武汉理工大学结构力学典型例题

第2章平面体系的几何构造分析典型例题1. 对图2.1a体系作几何组成分析。

图2.1分析：图2.1a等效图2.1b（去掉二元体）。

对象：刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；联系：刚片Ⅰ、Ⅲ有虚铰A（杆、2）；刚片Ⅱ、Ⅲ有虚铰C（无穷远）（杆3、4）；刚片Ⅰ、Ⅱ有虚铰B（杆5、6）；结论：三铰共线，几何瞬变体系。

2. 对图2.2a体系作几何组成分析。

图2.1分析：去掉二元体（杆12、杆34和杆56图2.1b），等效图2.1c。

对象：刚片Ⅰ和Ⅱ；联系：三杆：7、8和9；结论：三铰不共线，无多余约束的几何不变体系。

3. 对图2.3a体系作几何组成分析。

图2.3 分析：图2.3a对象：刚片Ⅰ（三角形原则）和大地Ⅱ；联系：铰A和杆1；结论：无多余约束的几何不变体系。

对象：刚片Ⅲ（三角形原则）和大地Ⅱ；联系：杆2、3和4；结论：无多余约束的几何不变体系。

第3章静定结构的受力分析典型题1. 求图3.1结构的内力图。

图3.1 解（1）支座反力（单位：kN）由整体平衡，得＝100．= 66.67，＝-66.67．（2）内力（单位：kN.m制）取AD为脱离体：，，；，，。

取结点D为脱离体：，，取BE为脱离体：，，。

取结点E为脱离体：，，（3）内力图见图3.1b~d。

2. 判断图3.2a和b桁架中的零杆。

图3.2分析：判断桁架零杆的常用方法是找出桁架中的L型结点和T型结点。

如果这两种结点上无荷载作用．那么L型纪点的两杆及T型结点的非共线杆均为零杆。

解：图3.2a：考察结点C、D、E、I、K、L，这些结点均为T型结点，且没有荷载作用，故杆件CG、DJ、EH、IJ、KH、LF 均为零杆。

考察结点G和H，这两个结点上的两竖向链杆均已判断为零杆，故这两个结点的受力也已成为T型结点的情形．由于没有荷载作用，故杆件AG、BH也为零杆。

整个结构共有8根零杆．如图3.2c虚线所示。

图3.2b：考察结点D，为“K”型结点且无荷载作用，故；对称结构对称荷载（A支座处的水平反力为零），有，故杆件DE和DF必为零杆。

考察结点E和F，由于DE、DF已判断为零杆．故杆件AE、BF也是零杆。

整个结构共有四根零杆。

如图3.2d虚线所示。

3. 图3.3a三铰拱为抛物线型，轴线方程为，试求截面K的内力。

图3.3分析：结构为一主附结构：三铰拱ACB为基本部分，CD和CE分别为附属部分。

内力分析时先求出附属部分在铰C处的反力，再对三铰拱进行分析。

对附局部分CD、CE的计算相当于对两个简支梁的计算，在铰C处只产生竖向反力。

这样．基本部分三铰拱的计算就转化为在铰C作用竖向集中力。

解：（1）附属部分CD和CE。

CD和CE相当于C端支于三铰拱的简支梁，故C处竖向反力为，（↑）（2）基本部分ACB的反力三铰拱ACB部分的受力如图3.3b所示，由：（↑）（↑）取BC为隔离体：（kN）(←)三铰供整体：：（kN）(→)（3）截面K的内力取AK为隔离体（图3.2c）（上侧受拉）ΣX＝0 （←）ΣY＝0（↓）根据水平、竖向和斜向的比例关系得到：（压力）第4章静定结构的位移计算典型题1.求图4.1a两跨静定梁的B左右截面的相对转角，各杆EI＝常数。

分析：梁只需考虑弯曲变形的影响；先绘结构在实际荷载以及虚拟单位荷载作用下的弯矩图，再用图乘法计算位移。

解：（1）做M P和图，见图4.1b～c。

（2）图乘法计算位移(↙↘)2. 求图4.2a结构点B的水平位移。

EI 1=1.2×105kN·m2，EI 2＝1.8×10 5kN·m2。

图4.2解：（1）做M P和图，见图4.2b～c。

（2）图乘法计算位移（→）3. 结构仅在ACB部分温度升高t度，并在D处作用外力偶M，试求图4-24a所示刚架A、B两点间水平向的相对线位移，已知各杆EI为常数，a为线膨胀系数，h为截面高度.分析：ACB为静定结构的附属部分，该部分温度变化时对基本部分无影响，只需考虑外荷载的影响。

解：（1）做M P和图，见图4.2b～c。

（2）图乘法计算位移（相对压缩）第5章力法典型题1. 图6.1a结构，在固定支座A、B处同时顺时针方向转动单位位移后，得出的最后弯矩图（图6.2b），求铰支座C处的转角。

EI＝常数。

图6.1解：(1)基本结构图6.1c(2)力法的方程2. A端转动θA时的弯矩图见图6.2b，试校核该弯矩图的正确性。

图6.2分析：本题易出错之处：求θc时漏了，即支座转动引起的转角解：（1）平衡校核：取结点B为隔离体（2）变形校核：C截面的转角作为检查对象，θc＝0。

取图6.2c为基本结构（3）弯矩图正确3 图6.3a超静定桁架，CD杆由于制造误差使其实际长度比原设计长度缩短了λ=1cm。

用力法计算由此引起的结构内力。

已知各杆EA＝2.7×105kN。

图6.3分析：超静定桁架由于制造误差引起的内力分析问题。

力法典型方程的自由项属于由制造误差引起的静定桁架的位移。

解：（1）一次超静定，切开BC杆件代之以—对轴向力XI，得到图6.3b基本结构。

（2）X1＝l单独作用下基本结构的内力图6.3b，基本结构在制造误差单独作用厂的内力为零。

（3）力法典型方程求解第6章位移法典型题1. 图6.1a结构．BC杆刚度为无穷大。

用位移法计算，并作弯矩图和剪力图。

已知AB，CD杆的EI＝常数。

分析：该结构是具有刚性杆的结构。

由于刚性杆在结点B，C处均有水平约束，故只有—个竖向线位移Z1。

解：（1）结构的基本未知量为刚性杆BC的竖向位移Z1（图6.1b）。

（2）设i＝，写出结构在Z1及荷载共同作用下的杆端弯矩和杆端剪力为（3）取刚性杆BC为隔离体（6.1b）（4）解位移方程：（5）将Z1回代，绘弯矩图剪力图（图6.1c、d）：2. 图6.2a结构，各杆EI=常数，不计轴向变形。

试求杆件AD和BD的内力。

图6.2分析：因不考虑各杆件的轴向变形，结点D只有角位移，没有线位移。

解：基本未知量：结点D的角位移Z1位移法典型方程为：荷载单独作用下的弯矩图（6.2b）。

结点D的力矩平衡：。

Z1＝0，结点D没有角位移。

图6.2b的弯矩图为结构的最后弯矩图。

弯矩图6.2b杆件AD，BD和CD的弯矩均为零，故剪力也为零，只可能有轴力。

图6.2c隔离体：3. 用位移法计算图6.3刚架由于支座移动引起的内力。

EI＝常数。

图6.3解：基本未知量为。

基本体系及图（图6.3b~c）。

系数和自由项为：弯矩值的计算（弯矩图图6.3d）第7章渐近法典型题1. 用力矩分配法求图所示结构的弯矩图。

EI＝常数，M＝40KN.m。

图7.1解：（1）利用对称性，取1／4结构计算（图7.1b）。

结点CS CD=EI/L=EI，S CB=4×EI/L=2EI，所以μCE=1/3，μCB=2/3结点BS BC= S BA，所以μBC=μBA=1/2弯矩分配见表1，M图见图7.1c。

表7.1弯矩分配传递过程项目A B C E AB BA BC CB CE EC分配系数0.5 0.5 2/3 1/3分配传递10←20 →10-10/3←-20/3 →-10/3 →10/35/6 5/3 5/3 →5/6-5/18←-5/9 5/18 →5/18最后弯矩10.8 21.8 18.2 3.6 3.6 3.62. 图7.2a结构，支座A发生了转角θA＝0.005rad的顺时针转动，支座B下沉了△＝2.0cm，结构还受图示荷载作用。

用力矩分配法计算，并作弯矩图。

己知各杆EI＝2.0×104kNm。

图7.2分析：力矩分配法：该结构虽有支座位移，但结构本身并没有结点线位移未知量。

支座位移单独引起的杆端弯矩看成固端弯矩；结构只有—个刚结点。

解：（1）计算分配系数S BA=4×EI/4=EI，S BC=3×EI/6= EI/2μBA=2/3，μBC=1/3（2）计算固端弯矩和不平衡力矩不平衡力矩（图7.2b），有M B=m BA+ m BC—30=-105 （kN·m）（3）分配和传递计算见表7.2。

表7.2弯矩分配传递过程项目AB BA BC CB分配系数2/3 1/3固端弯矩-90 -90 15 -50分配传递35 70 35 0最后弯矩-55 -20 50 -50（4）结构的弯矩图见图7.2c。

（5）第8章影响线典型题1. 作图8.1a三铰刚架水平推力HA和内力M DC，Q DC的影响线。

P＝1在水平梁FG 上移动。

图8.1解：（1）水平推力HA （向右为正）的影响线（单位：kN ） （2）M DC （下侧受拉为正）影响线（单位：kN·m ） （3）Q DC 影响线（单位：kN ）其内力值的计算见表8.1。

影响线见图8.1b~d 。

表8.1内力值的计算见表8.1项目作用点 内力值 项目作用点 内力值项目作用点 内力值HAF -1 M DC F -0.25 Q DC F -1/6 D0 D 0 D 左 0 C -3 C 0.75 D 右 1 E 0 E 0 E 0 G-1G-0.25G-1/62. 图8.2a 单跨超静定梁AB ，跨度为，其上作用单位移动荷载P=1。

求支座A 处MA 的影响线。

分析：用力法求MA ，即得到影响线的方程。

解：基本体系图8.2b 系数计算力法方程求解绘影响线将l10等分见图8.2e，各点的MA值（单位：kN·m）见表8.2，影响线见图8.2f表8.2MA值位置1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 10/10 MA(-) 0.6 1.44 1.79 1.92 1.85 1.68 1.37 0.96 0.5 0第9章矩阵位移法典型题1. 用矩阵位移法计算图9.1a连续梁，并画M图，EI＝常数。

图9.6解：（1）建立坐标系，对单元和结点编号如图9.6b，单元刚度矩阵单元定位向量λ①＝(01)T，λ②＝(12)T，λ③＝(20)T（2）将各单元刚度矩阵中的元素按单元定位向量在K中对号入座，得整体刚度矩阵（3）连续梁的等效结点荷栽（4）将整体刚度矩阵K和等效结点荷载P代人基本方程（5）求杆端力并绘制弯矩图（图9.6c）。

2. 图9.2a结构，荷载只在（1），（3）杆上作用，已知（1），（3）杆在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元刚度矩阵均为（长度单位为m，角度单位为rad，力单位为kN）杆件（2）的轴向刚度为EA＝1.5×l06kN，试形成结构的整体刚度矩阵。

图9.2解：（1）结构的结点位移编号及局部坐标方向（杆件箭头方向）见图9.1b。

（2）单元（1），（3）的局部与整体坐标方向一致，故其在整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的相同。

（3）桁架单元（2）的刚度矩阵桁架单元只有轴向的杆端力和杆瑞位移，（3）定位向量单元（1）：单元（2）：单元（3）：（4）整体刚度矩阵=3. 求图9.3a结构整体刚度矩阵。