123简单复合函数的导数江苏省扬州市苏教版高中数学选修2-2导学案
苏教版高中数学选修2-2《简单复合函数的导数》教学教案1
1.2.3 简单复合函数的导数学习目标1．掌握简单复合函数的导数的推导2．简单复合函数的导数的应用学习重点:掌握简单复合函数的导数的推导学习难点:简单复合函数的导数的应用学习过程【基础知识梳理】1、根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示2、运算法则法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：[()()]()().f x g x f x g x '''±=±法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中. 3、复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ϕ= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量.【问题探究】问题1：求函数2(32)y x =-的导数 .问题2：考察函数sin 2y x =的导数.【建构数学】一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u ),u =ax +b ，则'''x u x y y u =⋅，''x u y y a =⋅即： •对于一般的复合函数，结论也成立 . •复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =⋅【数学运用】例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31y x y x y y x x =-=+==-- 练习：试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：22(1)(2);(2)sin ;(3)cos();(4)ln sin(31).4y x y x y x y x =-==-=π － 例2 写出由下列函数复合而成的函数，并求它们的导数.（1）cos y u =,21u x =+ ; （2）ln y u =,ln u x =.例3 求y =(2x +1)5在x =1处的切线方程.【课堂练习】1.求下列函数的导数： 2321(1)(23);(2)(13);(3);(4)lnx y x y x y e y x=+=-==. 2.求曲线y =sin2x 在点P (π，0）处的切线方程.【回顾小结】（1）复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；（2）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.。
高中数学 常见函数的导数导学案 苏教版选修2-2 学案
常见函数的导数 NO.3学习目标：1掌握根据导数的概念，求函数导数的方法；2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数。
一、知识扫描：1. 导数： _______________________________________________________ ______________________________________________记作_____________2.导数)(0'x f 的几何意义:________________________________________ 3. 导函数：_______________________________________________________4. )(0'x f 与)('x f 的区别:_______________________________________5.求导公式:⑴________________________________⑵____________________________ ⑶________________________________⑷___________________________ ⑸________________________________⑹__________________________ (7)_______________________________(8)_________________________ (9)_______________________________(10)__________________________ (11)______________________________(12)__________________________ (13)______________________________(14)__________________________ 二、例题选讲：例1:已知2()5f x x x =+,⑴求()f x 在3x =处的导数；⑵求()f x 在x a =处的导数．例2:.已知()f x ='(),'(1).f x f例3、求下列函数在已知点处的导数： ⑴3;y x == ⑵10,;x y x a ==⑵ lg ,2;y x x == ⑷12log ,2;y x x ==⑸;y x a == ⑹2(sin cos )1,.224x x y x π=+-=例4.(1) 已知曲线方程2y x =，求过点(3,5)B 且与曲线相切的直线方程。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 1.2.3 简单复合函数的导数
第8课时简单复合函数的导数教学过程一、问题情境问题1(教材第23页)求函数y=(3x-1)2的导数.解一方面,y'x=[(3x-1)2]'=(9x2-6x+1)'=18x-6=6(3x-1).另一方面,函数y=(3x-1)2可由y=u2,u=3x-1复合而成,y关于u的导数记为y'u,y'u=2u,将u关于x的导数记为u'x,即u'x=(3x-1)'=3,因而有y'x=y'u u'x.问题2(教材第23页)求函数y=sin2x的导数.解一方面,y'x=(sin2x)'=(2sin x cos x)'=2cos2x.另一方面,函数y=sin2x可由y=sin u,u=2x复合而成,y关于u的导数记为y'u.y'u=cos u,将u关于x的导数记为u'x,即u'x=(2x)'=2,因而有y'x=y'u u'x.二、数学建构问题3举例说明哪些函数是复合函数?[2]问题4怎样求复合函数的导数?[3]一般地,若y=f(u),u=ax+b,则y'x=y'u·u'x=ay'u.法则理解1.复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量u的导数,乘以中间变量u对自变量x的导数;2.求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导;3.法则可以推广到两个以上的中间变量,但不要求掌握.三、数学运用【例1】(教材第24页例2)求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=cos(1-2x).(见学生用书P15)[处理建议]让学生练习对复合函数进行分解,再运用法则求导.[规范板书]解(1)函数y=可由y=,u=3x-1复合而成,则y'x=y'u·u'x=·3=-·3=-.(2)函数y=cos(1-2x)可由y=cos u,u=1-2x复合而成,则y'x=y'u·u'x=(cos u)'·(-2)=(-sin u)·(-2)=2sin(1-2x).[题后反思](1)对于简单复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,适当选取中间变量;(2)弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,不要混淆;(3)求导的次序是由外向内;(4)复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代.变式求函数y=的导数.[规范板书]解y==(3x-1)-4.设y=u-4,u=3x-1,则y'x=y'u·u'x=(u-4)'·(3x-1)'=-4u-5·3=-12u-5=-12(3x-1)-5=.[题后反思]熟练掌握求导法则后,本例可以直接写成y'x=[(3x-1)-4]'=-4(3x-1)-5·3=-12(3x-1)-5=.高中数学【例2】求曲线y=sin2x在点P处的切线方程.(见学生用书P16)[处理建议]学生讨论、判断,并且由学生给出理由.[规范板书]解设f(x )=sin2x,则f'(x)=2cos2x,故曲线在点P(π,0)处的切线方程为2x+y-π=0.四、课堂练习1.函数y=cos(1-2x)的导数y'=2sin(1-2x).2.若y=e-2x-1,则y'=-2e-2x-1.3.函数y=x·的导数y'=.4.若某港口在一天24 h内潮水高度近似地满足关系S(t)=3sin(0≤t≤24),则18点时潮水起落的速度为多少?解S'(t)=3cos·=cos,所以S'(18)=cos=,即18点时潮水速度为.五、课堂小结1.对于简单复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,关键在于分清函数的复合关系,适当选取中间变量,利用幂函数的求导公式.2.一些根式函数或分母上是幂函数、分子为常数的分式函数,通常经过变形,转化成幂函数,这样求导起来会比较方便.3.求导的次序是由外向内.4.复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代.高中数学。
高中数学 1.2导数的运算学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学学案
1．2 导数的运算一、学习内容、要求及建议1．预习目标(1)熟记常见函数的导数；(2)掌握函数和、差、积(包括数乘)、商的导数的运算法则； (3)了解内函数与外函数的有关概念，会求简单的复合函数的导数 2．预习提纲(1)回忆上一节导数的概念，思考利用导数的定义求一些简单函数的导数的流程． (2)阅读课本①写出下列常见函数的导数：一次函数y kx b =+；常数函数y C =；幂函数y x α=，正弦函数sin y x =；余弦函数cos y x =；指数函数xy e =和(0,1)xy a a a =>≠；对数函数ln y x =和log (0,1)a y x a a =>≠②试写出函数的和、差、积、商的求导法则． ③简单复合函数的导数：复合函数： 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量，设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数()x u x ϕ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()u y f u ''=，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且'x y = ．(3)课本第24页例1与例2的解题过程给你怎样的启示? 3．典型例题例1 利用导数的定义求下列函数的导数．(1)y =x 2＋x ；(2)21()x g x x+=． 分析： 首先计算()()y f x x f x ∆=+∆-的值，再化简yx∆∆，然后计算当x ∆无限趋近于0时，yx∆∆无限趋近于的常数． 解：(1)22()()()y x x x x x x ∆=+∆++∆-+(21)x x x =∆+∆+，21y x x x ∆=+∆+∆，当0x ∆→时，21y x x∆→+∆，所以21y x '=+． (2)11()()(2)(2)g x x g x x x x ∆+-=+-++∆=()x x x x-∆+∆，()()1()g x x g x x x x x ∆+--=∆∆+，当0x ∆→时，21y x x ∆→-∆，即21()g x x'=-．点评： 当x ∆无限趋近于0时，讨论yx∆∆的变化趋势时，x ∆可以看作为变量，其余的可作为常量．例2 求下列函数的导数：(1) y =x 3； (2)31y x=；(3)y =； (4)y =(5)4xy =；(6)3log y =分析： 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y =31x= x －3；y =53x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算错误． 解： (1) y '=(x 3)′=3x3－1=3x 2；(2) y '=331431()()33x x x x----''==-=-； (3) y '=xx x x x 212121)()(2112121==='='--；(4)3213535353535)()(x x x x y =='='='-；(5)4ln 4)4(xx y ='='； (6) xx y 33log 1)(log ='=' 点评： 运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，不仅要会求，而且要解题规范、结果准确． 例3 求曲线x y sin =在点A )21,6(π处的切线方程． 分析： 先用公式求出x y sin =的导数，然后利用导函数求出曲线在点1(,)62A π处的切线斜率，最后应用点斜式写出方程．解： ∵ x y sin = ∴ xx y cos )(sin ='='∴ 236cos6=='=ππx y ∴ 所求切线的斜率23=k∴ 所求切线的方程为 )6(2321π-=-x y ， 即 0361236=-+-πy x ． 答：曲线x y sin =在点1(,)62A π的切线方程为0361236=-+-πy x点评： 利用常见函数的导数公式可以求出y =x n(n Q ∈)、y =sin x 及y =cos x 上任一点(定义域内)处的切线斜率，从而可得任一点处的切线方程． 例4 已知曲线y =331x 上的一点8(2,)3P ，求 (1)点P 处的切线方程；(2)过点P 的切线方程．分析： 考虑两个问题之间的差异，问题⑴实质上是问题⑵的一个部分，关键是要确定切点是什么．解：(1)232)31(x x y ='='，因为点8(2,)3P 在曲线上且2(2)24f '==，所以点P 处的切线的斜率为4，点P 处的切线方程为84(2)3y x -=-， 即12x －3y －16=0，(2)当点P 为切点时，由⑴知道该切线方程是12x －3y －16=0，若P 点不是切点时，设切点为3001(,)3Q x x ，此时有302000833()2x f x x x -'==-，得01x =-或02x =(舍去)，过点P 的切线的斜率为1， 过点P 的切线方程为823y x -=-，即3x －3y ＋2=0， 综上所述，过点P 的切线方程为：12x －3y －16=0或3x －3y ＋2=0．点评： 虽然点P 在曲线上，但未必是切点，故可分P 点是否为切点两种情况讨论．本题也可以先设出切点坐标，根据切点在曲线上、已知点在切线上、切点处的导数等于切线的斜率这三个条件列出三个方程，解方程组求出切点坐标，同学们可以自已尝试一下． 例5 求下列函数的导数：(1)323()622g x x x x =--+；(2) y =xe x ；(3)ln xy x =； (4) y =tan x ； (5) y =sin x cos x ； (6) y =(3x 2＋1)(2－x )； (7) y =(1＋x 2)cos x ．分析： 仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导条件可进行适当的恒等变形．解： (1) 3223()()()(62)3362g x x x x x x ''''=---=--； (2) ()xxxy xe e xe ''==+；(3) 2ln 1ln ()x xy x x -''==； (4) 2222sin sin cos 1()cos cos cos x x x y x x x+''===； (5) 22(sin cos )cos sin cos 2y x x x x x ''==-=；(6) y ′=(3x 2＋1)(2－x )′ =(3x 2＋1)′(2－x )＋(3x 2＋1)(2－x )′=3⋅2x (2－x )＋(3x 2＋1)(－1)=－9x 2＋12x －1(7) y ′=(1＋x 2)cos x ′=(1＋x 2)′cos x ＋(1＋x 2)(cos x )′=2x cos x ＋(1＋x 2)(－sin x )=2x cos x －(1＋x 2)sin x ．点评： 通过本例可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，在解决新问题时做到举一反三、促类旁通． 例6 求下列函数的导数：(1)y =；(2)13x y -=-；(3)sin 4cos()38x y x π=+-；(4)21(cos ln )x y e x x -+=+；(5)2sin 2x y x =． 分析： 利用复合函数的求导运算法则，弄清各个小题的外函数y=f(u)，及内函数u=g(x)的表达式，有的问题也可以先化简再求导．解：(1)令u=4x ＋3，则∴(43)4ux y y u x '''''==⋅=+=⋅=故y '=(2)1(3)(1)xy x -''''=-=--．13ln 3x -13ln 3x -=+；(3)(sin 4)(cos())38x y x π'''=+-1(4)cos 4()sin()4cos 4sin()3838338x x x x x x πππ''=⋅--⋅-=--(4)2(cos ln )x y e x x -+=⋅-，22()(cos ln )(cos ln )x x y ex x e x x -+-+'''∴=⋅-+-=221(2)(cos ln )(sin )x x x ex x e x x-+-+'-+⋅⋅-+--221(cos ln )(sin )x x ex x e x x -+-+=--+--21(cos sin ln )x e x x x x-+=-+-+(5)22222sin 2(sin 2)sin 2()()()x x x x x y x x ''⋅-⋅''== =22443(2)cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2x x x x x x x x x x x xx x x '⋅-⋅-⋅-==．点评： 复合函数的导数运算一定要注意中间变量，不要忘记中间变量对自变量的求导．例7 如图，酒杯的形状为倒立的圆锥．杯深8cm ，上口宽6cm ，水以20 cm 3/s 的流量倒入杯中，当水深为4 cm 时，求水升高的瞬时变化率．分析：我们可以利用瞬时变化率的定义(解法一)，也可以将水深为4 cm 的时刻，将水面附近的高度极小的台体近似看做圆柱体，然后对体积增量比时间增量取极限，体现出局部“以直代曲”的思想(解法二)；或者还可以建立函数关系式直接对时间求导得到(解法三，应该注意的是：高度是时间的函数，涉及到复合函数的求导法则)．解：法一 设时刻t s 时，杯中的水的体积为V cm 3，水面半径为r cm ，水深为h cm ，则2313364V r h h ππ==，3322333[()][3()3()()]6464V h h h h h h h h ππ∆=+∆-=∆+∆+∆，223[3()3()()()()]64V h h hh h h h t t t tπ∆∆∆∆=+∆+∆∆∆∆∆，记水升高的瞬时变化率为t h '，从而由2320364t h h π'=⨯⋅，当4h =时，解得80(/)9t h cm s π'=．法二 水面高度为4cm ，可求得水面的半径为32cm ．设水面高度增加h ∆时，水的体积增加V ∆，从而23()()2V h π∆≈⋅∆，故9()4V h t t π∆∆≈∆∆，当0t ∆→时，得到9204t h π'=⋅，于是80(/)9t h cm s π'=．法三 仿解法一得到3364V h π=，即332064t h π=，两边对t 求导得，292064t h h π'=⋅，当4h =时，解得80(/)9t h cm s π'=．点评：解法一和解法二实质都是利用导数的定义求导，而解法三是利用常见函数的导数及导数的运算法则求导． 4．自我检测(1)函数25y x =的导数是 ． (2)函数2(1)y x x =+的导数是 ． (3)函数cos 2x y x=的导数是 ． (4)函数25ln xy x =-的导数是 ．(5)函数2xe y x=的导数是 ．(6)已知函数()()32122f x x x m m =-+为常数图象上A 处的切线与30x y -+=的夹角为450，则点A 的横坐标是 ． (7)已知函数nm mxx f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=nm ．(8)若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f 是 ． (9)求下列函数的导数．①5)12(+=x y ； ②f (x )=sin x 2； ③y =sin 2(2x ＋3π)三、课后巩固练习A 组1．已知y y '= ．2．函数y 0)x >的导数是 ． 3．若函数f (x )=x 3，则[](2)f '-= ．4．设010211()cos ,()(),()(),,()()n n f x x f x f x f x f x f x f x +'''====，,n N *∈则2008()f x ．5．设函数32()25f x x x x =-++，若()0f x '=，则x 的值为 ． 6．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =7． 若圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是______． 8．填空： (1) 2222[(31)(43)]( )(43)(31)( )x x x x '+-=-++(2)33(sin )( )sin ( )x x x x '=+(3)2222( )(1)( )()1(1)x x x x x +-'=++ (4)2221( )sin (1)( )()2sin 4sin x x x x x+-+'= 9．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2) ； (2)sin()4y x π=-； (3)ln xy x=； (4)2ln y x x =； (5)y =x 2cos x (6)f (x )=354337xx x x ++；(7)f (x )=xx++-1111； (8)f (x )=xx2cos 12sin + ．10．若f (x )=sin α－cos x ，则f ′ (α)等于 ．11．设()(1)(2)(5)f x x x x x =++⋅⋅+，求(0)f '的值______．12．二次函数()y f x =的导函数()2f x x m '=+，且2(0)f m m =-，则()0f x >在R 上恒成立时m 的取值范围是 ． 13．直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ． 14．设函数32()2f x x ax x '=++，(1)f '=9，则a=___________．15．已知函数f (x )=2cos 2x －1，则()f x '= ．16．函数y=(3＋sin x )4是由 两个函数复合而成的．17．函数2(13)y x =-的导函数y '= ；函数8log (13)y x =-的导函数y '= ． 18．已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232xf x x f +=，则()=5'f ．19．曲线y =e x在x =1ln 32处的切线的斜率为 ． 20．曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ． 21．过原点作曲线y =e x的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ． 22．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点,04M π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为 ．23．与直线2x －6y ＋1=0垂直，且与曲线y =x 3＋3x 2－1相切的直线方程是 ．B 组 24．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为 ．25．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2009(π2)＝ ． 26．抛物线y=x 2和直线y=x －1之间的最短距离是 ．27．若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =____．28．曲线y =－x 2＋4x 上有两点A (4，0)、B (2，4)．求： (1)割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；(2)在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．已知曲线31433y x =+，求过点P (2，4)的切线方程． 30．A (0，0)，B (2，2)是抛物线y =x 2－x 上两点，在抛物线y =x 2－x 上A 与B 间的求一点P ，使△APB 面积最大．31．当a 满足什么条件时，过点(1，a )可作曲线y =x 2＋1的两条切线．32．设f (x )=(x －1)(2x －1)3，求(0)f '，(1)f '-，(1)f '．33．求下列函数的导数： (1)y=cos(2)4x π+； (2)y=(3x ＋5)6； (3)y=(3x －8)7．34．求下列函数的导数：(1)y=cos(3)4x eπ-； (2)sin()3x π-；(3))cos(2)33x x ππ+-+．35．(1)曲线y=lnax (a >0)在与x 轴交点A 处的切线l 方程是什么?(2)在(1)中，过点A 且与直线l 垂直的直线m ，试求直线l ，m 与y 轴围成三角形的面积S (a )的表达式．36．水以20立方米/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．C 组 37．设)()2)(1()(n x x x x x f +⋅⋅++= ，求(0)f '的值． 38．用求导的方法求和：1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1(x ≠1)．39．已知曲线y =x 2(x －32a)(a >0)，在点M (1,1x y )处的切线l 与x 轴的交点为(2x ，0)， 求证：当1x a >时，232ax ≥．40．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3． (1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围的三角形的面积为定值，并求出此定值．四、学习心得五、拓展视野如何求三次曲线f (x )=ax 3＋bx 2＋cx ＋d 图象的对称中心呢?我们可以设对称中心为(00,x y )，有f (x )＋ f (20x －x )=20y ，代入曲线方程，通过待定系数法求出0x 、0y ，这种方法便于接受，但较麻烦．可以通过导数方法处理．对上等式两边求导，得()f x '+0(2)f x x '-⋅0(2)0x x '-=，即0()(2)f x f x x ''=-，这就是说()y f x '=的对称轴为0x x =，又()f x '=3ax 2＋2b x ＋c ，故0232b x a -=⨯，03bx a∴=-．同时，可以知道该点(00,x y )在曲线上，所以三次曲线对称中心为(,()33b bf a a--)．事实上，如果曲线存在两个极值点，该对称中心就是这两个点的中心．1．2 导数的运算检测反馈：1．10x ；2．231x +；3．2sin cos 2x x x y x --'=；4．52ln 2xy x'=-； 5．22x x xe e y x -'=；6．0或16 ；7．14；8．2)(4-=x x f 9．（1）解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．（2）解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ⋅(x 2)x ′=cos u ⋅2x =cos x 2⋅2x =2x cos x 2∴f ′(x )=2x cos x 2； （3）解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ⋅v ′x )=2u ⋅cos v ⋅2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)⋅2 =4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π)即y ′x =2sin(4x +32π) 巩固练习：1．2 3．0 4． 20080()()cos f x f x x ==5． 13或1 6． 42x - 7． 40π cm 2/s 8． (1) 6x ，8x ；(2)3，cos x ; (3) 1，2x ；(4) 4x ；2 cos x9． （1） 18x 2－8x ＋9 （2）21ln cos();(3);(4)2ln 4xy x y y x x x xπ-'''=--==+ （5） y ′=2x cos x －x 2sin x （6）2x +1586115767-+x x （7）2)1(2x - ;(8)sec 2x 10． sin α 11． 120 12． 403m m <>或13． ln2－1 14． 615． 4cos (sin )2sin 2x x x ⋅-=- 16． 43sin y u u x⎧=⎨=+⎩17． 18x -6 ；1(31)ln 2x - 18． 619．4321．（1，e ），e 22． 1223． 3x +y +2=024．1； 25． 1 26． 827． 6428．（1）斜率k AB =-2；AB 所在直线的方程为2x+y-8=0; (2)存在， C 点的坐标为（3，3）。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.2.1 常见函数的导数》
常见函数的导数教学目标：1、能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式；2、熟记常见函数的导数；3、掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数，会求函数图象的的切线的方程。
教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式教学过程：一、引入新课1导数的相关知识设函数＝f在区间a，b上有定义，，假设△无限趋近于零时，，那么称f在＝处可导，并称该常数A为函数f在＝处的导数，记作．2如何求切线的斜率。
二、探究新知对于函数，如何求它的导数呢？本节课我们将学习常见函数的导数首先我们来求下面几个函数的导数〔1〕=b ; 〔2〕=2 ; 〔3〕=问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？三、知识建构1几种常见函数的导数:问题引入1：110 0通过以上运算我们能得到什么结论公式一: C为常数，问题引入2：1通过以上运算我们能得到什么结论公式二:除此以外：公式三:公式四:公式五：对数函数的导数:公式六：指数函数的导数:四、新知运用例1 利用求导公式，求以下函数的导数：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕练：以下式子中正确式子个数为：①②③④例2 〔1〕求函数的图象在点处的切线方程。
〔2〕假设直线为函数图象的切线，求及切点坐标。
思考：求函数的图象过点的切线的方程。
五、稳固训练1〔1〕，那么，〔2〕函数的导数2〔1〕求函数的图象在点处的切线的方程。
〔2〕直线能作为以下函数图象的切线吗？假设能，求出切点坐标；假设不能，简述理由。
①②③④3、求函数的图象过点的切线的方程。
2018-2019学年高一数学苏教版选修2-2学案：1.2.2+3 简单复合函数的导数
1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数．(重点) 2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(难点) 3．积函数、商函数求导公式的正确运用．(易错点)[基础·初探]教材整理1导数的四则运算法则阅读教材P21，完成下列问题．1．导数的四则运算法则设两个函数f(x)，g(x)可导，则判断正误：(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.()(2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．()(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.()【解析】(1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋C.(2)由y＝2sin x－cos x，则y′＝(2sin x)′－(cos x)′＝2cos x＋sin x.(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以f′(x)＝2x＋3.【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2复合函数的导数阅读教材P23，完成下列问题．1．判断正误：(1)函数f(x)＝x e x的导数是f′(x)＝e x(x＋1)．()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．()【答案】(1)√(2)×2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝____________. 【解析】f′(x)＝2(2x＋a)(2x＋a)′＝4(2x＋a)，∴f′(2)＝4(4＋a)＝20，∴a＝1.【答案】 1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________[小组合作型](e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.(2)求下列函数的导数：①f (x )＝(x ＋2)(x －3)；②f (x )＝lg x －3x ； ③f (x )＝11－x ＋11＋x；④f (x )＝sin x1＋sin x .【自主解答】 (1)f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e .∴f ′(e)＝－1e . 【答案】 －1e (2)①∵f (x )＝x 2－x －6， ∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1.②f ′(x )＝(lg x )′－(3x )′＝1x ln 10－3x ln 3. ③∵f (x )＝1＋x ＋1－x 1－x ＝21－x，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.④∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x，∴f ′(x )＝1′－⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋sin x ′＝－－(1＋sin x)′(1＋sin x)2＝cos x (1＋sin x)2.1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．[再练一题]1．求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3x e x－2x＋e；(3)y＝ln xx2＋1；(4)y＝x2－sin x2cosx2.【自主解答】(1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.(3)y′＝x2＋1－2x2·ln xx(x2＋1)2.(4)∵y＝x2－sin x2cosx2＝x2－12sin x，∴y′＝2x－12cos x.(1)y＝e2x＋1；(2)y＝1(2x－1)3；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.【精彩点拨】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．【自主解答】(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝e u和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(e u)′(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)函数y＝1(2x－1)3可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－6(2x－1)4.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5u ln 2＝5(x－1)ln 2.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤[再练一题]2．求下列函数的导数．(1)y＝x1－1－x；(2)y＝log2(2x2－1)．【解】(1)y＝x1－1－x＝x(1＋1－x)(1－1－x)(1＋1－x)＝x(1＋1－x)1－(1－x)＝1＋1－x.设y＝1＋u，u＝1－x，则y′＝y u′·u x′＝(1＋u)′·(1－x)′＝1 2u ·(－1)＝－121－x.(2)设y＝log2u，u＝2x2－1，则y′＝y′u·u x′＝1u ln 2·4x＝4x(2x2－1)ln 2.[探究共研型]探究【提示】 函数y ＝(3x ＋2)2可看出函数y ＝u 2和u ＝3x ＋2的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x ＋2)′ ＝6u ＝6(3x ＋2)．已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．【精彩点拨】 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解．【自主解答】 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.关于复合函数导数的应用及其解决方法(1)应用：复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．[再练一题]3．若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝14相交”，求a的取值范围．【解】由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.∵直线l与圆C：x2＋y2＝14相交，∴圆心到直线l的距离小于半径．即d＝|2－a|4(a－1)2＋1<12.解得a>118.[构建·体系]1．函数y＝(2 017－8x)3的导数y′＝________.【导学号：01580009】【解析】y′＝3(2 017－8x)2×(2 017－8x)′＝3(2 017－8x)2×(－8)＝－24(2 017－8x)2.【答案】－24(2 017－8x)22．函数y＝x2cos 2x的导数为________．【解析】y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.【解析】f′(x)＝13x－1·(3x－1)′＝33x－1，∴f′(1)＝32.【答案】3 24．设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.【解析】令y＝f(x)，则曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝e ax，所以f′(x)＝(e ax)′＝(e ax)·(ax)′＝a e ax，所以f′(0)＝a e0＝a，故a＝2.【答案】 25．求下列函数的导数．(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.【解】(1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(cos u)′·(x＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
苏教版高二数学选修2-2 1.2.3 简单复合函数的导数 学案
1．2.3简单复合函数的导数学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？思考3试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．类型一 复合函数的概念例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？(1)y ＝(2－x 2)3；(2)y ＝sin x 2；(3)y ＝cos(π4－x )； (4)y ＝ln sin(3x －1)．反思与感悟 根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2；(2)y ＝ln u ，u ＝ln x .类型二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1；(2)y ＝1(2x ＋1)4； (3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .(2)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝ . (3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝ . 类型三 复合函数导数的综合应用例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线方程．反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．1．函数y ＝sin 3x 是由函数 复合而成的．2．设f (x )＝e －x 则f ′(x )＝ .3．函数y ＝(1－2x )4在x ＝12处的导数为 ． 4．过曲线y ＝11＋x 2上一点，使曲线在该点的切线平行于x 轴，求切线方程．1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．提醒：完成作业 1.2.3答案精析问题导学知识点思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积题型探究例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3是由y ＝u 3及u ＝2－x 2复合而成．(2)y ＝sin x 2是由y ＝sin t 及t ＝x 2复合而成．(3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π4－x 复合而成． (4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2)．(2)y ＝ln(ln x )．例2 解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3.(2)y ＝1(2x ＋1)4＝(2x ＋1)－4，函数y ＝1(2x ＋1)4看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合． y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5＝－8(2x ＋1)5. (3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5(ln 3)(x －1). (4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3的复合． ∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π3)′ ＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3)，∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′ ＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)． 跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3e(3)3sin 2x cos x －3sin 3x例3 解 y ′＝[(x 2－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)， ∴y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)＝－516， ∴切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 跟踪训练3 解 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32，∴a ＝0. 达标检测1．y ＝u 3及u ＝sin x 2.－e －x 3.04．解 设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数几何意义知k ＝f ′(x 0)＝－2x 0(1＋x 20)2＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝11＋x 2上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.。
苏教版高中数学选修2-2《简单复合函数的导数》教学教案2
1.2.3 简单复合函数的导数学习目标：1.掌握求复合函数()f ax b ＋的导数的法则；2.熟练求简单复合函数的导数．学习重点：复合函数的求导法则．学习过程：一、问题情境1．问题情境：什么是简单复合函数？引例 函数2(31)y x ＝－是由哪两个函数复合而成的？函数sin 2y x ＝呢？2．探究活动：怎么样求简单复合函数的导数？以函数2(31)y x ＝－和sin 2y x ＝为例．二、建构数学1．与一次函数复合的函数的导函数公式．2．推广：注 1．复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数；2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、数学运用例1 求下列函数的导数：（1）3(23)y x ＝－； （2）ln(51)y x ＝＋．例2 求下列函数的导数：（1）131y x ＝－； （2）cos(12)y x ＝－． 点评 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例3 求y －的导数．点评 本题练习商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． 例4 求44sin cos y x x ＝＋的导数．点评 可先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确；也可利用复合函数求导数，应注意不漏步．练习：课本第24页第2，3，4题．四、回顾小结(1)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；(2)复合函数求导的基本步骤是：分解—求导—相乘—回代．五、课外作业1．见课本P26习题1.2第8～10题．2．补充：已知函数22()3cos sin 222x x f x ＝＋－，求5π()6f ．。
苏教版高中数学选修2-2 导数的概念及运算 学案
年级 高二学数学版本苏教版（理）课程标题 选修2-2第1章第1-2节 导数的概念及运算一、学习目标：1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。
2. 熟记常函数C ，幂函数x n （n 为有理数），三角函数sinx ，cosx ，指数函数e x ，a x ，对数函数lnx ，log a x 的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；3. 掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
二、重点、难点重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数。
难点：导数的概念、复合函数的导数。
三、考点分析：1. 导数既是研究函数性态的有力工具，又是进行理性思维训练的良好素材。
导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一。
2. 考纲要求：理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。
1. 导数的概念：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x∆时，函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，xy∆∆趋于常数A ，称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把A 叫做)(x f 在0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='2. 导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0x f '。
相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-。
3. 导数的运算：（1）基本函数的导数公式：()0C '=；1()mm x mx-'=；(sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-；1(ln )x x '=；1(log )log a a x e x'=；()'x x e e =；()'ln x xa a a =。
苏教版数学高二- 选修2-2导学案 1.2导数的概念及其运算
1.2导数的概念及其运算一、学习目标掌握导数的求导公式及运算法则。
能利用导数的几何意义求切线方程。
二、知识梳理1、基本初等函数的导数公式2、导数运算法则（1）/[()()]f x g x ±= ；（2）/[()()]f x g x = ； （3）/()[]()f xg x = [()0].g x ≠ 3.简单复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .三、热身训练1. 1、求下列函数的导数：（1）3sin y x x =+ （2）222354y x x x =-+-（3）2(23)(32)y x x =+- （4）n xy x e =（5）tan y x = （6）ln xy x= 2．已知函数nm mxx f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=nm ________3．函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为_____________4．若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f =_________ 5．已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=__________四、例题分析例1、 求下列函数的导数：(1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3)求2sin xy x=的导数；(4) ()ln 32y x =+ (5)y=sin(2)3x π+变式训练：设ln(1), 0()0, 010x x f x x x x⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪<⎩ 求()f x '.例2 已知曲线34313+=x y 。
（1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2，4）的切线方程； （3）求曲线斜率为4的切线方程。
例3.设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．(1)求()f x 的解析式；(2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．五、巩固训练1.函数()()()y x a x b x c =---的导数是 。
高中数学 简单复合函数的导数导学案 苏教版选修2-2 学案
简单复合函数的导数学习目标:1. 了解复合函数的概念；2. 理解复合函数的求导法则；3. 会求简单的复合函数的导数。
二、知识扫描：1、复合函数的概念：由复合而成的函数称为复合函数，例如：cos(12)y x =-由cos y μμ=及=复合而成。
2.复合函数的求导法则： 若(),y f u u ax b ==+，则'y x =，即'y x =．三、例题选讲：例１.求下列函数的导数：（书）⑴()323y x =-；⑵ln(51)y x =+⑶131y x =-； ⑷cos(12)y x =-例2：⑴一质点按规律(,kts ae a k =为常数）作直线活动，求它的速度和加速度，以及初始速度和初始加速度。
（高中数学《教学与测试》）⑵已知函数()sin cos ,(0,2).f x x x x π=-∈①求0x ，使'0()0f x =；②解释①中0x 及'0()f x 的意义。
（高中数学《教学与测试》）例3.⑴求曲线y =在点(处的切线方程．⑵在曲线211y x =+上求一点，使经过该点的切线平行于x 轴。
（高中数学《教学与测试》）⑶曲线ln 2y x =在与x 轴交点处的切线方程是什么？并求出该切线与坐标轴所围成的三角形的面积。
（高中数学《教学与测试》）例4．求下列函数的导数（《世纪金榜》） ⑴2sin (2)3y x π=+⑵13sin(21)x y x -=-⑶y =⑷y =例5.已知函数2()2ln(2)()f x ax x a R =+-∈，设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为l ，若l 与圆221:4C x y +=，求a 的值。
（《世纪金榜》）三、课后作业：1ln 1x y x-=+的导数为。
（《世纪金榜》）32()f x ax x=+'(1)5f -=，则a =_______________．（《世纪金榜》）()sin(3)6f x x π=-在点6π⎛ ⎝⎭处的切线方程为___________________． 4.设曲线41ln()33y x =-上的点到直线43110x y -+=的距离为d ，则min d = __．（《世纪金榜》）5.已知函数()sin()1(0)6f x x πωω=+->导数'()f x 的最大值为3，则ω=________________．()ln()f x ax b x =+-的图像过点(1,0)，在1x =处切线斜率为1，则a =，b =。
苏教版选修2《简单复合函数的导数》说课稿
苏教版选修2《简单复合函数的导数》说课稿一、说教材的内容和分析《苏教版选修2》是适用于高中选修课的教材，本篇说课稿将重点介绍教材中的《简单复合函数的导数》。
在高中数学课程中，导数是一个重要的概念，它不仅在理论上具有重要意义，而且在实际问题中具有广泛应用。
本篇内容主要涉及到复合函数的导数，在理解基本概念的基础上，学生将进一步探索复合函数的求导规律和方法。
二、说教学目标和要求1. 目标通过本节课的学习，学生应该能够：•了解复合函数的概念和性质；•掌握复合函数的导数求法；•能够应用复合函数的导数解决相关问题。
2. 要求针对不同层次的学生，要求如下：•掌握复合函数求导的基本方法和技巧；•熟练理解复合函数导数的运算规则；•能够运用复合函数的导数解决实际问题。
三、说教学重难点1. 重点•复合函数的概念和性质；•复合函数导数的求法。
2. 难点•复合函数求导的规律和方法；•复合函数求导过程中的注意事项。
四、说教学过程1. 导入为了引起学生的注意和激发学生的学习兴趣，可以通过一个实际问题引入复合函数的场景。
例如：小明要从A地骑自行车到B地，途中某个点C处的速度与时间的关系由函数f(t)表示，而从A地到B地的距离则由函数g(t)表示。
那么小明骑自行车到达B地的时间t与速度v的关系可以用复合函数ℎ(t)=g(f(t))来表示。
此时，提问学生如何求得ℎ′(t)，即骑自行车到B 地的时间t对速度v的变化率。
2. 学习过程（1）复合函数的概念与性质在导入中，我们已经提到了复合函数的概念，接下来我们将更详细地介绍复合函数的定义和性质。
•复合函数的定义：设有两个函数f(x)和g(x)，则复合函数ℎ(x)=g(f(x))在定义域内是有意义的。
•复合函数性质：复合函数具有传递性、并集与交集性质。
（2）复合函数的导数求法接下来，我们将重点讲解复合函数的导数求法。
•复合函数求导法则：对于复合函数ℎ(x)=g(f(x))，其导数ℎ′(x)可以通过链式法则求得，即$h'(x)=g'(f(x))\\cdot f'(x)$。
高二数学选修2-2复合函数的导数教案
高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y ＝sin 43 x cos 3 4 x 的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式． 例3求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5求y ＝A A sin 1sin 1++- （0＜A ＜2π) 【解法一】y ＝A A sin 1sin 1++-（0＜A ＜2π) ∴ y ＝)2πcos(1)2πcos(1A A -++--＝2sin （24πA -）＋2cos （24πA -） ＝2 [22sin （24πA -）＋22cos （24πA -）]＝2 sin （22πA -）＝2 cos 2Ay ′＝(2 cos 2A )′＝－sin 2A ． 【解法二】y ′＝(A sin 1-)′＋(A sin 1+)′ ＝21(1－sin A )21-(－cos A )＋21(1＋sin A )21-cos A ＝AA A A cos 2)sin 1sin 1(cos +-- ∵ A ∈（0，2π） ＝21[（cos 2A －sin 2A ）－（cos 2A ＋sin 2A ）] ＝－sin 2A ． 【解法三】∵ 0＜A ＜2π y ＝A sin 1-＋A sin 1+＝（cos 2A －sin 2A ）＋（cos 2A ＋sin 2A ）＝2 cos 2A ． y ′＝－sin 2A ． 【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 xy ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 【点评】例6复习导数的运算和导数的几何意义．。
高中数学选修2-2精品学案：§1.2 第3课时 简单复合函数的导数
第3课时简单复合函数的导数学习目标1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考这两个函数有什么共同特征？[答案]函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)都是由两个基本函数复合而成的．梳理1．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(×)2．函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( × )3．函数y ＝cos(3x ＋1)由函数y ＝cos u ，u ＝3x ＋1复合而成．( √ )类型一 求复合函数的导数 命题角度1 单纯的复合函数求导例1 求下列函数的导数．(1)y ＝11－2x 2； (2)y ＝log 2(2x ＋1)；(3)y ＝e cos x ＋1；(4)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数解 (1)y ＝122(12)x --， 设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝(12u -)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1232u -·(－4x ) ＝－12322(12)x --·(－4x )＝2x 322(12)x --. (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2. (3)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－sin x )＝－e cos x ＋1sin x .(4)y ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π32对于t ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3， 设u ＝4x ＋2π3， 则t ＝cos u ，t u ′u x ′＝－4sin u ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. ∴y ′＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练1 求下列函数的导数．(1)y ＝(x 2－4)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)；(3)y ＝103x －2；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x .考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)y ′＝2(x 2－4)(x 2－4)′＝2(x 2－4)·2x＝4x 3－16x .(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2. (3)y ′＝(103x －2ln 10)·(3x －2)′＝3×103x －2ln 10.(4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1 . (5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .命题角度2 复合函数与导数运算法则结合求导例2 求下列函数的导数．(1)y ＝ln 3x e x ； (2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x， ∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x. (2)y ′＝(x1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x 2cos 4x ·4 ＝－12sin 4x －2x cos 4x . 反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数．(1)y ＝sin 3x ＋sin x 3；(2)y ＝x ln(1＋2x )．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(2)y ′＝x ′ln(1＋2x )＋x [ln(1＋2x )]′＝ln(1＋2x )＋2x 1＋2x. 类型二 复合函数导数的应用例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ， 即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0. 反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由y ＝e sin x ，得y ′＝(e sin x )′＝cos x e sin x ，即=0|x y'＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，得c ＝3或c ＝－1. 故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －xD ．e x ＋e －x 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数[答案] A[解析] y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )． 2．函数y ＝x 2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的导数为( ) A ．y ′＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－x 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 B ．y ′＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2x 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ′＝x 2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2x sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D ．y ′＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2x 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数[答案] B[解析] y ′＝(x 2)′cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋x 2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′ ＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋x 2⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2x 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 3．已知函数f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________.考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数[答案] 32[解析] ∵f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，∴f ′(1)＝32. 4．函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用[答案] －1[解析] 由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. 5．曲线y ＝2e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用[答案] e 2[解析] y ′＝122e x ， 切线的斜率k ＝12e 2， 则切线方程为y －e 2＝e 22(x －4)， 令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴切线与坐标轴围成的面积为12×2×|－e 2|＝e 2.求简单复合函数f(ax＋b)的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.。
高中数学：1.2《简单复合函数的导数》教案(苏教版选修2-2)
课 题：§简单复合函数的导数教学目的：知识与技能：理解掌握复合函数的求导法则.过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导情感、态度与价值观：培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
教学过程：学生探究过程： 一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x y u y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xuu y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解X 例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成； ⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成；⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成． 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =． 解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数． 解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数. 解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2 例5求y =sin 2(2x +3π)的导数.分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2=4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax bax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x--''-------=⋅=⋅21x -=== 即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sinx 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x=22211122)2(21xxx x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++即y ′x =2316xx x ++四、巩固练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4(2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3(4)y =(2x 3+x )2 解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4 (3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2 (4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uucos sin )′u ·n=2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nxnn u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nxn2sin =－n csc 2nx 五、教学反思 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代六、课后作业：。
苏教版选修(2-2)1.2《导数的运算》word学案
1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基础知识基本技能基础知识1定义法求几个常用函数的导数 函数 y=f(x)导函数 f (x) = y = lim lim fl 推算得：常见函数f(x) =x f(x) =x 2 f(x)」xf(x)二 x基础知识2基本初等函数的导数公式f (x . ：X)-f(x))'1 口f (x) = log a xf (x) = (a = 0且a^1 xln a1 f (x) =x熟记以上8个基本初等函数导数公式。
求一个函数的导数可以利用导数定义求解，还可以直接转化为基本初等 方法更简单更常用。
基础技能3导数的四则运算1.函数和（或差）的求导法则:f(x) _g(x) f (x) _g (x)[f (x) g(x) I - f '(x)g(x) 一 f (x)g '(x)明确函数的运算形式选择适当的导数运算法则。
综合方法解题能力综合方法4方程思想一一研究切线问题在曲线方程中有关切点问题时，若切点未知，通常要设出切点的坐标，然后利用方程思想列出有关的方程求 而不求继续求解。
方程思想在研究复杂的曲线问题时通常要设出一些量，设而可求、设而不求研究问题，并结合结合数形结合3.函数商的求导法则: 严)Lf(x)g (x)f xM x )(g(xTig(x) f推论：Cf (x) I - cf(x) （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） y = f (x) =e x' xy -ef (x) Jog a Xf (x) = I n x2.函数积的求导法则:解题能力5能清函数的式子的特点灵活求导明确函数的结构形式：属于那种函数四则运算，函数是否是复合形式。
是公式法求导的关键，并且要熟记基应用的基础，一定要熟练掌握。
能力拓展知识迁移能力拓展6复合函数的导数般地, 设函数u= :(x)在点x处有导数u'x = '(x),函数y= f(u)在点x的对应点u处有导数y'u=f '(u), 导数，且y'x = y'u • u'x・或写作 f 'x ( (x))= f '(u) '(x).复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量复合函数求导通常引入中间变量利用换元法求解，熟练后，中间步骤可省略不写。
高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章 1.2 1.2.3 简单复合函数的导数
1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2. 问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由 g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1] (1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)；(4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析] (1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e－0.05x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e－0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2.[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x ，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1u ·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x . 答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________． 解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3 3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4， ∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－x sin(2x －1)； (2)y ＝ln (2x －1)2x －1.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x )′sin(2x －1)＋31－x ·[sin(2x －1)]′ ＝－31－x ln 3·sin(2x －1)＋31－x ·2cos(2x －1) ＝31－x [2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln (2x －1)]′·2x －1－ln (2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln (2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln (2x －1)2x －12x －1＝2－ln (2x －1)(2x －1)·2x －1 .[一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )． 解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x 2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－xx 22x －1 .(2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] (1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨]求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.∴a 的值为118.[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线方程是________． 解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎫x －π4， 即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角． 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )． (1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x ， ∴y ′＝(e －x )′＝－e －x ， ∴y ′|x ＝t ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )， 即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1.令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)． ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. 答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的导数为________． 解析：∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x2sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－x 2′sin 4x ＋⎝⎛⎭⎫－x2·(sin 4x )′ ＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a， 则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝⎛⎭⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))， a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1) ＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1，∴f ′(1)＝0， ∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.。
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1．2.3 简单复合函数的导数
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．
一、知识回顾
函数的和、差、积、商的求导法则
设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数
[f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数
[f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数
[C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数
[f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x )
]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究
1．复合函数的概念
由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．
cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成.
32
21(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x x
y x x y x
思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？
2．复合函数的求导法则
2
(2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？
2(2)(31),6(31)
(4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x
思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.
ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数．
三、知识应用
(1)ln(51)(2)cos(12)
y x y x 例1：求下列函数的导数
31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数
四、当堂训练
1.指出下列函数的复合关系：
(1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3；
(3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)．
2.求下列函数的导数．
(1)y ＝(2x ＋3)2；
(2)y ＝e －2x ；
(3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．。