反比例函数图象和性质教学案例

反比例函数的图象和性质》教学设计案例

一、内容和内容解析

函数是初中数学的核心内容之一，是实现代数与几何沟通的桥梁。反比例函数是初中阶段要求学习的三种函数的第二种。是在学习了一次函数的图象、性质和反比例函数概念，并掌握研究函数的一般方法后，来研究反比例函数的图象和性质。它在研究方法上更具有一般性和代表性，是一次函数的延续和二次函数的基础，在初中函数的学习中起着承上启下的作用。

本节课通过画反比例函数图象，利用函数的图象来研究函数的性质，是学习函数的一般方法。因此，我们应让学生会画反比例函数的图象，并能根据图象探索反比例函数的性质，并在理解性质的基础上能够灵活运用。

二、目标和目标解析

1、会用描点法画函数图象，理解反比例函数的性质，掌握反比例函数的变化规律，并能灵活运用解决问题。让学生经历动手操作—猜想—验证这一数学活动过程，发展学生的推理和归纳能力。

2、在探索反比例函数性质的过程中，让学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程，寻找规律，自我归纳得到结论。

3、在探究反比例函数的图象和性质的过程中培养学生合作交流的学习习惯，在反比例函数的学习和应用过程中积累解题经验，体验成功的喜悦。增强学生学数学、用数学的兴趣。

三、教学诊断分析

1、尽管学生在学习一次函数时对函数的变化关系有了较丰富的体验和感受，也具备了一定的探索能力和归纳能力，但在本节课中，学生通过列表、描点、连线画出有别于一次函数图象的双曲线，以及由反比例函数的图象归纳总结出反比例函数的性质会有一定的挑战性。教学时教师要当好学生学习的组织者、引导者、合作者，让学生成为学习的主人，主动探究得到这些知识更能激发学生今后的学习热情。

2、八年级学生好奇心强，求知欲高，已初步具有对数学活动进行探究的能力。但分析思考的能力参差不齐，两极分化开始形成，个别差异相对明显。例如在画反比例函数图象时，表中自变量的取值应该怎样选取，是部分学生感到困惑的地方，而对于反比例函数的增减性，前提是“在每个象限内”的理解不够透彻。教学时注重提示函数解析式与函数图象之间的本质联系，要让学生明确“y随x的增大而增大(减小)”的代数分析法和图象分析法，并通过数形结合加深对知识的理解，搭建好数向形转化的桥梁。

3、大多数学生在数学学习中不善于总结新知识的获取方法，例如在接触到反比例函数后，以一次函数的研究方法为基础，对初中学段函数的学习套路(定义—图象—性质—应用)加以概括。因此学习时教师通过类比正比例函数的图象和性质，引导学生总结出研究函数的一般方法。

鉴于此，本节课的教学重难点定为：

教学难点：正确画出图象，观察、分析图象归纳反比例函数的性质；

教学重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质。

四，教学媒体：多媒体、幻灯片

五、教学过程设计

(一) 创设悬念，引入新课。

【播放视频片段】展示问题：

1、“环保”始终是两会的热点问题，为贯彻两会精神，我校打算把一块荒地改变成绿地，若这块长方形绿地的面积为6，一边长y和另一边长x之间的关系可以用怎样的函数解析式表示？y是x的什么函数？

2、反比例函数y=k/x ( k≠0, k为常数)的图象又会是什么样子呢？

3、你还记得作函数图象的一般步骤吗？

[设计意图] 通过创设问题情境，引导学生复习函数图象的知识，激发学生参与课堂学习的热情，为学生画反比例函数图象奠定基础。

(二) 自主探索，获取新知。

1、尝试画反比例函数y=6/x 的函数图象。

2、展示y=6/x 的部分作图,分析学生作错的原因。

3、让学生画反比例函数y=6/x ，y=3/x ，y=-3/x 的函数图象。

4、观察反比例函数y=6/x 和y=-6/x 以及反比例函数y=3/x ，y=-3/x 的图象思考： ① 你能发现它们的共同特征吗？

② 图象形状是什么样的？函数图象是连续的吗？无限延伸吗？会与坐标轴相交吗？ ③ 每个函数的图象分别位于哪个象限？函数图象位于哪个象限的决定因素是什么？ ④ 在每一象限内，y 随x 变化而怎样变化？

[设计意图]通过画反比例函数的图象，使学生进一步了解描点法画函数图象的基本步骤，培养学生动手操作能力，并让学生通过对反比例函数图象的观察、分析、总结出反比例函数的性质，有利于加深学生对性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识产生、形成的过程，激发学生求知欲望，逐步培养学生抽象概括能力。

(三) 剖析图象，验证性质。 1、【多媒体动画演示】：在同一坐标下感知反比例函数的轴对称性，思考下列问题： ① 在同一坐标系里反比例函数y=6/x 和y=-6/x 有什么关系？ ② 你能根据反比例数学y=k/x 的图象画出y=-k/x 的图象吗？

③ 结合反比例函数y=3/x 的图象与y=-3/x 的关系引导学生画y=-3/x 的图象。 ④ 分析每支图象升降趋势。

[设计意图] 通过多媒体演示直观形象地得出y=k/x 与y=-k/x 的同一坐标系的位置关系以及如何利用这种关系画反比例函数图象，让学生初步感知双曲线特征，同时也使同学们从中感悟图形美。

2、【多媒体展示】：归纳反比例函数图象和性质并与一次函数比较完成表格：

[设计意图] 以表格的形式展现反比例函数的性质，更清楚、直观，便于学生记忆、掌握。加深学生对性质的理解，为后面的灵活应用性质解题打好基础。

(四) 巩固应用，内化新知。 【多媒体展示】：

1下列函数是反比例函数的是（ ）

（A ）y=x+1 （B ）y=6x （C ）y=x （D ）3xy=1

2、已知

y 与x 成反比例，且当2-=x 时，3=y ，则y 与x 的函数关系是_________，那么它在每个象

限内，y 随x 的增大而 月，当3-=x 时，=y _____________。

3、如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图像( )

(A) y=3x+1 (B) y=4x

3、请写出一个图象分布在二四象限的反比例函数解析式 。

5、写出一个与x y 5

-

=的图象关于x 轴对称的反比例函数解析式 。 6、反比例函数)x

y 10

=的图象经过点(-2,m)，则m= 。

(五) 小结梳理，布置作业：

（学生小结，共同完善） 【多媒体展示】：

正比例函数

类比 反比例函数

数形结合

双曲线 图像 性质 分类讨论

解决问题

作业：P46/T3 六、目标检测设计

1、已知反比例函数x

k

y =

的图象如图所求，则k 0 在图象的每一支上，y 值随x 在增大而 。

2、请你写出一个反比例函数的解析式: ， 使它的图象在第二、四象限。

3、对于函数x y 3

=

，当x>0时，y 0，这部分图象在第 象限。 4、在x y 8-=中，若点(a,4)和点(2,b)在它的图象上，则x

ab

y =的图象在第 象限，

在每一象限内，y 随x 的减小而 。