立体几何题型与方法(文科)

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文科立体几何题型与方法

文科何体题型与方法总结考点一证明空间线面平行与垂直1、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；2、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；3.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .4、（2012年高考（江苏））如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ，分别是棱1BC CC ，上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥，为11B C 的中点. 求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ;(2)直线1//A F 平面ADE .考点二求空间图形中距离与体积5、（安徽理17）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==△OAB ，,△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ；（II ）求棱锥F —OBED 的体积。

6.（四川09）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D 是棱CC1上的一P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA ．（I ）求证：CD=C1D ：（Ⅱ）求点C 到平面B1DP 的距离．7.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.8.【2012高考广东文18】本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .9.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分）直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，AB=A A 1 ，CAB ∠=2π（Ⅰ）证明11B A C B ⊥;（Ⅱ）已知AB=2，11C A AB - 的体积10.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

文科高考数学立体几何大题求各类体积方法

A BCD PA B CDP文科高考数学立体几何大题求各类体积方法【三年真题重温】1.【2011⋅新课标全国理，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD ．(Ⅰ) 证明：PA BD ⊥；(Ⅱ) 设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．根据DE PB PD BD ⋅=⋅，得32DE =．即棱锥D PBC -的高为32．3.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点.（1）证明：PE ⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.4.【2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。

5.【2012 新课标全国理】（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小。

6.【2012 新课标全国文】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

专题8.3 立体几何综合问题(原卷版)文科生

【考点1】空间角，距离的求法【备考知识梳理】 1．空间的角(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)二面角的平面角：如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 3.空间距离:（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. （2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h =θsin 进行求解.③妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；DBA Cα②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 【考点针对训练】1. .【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 是PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22AB AC ==．（1）求证：//QG 平面PBC ；（2）求G 到平面PAC 的距离．【考点2】立体几何综合问题【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有：以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明. 探索性问题中的平行与垂直问题. 折叠问题中的平行与垂直问题. 【考点针对训练】1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺】如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设,D E 分别为,PA AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，,E F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF ∆∆分别沿DE 、DF 折起，使,A C 两点重合于P .(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； (Ⅱ)求四棱锥P BFDE -的体积. 【应试技巧点拨】 1．如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h ！利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.（3）妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. 2.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；（2）射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.4．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．5．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．6．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（）（A ）2 （B ）2 （C ）3（D ）132. 【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．3. 【2016高考北京文数】如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.4. 【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：//FG 平面BED ；(Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.5. 【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE6. 【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．8.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEGAB FHED C G CD EAB9.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC. (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.题（20）图AC10. 【2014高考重庆文第20题】如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM=. （Ⅰ）证明：BC⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.11. 【2014高考全国1文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.12.【2014高考江西文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值.【一年原创真预测】1.已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD ∆为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：平面平面BCE DCE ⊥；（Ⅱ）求B CDE 点到平面的距离.2．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是等腰直角三角形，且AB CB ==，且AA 1=3，D 为11AC 的中点，F 在线段1AA 上,设11A F tAA =（102t <<），设11=B C BC M ．MFDC 1B 1A 1CBA（Ⅰ）当取何值时，CF ⊥平面1B DF ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四面体1F B DM -的体积．3.如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，PA PB AB BC 6====，点M ，N 分别为PB,BC 的中点．（I ）求证：AM ⊥平面PBC ；（Ⅱ）E 是线段AC 上的点，且AM 平面PNE .①确定点E 的位置；②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．4.如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC=60°，点F 在斜边AB 上，且AB=4AF ，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD=3，AC=BE=4.(Ⅰ)求证：CD ⊥EF ；(Ⅱ)若点M 是线段BC 的中点，求点M 到平面EFC 的距离.5. 如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3,4AB BC ==,作11//BB AA ，分别交111,A D AD 于点1B ，P .作11//CC AA ，分别交111,A D AD 于点1C ，Q .将该正方形沿11,BB CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图的三棱柱111ABC A B C -.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求四棱锥A BCQP -的体积.【考点1针对训练】 1.2.【考点2针对训练】 1.又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//EF PBC ．又因为DE EF E =，所以平面//DEF 平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．2.【三年高考】 1. 【答案】A//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60 ,故,m n所成角的正弦值为2,故选A. 2.3. 【解析】（I ）因为C P ⊥平面CD AB ，所以C DC P ⊥．又因为DC C ⊥A ，所以DC ⊥平面C PA ．（II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ，所以C AB ⊥A ．因为C P ⊥平面CD AB ，所以C P ⊥AB ．所以AB ⊥平面C PA ．所以平面PAB ⊥平面C PA ．（III ）棱PB 上存在点，使得//PA 平面C F E ．证明如下：取PB 中点，连结F E ，C E ，CF ．又因为E 为AB 的中点，所以F//E PA ．又因为PA ⊄平面CF E ，所以//PA 平面C F E ．4.5.6. 【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.7.解法二：（I）、（II）同解法一．8.【解析】(Ⅰ)点F ，G ，H 的位置如图所示9.【解析】如题(20)图.由,DE EC PD PC ==知，E 为等腰PDC D 中DC 边的中点，故PE AC ^，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PE Ì平面PAC ，PE AC ^，所以PE ^平面ABC ，从而PE AB ^.因ABC=,,AB EF 2EF BC p衈故. 从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ^平面PFE .(2)解：设BC=x ,则在直角ABC D中，从而11S AB BC=22ABC D =?由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC DD ,故224()S 39AEF ABC S D D ==，即4S 9AEF ABC S D D =.FCDEAB GHO由1AD=2AE ,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC D D D D =?=从而四边形DFBC 的面积为DFBC11S S -=29ABC ADF S D D =718=(1)知，PE PE ^平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC D 中，=体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=鬃=?,故得42362430x x -+=，解得2297x x ==或，由于0x >，可得3x x ==或.所以3BC =或BC =10.11.12.【解析】（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB AC ⊥,又11//BB CC ，所以11.AC CC ⊥（2）设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1BA同理1AC 在1A BC ∆中,2222111111cos 2A B AC BC BAC BAC A B AC +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=⋅∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯=因=故当x =时，即1AA =时，体积V取到最大值【一年原创真预测】1.【解析】（Ⅰ）DE ⊥平面ACD ，F A ⊂平面CD A ∴DE AF ⊥，又等边三角形ACD 中AF CD ⊥, D CD D E =，D E ⊂平面CD E ，CD ⊂平面CD E ，∴平面AF ECD ⊥，取CE 的中点M ，连接BM,MF ，则MF 为△CDE 的中位线，故1////,2MF DE AB MF DE AB ==,所以四边形ABMF 为平行四边形，即MB//AF,MB⊂平面C B E ，F A ⊄平面C B E ，//BCE 平面AF ∴，平面平面BCE DCE ∴⊥.（Ⅱ）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB //DE ，故AB //平面DCE ，B CDE 点到平面的距离h 等于A CDE 点到平面的距离d ，由体积相等A DCE E ACD V V --=得,1133DCE ADC S d S DE ∆∆⋅=⨯,011112222sin 6023232d ⋅⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得h d ==.2．（Ⅱ）由已知得111111==22F B DM M B DF C B DF B CDF V V V V ----=，因为FD FC 1=22CDF S DF FC ⋅=△，由（Ⅰ）得1B D ⊥平面DFC ，故112=21=33B CDF V -⨯⨯，故1F B DM -的体积为13．3.②作EH AB ⊥于H ，则EH //BC ，∴EH ⊥平面PAB ，∴EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角.∵1AH AB 23==，π6=3PA PAH =∠， ∴PH ==1EH BC 23==，∴EH tan EPH PH 7∠==，即直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为7.4.5.。

专题4：立体几何(文科)

专题四：立体几何【一、基础知识归类：】1、三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等2、空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；侧视图（从左向右的正投影）；俯视图（从上向下正投影）． 3、空间几何体的直观图——斜二测画法特点：①斜二测坐标系的y 轴与x 轴正方向成 45角； ②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行,长度不变； ③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半．常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为22：1． 4、特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）：ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表()22R Rl rl r S +++=π圆台表 S 球面=24R π5、柱体、锥体、台体和球的体积公式：V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π=++=++圆台V 球=343R π 6、空间线面的位置关系①直线与直线：相交、平行、异面（不同在任何一个平面内的两条直线）； ②直线与平面：属于a ⊂α、相交a∩α＝A 、平行a ∥α；③ 平面与平面：平行—没有公共点：α∥β、相交—有一条公共直线：α∩β＝b ． 7、垂直和平行证明问题的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系： ① 平行转化 ② 垂直转化同时注意结合运用中位线定理、勾股定理、等腰（等边）三角形“三线合一”；平行四边形两组对边分别平行且相等，对角线互相平分；菱形对边平行且四边相等，对角线互相垂直平分并平分对角；矩形对边平行且相等，四个角为直角，以及对角线互相平分且相等；正方形对边平行且四边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分且相等并平分对角；梯形上底和下底平行；圆直径对应圆周角为直角、垂径定理、过切点的半径垂直于切线等． 8、立体几何中体积的求法：直接法、割补法、等积转化等方法．等积转化在三棱锥求体积或求点到面的距离问题中经常运用．【二、专题练习：】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）1．（2009天津重点学校二模）如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2,则左视图的面积为（）A ．2a 2B ．a 2C ．23a D ．243a2．（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（） A ．361a B ．321a C ．332a D ．365a 3．（2009青岛二模）下图为长方体木块堆成的几何体三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有（）A ．3块B ．4块C ．5块D ．6块4．（2009广东省恩城中学）半径为2cm 的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（）A ．4cmB ．2cmC ．cm 32D ．cm 3aaa5．（2005全国卷Ⅰ）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（） A.32B .33 C .34 D .23 6．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（） A．48+ B．48+C．36+ D．36+7．（2009汕头一模）在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m ∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β； ④若平面α内的三点A, B, C 到平面β的距离相等，则α∥β．其中正确命题的个数为（）个．A ．0B ．1C ．2D ．38.（2007宁夏理）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（） A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm 9．（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A ．4B ．6C ．8D ．12正视图侧视图俯视图66663334410．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是（） A ．βαβα⊥⊥,//,b a B ．βαβα//,,⊥⊥b a C ．βαβα//,,⊥⊂b a D ．βαβα⊥⊂,//,b a11．（2009玉溪市民族中学第四次月考）若球O 的半径为1，点A 、B 、C 在球面上，它们任意两点的球面距离都等于,2π则过A 、B 、C 的小圆面积与球表面积之比为（） A ．121 B ．81 C ．61 D ．4112．正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为（）A ．1：1B ．1：2C ．2：1D ．3：2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是．14．在半径为13的球面上有A ， B ， C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则球心到平面ABC 的距离为． 15．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是．16．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D ，作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，总分74分）17．右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且2P D A D E C ===2．（1）答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图；（2）求四棱锥B －CEPD 的体积；（3）求证：//BE 平面PDA ．18．如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º．（Ⅰ）证明：AB ⊥PC ；（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积．PABCDEDABC俯视图19．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC =12AD ，BE =12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．（1）证明：四边形BCHG 是平行四边形；（2）C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？（3）设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE ．20．如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点A 1的最短路线长为CC 1的交点为D ．（1）求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；（2）在平面A 1BD 内是否存在过点D 的直线与平面ABC 平行？证明你的判断；（3）证明：平面A 1BD ⊥平面A 1ABB 1．DC 1B 1A 1CBA21．（2009届广东省重点中学高三模拟）如图：已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，O1．O分别是上．下底面的中心，A1O⊥平面ABCD．（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；（2）若点E在棱AA1上，且AE=2EA1，问在棱BC上是否存在点F，使得EF⊥BC？若存在，求出其位置；若不存在，说明理由．22．（2007-2008汕头市金山中学）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC =2，A 为PB 边上一点，且P A=1，将△P AD 沿AD 折起，使面P AD ⊥面ABCD （如图2）．（Ⅰ）证明：平面P AD ⊥PCD ；（Ⅱ）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分1:2: MACB PD CMA V V ；（Ⅲ）在M 满足（Ⅱ）的情况下，判断直线PD 是否平行面AMC ．正视图侧视图俯视图【参考答案】一、选择题1—5：C D B D A6．答案：A 解析：棱锥的直观图如右，则有PO ＝4，OD ＝3，由勾股定理，得PD ＝5，AB ＝62，全面积为：21×6×6＋2×21×6×5＋21×62×4＝48＋122，故选A ． 7—9：B B A10．答案：C 解析：由b β⊥，α∥β得b α⊥，又a α⊂，可知b a ⊥，故a b ⊥的一个充分条件是C ． 11．答案 C12．【解析】选C .由于G 是PB 的中点,故P －GAC 的体积等于B －GAC 的体积在底面正六边形ABCDER 中，BH ＝ABtan30°AB 而BD故DH ＝2BH 于是V D －GAC ＝2V B －GAC ＝2V P －GAC ．二、填空题13．恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =+⨯=+ 14．答案：12解析：由ABC ∆的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过,,A B C 三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是d ，则由222513d +=，可得12d =．15．【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，设长方体的高为x ，则()()42122214x x x +=++，所以3x =，所以长方体的体积为3．16．【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，1t =，随着F 点到C 点时，因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面A D B ，即有CB BD ⊥，对于2,1,CD BC BD ==∴，又1,2AD AB ==，因此有AD BD ⊥，则有12t =，因此t 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题17．解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分（2）∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ∴平面PDCE ⊥平面ABCD∵BC CD ⊥ ∴BC ⊥平面PDCE ----------5分 ∵11()32322S PD EC DC =+⋅=⨯⨯=梯形PDCE --6分∴四棱锥B －CEPD 的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形.----8分（3）证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA∴EC//平面PDA ,------------------------------------10分同理可得BC//平面PDA ----------------------------11分∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且ECBC C =∴平面BEC //平面PDA -----------------------------13分又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分 18．解析：（Ⅰ）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒，所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，可得AC BC =．如图，取AB 中点D ，连结PD ，CD ，则PD AB ⊥，CD AB ⊥，所以AB ⊥平面PDC ，所以AB PC ⊥．（Ⅱ）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ．因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =．由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=︒．因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形．由已知4PC =，得2AE BE ==， AEB ∆的面积2S =．因为PC ⊥平面AEB ，所以三角锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯=．19．证明：（1）由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH =12AD .又BC =12AD ，故GH =BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．（2）C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE =12AF ，G 是F A 的中点知，BE =GF ，所以EF ∥BG ，由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．（3）连结EG ，由AB ＝BE ，BE =AG ，及∠BAG ＝90°知ABEG 是正方形，O B 2DC 1B 1A 1CBA故BG ⊥EA .由题设知，F A 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面F ABE ，因此EA 是ED 在平面F ABE 内的射影，∴BG ⊥ED . 又EC ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE . 又BG ∥CH ，所以CH ⊥平面ADE故由CH ⊂平面CDFE ，得平面ADE ⊥平面CDE .20．解：（1）如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点B 运动到点B 2的位置，连接A 1B 2，则A 1B 2就是由点B 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点A 1的最短路线。

高考文科数学立体几何题型与方法(文科)

高考文科数学立体几何题型与方法〔文科〕一、考点回顾 1．平面〔1〕平面的基本性质：掌握三个公理与推论,会说明共点、共线、共面问题。

〔2〕证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点〔依据：由点在线上,线在面内,推出点在面内〕,这样,可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。

〔3〕证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。

〔4〕证共面问题一般用落入法或重合法。

〔5〕经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.〔1〕空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。

〔2〕异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.〔不在任何一个平面内的两条直线〕〔3〕平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.〔4〕等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,则这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成锐角〔或直角〕相等.〔5〕两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交〔共面〕垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. 〔l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面〕3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.〔1〕空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.〔2〕直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,则这条直线和这个平面平行.〔"线线平行,线面平行"〕〔3〕直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线和交线平行.〔"线面平行,线线平行"〕〔4〕直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.PO A a4 若PA⊥α,a⊥AO,得a⊥PO〔三垂线定理〕,得不出α⊥PO. 因为a⊥PO,但PO不垂直OA.5 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则这两条直线垂直于这个平面.〔"线线垂直,线面垂直"〕直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行.〔5〕a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.〔×〕]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,则这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

高考文科数学__立体几何大题-知识点、考点及解题方法

立体几何大题题型及解题方法立体几何大题一般考以下五个方面：一、平行位置关系的证明1、证明线面平行（重点）解题方法：（1）线面平行判定定理；（2）面面平行的性质定理。

2、证明面面平行解题方法：（1）面面平行的判定定理；（2）面面平行判定定理的推论；（3）垂直于同一直线的两平面平行；（4）平行平面的传递性。

3、平行位置关系的探索（1）对命题条件的探索；（2）对命题结论的探索；（3）通过翻折来探索。

二、垂直位置关系的证明1、证明线线垂直解题方法：2、证明线面垂直（重点）解题方法：3、证明面面垂直4、垂直位置关系的探索（1）对命题条件的探索；（2）对命题结论的探索；（3）通过翻折来探索。

三、求空间距离1、点到平面的距离解题方法：2、空间线段长解题方法：（1）解三角形法；（2）列方程法。

四、求几何体体积五、求空间角1、异面直线所成的角2、直线与平面所成的角考点一：如何判断空间中点、线、面的位置关系（排除法）考点二：平行位置关系的证明证明题一般的解题步骤：一、根据题目的问题，确定要证明什么；根据题目的条件，确定用什么证明方法，如果无法确定，则要通过逆向思维来分析题目；二、看题目是否需要作辅助线(创造条件)，证明平行位置问题一般作的辅助线是连等分点，特别是中点；三、根据确定的证明方法，看该方法需要多少个条件，然后看题目给的条件通过什么方式给，如果是间接条件则需要推理证明得出，如果是直接条件或隐含条件则直接罗列；四、准备好条件后，再次检查条件是否都满足，是否都罗列了，最后得出结论；五、规范书写答案过程：一般过程为1、作辅助线；2、准备间接条件；3、罗列直接条件或隐含条件；4、得出结论。

1、证明线面平行（重点）解题方法：2、证明面面平行解题方法：（1）面面平行的判定定理（最常用方法）：（2）面面平行判定定理的推论：（3）垂直于同一直线的两平面平行；（4）3、平行位置关系的探索考点三、垂直位置关系的证明证明垂直的解题步骤：一、根据题目的问题，确定要证明什么；根据题目的条件，确定用什么证明方法，如果无法确定，则要通过逆向思维来分析题目；二、要注意先确定谁垂直于谁，如1、证明线线垂直时常考虑其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，究竟选择哪一条直线垂直于另一条直线所在的平面，需要通过对条件及图形结构做深入细致分析、尝试、判断。

高考数学专题复习立体几何题型与方法(文科)

POAa高考数学专题复习立体几何题型与方法（文科）一、考点回顾1．平面（1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

（2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。

（3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。

（4）证共面问题一般用落入法或重合法。

（5）经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。

高考文科数学立体几何解题技巧

高考文科数学立体几何解题技巧1.平行、垂直位置关系的论证的策略:1由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

2利用题设条件的性质适当添加辅助线或面是解题的常用方法之一。

3三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2.空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

1两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：2直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算.3二面角①平面角的作法：i定义法;ii三垂线定理及其逆定理法;iii垂面法。

②平面角的计算法：i找到平面角，然后在三角形中计算解三角形或用向量计算;ii射影面积法;iii向量夹角公式.3.空间距离的计算方法与技巧:1求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

2求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。

在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解这种情况高考不做要求。

3求点到平面的距离：一般找出或作出过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。

求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4.熟记一些常用的小结论，诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。

弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。

5.平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。

第一轮复习自己整理绝对经典立体几何文科第一轮

立体几何题型总结（2015版文科）重要定理：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.一：夹角问题① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．异面直线所成角：范围：]90,0(︒︒（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。

(常abc b a 2cos 222-+=θ)用到余弦定理（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； (3)向量法。

转化为向量的夹角ACAB AC AB ⋅⋅=θcos(计算结果可能是其补角) 直线与平面所成的角θαα＝时，∥或0b ob ⊂斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。

通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；向量法：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==的求法二面角l αβ--的平面角，（1）定义法：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。

一轮立体几何复习(文科)

立体几何一、考点分析：考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图、表面积和体积了解和正方体、球有关的简单几何体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征，能画出简单空间几何体的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图，会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间几何体的三视图或直观图，了解空间几何体的不同表示形式，能识别上述三视图所表示的空间几何体，理解三视图和直观图的联系，并能进行转化，会计算球、柱、锥、台的表面积和体积（不要求记忆公式）考点二：点、直线、平面的位置关系理解空间中点、线、面的位置关系的定义，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

考点三：直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质掌握线面、面面平行（垂直）的判定与性质定理，能用判定定理证明线面、面面平行，线线、线面、面面垂直，会用性质定理解决线面、面面平行、线面、面面垂直的问题，理解线面角、二面角的概念，能证明一些空间位置关系的简单命题。

二、知识点指导：1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。

如下图：在正棱锥中，要熟记由高PO ，斜高PM ，侧棱PA ，底面外接圆半径OA ，底面内切圆半径OM ，底面正多边形半边长OM ，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。

3、球是由曲面围成的旋转体。

研究球，主要抓球心和半径。

4、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。

三、典型例题1．空间四边形中，互相垂直的边最多有（） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 2．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是A 、一定是正三棱锥B 、一定是正四面体C 、不是斜三棱锥D 、可能是斜三棱锥 3．(磨中)已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( )A 、7B 、8C 、9D 、104、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为。

立体几何(文科)第1课时

专题四立体几何专题（文科）【重要内容】1. 空间几何体认识柱、锥、球等几何体的有关概念与性质，特别长方体，正方体中有的有关点面线角的关系。

了解有关几何体的表面积与体积的计算公式.会用平行投影和中心投影与三视图确定空间几何体与体中的几何关系.2．点、直线、与面的位置关系3．平行与垂直的几何证明第一课几何体面积体积视图【考纲解读】【知识整合】【真题回放】1.(2012广东理6）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12πB．45πC．57πD．81π【答案】C2.(2012广东文7）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ． 72π B ． 48π C ． 30π D ． 24π 【答案】C【解析】几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为321413330233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=3.(2011广东理7）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A. C. 【答案】B【解析】如右图，该几何体的直观图是一个柱体，高是3122=- 底面是一个正方形 39333=⨯⨯=V启示：三视图与几何体的面积体积计算是立体几何小题的一个重要考点，考查了空间想象能力，几何体的计算能力，难度适中，考查中位置也较适中。

注意组合体的构成，不同视图中，线段与角的等量的变化。

【例题精析】题型一：三视图、直观图与几何体位置、几何量例1.1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是A.28+B.30+C.56+D. 60+ 答案：选B分析：由给出的三视图得出各种长度与数量关系，由视图的要求得相应的边长，高，与垂直关系，线段的相交关系，形成直观图。

讲解时，要培养学生能发挥想象力，如何看，对应的线在哪里，先从什么地方入手构图。

解析：如图为直观图可证AD CD ⊥104521=⨯⨯===∆∆∆ACD BCD ABD S S S 52,41===AB BC AC56=∆ABC S ,5630+=表面积S2）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 .答案：322+解析：如右图直观图，可得,22=SO 再求2321==SO SO ， ()3222122123212143+=⨯+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯++⨯⨯=表面积S3）已知四边形ABCD 的直观图是直角梯形1111D C B A ，1111112D A C B B A ==2=, 则四边形ABCD 的面积是 A ．3 B ．23 C ．26 D ．6 答案：选C分析：斜二侧画法中，各条边的变化，做题时要多画出与y x '',轴平行的直线.解析：26221111=⨯=D C B A S S4）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为( ) A ．22 B ．32 C ．4 D ．52答案：选C分析：该题条件与长方体的对角线在不同面，或方向的投影相联系。

(完整)立体几何(文科)

立体几何（文科)1、如图1。

4所示四棱锥P。

ABCD中，底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB＝2,∠BAD＝错误!，M为BC上一点，且BM＝错误!.(1）证明：BC⊥平面POM;(2）若MP⊥AP，求四棱锥P。

ABMO的体积．516图42、四面体ABCD及其三视图如图14所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E,F，G，H。

图1。

4（1）求四面体ABCD的体积；错误!.(2）证明：四边形EFGH是矩形．3、如图1。

5，在三棱柱ABC .A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图1。

5（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2）求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E。

ABC的体积．错误!.4、如图1.3，四棱锥P。

ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；(2）设AP＝1，AD＝错误!，三棱锥PABD的体积V＝错误!，求A到平面PBC的距离．错误!图13。

5、如图16所示,三棱锥A . BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD 。

（1）求证：CD ⊥平面ABD ；(2）若AB ＝BD ＝CD ＝1,M 为AD 中点，求三棱锥A MBC 的体积．错误!图1。

66、如图1。

4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°,E ，F ，G 分别为AC ，DC ,AD 的中点．（1）求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D 。

BCG 的体积．错误!。

7、如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心， A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==1A（Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1； (Ⅱ）求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.8、如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ，AB AD ⊥,5BC =,3DC =，4AD =，60PAD ∠=。

高考文科数学立体几何小题-知识点、考法及解题方法

高考文科数学立体几何小题考点一：由实物图选三视图或由三视图选实物图
常见几何体的直观图与三视图
二、由三视图选实物图
考点二：求几何体的表面积、体积
一、由三视图求几何体的表面积、体积
1、由三视图还原几何体或确定几何体类型；
2、根据几何体计算公式找相关量的数值；
3、代入公式计算。

二、根据几何体的结构特征，求几何体的表面积、体积（注意先画示意图）
1、一般根据题意画出几何体的示意图；
2、规则几何体则直接根据公式进行计算，复杂几何体则进行适当的处理后再计算。

(完整版)高考文科立体几何证明专题

立体几何专题1．如图 4，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D , E 分别是 AB, AC 边上的点， AD AE ，F 是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点G ，将 ABF 沿 AF 折起，获取如图5 所示的三棱锥A BCF ，其中 BC2 ．2(1) 证明： DE // 平面 BCF ；(2) 证明： CF 平面 ABF ；(3) 2时，求三棱锥 FDEG 的体积 V F DEG ．当 AD3ADGEBFC图 4【剖析】（ 1）在等边三角形ABC 中， ADAEAD AE ,A BCF 中DB在折叠后的三棱锥EC也成立， DE / / BC ,Q DE平面 BCF ，BC 平面 BCF ，DE / / 平面 BCF ；AGEDFCB图 5（2 ）在等边三角形ABC 中， F 是 BC 的中点，所以 AFBC 1 ①， BF CF.2Q 在三棱锥 ABCF 中， BC2， BC 2 BF 2 CF 2 CF BF ②2Q BF CF F CF 平面 ABF ；（）由（）可知 GE / /CF ，结合（ 2）可得 GE平面 DFG.3 1VF DEGV E1 11 1 1 1 3 13 DFG3 DG FG GF2 3 3 2332423【剖析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还观察了平行线分线段成比率这个平面几何的内容 .2．如图 5 所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB平面PAD,AB CD,PD=AD,E是PB的中点，F是 DC 上的点且 DF= 1AB,PH 为PAD 中 AD 边上的高．2（1）证明： PH 平面 ABCD ；（2）若PH=1，AD= 2 ,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF平面PAB．解： (1)PH 为PAD中的高PH AD又 AB面PAD，PH平面PADPH ABAB AD A所以PH平面ABCD(2):过 B 点做 BG BG CD ，垂足为 G ；连接 HB, 取 HB 中点 M ，连接 EM ，则 EM 是BPH 的中位线由(1)知： PH平面ABCDEM平面 ABCDＥＭ平面 BCF即 EM 为三棱锥E - BCF底面上的高ＥＭ＝1PH1 22SBCF 1FC ? BG =11 22 222 1V E BCF? S BCF ? EM1 2 13 2 2212.（3）：取 AB 中点 N， PA 中点 Q，连接 EN ， FN ，EQ， DQ AB // CD , CD平面PADAB平面PAD，PA平面PADAB PA又EN 是 PAB 的中位线EN // PAAB EN1又DF AB四边形NADF是距形AB FNEN FN NAB平面NEF又 EF平面NEFEF AB四边形NADF是距形AB NF 3、如图，已知三棱锥 A —BPC 中，AP ⊥ PC ， AC ⊥ BC ，M为 AB 中点， D 为 PB 中点，且△ PMB 为正三角形。

高中文科数学立体几何知识点(大题)

高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结（文科）一．平行问题（一）线线平行：方法一：常用初中方法（1中位线定理；2平行四边形定理； 3三角形中对应边成比例；4同位角、内错角、同旁内角）方法二：1线面平行⇒线线平行m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法三：2面面平行⇒m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα 方法四：3线面垂直 ⇒线线平行若αα⊥⊥m l,，则m l //。

方法五：用向量方法：若向量和向量共线且l 、m 不重合，则m l //。

（二）线面平行：方法一：4线线平行⇒线面平行ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ 方法二：5面面平行⇒αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂ 方法三：法向量若n 为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l ,则α//l 。

（三）面面平行：6方法一：线线平行⇒面面平行 βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l 方法二：7线面平行⇒面面平行βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂A m l m l m l ，方法三：8线面垂直⇒面面平行βαβα面面面面//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l方法三：用向量实现。

平面βα、的法向量分别是n m、βα面面////⇒n m二．垂直问题：（一）线线垂直方法一：常用初中的方法（1勾股定理的逆定理；2三线合一；3直径所对的圆周角为直角；4菱形的对角线互相垂直。

）方法二：9线面垂直⇒线线垂直m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法三：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭ml m ll m l ⊥⇒⊥、上的向量分别是、方法四：直线（二）线面垂直：10方法一：线线垂直⇒线面垂直 αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl , 方法二：11面面垂直⇒线面垂直lαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , ll //n n⊥⇒αα平面的法向量是方法三：平面（面）面面垂直：方法一：12线面垂直⇒面面垂直βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l lβαβα面面、的法向量分别是、方法二：平面⊥⇒⊥m n nm三、夹角问题：异面直线所成的角： (一) 范围：]90,0(︒︒ (二)求法：方法一：定义法。

高考数学最新真题专题解析—立体几何(文科)

高考数学最新真题专题解析—立体几何（文科）考向一线面夹角【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30，则（） A. 2AB AD =B. AB 与平面11AB C D 所成的角为30C. 1AC CB =D. 1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒ 【答案】D【试题解析】【详解】如图所示：不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠，所以11sin 30c b B D B D==，即b c =，22212B D c a b c ==++2a c =．对于A ，AB a ，AD b ，2AB AD =，A 错误；对于B ，过B 作1BE AB ⊥于E ，易知BE ⊥平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠，因为2tan c BAE a ∠==30BAE ∠≠，B 错误；对于C ，223AC a b c =+=，2212CB b c c =+=，1AC CB ≠，C 错误；对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠，112sin 22CD a DB C B D c ∠===，而1090DB C <∠<，所以145DB C ∠=．D 正确．故选：D ．【命题意图】本题主要考查直线与平面夹角，是一道容易题.【命题方向】这类试题在考查题型上选择题、填空题、解答题形式出现，试题难度不大，多为中低档题，重点考查线面夹角的求法问题. 【得分要点】（1）找斜线在平面中的射影；（2）求斜线与其射影的夹角；考向二线面平行、垂直的证明【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．【试题解析】【小问1详解】由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD . 【小问2详解】依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,3AC AE CE BE ====由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFCS AC EF =⋅⋅，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小值.过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得32EF =，所以223131,2222DF BF DF ⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以34BF BD =. 过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==，所以34FH =,所以11133233324F ABC ABCV SFH -=⋅⋅=⨯⨯=【命题意图】本题考查线面平行、垂直的证明.【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的必考题型．常见的命题角度有：（1）线面平行的证明；（2）线面垂直的证明；（3）面面平行的证明；（4）面面垂直的证明. 【得分要点】（1）利用线面、面面平行的判定定理与性质定理；（2）利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理. 真题汇总及解析一、单选题1．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知,αβ为空间的两个平面，直线,l ααβ⊄⊥，那么“l ∥α”是“l β⊥”的（）条件 A ．必要不充分 B ．充分不必要C ．充分且必要D ．不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】当直线,l ααβ⊄⊥，l ∥α，则l β//，l 与β相交，故充分性不成立；当直线l α⊄，且αβ⊥，l β⊥时，l ∥α，故必要性成立， ⸫“l ∥α”是“l β⊥”的的必要不充分条件. 故选：A.2．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1A D 的中点，则直线CM 与11A C 所成的角为（） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】D 【解析】【分析】11AC AC ∥，所求角为ACM∠，利用几何体性质，解CMA 即可【详解】设正方体棱长为1，连接11,,AC AC AC CM ∴与11A C 所成角即是CM 与AC 所成角，22222221162,,1,2222AC AM CM AM CM AC ⎛⎫⎛⎫===++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CMA ∴为Rt △，1πsin ,26AM ACM ACM AC ∠∠==∴= 故选：D3．（2022·青海·模拟预测）已知四面体ABCD 的所有棱长都相等，其外接球的6π，则下列结论错误的是（） A ．四面体ABCD 的棱长均为2 B ．异面直线AC 与BD 2 C ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒D ．四面体ABCD 的内切球的体积等于6π27【答案】C 【解析】【分析】对于A, 设该四面体的棱长为a ，表示出高，根据其外接球的体积等于6π，求得外接球半径，即可求得a ,判断A;对于B, 分别取BD,AC 的中点为E,F ,连接EF ,求得EF 的长，即可判断；对于C ，证明线面垂直即可证明异面直线AC 与BD 互相垂直，即可判断;对于D ，利用等体积法求得内切球半径，即可求得内切球体积，即可判断. 【详解】如图示，设该四面体的棱长为a ，底面三角形BCD 的重心为G ,该四面体的外接球球心为O ，半径为R ，连接AG ,GB,OB ,AG 为四面体的高，O 在高AG 上，在Rt AGB △中，2223336,()33BG AG a a ===-, 在Rt OGB △中，22263()()R R =-+，解得6R = ， 6π，即34π6π3R ,故336R =故38,2a a == ，故A 正确；分别取BD,AC 的中点为E,F ,连接EF ,正四面体ABCD 中，AE=EC ,故EF AC ⊥ ,同理EF BD ⊥, 即EF 为AC,BD 的公垂线，而3232CE =⨯= , 则2222(3)12EF CE CF =-=-= ,故B 正确；由于,AE BD CE BD ⊥⊥ , AE CE ⊂，平面ACE ,故BD ⊥平面ACE , 又AC ⊂平面ACE ,所以BD AC ⊥，即异面直线AC 与BD 所成角为90︒ ，故C 错误；设四面体内切球的半径为r ,而263AG =,故11433BCDBCDSr SAG ⨯⨯⨯=⨯⨯，故646AG r a ==，所以四面体ABCD 的内切球的体积等于3344666ππ()π3327r a ==，故D 正确，故选：C4．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A D 的中点，则下列说法正确的是（）A ．直线PB 与直线1A D 垂直，直线PB ∥平面11B DC B ．直线PB 与直线1D C 平行，直线PB ⊥平面11AC D C ．直线PB 与直线AC 异面，直线PB ⊥平面11ADC B D ．直线PB 与直线11B D 相交，直线PB ⊂平面1ABC【答案】A 【解析】【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定. 【详解】连接11111,,,,DB A B D B D C B C ；由正方体的性质可知1BA BD =，P 是1A D 的中点，所以直线PB 与直线1A D 垂直；由正方体的性质可知1111//,//DB D B A B D C ，所以平面1//BDA 平面11B D C ，又PB ⊂平面1BDA ，所以直线PB ∥平面11B D C ，故A 正确；以D 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，()111,1,,0,1,122PB D C ⎛⎫==- ⎪⎝⎭显然直线PB 与直线1D C 不平行，故B 不正确；直线PB 与直线AC 异面正确，()1,0,0DA =，102PB DA ⋅=≠，所以直线PB 与平面11ADC B 不垂直，故C 不正确；直线PB与直线B D异面，不相交，故D不正确；11故选：A.5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测）下列四个命题，真命题的个数为（）（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于该平面；（2）过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；（3）平行于同一个平面的两条直线平行；（4）a与b为空间中的两条异面直线，点A不在直线a，b上，则过点A有且仅有一个平面与直线a，b都平行．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的定义即可判断命题(1)；根据线面垂直的性质定理即可判断命题(2)；根据空间中线面的位置关系即可判断命题(3)；结合图形即可判断命题(4). 【详解】命题(1)：由直线垂直平面的定义可知，若直线垂直于一个平面的任意直线，则该直线垂直于该平面，故命题(1)错误；命题(2)：由直线与平面垂直的性质定理可知，过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故命题(2)正确；命题(3)：平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，故命题(3)错误；命题(4)：如图，当点A在如图上底面时，不存在平面同时平行于直线a、b；点A不在异面直线a、b上，若点A在直线a、b之间，则可以确定一个平面同时平行于直线a、b；若点A在直线a、b的外侧，也可以确定一个平面同时平行于直线a、b，故命题(4)错误.故选：B.6．（2022·河南安阳·模拟预测（文））如图，在四面体ABCD中，90BCD AB∠=︒⊥，平面BCD，AB BC CD==，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（）A．π6B．π4C．π3D．π2【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，证明BP⊥平面ACD即可推理计算作答.【详解】在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，则AB CD⊥，而90BCD∠=︒，即BC CD⊥，又AB BC B⋂=，,AB BC⊂平面ABC，则有CD⊥平面ABC，而BP⊂平面ABC，于是得CD BP ⊥，因P 为AC 的中点，即AC BP ⊥，而AC CD C =，,AC CD ⊂平面ACD ，则BP ⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ACD ，从而得BP AD ⊥，所以直线BP 与AD 所成的角为π2. 故选：D7．（2022·四川成都·模拟预测）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，A ，B ，C ，D 是该三棱锥表面上四个点，则直线AC 和直线BD 所成角的余弦为（）A ．0B ．13C ．13-D 22【答案】A 【解析】【分析】由三视图还原几何体，根据线面垂直的判定有BG ⊥面AGD ，线面垂直的性质可得BG AC ⊥，再由线面垂直的判定和性质得AC BD ⊥，即可得结果. 【详解】由三视图可得如下几何体：BG AG ⊥，BG DG ⊥，AG DG G =，则BG ⊥面AGD ，又AC ⊂面AGD ，则BG AC ⊥，而AC GD ⊥，由BG GD G ⋂=，则AC ⊥面BGD ，又BD ⊂面BGD ，所以AC BD ⊥，故直线AC 和直线BD 所成角的余弦为0. 故选：A8．（2022·山东潍坊·三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球O 的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形．则球O 的表面积为（） A ．12π B ．43π C ．6π D ．26π【答案】A 【解析】【分析】作出图形，设在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且2BC CD ==，2AB =，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】如下图所示：在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且2BC CD ==，2AB =，因为AB ⊥平面BCD ，BC 、BD 、CD ⊂平面BCD ，则AB BC ⊥，AB BD ⊥，CD AB ⊥，CD BC ⊥，AB BC B ⋂=，CD平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC CD ∴⊥，所以，三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形，且2222BD BC CD =+=，2223AD AB BD =+=，设线段AD 的中点为O ，则12OB OC AD OA OD ====，所以，点O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，设球O 的半径为R ，则132R AD ==，因此，球O 的表面积为2412R ππ=. 故选：A. 二、填空题9．（2022·四川成都·模拟预测（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为________.【答案】816283++ 【解析】【分析】根据三视图可知这是一个四面体，根据长度即可根据三角形面积公式求每一个面的面积，进而可得表面积. 【详解】该几何体的直观图是正方体中的四面体ABCD ，4,42,43AB AD BD BC CD AC ======，()21113448,44282,44282,42832224ABD ABC ADC DBCS S SS =⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯==⨯= 故答案为： 816283++.10．（2022·上海普陀·二模）已知一个圆锥的侧面积为2π，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为________. 3π3 【解析】【分析】由圆锥侧面积公式求得底面半径12r =3.【详解】由题设，令圆锥底面半径为r ，则体高为3r ，母线为2r ，所以12222r r ππ⨯⨯=，则12r =，故圆锥的体积为2133324r r ππ⨯⨯=. 故答案为：324π 11．（2022·黑龙江·佳木斯一中模拟预测（理））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是棱1AA 上的一个动点，平面1BFD 交棱1CC 于点E ，则下列正确说法的序号是___________.①存在点F 使得11A C ∥平面1BED F ； ②存在点F 使得1B D ∥平面1BED F ； ③对于任意的点F ，都有EF BD ⊥；④对于任意的点F 三棱锥1E FDD -的体积均不变. 【答案】①③④ 【解析】【分析】①，找到点F 为1AA 的中点时，满足11A C ∥平面1BED F ；②，证明出11,BD B D 相交，得到不存在点F 使得1B D ∥平面1BED F ；③，作出辅助线，证明线面垂直，进而得到线线垂直； ④，得到三棱锥1E FDD -的体积等于正方体体积的16，为定值. 【详解】当点F 为1AA 的中点，此时点E 为1CC 的中点，此时连接EF ，可得：11A C EF ，因为11A C ⊄平面1BED F ，EF ⊂1BED F ，所以11A C ∥平面1BED F ，①正确；连接11,BD B D ，因为11//BB DD ，且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11,BD B D 相交，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以不存在点F 使得1B D ∥平面1BED F ，②错误连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥BD ，因为1AA AC A =，所以BD ⊥平面11AAC C ，因为EF ⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥EF ，③正确；连接DF ，EF ，ED ，则无论点F 在1A A 的何处，都有1112DFD SDD AD =⋅，是定值，为正方形11ADD A 面积的一半，又高等于CD ，故体积也为定值，为正方体体积的16，④正确.故选：①③④12．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 是棱CD 上的两个动点，点E 在点F 的左边，且满足122EF DC BC ==，给出下列结论：①11B D ⊥平面1B EF ；②三棱锥11D B EF -的体积为定值； ③1A A //平面1B EF ； ④平面11A ADD ⊥平面1B EF . 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②④ 【解析】【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．【详解】11B D 与11D C 显然不垂直，而11//EF C D ，因此11B D 与EF 显然不垂直，从而11B D ⊥平面1B EF 是错误的，①错；1111D B EF B D EF V V --=，三棱锥11B D EF -中，平面1D EF 即平面11CDD C ，1B 到平面11CDD C 的距离为11B C 是定值，1D EF 中，EF 的长不变，1D 到EF 的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；平面1B EF 就是平面11B A DC ，而1AA 与平面11B A DC 相交，③错；长方体中CD ⊥平面11A D DA ，CD ⊂平面11B A DC ，所以平面11A D DA ⊥平面11B A DC ，即平面11A ADD ⊥平面1B EF ，④正确．故答案为：②④．三、解答题13．（2022·四川成都·模拟预测（文））如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，,PB PD 在底面ABCD 内的射影分别为,AB AD ，222PA AB AD CD ．(1)求证：PC BC ⊥； (2)求D 到平面PBC 的距离．【答案】(1)证明见解析 3【解析】【分析】（1）由题意可证AD PA ⊥、AB PA ⊥，则可得PA ⊥面ABCD ，即可知PA BC ⊥，又AC BC ⊥则可得BC ⊥面PAC ，即可证PC BC ⊥.（2）分别计算出BCD S 与PBC S ，再利用等体积法D PBC P BCD V V --=即可求出答案. (1)因为PB 在底面ABCD 内的射影为AB ，所以面PAB ⊥面ABCD ，又因为AD AB ⊥，面PAB ⋂面ABCD AB =，AD ⊂面ABCD 所以AD ⊥面PAB ，又因PA ⊂面PAB 因此AD PA ⊥，同理AB PA ⊥，又AB AD A ⋂=,AD ⊂面ABCD ,AB 面ABCD 所以PA ⊥面ABCD ，又BC ⊂面ABCD ,所以PA BC ⊥，连接AC ，易得2AC =45BAC ∠=，又2AB =，故AC BC ⊥，又PA AC A =,PA ⊂面PAC ,PA ⊂面PAC 因此BC ⊥面PAC ，又PC ⊂面PAC 即PC BC ⊥；(2)在RT PAC 中426PC =+=在RT ACB 中422BC =-把D 到平面PBC 的距离看作三棱锥D PBC -的高h ，由等体积法得，D PBC P BCD V V --=，故1133PBC BCD S h S PA ，即123213622BCD PBCS PA h S ，故D 到平面PBC 的距离为33． 14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，22CD AB ==，2AD =，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱PC 上一点．(1)若2MC MP =，求证：//AP 平面MBD ．(2)若MC MP =，求点P 到平面BDM 的距离．【答案】(1)证明见解析22 【解析】【分析】（1）连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH ，先证明//AP MH ，再由线面平行的判定定理即可证明.（2）由等体积法B DMP P BMD V V --=，即可求出点P 到平面BDM 的距离.(1)连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH ．由90BAD ADC ∠=∠=︒，得//AB CD ，12AB AH CD HC ==，又12PM MC =，则AH PM HC MC =， ∴//AP MH ，又MH ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，∴//AP 平面MBD ．(2) 由已知易得3BD DM ==，3BM =，所以在等边BMD 中，BM 边上的高为32h =，所以BMD 的面积为13333224BMD S =⨯⨯=△，易知三棱锥B PDM -的体积为116132326B DMP V -=⨯⨯⨯⨯=，又因为B DMP P BMD V V --=，所以点P 到平面BDM 的距离为3223P BMD BMD V d S -==△． 15．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图，四棱锥P ABCD -中，平面,PAB ABCD ⊥平面,AB CD ∥,AB AD ⊥3,3,2,60AB AD AP CD PAB ====∠=︒.M 是CD 中点，N 是PB 上一点.(1)若3,BP BN =求三棱锥P AMN -的体积；(2)是否存在点N ,使得MN 平面PAD ,若存在求PN 的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)1；(2)存在，73=PN . 【解析】【分析】（1）证得点M 到平面PAB 的距离是3AD =，进而可求出结果；（2）证得//MN PE ，进而可证出MN //平面PAD ，从而可求出PN 的长.(1)P AMN M PAN V V --=，由面PAB ⊥面ABCD 且交线是AB ，又DA AB ⊥，DA ⊂面PAB ，所以DA ⊥平面PAB ，又MD //AB ， ∴点M 到平面PAB 的距离是3AD =，又3BP BN =，则22123sin603332APN APB S S ==⨯⨯⨯⨯=， ∴三棱锥P AME -的体积13313=⨯⨯=. (2)存在.//,3,2AB DC AB CD==，连接BM并延长至于AD交于点E，//DM AB，∴在EAB中：13 EM DMEB AB==，∴在PBE△中：在PB上取点N，使得23 BN BMBP BE==，而13PN PB=，则//MN PE，又MN⊄平面PAD，PE⊂平面PAD，MN∴//平面PAD，在PAB△中，2212322372PB=+-⨯⨯⨯=7PN∴=。

高三数学复习(文科)立体几何知识点、方法总结

立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。

llαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法：方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。