123简单复合函数的导数江苏省扬州市苏教版高中数学选修2-2导学案

1．2.3 简单复合函数的导数

1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．

2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．

一、知识回顾

函数的和、差、积、商的求导法则

设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数

[f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数

[f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数

[C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数

[f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x )

]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究

1．复合函数的概念

由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．

cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成.

32

21(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x x

y x x y x

思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？

2．复合函数的求导法则

2

(2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？

2(2)(31),6(31)

(4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x

思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.

ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数．

三、知识应用

(1)ln(51)(2)cos(12)

y x y x 例1：求下列函数的导数

31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数

四、当堂训练

1.指出下列函数的复合关系：

(1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3；

(3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)．

2.求下列函数的导数．

(1)y ＝(2x ＋3)2；

(2)y ＝e －2x ；

(3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．