3线性方程组典型习题解析

解:显然, 为 的解,下证在 线性无关时,t1,t2应满足的关系。
设
由 线性无关知
由于 线性无关,此方程组只有零解,即
故当 时,即s为偶数时, ,s为奇数时, ,这时 为 的一个基础解系。
4、设齐次线性方程组 , ,试问a为何值时,该方程组有非零解,并求其解。
解:方法一
对系数矩阵进行初等行变换
(1)若 , ,方程组有非零解,其同解方程为
2、设A为n阶方阵, ,且 就是 的三个线性无关的解向量,则下面哪个就是 的基础解系( )
解:由 的基础解系个数为
又因为 就是 的解,所以四个选项中的向量都就是方程组的解,而我们只要验证瞧其就是否线性无关即可,现在我们利用矩阵这里工具来进行求解:
因为:
所以,向量组 线性无关,而其余三个都就是线性相关的,
解:记线性方程组的系数矩阵为A,即 ,则
,
i)当 ,即 且 时,方程组有唯一解,
我们用克莱姆法则求之,
。
ii)当 时,
方程组的增广矩阵 ,
因此,方程组无解;
iii)当 时,
方程组的增广矩阵
,可知方程组有无穷多解,于就是 ,令 ,则通解为 ,亦即 。
点评:本题属于含有参数变量的线性方程组问题,这类问题一直都就是本章的一个重要考察点,务必要好好把握。
。
同时,为了方便,我们记 ,称为线性方程组(*)的增广矩阵。
3.1.2线性方程组解的判断
1、齐次线性方程组 ,(n=线性方程组中未知量的个数
对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解),
i)那么,当 时,有唯一零解;
ii)当 时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r、
2、非齐次线性方程组
8、设有两个4元齐次线性方程组
(I) ;(II)
(1)求线性方程(I)的基础解系;
(2)试问方程组(I)与(II)就是否有非零的公共解？若有,则求出所有的非零公共解;若没有,则说明理由。
解:(1)(I)的基础解系为
,
(2)关于共公解有下列方法:
方法一
把(I)(II)联立起来直接求解,令
由 ,基础解系为 ,从而(I),(II)的全部公共解为 ,(k为任意实数)
由于原非齐次线性方程组的系数矩阵与其导出组的系数矩阵相同,
因此,我们只要把原方程组一般解公式的常数项去掉,就可得到导出组的一般解。
(其中 都就是自由变量)
从而得到导出组的一个基础解系
第三步,写出非齐次线性方程组的解空间
评析:本题写出了求解一般非齐次线性方程组的最一般的解法及其步骤,作为线性方程组的最一般解法,我们就是必须掌握的。
方法二通过(I)与(II)各自的通解,寻找公共解。可求得(II)的基础解系为
,
则 , 分别为(I),(II)的通解。
令其相等,即有
由此得
比较得
故公共解为
方法三
把(I)的通解代入(II)中,在为其解时寻求 , 应满足的关系式而求出公共解。
由于 ,要就是(II)的解,应满足(II)的方程,故
解出 ,从而可求出公共解为 。
所以,该线性方程组得通解为:
易错提示:按常规思路,如果把三个解代入方程组先求其参数,再求通解,则计算就是非常繁琐的,在限定时间内就是很难达到很好的效果,有时这种方法也就是行不通的;而倘若我们对方程组的性质与其解的结构都能够很好的理解,那么当遇到相关类型的题目时也就不至于困惑了。
7、问k为何值时,线性方程组 ,有唯一解,无解,无穷多解？并且,当有解时求出其所有解。
故选A。
评析:本题解法颇多,只要验证选项中的向量组线性无关即可,但上述方法就是较为简单的方法,且不易出错;同时,我们可以瞧到,在解决一些有关向量组与线性方程组问题时,有时把矩阵这一数学工具拿来运用也未尝不就是一种简便！
3、设 就是齐次线性方程组 的一个基础解系。而 ,其中t1,t2就是实数,问当t1,t2满足什么关系时, 也就是方程组 的基础解系？
故其基础解系为
, ,…
所以方程组的通解为
( 为任意常数)
(2)若 ,对矩阵B继续作初等行变换,有
当 时, ,方程组有非零解,其同解方程为
得基础解系为 所以通解为 (k为任意常数)
方法二由于系数行列式
故当 或 时,方程组有非零解。
(1)当 时,有 故方程组的同解方程为
由此行基础解系为
, ,…,
通解为 ( 为任意常数)
(2)当 时,对系数矩阵进行初等行变换,有
故方程组的同解方程为
可得基础解系为 ,故通解为 (k为任意常数)
5、求下述数域K上的非齐次线性方程组的解空间
解:
第一步,求解方程组的特解。为此,先求出它的一般解公式,
所以,方程组的一般解为
(其中 都就是自由变量)
由 式可以推出方程组的一特解:
第二步,求导出组的一个基础解系。
3.1.3线性方程组的解空间
1、齐次线性方程组的解空间
(作为线性方程组的一个特殊情形,在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系,我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间)
定理:对于数域K上的n元齐次线Hale Waihona Puke Baidu方程组的解空间W的维数为
,
其中A就是方程组的系数矩阵。那么,当齐次线性方程组 有非零解时,它的每个基础解系所含解向量的数目都等于 。
6、已知向量 ,
就是方程组 的三个解,求该方程组的解。
解:即方程组的系数矩阵为A,则
i)由已知条件知: 时相应的齐次线性方程组的两个线性无关的解向量
由
又 系数矩阵A有二阶子式
系数矩阵A的秩r(A)
因此,由*)与**)
ii)由i) 齐次线性方程组基础解系由 个解向量构成,即 就是齐次线性方程组的一基础解系
3
3
3.1.1基本概念
1、方程组
称为含n个未知量m个方程的线性方程组,
i)倘若 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组;
ii)若 ,则该线性方程组就就是齐次线性方程组,
这时,我们也把该方程组称为 的导出组,
(其中 不全为零)
2、记
则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式
3、又若记
则上述方程游客一写成向量形式
评析:本题就是关于两个方程组解的讨论,其实考察的也就是关系线性方程组的解的结构问题,近几年的考研试题中也常有所涉及,所以还就是值得我们注意的。
3
1、已知方程组 无解,试求 的取值
解:方程组的增广矩阵 (初等行变换不影响线性方程组的解)
由于方程组无解
或
i)当 时, ,方程组又无穷多解;
ii)当 时, ,方程组无解
综上可得,
易错提示:对方程组有解、无解时的条件把握不牢固;在把增广矩阵化为解提醒矩阵的过程中不仔细导致错误。所以,我们在做题的过程中,一定要善于总结,通过练习找到自己的不足点。对于关于线性方程组解的判定、性质以及解的结构失无必要进行总结的,已做到深刻的理解与领悟。
2、非齐次线性方程组的解空间
我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系,那么我们可首先求出非齐次线性方程组的一个解 (称其为方程组特解);然后在求对应的导出组的解空间(设该解空间的基础解系为 ),则(*)解空间的维数为n-r,且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为:
我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解、