线性代数期末试题(同济大学第五版)(附答案)

线性代数试题（附答案）

一、填空题（每题2分，共20分）

1.行列式0

005002304324321= 。

2.若齐次线性方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。

3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。

4.A 为n n ⨯阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。

5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且

32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。

7.设=⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。 9.二次型x x x x x x f 2

32

22

132123),,(--=的正惯性指数为 。

10.矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。

二、单项选择（每小题2分，共12分）

1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-020

23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ）

A 、-1

B 、-2

C 、0

D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ）

A 、B=E

B 、A=E

C 、A=B

D 、AB=BA

5.已知=⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2

6.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎣

⎡-50

00210

002

（ ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡100020002

三、计算题（每小题9分，共63分）

1．计算行列式),2,1,0(00000

2

211210n i a a c a c a c b b b a i n

n n

=≠其中

2．当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++a

x x x x x x x x x x x x x x x x a 432143214

3214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，

用其导出组的基础解系表示方程组的通解。 3．给定向量组),7,0,3(),0,2,1,1(),6,5,1,2(),4,0,1,1(4321k a a a a =--==-=。当k 为何值时，向量组4321,,,a a a a 线性相关？当线性组线性相关时，求出极大线性无关组，并将其们向量用极大线性无关组线性表示。

4．设矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=410110003A ，X B X AX B 求矩阵且满足,2,321163+=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=。 5．已知n A 为阶正交矩阵，且|A|<0。

（1）求行列式|A|的值；（2）求行列式|A+E|的值。

6．已知实对称矩阵 ⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A （1）求正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵；（2）求A 10。

7．将二次型3231212

322

213214222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。

四、证明题（5分）

A 、

B 均为n 阶矩阵，且A 、B 、A+B 均可逆，证明：

（A -1+B -1）-1=B （A+B ）-1A

试题二

一、填充题（每小题2分，共20分） 1.=-0

000100

2001

000

n

n 。

2. n

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡0011= （n 为正整数）。 3.设A=⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-1101，则1)2(-A = 。 4.非齐次线性方程组11⨯⨯⨯=m n n m b X A 有唯一解的充分必要条件是 。 5.向量下的坐标为在基T T T a )1,2(,)2,1()1,3(21===ηη 。

6.阶矩阵若n A 、B 、C 有ABC=E,E 为=-1C n 阶单位矩阵则 。

7.若n 阶矩阵A 有一特征值为2，则=-E A 2 。

8.若A 、B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要充分条件是 。

9.正交矩阵A 如果有实特征值，则其特征值等于λ 。 10.二次型的取则是正定的t x x x x t x x x f x x x ,2232),,(31212

32

22

1321++++= 值范围是 。

二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若

的值为则1

2

020

2,62122

1112

22

2112

11

--=a a a a a a a a （ ） A 、12 B 、-12 C 、18 D 、0

2.设A 、B 都是则下列一定成立的是阶矩阵且,O AB n =（ ）