y ，中点(0,)m n .由题意得12(F F ，4a =，e =1PF 的中点在y 轴上，则有02p x =，p x =22=1169x y +中得P 点坐标为9()4或9()4-根据焦半径公式可得，12239||,||44PF PF ==，∴12||23||9PF PF =.故答案为：239.【点睛】考查椭圆的焦半径公式,解题关键要求出P 点坐标.17．（1）15λ=，3μ=；（2）()0,1,2a =- .【分析】（1）根据平行关系可得a tb = ，由此构造方程组求得结果；（2）根据向量垂直和模长可构造方程组求得λ，由此得到a.【详解】（1）由//a b 得：a tb = ，即()1612122t t t λμλ+=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得：153λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）a c ⊥ ，()222122220a c λλλλ∴⋅=+--=-+= ，又a = ，=，即25230λλ+-=，由225230220λλλ⎧+-=⎨-+=⎩得：1λ=-，()0,1,2a ∴=- .18．（1）证明见解析；（2）26.【分析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，F 为1BD 的中点，易得四边形OFEC 为平行四边形，从而//OC FE ，再利用线面垂直的判定定理证得OC ⊥平面11BB D D 即可.（2）以O 为原点，以OB ，OC ，OF 建立空间直角坐标系，分别求得平面1A BE 的一个法向量(),,n x y z =r 和平面1D BE 的一个法向量()111,,m x y z =r ，然后由cos ,m n n m m n⋅=⋅ 求解.【详解】（1）如图所示：连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，F 为1BD 的中点，所以1//OF DD ，112OF DD =，又E 为1CC 的中点﹐11//CC DD ，所以1//CE DD ，112CE DD =，所以//OF CE ，OF CE =，所以四边形OFEC 为平行四边形，//OC FE .直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，所以1DD OC ⊥.又因为底面ABCD 是菱形，所以OC BD ⊥，又1DD BD D =I ，1DD ⊂平面11BB D D ，BD ⊂平面11BB D D ，所以OC ⊥平面11BB D D .所以EF ⊥平面11BB D D .（2）建立如图空间直角坐标系O xyz -，由60DAB ∠=︒，知2BD AB BC ===，又13AA =，则()1,0,0B，32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,A ，()11,0,3D -，设(),,n x y z =r 为平面1A BE 的一个法向量.由100n A B n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得30302x z x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令y =()4n = .设()111,,m x y z =r 为平面1D BE 的一个法向量.由100m BD m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11111230302x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令13x =，可得()3,0,2m =r.7cos ,26m n n m m n ⋅==⋅ .如图可知二面角11A BE D --为锐角，所以二面角11A BE D --的余弦值是26.【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅ .2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．（1）220x y ++=；（2）40x y -+=.【详解】试题分析：（1）联立方程组求出两直线的交点()2,2P -，再由直线垂直的条件求得直线的斜率，代入直线方程的点斜式可得到直线l 的方程；（2）设过点()2,2P -的直线l 与x 轴交于点(),0A a 与y 轴交于点()0,B b ，由中点坐标公式求得,a b 的值，得到,A B 的坐标，可求出,A B 所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.试题解析：(1)由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩解得22x y =-⎧⎨=⎩，∴点P 的坐标是(－2,2)．∵所求直线l 与l 3垂直，∴设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，得C ＝2.∴所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)设与x 轴交于A (a,0)，与y 轴交于B (0，b )，∵点P (－2,2)为中点，∴a ＝－4，b ＝4，直线方程l 为44x y +＝1，即x －y ＋4＝0.20．（1）34170x y -+=或3430x y --=；（2）33.⎡⎤--⎣⎦【解析】（1）求出圆心C 的圆心坐标与半径长，求出直线AB 的方程，利用直线AB 与圆C 相切可得出圆心C 到直线AB 的距离等于圆C 的半径，可得出关于实数m 的等式，求出m 的值，进而可求得直线AB 的方程；（2）求出线段AB 的中点D 的坐标，由题意可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）圆C 的标准方程为()()22114x y ++-=，圆心()1,1C -，半径为2r =，直线AB 的斜率为()21344AB k m m +==+-，所以，直线AB 的方程为()314y x m +=-，即34340x y m ---=，由于直线AB 与圆C 相切，则31125m --=，解得13m =-或7m =-，因此，直线AB 的方程为34170x y -+=或3430x y --=；（2）线段AB 的中点为12,2D m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且5AB =，由于以AB 为直径的圆D 与圆C 有公共点，则22AB AB r CD r -≤≤+，可得1922≤≤，解得33m --≤≤-，故实数m的取值范围为33⎡⎤--⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题考查利用两圆有公共点求参数的取值范围，若两圆圆心分别为1C 、2C ，半径分别为1r 、2r ，可将问题等价转化为121212r r C C r r -≤≤+来处理.21．（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【详解】本试题主要是考查了椭圆的方程和性质的运用，以及直线与椭圆的位置关系的运用．（1）利用椭圆的几何性质得到a,b,c 的关系式，从而解得（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和向量的关系式得到证明．解：(I)由题可知：22{1b c a c =-=解得1a c ==，1b ∴=∴椭圆C 的方程为（II ）设直线：(2)y k x =-，11()M x y ，，22()N x y ，，11()P x y -，，(10)F ，，由22(2){12y k x x y =-+=，，得2222(21)8820k x k x k +-+-=.所以2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.而2222(1)(12)FN x y x kx k =-=-- ，，，1111(1)(12)FP x y x kx k =--=--+ ，，，1221(1)(2)(1)(2)x kx k x kx k -----+ 1212[23()4]k x x x x =-++22221642442121k k k k k ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭0=//FN FP∴ ∴N F P 、、三点共线22．（1）2219x y +=；（2）38.【分析】（1）由题意，得到33a a c =⎧⎪⎨-=-⎪⎩c =1b =，即可得到椭圆C 的方程；（2）设直线AM 的方程为(3)y k x =-，进而得到直线AN 的方程为1(3)y x k=--，联立方程组，求得点M 的横坐标21227391k x k -=+，得出,AM AN ,进而得到AMN 的面积的表达式，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆222:1(0)9x y C b b+=>上的动点P到右焦点距离的最小值为3-，可得33a a c =⎧⎪⎨-=-⎪⎩c =1b ==，故椭圆C 的方程为2219x y +=.（2）设直线AM 的方程为(3)y k x =-，不妨设0k >.因为0AM AN ⋅= ，则直线AN 的方程为1(3)y x k=--.由22(3),19y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222291548190k x k x k +-+-=.设()11,M x y ，因为点A 的坐标为(3,0)，所以212819391k x k -=+，即21227391k x k -=+，所以126||91AM x k =-=+，同理可得2266||991k AN k k ==++，所以AMN 的面积1||||2S AM AN =⋅()()()22213612991k k k k =+⋅++()()()222422218118198299164k k k k k k k k ++==++++()22183891641k k k k =≤+++，当且仅当()2226491k k =+，即43k =时等号成立.所以AMN 面积的最大值为38.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．。
2022-2023学年吉林省长春市高二年级上册学期11月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省长春市第二中学高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知数列3，5，7，9，……，()21n +，则17是这个数列的（ ） A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项【答案】B【分析】由数列通项有2117n +=求解，即知17是数列的第几项. 【详解】由题设，2117n +=，可得8n =，故17是这个数列的第8项. 故选：B2．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-====-=-=∴=因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A.点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±.3．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ）A ．3B ．14C ．28D ．42【答案】D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D.4．若过点(2,1)P ，且与圆221x y +=相切的直线方程为（ ）A ．250x y +-=B ．250x y +-=或1y =C ．4350x y --=D ．4350x y --=或1y =【答案】D【分析】验证点在圆外，然后讨论切线斜率存在与不存在两种情况即可解决. 【详解】圆221x y +=的圆心是(0,0) ，半径是1r = ，把点(2,1)P 的坐标代入圆的方程221x y +=可知点P 在圆221x y +=外， 当直线斜率不存在时， 直线为2x = ，不满足题意； 当直线斜率存在时，设直线为1(2)y k x -=- ，即120kx y k -+-= ， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即1= ，解得0k = 或43k =， 切线为4350x y --=或1y = ， 故选：D.5．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，夏至日晷长为1.5尺，则一年中夏至到秋分的日晷长的和为（ ）尺．A ．24B ．60C ．40D ．31.5【答案】D【分析】根据给定条件可得以冬至日晷长为首项，夏至日晷长为第13项的等差数列，求出公差即可列式计算作答.【详解】依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为113.5a =，夏至日晷长为1.5尺，记为13 1.5a =， 因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到夏至日晷长的各数据依次排成一列得等差数列{},N ,13n a n n *∈≤，数列{}n a 的公差131 1.513.51131131a a d --===---， 因夏至日晷长最短，冬至日晷长最长，所以夏至到冬至的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为13.5尺，公差为1，共13项，秋分为第7项，故7167.5a a d =+=， 所以一年中夏至到秋分的日晷长的和为1.57.5731.52+⨯=(尺). 故选：D.6．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（ ） A ．32n a n =- B ．2n a n =-C ．n a n =D ．43n a n =-【答案】A【分析】根据等差中项的性质，列出方程代入计算即可求得公差d ，从而得到通项公式.【详解】因为2a ，3a ，6a 成等比数列，则2326a a a =⋅即()()()211125a d a d a d +=++，将11a =代入计算 可得2d =-或0d =（舍）则通项公式为()()11223n a n n =+-⨯-=-+ 故选:A.7．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．3716B ．115C ．2D ．74【答案】C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =-是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于 Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ + 抛物线24y x =的焦点(1,0)F∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ，∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 2==．故选：C ．8．已知数列{}n a 满足：6(3)8,6,6n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩（*n ∈N ），且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,3) B ．10(1,)7C ．10(,3)7D ．(1,3)【答案】C【分析】仿照分段函数的单调性求解，同时注意67a a <．【详解】由题意763016(3)8a a a a -->⎧⎪>⎨⎪--<⎩，解得1037a <<．故选：C ．二、多选题9．已知椭圆22:1641C x y +=，则下列结论正确的是（ ） A ．长轴长为12BC ．短轴长为12 D【答案】CD【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解判断选项即可． 【详解】椭圆22:1641C x y +=，化成标准方程为22111416y x +=， 可得12a =，14b =，c ==长轴长为21a =， A 选项错误；焦距2c =B 选项错误；短轴长为122b =， C 选项正确； 离心率32c e a ==，D 选项正确. 故选：CD ．10．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =-B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN =D ．三角形ONF 的面积为162（O 为坐标原点）【答案】ACD【分析】先求C 的准线方程4x =-，再求焦点F 的坐标为()4,0，接着求出4AN =，8FF '=，中位线62AN FF BM '+==，最后求出12FN =，162QNF S =△即可得到答案. 【详解】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F '，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =-，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF '=，在直角梯形ANFF '中，中位线62AN FF BM '+==， 由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==，故6612FN FM NM =+=+=，2212482ON =-=，18241622QNF S =⨯⨯=△.故选：ACD.【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.11．公差为d 的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列选项，正确的有（ ） A ．d ＞0 B ．0n a >时，n 的最大值为9 C ．n S 有最小值 D ．0n S >时，n 的最大值为17【答案】BD【分析】根据等差数列的单调性以及前n 项和的函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由1089S S S <<可得9100a a +<，90a >，100a <，故1090d a a =-<，A 错误； 对B ：由A 得，数列为单调减数列，且90a >，100a <，故0n a >时，n 的最大值为9，B 正确； 对C ：由A 得，0d <，故2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是关于n 的开口向下的二次函数，其有最大值没有最小值，C 错误；对D ：因为数列{}n a 的前9项均为正数，且179170S a =>，()()181********S a a a a =+=+<， 故0n S >时，n 的最大值为17，D 正确； 故选：BD .12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点P 在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（ ）A ．椭圆C的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭B ．当椭圆C1QF的取值范围是[2-+ C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅=D ．1211QF QF +的最小值为1 【答案】BCD【分析】根据点)P在椭圆C 外，即可求出b 的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A ，根据离心率求出c ，则[]1,QF a c a c ∈-+，即可判断B ，设上顶点A ，得到120AF AF <，即可判断C ，利用基本不等式判断D. 【详解】解：由题意得2a =，又点)P在椭圆C 外，则22114b+>，解得b <所以椭圆C的离心率2c e a ==>，即椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭，故A 不正确；当e =c1b =，所以1QF 的取值范围是[],a c a c -+，即2⎡⎣，故B 正确；设椭圆的上顶点为()0,A b ，()1,0F c -，()2,0F c ，由于222212·20AF AF b c b a =-=-<， 所以存在点Q 使得120QF QF ⋅=，故C 正确；()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当122QF QF ==时，等号成立， 又124QF QF +=， 所以12111QF QF +≥，故D 正确． 故选：BCD三、填空题13．已知直线1:2320l ax y a ++-=与()2:140l x a y +++=平行，则实数a 的值为______． 【答案】1【分析】根据直线一般式平行时满足的关系即可求解.【详解】由12l l //得：()112432a a a a ⎧+=⨯⎨≠-⎩，解得1a =，故答案为：114．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若314S =，12a =，则2514a a a a ++的值为__________． 【答案】2【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的前n 项和公式，即可求出公比q ，再根据等比数列的性质可知2514a a q a a +=+，由此即可求出结果. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，314S =，12a =不能同时成立；当1q ≠时，因为n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，且3114,2S a ==，所以()3131141a q S q-==-，即()()21171q q q q-++=-所以217q q ++=，所以2q （3q =-（舍去）），又()14251414=a a a a a a qq a a ++=++，所以2514a a a a ++的值为2.故答案为：2.15．已知双曲线2222x y a b-=1（0,0a b >>）的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是_______. 【答案】(2，+∞)【分析】由一三象限的渐近线的斜率大于3可得离心率的范围． 【详解】依题意，斜率为3的直线l 过双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F 且与双曲线的左右两支分别相交， 双曲线的一条渐近线的斜率ba必大于3， 即3b a >，因此该双曲线的离心率e 21()13c ba a==++=＞2． 故答案为：(2，+∞)．16．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,2F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则下列说法正确的有____________．①椭圆的长轴长为2②线段AB 长度的取值范围是4,222+⎡⎤⎣⎦；③ABF △面积的最小值是4； ④AFG 的周长为442+． 【答案】①②④【分析】由题意可得b 、c ，然后可得a ，可判断①；由椭圆性质可判断②；取特值，结合OA 长度的取值范围可判断③；由椭圆定义可判断④.【详解】解：由题知，椭圆中的几何量2b c ==，所以2222a c b =+=， 则242a =，故①正确；因为2AB OB OA OA =+=+，由椭圆性质可知222OA ≤≤，所以4222AB ≤≤+，故②正确； 记AOF θ∠=，则11sin sin()22ABFAOFOBFSSSOA OF OB OF θπθ=+=⋅+⋅- sin 2sin (2)sin OA OA θθθ=+=+取6πθ=，则111122422ABFSOA =+≤+⨯<，故③错误；由椭圆定义知，242AF AG a +==， 所以AFG 的周长42442AFGC FG =+=+，故④正确.故答案为：①②④四、解答题17．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，37a =，557S a =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值．【答案】(1)10n a n =-；(2)45.【分析】（1）求出等差数列的基本量后可求其通项；（2）根据通项的符号可求n S 的最大值．【详解】（1）设等差数列的公差为d ，则()1112751074a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得191a d =⎧⎨=-⎩， 故()9110n a n n =--=-.（2）因为当19n ≤≤时，0n a >，当10n =时，0n a =，当10n >时，0n a <，故当9n =或10n =时n S 有最大值且最大值为9010452+⨯=. 18．已知圆C 过点()2,6A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点()6,4B ．(1)求圆C 的方程；(2)过点()6,24P 的直线2l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN 为直角三角形，求直线2l 的方程；【答案】(1)()()221150x y -++=(2)6x =或125480x y -+=.【分析】（1）设圆心坐标为(),a b ，根据题意由()()()()22224162664b a a b a b -⎧=⎪-⎨⎪-+-=-+-⎩求解；（2）易得圆心C 到直线2l的距离5d ==，再分直线2l 斜率不存在和存在，利用点到直线的距离公式求解.【详解】（1）解：设圆心坐标为(),a b ， 则()()()()22224162664b a a b a b -⎧=⎪-⎨⎪-+-=-+-⎩，解得：11a b =⎧⎨=-⎩， ∴圆的半径r =∴圆C 的方程为：()()221150x y -++=. （2）CMN △为直角三角形，CM CN =，CM CN ∴⊥，则圆心C 到直线2l 的距离5d ==； 当直线2l 斜率不存在，即2:6l x =时，满足圆心C 到直线2l 的距离5d =；当直线2l 斜率存在时，设()2:246l y k x -=-，即6240kx y k --+=，5d ∴==，解得：125k =， 21248:055l x y ∴-+=，即125480x y -+=； 综上所述：直线2l 的方程为6x =或125480x y -+=.19．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF . （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.【答案】（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程. (2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案.【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=， 抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx m k x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k =,则122y y k +=，122m y y k =，又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=， ()()1212121202kx x m x x y y ++-+=， 即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =， 所以直线的方程为()21y m x =+，即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A =PB =AB =2，E 为AD 中点．(1)证明：AC ⊥PE ；(2)若AC =2，F 点在线段AD 上，当直线PF 与平面PCD 所成角的正弦值为14，求AF 的长． 【答案】(1)证明见解析(2)1AF =【分析】（1）构造辅助线证明线面垂直得到线线垂直.（2）建立空间直角坐标系利用向量方法表示线面角即可求得AF 的长【详解】（1）证明：取AB 中点M ，连接,ME BD ，又因为2PA PB AB ===，所以PM AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =．所以PM ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以PM AC ⊥，在ABD △中，因为M ，E 分别是,AB AD 中点，所以ME BD ∥，由底面ABCD 为菱形知，AC BD ⊥，所以AC ME ⊥．因为PM ME M =，所以AC ⊥平面PME ，又PE ⊂平面PME ，所以AC PE ⊥．（2）解：∵2AC =，∴ABC 为正三角形，即AB MC ⊥，由（1）知PM ⊥平面ABC ，∴以M 为原点，以MB 为x 轴，MC 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0),3,0),(3,0),3)--A C D P ， (0,3,3),(2,0,0)=-=-PC CD ，设面PCD 的法向量(,,)n x y z =，由·0·0PC n CD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即33020z x =-=⎪⎩ 取(0,1,1)n =， 依题意设AF AD λ=，01λ≤≤，则(3,0),(3,3)λλλλ--=---F PF ，设直线PF 与平面PCD 所成角为θ，||1sin 4||||θ⋅==⋅PF n PF n ， 解得12λ=或2（舍去）， ∴1AF =．21．已知数列{}n a ，其中前n 项和为n S ，且满足15a =，*123(N )n n a a n +=+∈．(1)证明：数列{3}n a +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析(2)223n n a +=-，*n ∈N ，n S 3238n n +=--．【分析】（1）根据题意对123n n a a +=+两边同时加3，进一步推导即可发现数列{3}n a +是以8为首项，2为公比的等比数列；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{3}n a +的通项公式，进一步计算出数列{}n a 的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前n 项和n S ．【详解】（1）证明：由题意，123n n a a +=+两边同时加3，可得132332(3)n n n a a a ++=++=+，13538a +=+=，∴数列{3}n a +是以8为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得123822n n n a -++=⋅=，则223n n a +=-，*n ∈N ， 故12n n S a a a =++⋅⋅⋅+342(23)(23)(23)n +=-+-+⋅⋅⋅+-342(222)3n n +=++⋅⋅⋅+-⋅3322312n n +-=-- 3238n n +=--．22．已知椭圆2222:10x y C a b a b +=>>（），四点()()12341,1,0,1,,P P P P ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 是椭圆C 的上顶点，点Q ，R 在椭圆C 上，若直线PQ ，PR 的斜率分别为12,k k ，满足1234k k ⋅=，求PQR 面积的最大值．【答案】(1)2214x y += (2)32【分析】（1）由对称性可知经过34P P ，两点，再把1P 代入，得到222211134a b a b +>+，从而确定不经过点1P ，确定点2P 在C 上，待定系数法求出曲线C 的方程；（2）设直线:QR y kx m =+，与椭圆C 的方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出12,k k ，列出方程，求出2m =-，直线QR 过定点()02M -，，故()123PM =--=，且由0∆>得到234k >，表达出1212PQRS PM x x =⋅⋅-=，换元后利用基本不等式求出面积的最大值32. 【详解】（1）由于34P P ，两点关于y 轴对称，故曲线C 经过34P P ，两点， 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ， 所以点2P 在C 上． 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩， 故C 的方程为2214x y +=； （2）由于P 是椭圆C 的上顶点，故直线QR 的斜率一定存在，设()()1122,,,Q x y R x y ，直线:QR y kx m =+，联立方程组 2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()222148440k x kmx m +++-= ()()()222222644441416140k m m k k m ∆=--+=+->，得2214k m +>，2121222844,1414km m x x x x k k --+==++， ()()12121212121111kx m kx m y y k k x x x x +-+---⋅=⋅= ()()()221212121134k x x k m x x m x x +-++-==,由题意知1m ≠，由2121222844,1414km m x x x x k k --+==++， 代入化简得()()()()222418141310k m k m m k m +-+-+-+=，整理得：240m --=，∴2m =-故直线QR 过定点()02M -，， 由0∆>得()22142k +>-，解得234k >， 且()123PM =--=，12121133222PQR S PM x x x x =⋅-=⨯-==令0t，则2663442PQR t S t t t ==≤=++， 当且仅当4t t =，即2t =，即k = 所以PRQ △面积的最大值为32. 【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题难点在利用1234k k ⋅=求出直线QR 过定点()02M -，后，利用1212PM x x ⋅-表达出PQR S ，再根据基本不等式求出面积的最大值.。
上海市建平中学2024-2025学年高二上学期练习(二)(11月月考)数学试题
上海市建平中学2024-2025学年高二上学期练习（二）（11月月考）数学试题一、填空题1．从存放号码分别为1,2,3,,10 的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数15105769189129取到号码为奇数的频率为.2．甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为.3．若方程2212x y m m+=-表示椭圆，则实数m 的取值范围是.4．已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求2件都是合格品的概率.5．已知公比不为l 的等比数列{}n a 满足135a a +=，且132,,a a a 构成等差数列．记n S 为{}n a 的前n 项和，求使238k S >成立的最大正整数k 的值为．6．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2212yx -=的左、右两个焦点，点M 在双曲线的右支上，且126MF MF +=，则12MF F ∠=．7．若复数z 满足2z =，则44z z ++-的取值范围是.8||1x =-与直线y x b =+有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是．9．甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到10:10时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为34，在两人的第一局比赛中，两人达到了10:10，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点i P 作圆O 的两条切线，,A B 为切点，满足32i iP A PB ⋅= ，则k 的取值范围为.二、单选题11．对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（）A ．概率太小，不可能发生B ．1000次中一定发生1次C ．1000人中，999人说不发生，1人说发生D ．1000次中有可能发生1次12．已知圆方程()1:,0C f x y =，点()111,P x y 在圆1C 上，()222,P x y 不在圆1C 上且不与圆心1C 重合，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示的圆2C 与圆1C 的关系是（）A ．圆2C 与圆1C 重合B ．圆2C 与圆1C 圆心不同C ．圆2C 过1P 且与圆1C 圆心相同D ．圆2C 过2P 且与圆1C 圆心相同13．曲线k C ：()40,Q k kx y k k +=>∈，下列两个命题：命题甲：当12k =时，曲线与坐标轴围成的面积小于128；命题乙：当k =2n ，N n *∈时，曲线围成的面积总大于4；下面说法正确的是（）A ．甲是真命题，乙是真命题B ．甲是真命题，乙是假命题C ．甲是假命题，乙是真命题D ．甲是假命题，乙是假命题三、解答题14．已知函数()2sin cos f x x x x =+.(1)求=的最小正周期；(2)若[]0,πx ∈，求=的单调递增区间.15．已知集合{}{}1,1,2,3,20,8,4,9M N =-=--，若分别从集合,M N 中随机抽取一个数m 和n ，二次函数()21f x mx nx =--.记事件A 为“)4,é-+¥ë是二次函数=的单调递增区间”，事件B 为“(],0-∞是二次函数=的单调递减区间”.(1)分别求事件A 、事件B 的概率；(2)求事件A 、事件B 至少一个发生的概率.16．已知点()2,0A -，()2,0B ，点P 在以AB 为直径的圆C 上运动，PD x ⊥轴，垂足为D ，点M满足DM = ，点M 的轨迹为W ，过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 交W 于点E 、F .(1)求W 的方程；(2)若直线l 的倾斜角为60︒，求直线l 被圆C 截得的弦长；(3)设直线AE ，BF 的斜率分别为1k ，2k ，证明21k k 为定值，并求出该定值.17．已知曲线C 的方程为()20,,ax bxy c a b c ++=∈R .(1)若0,1,1a b c ===-，斜率为1的直线l 与曲线C 相交于A B ､两点，求弦AB 中点的轨迹方程；(2)若4,3,3a b c ==-=.（i ）请判断曲线C 是双曲线还是椭圆，并研究曲线C 的以下性质：①,x y 的范围；②对称中心和对称轴，③离心率.（本小问均无需证明）；（ii ）请证明（i ）中关于曲线C 形状的判断，并写出曲线C 的两个焦点坐标.。
湖南省2022-学年高二数学11月月考试题
湖南省怀化市辰溪县第一中学2021-2021学年高二数学11月月考试题一、选择题，本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.设,A B 是两个集合，那么“A B A ⋂=〞是“A B ⊆〞的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.复数z ＝i1＋i在复平面上对应的点位于( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3.向量1,2,1-=⋅==b a b a,那么向量a 与b 的夹角为 〔 〕A.3π B. 23π C. 6πD. 56π 4.设抛物线28=y x 上一点P 到x 轴的距离是4,那么点P 到该抛物线焦点的距离是( ). A.4 B.6 C.8 D.12 5.以下函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是〔 〕 A 3y x = B 21y x =-+ C 1y x =+ D 2xy -=6.假设a 为实数，且2i3i 1ia +=++，那么a =〔 〕 A.-4B.-3C.3D.47.为了得到函数2sin(3)4y x π=+的图象,只需把函数2sin3y x =的图象上所有的点〔 〕 A. 向左平移4π个单位 B. 向左平移12π个单位 C. 向右平移4π个单位 D. 向右平移12π个单位8.设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,那么,,a b c 的大小关系是( )A.a c b >>B.a b c >>C.c a b >>D.b c a >>9.()()23'1f x x xf =+,那么()'2f = ( )A.1B.2C.4D.810.一个焦点为()0,6，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线的方程是( 〕A ．2211224x y -=B ．2211224y x -= C. 2212412y x -= D ．2212412x y -=11.函数()f x 的定义域为()0,+∞,且满足()()0f x x f x '+⋅> (()'f x 是()f x 的导函数),那么不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为( ) A. ()1,2-B. ()1,2C. ()1,+∞D. (),2-∞12.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足60=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，那么ABMN 的最大值是( )．A. 32B. 23C. 61D. 1二填空题：本大题共4小题，每题5分13.函数233)(x x x f +-=的极大值为 .14.向量()()2,1,3,a b x =-=，假设3a b =，那么x = ． 15.函数是幂函数,那么实数的值为 。
河南省新乡市第十一中学2020-2021学年高二下学期第二次月考理科数学试题(含答案解析)
河南省新乡市第十一中学2020-2021学年高二下学期第二次月考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知20211i z =+，则2z i -=（）AB ．C ．2D2．用反证法证明“若a ，b ∈R ，220a b +≠，则a ，b 不全为0”时，假设正确的是（）A ．a ，b 中只有一个为0B ．a ，b 至少一个不为0C ．a ，b 至少有一个为0D ．a ，b 全为03．下列运算正确的个数是（）①(sin )cos 88ππ'=；②1(3)3x x x '-=⋅；③2()1log ln 2x x '=；④561()5x x -'-=-.A ．1B ．2C ．3D ．44．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于A ．110B ．18C ．16D ．155．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若218a =，580S =，则数列{}n a 的通项公式为n a =（）A ．222n +B ．222n -C ．202n-D ．()21n n -6．若直线y x a =+和曲线ln 2y x =+相切，则实数a 的值为（）A ．12B ．2C ．1D ．327．函数()cos sin f x x x x =-的导函数为()f x '，则函数()f x '的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．8．已知数列{n a }为等差数列，且1815πa a a ++=，()412cos a a +的值为a ，则1d ax x =⎰（）A ．1B ．2C ．－1D ．39．某校开设了素描､摄影､剪纸､书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程.则以下说法错误．．的是（）A ．丙有可能没有选素描B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描10．已知定义在()0,+¥上的函数()f x ，()f x ¢是()f x 的导函数，满足()()0xf x f x '-<，且()2f ＝2，则()0x xf e e ->的解集是（）A ．()20,eB ．()ln2+∞,C ．()ln2-∞,D ．()2e +∞,11．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布()2,30N μ和()2280,40N ，则下列选项不正确的是（）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈.A ．若红玫瑰日销售量范围在()30,280μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.341312．一件刚出土的珍费文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积为0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆（如图），要求文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用为（）A ．4500元B ．4000元C ．2880元D ．2380元二、填空题13．已知函数()f x x =，则1()f x dx ⎰＝_______．14．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =.且47522a a +=，则5S =______.15．已知函数()||x x f x e=，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_________.三、双空题16．从分别标有1，2，…，5的5张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的奇偶性不同的概率是______，记随机变量X 为两张卡片的数字和，则EX =______.四、解答题17．设ABC 的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，且有2sinBcosA sinAcosC cosAsinC+＝（1）求角A 的大小；（2）若21b c ＝，＝，D 为BC 中点，求AD 的长．18．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．19．甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率为23外，其余每局甲队获胜的概率都是12，假设每局比赛结果相互独立．（1）求甲队分别以3:0,3:2获胜的概率；（2）若比赛结果为3:0，胜方得3分，对方得0分，比赛结果为3:1，胜方得3分，对方得1分，比赛结果为3:2，胜方得3分，对方得2分，求甲队得分的分布列和数学期望．20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1A -，（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()2,1P 的直线与椭圆E 交于不同两点B 、C .求证：直线AB 和AC 的斜率之和为定值.21．已知函数()(1),()a f x x a lnx a R x=--+∈．（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若0a >，求()f x 的单调区间．22．在平面直角坐标xOy 中，已知曲线C 的参数方程为3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()74πθ+=．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 上的两个动点M ，N 满足MN =P 在曲线C 上，以M ，N ，P 为顶点构造平行四边形MNPQ ，求平行四边形MNPQ 面积的最大值．参考答案：1．D【分析】化简得1z i =+，即得解.【详解】由题得1z i =+，所以21,z i i -=-所以|2||1|z i i -=-=故选：D 2．D【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【详解】由于“a ，b 不全为0”的否定为：“a ，b 全为0”，所以假设正确的是a ，b 全为0.故选：D ．3．A【分析】直接利用初等函数的导数公式运算判断得解.【详解】①(sin )08π'=，所以该运算错误；②3l 3)n (3'=x x ，所以该运算错误；③2()1log ln 2x x '=，所以该运算正确；④56()5x x -'-=-，所以该运算错误.所以正确的个数为1.故选：A.【点睛】易错点睛：(sin )cos 808ππ'=≠，因为sin 8π是一个实数，所以要代公式0C '=,不能代公式(sin )cos x x '=.所以代导数公式时，要看清函数的类型.4．D【详解】考点：古典概型及其概率计算公式．分析：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C 64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C 64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于315=15故选D ．5．B【分析】联立218a =，580S =，求出首项和公差，按照公式求通项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则21511851080a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得1202a d =⎧⎨=-⎩，所以()()2012222n a n n =+-⨯-=-．故选：B ．6．C【分析】先求导1()f x x'=，再设切点坐标为00(,)x x a +，求出0x 即得解.【详解】因为()=ln 2y f x x =+，所以1()f x x'=，设切点坐标为00(,)x x a +，所以0001()=1,1f x x x '=∴=.所以00()=ln12=2=1,1f x x a a a ++=+∴=.故选：C【点睛】结论点睛：函数()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-.7．B【解析】先求出()f x '，判断()f x '的奇偶性可排除AD ，再判断0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin 0x >可排除C.【详解】 ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，显然()()()=sin =sin f x x x x x f x '---=，故()f x '为偶函数，排除AD ．又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，sin 0x >，()0f x '∴<，排除C.故选：B ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．B【分析】由{}n a 为等差数列，且1815πa a a ++=，利用等差数列的性质得到412a a a =+的值，然后求定积分即可．【详解】因为{}n a 为等差数列，由等差数列的性质，得181583πa a a a ++==，即8π3a =.所以41282π23a a a +==，所以()4122π1cos cos 32a a a =+==-，所以()11111220d d 22102a x x x x x-===-=⎰⎰.故选：B 9．C【解析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．【详解】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描.那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描.综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确.不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况:由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确.故选:C.【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.10．C【解析】由导数公式得出2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，从而得出函数()f x x 的单调性，将不等式()0xxf ee->可化为()(2)2x xf e f e >，利用单调性解不等式即可.【详解】因为2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x x 在区间()0,+¥上单调递减不等式()0xxf e e->可化为()(2)2x xf e f e >，即2xe <，解得ln 2x <故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由导数公式得出函数()f x x的单调性，利用单调性解不等式.11．C【分析】求出μ的值，可判断A 选项的正误；比较红玫瑰日销售量和白玫瑰日销售量方差的大小，可判断BC 选项的正误；计算()280320P X <<的值，可判断D 选项的正误.【详解】若红玫瑰的日销售量范围在()30,280μ-的概率是0.6826，则30280μ+=，解得250μ=，A 对；红玫瑰日销售量的方差为21900σ=，白玫瑰日销售量的方差为221600σ=，且2212σσ<，故红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，B 对C 错；因为32028040=+，所以，()()0.6826280320280280400.34132P X P X <<=<<+==，D 对.故选：C.12．B【分析】根据题意，先求得正四棱柱的底面棱长和高，由体积公式即可求得正四棱柱的体积，减去文物的体积，即可求得罩内的气体体积，进而求得所需费用.【详解】由题意可知，文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米所以由正方形与圆的位置关系可知：底面正方形的边长为0.920.3 1.5m +⨯=文物高1.8，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米所以正四棱柱的高为1.80.22m +=则正四棱柱的体积为231.52 4.5m V =⨯=因为文物体积为30.5m 所以罩内空气的体积为34.50.54m -=气体每立方米1000元所以共需费用为410004000⨯=元故选：B 13．142π+【分析】先利用数形结合求出4π=⎰，再利用定积分的运算和微积分基本原理求解.【详解】令221),+1(0,01)y x x y y x =≤≤∴=≥≤≤，它表示单位圆在第一象限的14个圆，因为⎰表示14个圆的面积，所以21144ππ=⨯⨯=⎰.所以1121000011()|4242f x dx xdx x ππ=+=+=+⎰⎰⎰.故答案为：142π+【点睛】方法点睛：定积分的计算常用的方法有：（1）利用微积分基本原理求解；（2）数形结合转化为几何图形的面积求解.要根据已知条件灵活选择方法求解.14．31【解析】化简得到42a =，714a =，故12q =，116a =，在计算5S 得到答案.【详解】21744a a a ==，故42a =，47522a a +=，故714a =，故37418a q a ==，故12q =，116a =.551121631112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.故答案为：31.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，求和，意在考查学生对于等比数列公式的灵活运用.15．1(1,1)e+【分析】方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，即方程()[]()1()10f x m f x ⎡⎤---=⎣⎦有四个不相等的实数根，则()()=1f x m -或()=1f x 有四个不相等的实数根，结合图象利用分类讨论()=1f x 与()()=1f x m -的根的情况，其中当0x >时分别构造函数()xg x e x =-与()()1x h x m e x =--分析，最后由转化思想将函数()h x 有两个零点转化为()min h x 小于0构造不等式求得答案.【详解】方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，即方程()[]()1()10f x m f x ⎡⎤---=⎣⎦有四个不相等的实数根，则()()=1f x m -或()=1f x 有四个不相等的实数根，因为函数()||0101xx f x m m e =≥⇒-≥⇒≥，对方程()=1f x 的根分析，令||1||x x x x e e=⇒=，由图象分析可知，当0x <时，必有一根，当0x >时，令()xg x e x =-，则()10x g x e '=->，所以函数()g x 单调递增，故()()00010g x g e >=-=>，所以当0x >时，方程()=1f x 无根，故方程()=1f x 只有1个根，那么方程()()=1f x m -应有3个根，对方程()()=1f x m -的根分析，令()||1||1x x x m x m e e=-⇒=-，由图象分析可知，当0x <时，必有一根，当0x >时，方程()||1x x m e =-应有2两个不等的实根，其等价于方程()1||0x m e x --=有2个不等的实根，令()()1x h x m e x =--，则()()11x h x m e '=--，且其在0x >内有两个零点，显然当()()()211020x m h x m e h m ''≥⇒=-->=-≥，函数()h x 单调递增，不满足条件，则2m <；令()()110110ln 011x x h x m e e x m m '=⇒--=⇒=⇒=>--，则函数()h x 在区间10,ln 1m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,1m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭单调递增；所以函数()h x 在1ln 1x m =-取得极小值，同时也为最小值，()()()1ln 1min 11ln 1ln ln 111m h x h m e e m m m -⎛⎫==--=-⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭，函数()h x 若要有两个零点，则()()()min 10ln 10111h x e m e m m e<⇒-<⇒-<⇒<+⎡⎤⎣⎦，综上所述，实数m 的取值范围是1(1,1)e+.故答案为：1(1,1)e+【点睛】本题考查了函数与方程的数学思想，还考查了由函数零点个数求参数取值范围与利用导数分析方程的根的个数，属于难题.16．356【分析】结合组合的思想分别求出抽取2次的组合数以及奇偶性不同的组合数，即可求出概率；写出X 的可能取值，并且求出每种取值下的概率，即可求出EX .【详解】解：5张卡片中不放回地随机抽取2次共有25C 种可能，其中奇偶性不同共有3211C C 种，所以2张卡片上的奇偶性不同的概率是11322535C C C =；由题意知，3,4,5,...,9X =，则()1310P X ==，()1410P X ==，()215105P X ===，()216105P X ===，()217105P X ===，()1810P X ==，()1910P X ==，所以11111113456789610105551010EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为:35;6.【点睛】本题考查了组合数的计算，考查了古典概型概率的求解，考查了离散型随机变量的数学期望的求解.17．（1）A ＝3π；（2）2.【分析】（1）对等式右边使用正弦两角和公式，化简可得；（2）用余弦定理求出a ,利用已知数据得2B π=,在直角三角形中利用勾股定理求解.【详解】解（1）由题设知，)2(sinBcosA sin A C sinB＝＋＝因为sinB 0≠，所以1cos 2A =由于0A π<<，故3A π＝（2）因为222124122132a b c bccosA 创＝＋－＝＋－，所以222a c b ＋＝，所以2B π=.因为D 为BC中点，所以12BD AB ＝＝，所以AD =【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．18．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB .【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C ,由于AB ⊂平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.19．（1）甲队分别以3:0,3:2获胜的概率分别为11,84；（2）分布列见解析；期望为178．【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）由题意知，随机变量X 的所有可能的取值，根据事件的互斥性计算概率值，从而写出X 的分布列，求出所对应的数学期望．【详解】解：（1）甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，记“甲队以3:0获胜”为事件A ，记“甲队以3:2获胜”为事件B ，3223234111121(),()1282234P A C P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⋅⋅ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭，所以甲队分别以3:0,3:2获胜的概率分别为11,84．（2）若甲队得3分，则甲胜，结果可以为3:0,3:1,3:2，若甲队得0分，1分，2分，则甲败，结果可以为0:3,1:3,2:3，设甲队得分为X 则X 的可能取值为0、1、2、3，0303111(0)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎭⋅⎝，12131113(1)1122216P X C ⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2224111(2)1122382P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅302122322334111111129(3)112222222316P X C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅X 的分布列为：X0123P 1831618916甲队得分的数学期望31917()123168168E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）利用a b c 、、的关系直接求解即可；（2）设出BC 的方程为()()210y k x k =-+>，联立椭圆方程，再表示出AB 和AC 的斜率，最后说明之和为定值.【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1A -得，1b =.设半焦距为c ，由离心率为2得，2c a =又因为222a b c =+，所以22314a a =+，解得2a =故椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）因为直线BC 过点()2,1P 且与轨迹E 有两个不同交点所以直线BC 的斜率一定存在且大于零.于是可设直线BC 的方程为()()210y k x k =-+>.代入2244x y +=并整理得()()()22418211610k x k k x k k +--+-=.()()()222=8124141616640k k k k k k ∆--+-=>⎡⎤⎣⎦设()11,B x y ，()22,C x y ，则()12282141k k x x k -+=+，()12216141k k x x k -=+.设直线AB 和AC 的斜率分别为1k 和2k ，则()()1212121212222211k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()()()1212211612122161k x x k k k k k x x k k -+--=-=--()2211k k =--=为定值，此题得证.【点睛】考查椭圆方程的求法以及根据直线和椭圆的位置关系求两条直线的斜率之和为定值.直线和椭圆相交时，采用设交点坐标而不求出的方法，一定注意判别式大于零，同时用上韦达定理，可使解题简单；难题.21．（1）极大值1-；极小值132ln -；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）首先求函数的导数，2232()(0)x x f x x x -+'=>，判断函数的单调性后得到函数的极值；（2）222(1)()(1)()x a a x x a x f x x x +-+--'==，分1a >，1a =和01a <<三种情况讨论求函数的单调递减区间.【详解】解：（1）因为当2a =时，2()3f x x lnx x =--，所以2232()(0)x x f x x x -+'=>，由()0f x '=得1x =或2x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况列表如下：x(0,1)1(1,2)2(2,)+∞()f x '+0-0+()f x 单调递增1-单调递减132ln -单调递增所以当1x =时，()f x 取极大值1-；当2x =时，()f x 取极小值132ln -．（2）222(1)()(1)()x a a x x a x f x x x +-+--'==，12()0,1f x x a x '=⇒==①当1a >时，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．②当1a =时，()0f x '≥在(0,)+∞恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当01a <<时，当(0,)x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,1)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，①当1a >时，()f x 单调递增区间为(0,1)，(,)a +∞．单调递减区间为(1,)a ；②当1a =时，()f x 单调增区间为(0,)+∞，无减区间；③当01a <<时，()f x 单调递增区间为(0,)a ，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)a ．22．（1）221916x y +=；70x y --=；（2）【分析】（1）曲线C 的参数方程消去参数θ，即可求出C 的普通方程，再把极坐标化为直角坐标即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C 上的点坐标为(3cos ,4sin )P αα，利用点到直线的距离公式和辅助角公式求出d 的最大值，再利用求面积的公式代入即可.【详解】解：（1）曲线C 的参数方程为3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，消去参数θ，可得曲线C 的标准方程为221916x y +=．直线l cos()74πθ+=，化简可得cos sin 7ρθρθ-=，∵cos ,sin x y ρθρθ==,∴70x y --=．（2）设(3cos ,4sin )P αα，则点P 到直线70x y --=的距离d =所以max d =当且仅当cos()1αϕ+=-，即2,k k Z αϕππ+=+∈取到最大值，所以平行四边形MNPQ 面积的最大值max S ==.。
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二年级上册学期第一次月考(11月)数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二上学期第一次月考（11月）数学（理）试题一、单选题1．若直线过圆的圆心，则（ ）0x y a +-=22:2430C x y x y +--+==a A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】先求出圆的圆心坐标，根据圆心在直线上，代入即22:2430C x y x y +--+=0x y a +-=可求解.【详解】解：圆，22:2430C x y x y +--+=即，()()22122x y -+-= 圆的圆心坐标为：，∴C ()1,2将代入，()1,20x y a +-=即，120a +-=解得.3a =故选：D.2．直线，，若，则的值为（ ）1:310l ax y ++=2:2(1)10l x a y +--=12l l ∥a A ．B ．32C ．或D ．或3-232-A【分析】由直线与直线平行的判断条件求解即可【详解】因为直线，，且，1:310l ax y ++=2:2(1)10l x a y +--=12l l ∥所以，解得a ＝3，3121a a =≠--故选：A ．3．已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（ ）,,αβγm n A ．若，则,m m αβ⊥⊥αβ∥B ．若，则,αγβγ⊥⊥αβ∥C ．若，则,m n m α⊥⊥n α∥D ．若，则,m n αα∥∥m n ∥A【分析】对于A 选项，垂直于同一条直线的两个平面互相平行；对于B 选项，垂直于同一个平面的两个平面有可能相交，也有可能互相平行；对于C 选项，由线面垂直的性质即可判断；对于D 选项，平行于同一个平面的两条直线有可能相交、平行或异面.【详解】选项A 正确，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；选项B 错误，平面和也可以相交；αβ选项C 错误，直线可能在平面内；n α选项D 错误，直线和还可能相交或者异面.m n 故选：A.4．已知体积公式中的常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方3V kD =k 体，球也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示3V kD =D D 棱长，在球中，表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为），正方体D a （棱长为），球（直径为）的“立圆率”分别为，，，则（ ）a a 1k 2k 3k 123::k k k =A ．B ．:1:46ππ:2:46ππC ．D ．3:2:2π111::64πA【分析】根据体积公式分别求出“立圆率”即可得出.【详解】因为，所以，231=2a V a k a π⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱14k π=因为，所以，332V a k a ==正方体21k =因为，所以，333432a V k a π⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭球36k π=所以.123::k k k =:1:46ππ故选：A.5．点P 为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）22416x y +=1F 2F 13PF =2PF =A ．13B ．1C ．7D ．5D【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案.1228PF PF a +==【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，221416x y +=1228PF PF a +==故25PF =故选：D 6．已知函数，则不等式的解集是（ ）()2log 1f x x x =-+()0f x <A ．B ．()1,2()(),12,-∞+∞ C ．D ．()0,2()()0,12,⋃+∞D【分析】由可得，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案.()0f x <2log 1x x <-【详解】解：依题意，等价于，()0f x <2log 1x x <-在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：2log y x =1y x =-如图可得的解集为.2log 1x x <-()()0,12,⋃+∞故选：D.7．下列函数中，同时满足：①在上是严格增函数；②以为周期；③是奇函数的函数是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2π（ ）A ．B ．()sin y x π=+cos y x =C ．D ．tan2x y =tan y x=-C【分析】由三角函数的单调性、周期性及奇偶性逐项判断即可得解.【详解】对于A ，，该函数在上单调递减，不合题意；()sin sin y x xπ=+=-0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭对于B ，，该函数在上单调递减，且为偶函数，不合题意；cos y x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，，当时，，在上是增函数，tan2x y =0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0,24x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 2x y =0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭最小正周期，且为奇函数，符合题意；212T ππ==对于D ，，在上单调递减，不合题意.tan y x =-0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C.8．已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（ 1C 22()(2)4x a y -++=2C 22()(1)1x b y +++=ab ）A ．2B C ．D ．494A【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，2(=8)a b +ab a 同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.b 0a >0b >ab 【详解】圆的圆心为，半径，221:()(2)4C x a y -++=1(,2)C a -12r =圆的圆心为，半径，222:()(1)1C x b y +++=2(,1)C b --21r =由圆C 1与圆C 2相外切，得1212||C C r r =+，3=∴；2(=8)a b +要使取得最大值，则，同号，不妨取，，ab a b 0a >0b >由基本不等式，得，当且仅当28()=224a b ab +∴≤=a b ==∴ab 的最大值为2．故选：A9．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为（ ）l (),m n ()1,5l 135︒14m n +A ．4B ．9C ．D ．2332D【分析】由题得，再利用基本不等式求解.6(0,0)m n m n +=>>【详解】由题得，5tan1351,6(0,0)1n m n m n m -==-∴+=>>-所以.141141413()()(5(56662n m m n m n m n m n +=++=++≥+=当且仅当时取等.2,4m n ==所以的最小值为.14m n +32故选：D关键点睛：解答本题的关键在于“拼凑”化简，再利用基本不等式求解.14114()()6m n m n m n +=++10．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知的顶点，则欧拉线的方程为（ ）ABC ()()()4,0,0,2,0,3A B C -ABC A ．B ．230x y +-=230x y +-=C ．D ．230x y --=230x y --=D【分析】求出重心，求出边上的高和AC 边上的高的方程，联立可求出垂心，即可求出欧拉线AB 的方程.【详解】由题可得的重心为，ABC 41,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为AB 021402-=--AB AB ，即，()320y x +=-230x y --=直线AC 的斜率为，所以AC 边上的高的斜率为，则AC 边上的高的方程为033404+=-43-，即，()4203y x -=--4360x y +-=联立可得垂心坐标为，2304360x y x y --=⎧⎨+-=⎩3,02H ⎛⎫⎪⎝⎭则直线GH 的斜率为，则直线GH 的方程为，10324332--=-3022y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以欧拉线的方程为.ABC 230x y --=故选：D.11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）111ABC A B C -AC BC ⊥12AA AB ==A ．四棱锥为“阳马”11B A ACC -B ．四面体为“鳖臑”11AC CB C ．四棱锥体积的最大值为11B A ACC -23D ．过A 点作于点E ，过E 点作于点F ，则面AEF1AE A B ⊥1EF A B ⊥1A B ⊥C【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当时，四棱锥AC BC =体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证平面，进而判断D 的11B A ACC -1A B ⊥AEF 正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱平面，111ABC A B C -AC BC ⊥1AA ⊥ABC A 选项，∴，又，且，则平面，1AA BC ⊥AC BC ⊥1AA AC A = BC ⊥11A ACC ∴ 四棱锥为“阳马”，故A 正确；11B A ACC -B 选项，由，即，又且，AC BC ⊥11A C BC ⊥111AC C C ⊥1BC C C C ⋂=∴平面，∴，则为直角三角形，11A C ⊥11BB C C 111A C BC ⊥11A BC 又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，BC ⊥11AA C C 1A BC 11AC C 为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B 正确；1CC B 11AC CBC 选项，在底面有，即，当且仅当2242AC BC AC BC =+≥⋅2AC BC ⋅≤AC BC ==，最大值为，故C 错误；1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤43D 选项，因为，，，所以平面，故D 正确；1AE A B ⊥1EF A B ⊥AE EF E ⋂=1A B ⊥AEF 故选：C12．已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，12,F F 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F C ,P Q 若，则的离心率是（ ）12125PF PF F Q==CA B C D D【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，12125PF PF F Q==1F Q t=1PF 2PF 然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，t a a PQ1QF 2QF 2PQF 利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率.2π2QPF ∠=12PF F △c a 【详解】由已知，可根据条件做出下图：因为，令，12125PF PF F Q==1F Q t=所以，，由椭圆的定义可知，15PF t =252PF t =125152522PF PF a t t t +==+=所以，所以，，，，415t a =143PF a =223PF a=1415F Q a =11442431515PQ PF F a a a Q =+=+=由椭圆的定义可知，12226215QF QF a QF a +=⇒=在中，，所以,2PQF 22222QF QP PF =+2π2QPF ∠=在中， ，所以12PF F △122FF c =2112222F F F P PF =+所以2222216454999c c a a c e a a +=⇒=⇒==所以C 故选：D.二、填空题13．若点在圆的外部，则实数a 的取值范围是___________.()1,1()225x a y -+=()(),13,-∞-⋃+∞【分析】根据题意，建立不等式即可求解.【详解】由题意可知，解得或，()22115a -+>1a <-3a >则实数a 的取值范围是，()(),13,-∞-⋃+∞故()(),13,-∞-⋃+∞14．数列中，，则__________.{}n a 23n S n n=+n a =22n +当时，，当时，根据，即可求得，综合即可得答案.1n =114a S ==2n ≥1n n n a S S -=-n a 【详解】当时，，1n =114a S ==当时，，2n ≥221(1)3(1)2n S n n n n -=-+-=+-所以，2213(2)22n n n a S S n n n n n -=-=+-+-=+又，满足上式，所以，14a =*22()n n n N a =+∈故22n +15．若三棱锥的各顶点都在球的表面上，，-P ABC O AB BC CA ===PA PB PC ===则球的表面积为___________.O 64π【分析】由已知条件可知三棱锥是正三棱锥，设的中心为，则外接球的球心在-P ABC ABC 1O O 所在直线上，在在中，由勾股定理求得外接球半径，再由球的表面积公式即可求解.1PO 1Rt AOO R【详解】因为三棱锥中，，-P ABC AB BC CA ===PA PB PC ===所以此三棱锥为正三棱锥，设底面的中心为，连接并延长交于点，则为的中点，ABC 1O 1AO BC D D BC 外接球球心在所在直线上，O 1PO因为，AB =122433AO AD ==⨯=因为，所以，PA =14PO ===设球的半径为，在中，，，，O R 1Rt AOO 14AO =AO R =14OO R =-由可得，解得，12122OO AO AO +=()22164R R +-=4R =所以即为球心，球的半径，所以球的表面积为.1O O 4R =O 24π464π⨯=故答案为.64π16．某海轮以海里/时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东方向上，向北航行30A P 60分钟后到达点，测得油井在点的南偏东方向上，海轮改为北偏东的航向再行驶40B P B 30 60 分钟到达点，则、间的距离为______海里．80C P C【分析】根据题意，画出草图，在中由正弦定理解出，在中，根据勾股定理求ABP BP Rt BPC △得.PC 【详解】如图，在中，（海里），ABP 40302060AB =⨯=，,120BAP ∠=︒30BPA ∠=︒由，得，sin sin AB BPBPA BAP =∠∠20sin 30sin120BP =解得海里．BP =在中，（海里），BPC △80304060BC =⨯=由已知得，90PBC ∠=︒所以（海里）,PC ===所以、间的距离为P C故答案为.三、解答题17．已知斜率k且过点A （5，﹣4）的直线l 1与直线l 2：x ﹣2y ﹣5＝0相交于点P .12=-（1）求以点P 为圆心且过点B （4，2）的圆C 的标准方程：（2）求过点Q （﹣4，1）且与圆C 相切的直线方程.（1）（x ﹣1）2+（y +2）2＝25；（2）x ＝﹣4或8x ﹣15y +47＝0【分析】（1）先求出直线的方程，与直线联立求出点P ，P 为圆心且过点B ，可得半径，即得标1l 2l 准方程；（2）根据圆的方程可知点Q 在圆外，设过Q 点圆的切线方程为l ，当直线斜率存在时，由点到直线的距离等于圆的半径可求得斜率k ，当斜率不存在时，x ＝﹣4复合题意，综上，即得。
新疆维吾尔自治区阿克苏地区库车市第一中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题
新疆维吾尔自治区阿克苏地区库车市第一中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．在空间四边形OABC 中，OA AB BC ++u u u r u u u r u u u r 等于（ ）A ．OA u u u rB ．AB u u u rC ．OC u u u rD ．AC u u u r2．已知直线经过()3,7A ，()2,8B 两点，则该直线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°3．已知()1,2,4a =-r ，则下列向量中与a r 平行的是（ ）A ．()1,1,1B ．()2,4,8--C ．()2,3,5-D ．()2,3,5-- 4．若方程222210x y y m m +-+-+=表示圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,1)- B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ D ．(0,1) 5．无论m 为何值，直线21y mx m =++所过定点的坐标为（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)-C ．(2,1)-D ．(2,1) 6．空间直角坐标系中，点()1,2,3P 关于xOz 平面的对称点是（ ）A ．()1,2,3--B ．()1,2,3-C ．()1,2,3-D ．()1,2,3-7．两平行直线12:20,:420l x y l y x ---=之间的距离为（ ）A B ．3 C D ．8．设点()1,1,3M -，()2,0,4A -，()0,0,0O ，若OM AB =u u u u r u u u r ，则点B 的坐标为（ ）A ．()1,0,2-B ．()1,1,7--C ．()1,0,2D ．()3,2,0-9．已知直线=+2y kx 与圆()22:319()C x y -+-=相交于A ，B 两点，且AB =则=k （ ）A ．512-B ．0或34-C ．34-D ．512-或0 10．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段BD 上的一点，且3PD PB =，设1AA a =u u r r ，1111,A B b A D c ==r r u u u u r u u u u r ，则1PC =u u u u r （ ）A ．1324a b c ++r r r B ．113444a b c -+r r r C ．1344a b c -++r r r D ．131444a b c -+r r r 11．已知()2,3,1a =r ，()1,2,2b =--r ，则a r 在b r 上的投影向量为（ ）A ．2b rB ．2b -rC ．23b rD ．23b -r 12．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形．若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13AA =，则1AC 的长为（ ）A B ．C ．D ．5二、填空题13．已知空间向量()()1,0,2,2,1,3a b ==-r r ，则2a b -=r r .14．已知圆221:6120C x y x y +--=和圆222:4530C x y x y ++--=，则圆1C 与圆2C 的公共弦所在的直线方程为.15．直线1l ，2l 的斜率1k ，2k 是关于a 的方程2280a a n ++=的两根，若12l l ⊥，则实数n =． 16．若圆2221:(2)(4)(0)C x y r r ++-=>上恰有2个点到直线:4350l x y --=的距离为2，则实数r 的取值范围为．三、解答题17．求符合下列条件的直线l 的方程：(1)过点()2,1A ，且斜率为12-；(2)过点()1,4A ，()2,3B ；(3)过点()2,1P 且在两坐标轴上的截距相等．18．如图，在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11A D ，1DD ，CD 的中点．以A 为坐标原点，AB u u u r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出1B ，1C ，E ，F ，G 五点的坐标；(2)求()111C G B E B F ⋅+u u u u r u u u r u u u u r ． 19．已知圆221:(3)(2)1C x y ++-=与圆2C 关于直线4210x y -+=对称．(1)求圆2C 的方程；(2)求直线280x y --=被圆2C 截得的弦AB 的长．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，O 为BD 的中点，4BD =，PB PC PD ===(1)证明: OP ⊥平面ABCD ；(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.21．已知点()2,0O 、()6,0A -，动点(),P x y 满足3PA PO =.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆Q 的圆心为()(),0Q t t t >，且圆Q 与y 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围.22．已知圆C 经过()1,0A -，()2,3B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若点()2,0P -，过()0,0O 的直线l 交圆C 于M ，N 两点，求PM PN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.。
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青海省西宁市第五中学2016-2017学年高二数学11月月考试题一．选择题(本大题共12小题，第小题5分，共60分．)
1.下列命题正确的是
A．经过三点确定一个平面.
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.
C．经过一条直线和一个点确定一个平面.
D．四边形确定一个平面.
2.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是
A.平行
B. 相交
C. 异面
D. A、B、C均有可能
3.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的
A. 任意一条直线不相交
B.一条直线不相交
C. 无数条直线不相交
D.两条直线不相交
4.两条异面直线是指（）
A.空间中两条没有公共点的直线B．平面内一条直线与该平面外的一条直线
C.分别在两个平面内的直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
5.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）
A. α内所有的直线都与a异面；
B. α内不存在与a平行的直线；
C. α内所有的直线都与a相交；
D.直线a与平面α有公共点.
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（）条
A 3 B.4 C.6 D.8
7.若a与b是异面直线，且直线c∥a，则c与b的位置关系是( ）
A．相交B．异面C．平行D．异面或相交
8.如图，一个空间几何体的直观图的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边等1，那么这个几何体的体积为 （ ）
A.1
B.
21 C.31 D.6
1 9.下列命题的正确的是
A.若直线 l 上有无数个点不在平面 α内,则 l // α
B.若直线 l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行
C.如果两条平行直线中的一条与一个平面α平行，那么另一条也与这个平面平行.
D.若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 10.圆锥的底面半径为a ，侧面展开图是半圆面,那么此圆锥的侧面积是 （ ） A ．22a π B ．24a π C ．2
a π D ．23a π
11.如右图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为 （ ）
Ａ．π Ｂ．π3 Ｃ．π2 Ｄ．3+π
12、有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为
（A ）
π3
2
+31 （B ）
π3
2+31 （C ）π62+
31 （D ）π6
2
+1 俯视图
左视图
正视图正视图
侧视图
俯视图
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）. 13.四棱锥8条棱所在的直线能祖成 对异面直线. 14.一个底面直径．．和高．都是4的圆柱的侧面积为 ． 15.球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 16.一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的4
1
，则当水桶直立时，水的高度与桶的高度的比为——————
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共80分).
17.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求异面直线AD 1与A 1C 1所成的角.
18、如图四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ，四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点，且PA=AB=PB ． （1） 求证：PA ∥平面BDE ； （2） 求
EO
与
AB
所成的角
A B C D
A 1
D 1 B 1
C 1
19已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的中点，且异面直线AC 与BD 所成的角为450 ，AC=6,BD=4.求四边形EFGH 的面积。
20、如图，在四边形ABCD 中，
，
，
，
，AD=2，
求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.（台体的体积公式h S SS S )(3
1
/++）
21.已知空间四边形ABCD 中，对角线AC=32，BD=2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点， EF=2，求异面直线AC 与EF 所成的角．
D
C
A
B
P
N
π
π42-
22、 如图，在四棱锥P —ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形. (1)求证：MN ∥平面PAD ．
(2)若PA=AD=2a,MN 与PA 所成的角为300.求MN 的长.
高二年级月考数学答案
一、选择题
1.B
2.D
3.A
4.D
5.D
6.C
7.D
8.D
9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题
13. 8 14. 16π 15. 8 16. 三、解答题
17. 答案：60°
连接AC 易得 AC ∥A ₁C ₁
3148
且易证AC=AD ₁=D ₁C ∠D ₁AC=60°
因此异面直线所成的角为60°
18. 答案：（1）连接OE 易证OE ∥AP OE ∈ 平面BDE AP ∉平面BDE 得PA ∥平面BDE
（2）作BC 的中点M 并且连接OM 得 AB ∥OM
易证△OM E 为等边三角形 则异面直线所成角为60°
19. 答案： 32 分别连接HG
、GF 、FE 、EH
HG ∥AC ∥EF HE ∥BD ∥GF 可得HE=2 EF=3
又所给条件得∠HEF=135°或45°
由面积公式可得四边形EFGH 的面积为32
20. 答案： 表面积：60π+42π
体积： π
21.答案：30°
作AD的中点并且连接MF、EM
易得MF=3EM=1
在△EMF中可由余弦定理得∠EMF=30°
即异面直线所成的角为30°
22.（1）作PD的中点并且连接EN、EA
易证四边形ENMA为平行四边形
由此可得MN∥AE
MN ∉平面PAD
AE ∈平面PAD
得MN∥平面PAD
（2）由E是中点及题中所给条件（三线合一）易得△PAD是等边三角形
得MN=3a。