2010年西南大学604数学分析考研试题
西南大学2010考研《高等代数》试题
2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：研究方向：
试题名称：高等代数试题编号：
（答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效）
2．（30分）设 ， ，求 。
3．（30分）设V是数域P上n维线性空间，T是V的线性变换。 是T的互不相同的特征值， 是T的特征子空间，且 。W是V的T不变子空间。证明：W的每个向量 可唯一表成 ，其中 。
4．（20分）设V是数域P上n维线性空间，T是V的线性变换。证明：存在V的线性变换S使得TST=T。
5．（20分）设A为n阶实对称阵，B为n阶实矩阵，且 的特征值全大于零，其中 为B的转置。证明：A可逆。
6．（10分）设X，B0为n阶实矩阵，按归纳法定义矩阵序列
。
证明：如果 ，那么 。
1．填空题（每小题8分，共40分）
（1）每一行和每一列只有一个元素为1其余元素全为零的n阶行列式 共有个，所有这些行列解，则k=。
（3）设 为复数域上两个最高次项系数为1的不同的3次多项式，若 ，则 =。
（4）n元实二次型 的标准形（平方项的系数为1或 ）是。
（5）在Euclid空间Rn中定义变换A：
A ，
其中 为单位向量，k为实数。若A为正交变换，则k=。
2010考研数一真题及解析
2010考研数一真题及解析考研啊，那可真是一场“硬仗”！就说 2010 年考研数一的真题，那难度，真是让不少同学抓耳挠腮。
记得我当年考研的时候，有个同学叫小李，他为了准备数学一，那可是下了苦功夫。
每天天不亮就起床，抱着一堆复习资料去图书馆占座。
到了晚上，图书馆闭馆了他还舍不得走，非得在路灯下再看一会儿书。
咱们先来说说 2010 年考研数一真题里的选择题。
这部分题目考查的知识点那叫一个细，像函数的性质、极限的计算、导数的应用等等，一个不小心就容易出错。
比如说有一道题，考查的是函数的连续性，给出了一个分段函数，让判断在某一点处的连续性。
这要是对函数连续性的定义理解不透彻，很容易就掉进坑里啦。
再看看填空题，计算量可不小。
像求定积分、偏导数，那都得一步步仔细算，稍微马虎一点，答案就错了。
有一道填空题是关于曲线的弧长计算的，好多同学看到就头疼，公式记不住或者记错了，这分就丢了。
说到大题，那才是真正考验综合能力的时候。
有一道概率论的大题，要求计算随机变量的分布函数和概率密度。
这题啊，不仅要对概率论的基本概念清楚，还得会运用相关的公式和定理进行推导。
当时我那同学小李，在做这道题的时候，额头上的汗珠都冒出来了，咬着笔杆苦思冥想。
还有一道关于多元函数微分学的大题，要先求偏导数，再利用极值的条件求解。
这题的计算过程比较繁琐，需要有耐心和细心，一步一步来，不然很容易出错。
接下来咱们讲讲真题的解析。
对于每一道题，都得认真分析它考查的知识点和解题思路。
比如说选择题里那道函数连续性的题，通过分析函数在该点处的左右极限是否相等，就能判断出连续性。
而填空题里的弧长计算，只要记住弧长公式，再代入计算就可以了。
对于大题的解析，更是要重点关注。
像概率论那道题，要先明确题目要求，然后根据已知条件列出相应的式子，逐步推导。
多元函数微分学那道题，要注意求偏导数的方法和极值条件的运用。
总的来说，2010 年考研数一真题还是有一定难度的，需要同学们对知识点掌握得非常扎实，并且具备较强的解题能力和运算能力。
2010年考研数学试题详解及评分参考
ò 积分 xydx + x2dy = L
.
2010 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010 年数学试题详解及评分参考
【答】 应填 0 .
【解法一】 补有向线段 L : y = 0 (x Î[-1,1]) ，起点为 (1, 0) ，终点为 (-1, 0) ，设由
L 与 L 围成的平面区域为 D ，则利用格林公式及区域 D 关于 y 轴的对称性，得
nx
-
x
)
dx
ò (1) 对于
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
，易见被积函数非负，且只在
x
®
0+
时无界，于是
0
nx
ò ò 当 n > 1 时，由 lim n x m ln2 (1- x) = 0 及
1 2
1
dx 收敛，知
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
收敛；
x®0+
nx
0 nx
0
nx
( ) 当 n = 1 时，由 m ln2 (1- x)
.
【答】 应填
2 3
.
{ } 【解】 记 D = ( x, y) x2 + y2 £ 1 ，有
òòò òò ò òò ò ò W
dxdydz =
D
dxdy
1 dz
x2 + y2
= (1- x2 - y2 )dxdy =
D
2p dq
0
1(1- r2 )rdr
0
=
p 2
，
òòò òò ò òò ò ò W
2010考研数学二真题及答案解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( )(A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.(3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e. (4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I:,,,r ααα 可由向量组12II:,,,s βββ 线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >. (8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .(11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y= .(12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= . 三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分)( I ) 比较()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；( II ) 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ.(18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3)(19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20uξη∂=∂∂.(20)(本题满分10分) 计算二重积分2 sin DI r θ=⎰⎰,其中(),|0s e c ,04D rr πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解. (23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得TQ A Q 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→=,其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()2x f x →==,所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ②由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2a x x =,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =2a y =；在ln y a x =上,x =, ln 22a a y a ==.所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于1210[ln (1lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα= ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤ ,即r s ≤,选(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!nn -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+, 所以 ()()()1(1)!(1)!ln12(1)22(12)(12)n n n n n nn n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn yn -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '=0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t t y e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰． 又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积2222bbba S xdyb --==⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=. 266221122cos 2(cos 2)(223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=⎰⎰所以油的质量2(3m abl πρ=.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u ux x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u ua b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂[]2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】2sin DI rθ=⎰⎰sin Dr rdrdθ=⎰⎰D=⎰⎰100xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+. (22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一T,故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1Aλ=,即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E Aλλλλλλλ--=-=+--=-,可得A的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A xλ-=,即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=,即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T Tξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Qηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245TQ AQ⎛⎫⎪=Λ=-⎪⎪⎝⎭.。
名师点评2010年研究生考试数学真题
名师点评2010年研究生考试数学真题主持人：各位网友大家好， 2010年的研究生入学考试的数学考试已经结束了，我们第一时间请到了海天教育考研数学辅导专家曹显兵老师来为大家做点评这次的考研数学试题，请您先跟大家打声招呼。
曹显兵：各位同学大家辛苦了，今天借这个机会跟大家说说数学考试的情况。
主持人：欢迎曹老师，今年数学考的数一数二数三这三份试题分别有什么特点？曹显兵：我刚刚下班就拿到了今年的考试题，今年的题个别的地方不是很准确，主要的地方应该差不多，个别有一些小小的错误，我拿到这个题总的感觉，今年数一数二数三比09年的题稍微容易一些，还是注重考察基本概念，基本性质，基本的原理，当然也考察了大家的计算能力，具体举例子，比如说线性代数，关于特征值和特征向量，相似问题。
这些地方是数一数二数三都考的。
有这么一道题，选择题，一个矩阵A是四阶的对称阵，这个矩阵A的平方加A等于零，A的秩等于3，问A相似于什么样的矩阵，大家要知道一个满足一个方程A平方+A等于0的矩阵，其可能特征值是-1和0，现在的问题是有几个-1和几个0，我们平常在同学们强化班有特别强调这个东西，一个可对角化的矩阵的非零特征值的个数就是这个矩阵的秩，这个基本的结论掌握了，马上知道-1有三个0还是一个，概念比较清楚的同学这道题是不需要动笔的。
我还说一个考题，说明基本概念，基本定理掌握的重要性，像数三考的第五个选择题，其他的考生也考了，考的是向量组可以由另外一个向量组线性表示，而且第一个向量组是与线性无关的，那么第一个向量组的个数一定小于等于第二个向量组的个数，这是教材里的现成的定理。
我举这两个例子说明考察基础是重要的，高等数学概率统计也有好几个题是属于考察基本理论。
主持人：今年是重视基础的东西。
曹显兵：对。
主持人：您能不能给我们具体一下这份试卷都考察了哪些知识点，对其中有代表性或者是难题给大家分析一下。
曹显兵：像线性代数这是数一数二数三都考的，这门课程是两个大题三个小题，拿大题来说今年线性代数考了什么样的大题，线性代数的第一个大题，数一和数三是相同的，给了一个三阶矩阵，里面有一个参数，又给了一个列向量b，b中也有一个参数，矩阵A乘X等于b，要把矩阵A里面的参数求出来，列向量b里面的参数a求出来，这是一个大题，非齐次方程组有两个不同的解，立马应该想到对应齐次方程组一定有非0的解，所以这个题就好做了，马上就知道A矩阵的行列式等于0，求出来会有两个值，再来求列向量b里面的a，由于非齐次方程组有解，故系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，我稍微动了一下笔很快就可以把两个参数给求出来，这个时候只有一个值能保证，得出的结果应该是……A矩阵的行列式为零会得到λ的两个值，根据非齐次方程组有解把a的值求出来，λ有一个值要省去的，a的值等于-2，完全变成了通常的非齐次方程组求解的问题，把特解求出来，把基础解系求出来，结果就出来了。
2010～2013年考研数学二真题及答案
2010～2013年考研数学二真题及答案2010考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上．)(1)三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y= ．(2)曲线的渐近线方程为．(3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数．(4)当 0≤θ≤π时，对数螺线 r=eθ的弧长为．(5)已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽w 以 3cm/s 的速率增加，则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为．(6)设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|= ．二、选择题(本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．)(7)函数的无穷间断点数为(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．(8)设y1，y2 是一阶线性非齐次微分方程的两个特解．若常数λ，μ使该方程的解是对应的齐次方程的解，则(9)曲线y=x2 与曲线y=aln x(a≠O)相切，则 a= (A)4e． (B) 3e． (C) 2e． (D) e．(10)设m，n 是正整数，则反常积分的收敛性(A) 仅与 m 值有关． (B) 仅与 n 值有关．(C) 与 m，n 值都有关． (D) 与 m，n 值都无关．(11)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且(A) x (B) z． (C) -x． (D)-z． (12)(C) (D)三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) 求函数的单调区间与极值．(16) (Ⅰ) 比较的大小，说明理由； (Ⅱ) 记，求极限(17) 设函数 y =f(x)由参数方程所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且φ(1)=(18) 一个高为 j 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a ，短轴为 2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图 2)，计算油的质量．(长度单位为m ，质量单位为 kg ，油的密度为常数 ρkg/m 3)(14) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且A 2+A=0，若 A 的秩为 3，则 A 与相似于(19)设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定a，b 的值，使等式在变换(20)计算二重积分(21)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且。
精选-西南大学考研真题
西南大学2010年333/904真题333一、解释题（每小题5分，共计2 0分）1．教育学2．“中体西用’’3．“苏格拉底法”4．发现学习二、简答题（每小题1 0分，共计30分）l．我国当前教育目的之基本精神是什么？2．中国现代书院教育的重要特点是什么？3. 近代人文主义教育的基本主张有哪些？三、论述题（每小题20分，共计40分）l．指出教学过程中存在的基本关系，并以其中一个关系为例简要论述。
2．影响问题解决的主要因素有哪些？试举例加以说明。
四、综合题（每小题30分，共计6 0分）1．材料：有人说：“没有教不好的学生，只有教不好的先生。
”要求：试学生观、教师观、师生关系观等角度加以阐述。
2．终身教育思潮的基本观点是什么？联系我国实际加以举例阐述。
904一．名词解释（每小题3分，共30分）心理过程发散思维社会自我发现学习教学设计社会助长作用智力技能教学评价教师威信晶态智力二、分析判断对错，并简要说明理由（每小题5分，共30分）‘l、性格无好坏之分。
2、根据韦纳归因理论，教师应指导学生将学业成败归因于外部可控制的因素。
3、教师对学生的期望及影响是在师生互动过程中产生的，教师对学生的期望不同，学生的发展也不同。
4、学生明知故犯、管不住自己的主要原因是道德情感冲动的缘故。
5、形成性评价是教师为了解学生最终是否达到教学目标的情况而实施的评价。
6、根据耶克斯一多德逊定律，学生学习较困难的学习任务其学习动机的强度应该高一些。
三、简答题（每小题10分，共40分）1、气质有哪些类型，其表现特点是什么？教师应如何根据学生气质差异因材施教？2、举例阐述自我意识在人格发展中的作用，教师如何促进学生自我意识的发展？3、学生的智力差异有哪些表现？教师如何在教学中开发学生的智力？4，教师职业有何特点，优秀教师应具备哪些教学能力？四、论述题（第一小题20分，第二小题30分，共50分）1、联系学生中存在的厌学或学习积极性不高的情况，分析其原因，论对学生学习动机的培养和激发。
2010考研数学二真题及答案解析
(20)(本题满分 10 分)
∫∫ 计 算 二 重 积 = 分 I r2 sinθ 1− r2 cos 2θ drdθ D
=D
( r ,θ
)
|
0
≤
r
≤
secθ , 0
≤θ
≤
π 4
.
,其中
(21) (本题满分 10 分)
设函数 f (x) 在闭区间 [0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且 f (0) = 0 , f (1) = 1 ,证
= n2 + j2 )( i 1
1) n+i
∑ ∑ = = lni→m∞ jn1= n2 +n j2 lni= →m∞ 1n jn1 1+ (1 j )2
n
∫1 1
0 1+ y2 dy,
∑ ∑ ∫ = lim n n li= m 1 n 1
= n→∞ i 1= n + i n→∞ n i 1 1 + ( i )
.
(12) 当 0 ≤ θ ≤ π 时,对数螺线 r = eθ 的弧长为
.
(13) 已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加.则当
l = 12cm , w = 5cm 时,它的对角线增加的速率为
.
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A= 3，B= 2, A−1 + B= 2 ,则 A + B−1 =
x ∂z + y ∂z = yF1′ + zF2′ − yF1′ = F2′ ⋅ z = z ．
∂x ∂y
F2′
F2′ F2′
∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) n n
2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考答案
(
) (A)
答案：D 详解：设 为 A 的特征值，由于 A2 A 0 ，所以 2 0 ，即 ( 1) 0 ，这样 A 的特征值 为 -1 或 0。由于 A 为实对称矩阵，故 A 可相似对角化，即 A : ， r ( A) r ( ) 3 ，因此，
(10) 曲线 y 答案： y 2
2 x 2 sin x 的水平渐近线的方程为 y . cos x x 2
sin x 2 x sin x x 2 2 0 2 lim 详解： lim 2 x cos x x x cos x 1 0 1 x2
1
1 1 1 1 1 1 1 f x dx 1 dx f x dx 1 f x dx 又 ，且 0 0 0 0 f x dx 2 . 0
1 f x dx 0 f x dx , 0
, k 1, 2,L ，其中 0 1 ，若
详解： P( X 2) P( X 1) P( X 2) (1 )11 (1 )21 (1 )
0
1
f ,
x dx
由于 0 f x 1 ，所以
f x f x ， 1 f x x f x dx ， 1 f x dx 1 f x dx ， I1 I 2 . 0 0 0
f a 0.
(B) f a 0 .
-1-
答案：B
详解： f g x f g x g x ,
2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内.1．设函数，则（ ）.3()(3)()x e e f x x x e -=--A ．x ＝3及x ＝e 都是的第一类间断点()f x B ．x ＝3及x ＝e 都是的第二类间断点()f x C ．x ＝3是的第一类间断点，x ＝e 是的第二类间断点()f x ()f x D ．x ＝3是的第二类间断点，x ＝e 是的第一类间断点()f x ()f x 【答案】C【解析】，由于函数在点x ＝3没有定义，因此x ＝3为第一类可去间断点；又，因此函数在x ＝e 点为第二类无穷间断点.3lim (3)(1)x x e e e x x →-=∞--2．曲线的凸弧区间是（ ）.2(4)x y x =-A ．（，－8）-∞B ．（－8，－4）C ．（－4，4）D ．（4，＋∞）【解析】由.3．设函数具有二阶导数，，则()()f x g x ，00()()0()0g x a g x g x '''==<，，在取极大值的一个充分条件是（ ）.(())f g x 0x A ．()0f a '<B ．()0f a '>C ．()0f a ''<D ．()0f a ''>【答案】B【解析】由于于是因为，则即可满足条件，在取极0()0g x '=0(())0f g x ''>[]0()0f g x '''⎡⎤<⎣⎦0x 大值.4．设函数在区间上连续，，且，记()f x []0,10()1f x <<101()2f x dx <⎰则（ ）.A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．213I I I <<D ．321I I I <<【答案】D【解析】由于0()1f x <<()1()f x f x >>-因此即．12I I >又由于且所以所以，所以．5．设向量组：可由向量组Ⅱ：线性表示．下列命题I 12r ααα⋅⋅⋅，，，12s βββ⋅⋅⋅，，，正确的是（ ）.A ．若向量组线性无关，则I r s≤B ．若向量组线性相关，则I r s>C ．若向量组Ⅱ线性无关，则r s≤D ．若向量组Ⅱ线性相关，则r s>【答案】A【解析】由于向量组I 能由向量组Ⅱ线性表示，所以r （I ）≤r（II ），即()()1212r s r r sαααβββ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤，，，，，，若向量组I 线性无关，则，所以()12r r r ααα=L ，，，,即.()()1212r s r r r s αααβββ=⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤，，，，，，r s ≤6．设A 为4阶实对称矩阵，且，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）.2A A O +=A ．1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭C ．1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭D ．1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设A 的特征值为，因为，所以，即λ20A A +=20λλ+=或，又因为A 为实对称阵，故A 必可相似对角化，又由于(1)00λλλ+=⇒=1λ=-r （A ）＝3，所以是三重特征根，即.1λ=-1110A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭:7．设随机变量X 服从（－1，1）上的均匀分布，事件A ＝{0＜X ＜1}，，则（ ）.14B X ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭A ．P （AB ）＝0B ．P （AB ）＝P （A ）C ．P （A ）＋P （B ）＝1D ．P （AB ）＝P （A ）P （B ）⋅【答案】D【解析】8．设是来自总体的简单随机样本，记统计量12n X X X ⋅⋅⋅，，，2(,)(0)N μσσ>，则E （T ）＝（ ）.211n i i T X n ==∑A ．2σB ．2μC ．22σμ+D ．22σμ-【答案】C【解析】由题意知，，则有2222,EX DX EXμσμσ==⇒=+二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在题目中的横线上．9．＝____.lim xx x x a →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】a e 【解析】.。
西南大学考研真题完整版
西南大学考研真题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]西南大学2010年333/904真题333一、解释题（每小题5分，共计2 0分）1．教育学2．“中体西用’’3．“苏格拉底法”4．发现学习二、简答题（每小题1 0分，共计30分） l．我国当前教育目的之基本精神是什么2．中国现代书院教育的重要特点是什么3.近代人文主义教育的基本主张有哪些三、论述题（每小题20分，共计40分）l．指出教学过程中存在的基本关系，并以其中一个关系为例简要论述。
2．影响问题解决的主要因素有哪些试举例加以说明。
四、综合题（每小题30分，共计6 0分）1．材料：有人说：“没有教不好的学生，只有教不好的先生。
”要求：试学生观、教师观、师生关系观等角度加以阐述。
2．终身教育思潮的基本观点是什么联系我国实际加以举例阐述。
904一．名词解释（每小题3分，共30分）心理过程发散思维社会自我发现学习教学设计社会助长作用智力技能教学评价教师威信晶态智力二、分析判断对错，并简要说明理由（每小题5分，共30分）‘l、性格无好坏之分。
2、根据韦纳归因理论，教师应指导学生将学业成败归因于外部可控制的因素。
3、教师对学生的期望及影响是在师生互动过程中产生的，教师对学生的期望不同，学生的发展也不同。
4、学生明知故犯、管不住自己的主要原因是道德情感冲动的缘故。
5、形成性评价是教师为了解学生最终是否达到教学目标的情况而实施的评价。
6、根据耶克斯一多德逊定律，学生学习较困难的学习任务其学习动机的强度应该高一些。
三、简答题（每小题10分，共40分）1、气质有哪些类型，其表现特点是什么教师应如何根据学生气质差异因材施教2、举例阐述自我意识在人格发展中的作用，教师如何促进学生自我意识的发展？3、学生的智力差异有哪些表现教师如何在教学中开发学生的智力4，教师职业有何特点，优秀教师应具备哪些教学能力四、论述题（第一小题20分，第二小题30分，共50分）1、联系学生中存在的厌学或学习积极性不高的情况，分析其原因，论对学生学习动机的培养和激发。