数学必修4综合测试题(含答案)59928

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人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)

人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)高中数学必修4综合测试满分：150分时间：120分钟注意事项：客观题请在答题卡上用2B铅笔填涂，主观题请用黑色水笔书写在答题卡上。

一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。

）1.sin300°的值为A。

-31 B。

3 C。

22 D。

1/22.角α的终边过点P(4,-3)，则cosα的值为A。

4 B。

-3 C。

2/5 D。

-4/53.cos25°cos35°-sin25°sin35°的值等于A。

3/11 B。

3/4 C。

2/11 D。

-2/114.对于非零向量AB，BC，AC，下列等式中一定不成立的是A。

AB+BC=AC B。

AB-AC=BCC。

AB-BC=BC D。

AB+BC=AC5.下列区间中，使函数y=sinx为增函数的是A。

[0,π] B。

[π,2π] C。

[-π/2,π/2] D。

[-π,0]6.已知tan(α-π/3)=1/√3，则tanα的值为A。

4/3 B。

-3/5 C。

-5/3 D。

-3/47.将函数y=sinx图象上所有的点向左平移π/3个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为A。

y=sin(2x+π/3) B。

y=sin(2x+2π/3)C。

y=sin(2x-π/3) D。

y=sin(2x-2π/3)8.在函数y=sinx、y=sin(2x+π/2)、y=cos(2x+π)中，最小正周期为π的函数的个数为（）A。

1个 B。

2个 C。

3个 D。

4个9.下列命题中，正确的是A。

|a|=|b|→a=b B。

|a|>|b|→a>bC。

|a|=0→a=0 D。

a=b→a∥b10.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如右图所示，此函数的解析式为y=2sin(2x-π/3)11.方程sin(πx)=x的解的个数是()A。

新人教A版高中数学必修四综合练习测试题(含答案)

高二数学必修4 综合练习姓名一、选择题1.下列命题正确的是A.第一象限角是锐角B.钝角是第二象限角C.终边相同的角一定相等D.不相等的角，它们终边必不相同 2.函数12sin()24y x π=-+的周期，振幅，初相分别是A.4π，2，4π B. 4π，2-，4π- C. 4π，2，4π D. 2π，2，4π3.如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+=A.12B.12C.12D.124.函数2005sin(2004)2y x π=-是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 5.给出命题（1）零向量的长度为零，方向是任意的. （2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是A.（1）B.（2）C.（1）和（3）D.（1）和（4） 6.如果点(sin 2P θ，cos 2)θ位于第三象限，那么角θ所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 8.若α是第一象限角，则sin cos αα+的值与1的大小关系是 A.sin cos 1αα+> B.sin cos 1αα+= C.sin cos 1αα+< D.不能确定 9.在△ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形必是A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 10.如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是A.23BG BE = B.2CG GF =C.12DG AG =D.121332DA FC BC +=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 .12.已知tan 2α=，3tan()5αβ-=-，则tan β= . 13.已知(3a =，1)，(sin b α=，cos )α，且a ∥b ，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+＝ .14.给出命题：（1）在平行四边形ABCD 中，AB AD AC +=.（2）在△ABC 中，若0AB AC <，则△ABC 是钝角三角形. （3）在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DA 的中点，则1()2FE AB DC =+. 以上命题中，正确的命题序号是 . 三、解答题15.已知3sin 25α=，53[,]42αππ∈. （1）求cos2α及cos α的值；（2）求满足条件sin()sin()2cos x x ααα--++=的锐角x .16. 设两个非零向量1e 和2e 不共线.(1) 如果AB =1e +2e ，BC =128e +2e ，CD =133e -2e ，求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直？并说明理由.17.已知函数()sin 22x x f x =，x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期，并求函数()f x 在[2,2]x ππ∈-上的单调递增区间；（2）函数()sin ()f x x x R =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数()f x 的图象.18.某港口海水的深度y （米）是时间t （时）（240≤≤t ）的函数，记为：)(t f y = 已知某日海水深度的数据如下：)(t f y =b t A y +=ωsin （1）试根据以上数据，求出函数b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。

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数学必修4 综合测试题一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．下列命题中正确的是（ C ）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同2．将分针拨慢 5 分钟，则分钟转过的弧度数是（ C ）A．B．－C．D．－3 3 6 63．已知角的终边过点P 4m，3m ，m 0 ，则2 sin cos 的值是（ B ）A．1 或－1 B．25或25C．1 或25D．－1 或254、若点P(sin cos , tan ) 在第一象限,则在[0,2 ) 内的取值范围是（ B ）A.3 5( , ) U ( , ) B.2 4 45( , ) U ( , )4 2 43 5 3C.( , ) U ( , ) D.2 4 4 23 3 ( , ) U( , ) 24 45. 若| a| 2 ，|b| 2 且（a b ）⊥a ，则a 与b 的夹角是（）（A）（B）（C）6 4 35 （D）126.已知函数y A s in( x ) B 的一部分图象如右图所示，如果A 0, 0,| | ，则（）2A. A 4B. 1C.D. B 467. 设集合 A (x，y) | y 2 sin 2x ，集合B (x，y) | y x ，则（）A．A B中有3 个元素B．A B中有1 个元素C．A B中有2 个元素D．A B R4８．已知x ( x , 则tan 2 x （）,0), cos2 5A．7 B．24 7 C．2424 D．72479. 同时具有以下性质：“①最小正周期实π；②图象关于直线x＝ππ对称；③在[－，3 6π3]上是增函数”的一个函数是（）x xA. y＝sin( ＋2 π6) B.y＝cos(2 x＋π3) C.y＝sin(2x－ππ6) D. y＝cos(2x－6)10. 设i=(1,0),j=(0,1),a =2i+3 j,b=ki－4j,若a⊥b，则实数k 的值为（）A．－6 B．－3 C．3 D．611. 函数y 3 s in( 3x) 3 cos( 3x) 的最小正周期为（）4 4A．2B．3 3C．8 D．412. 2002 年8 月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是1252 cos2, sin则的值等于（）A．1 B．2425C．725D．－725二、填空题（本大题共4 小题，每小题 4 分，共16 分）13. 已知2 3sin ，那么sin 的值为，cos2 的值为cos2 2 314. 已知|a |=3,| b|=5, 且向量 a 在向量 b 方向上的投影为125，则a·b= .15. 已知向量OP (2,1), OA (1,7), O B (5,1),设X是直线OP 上的一点（O 为坐标原点），那么XA XB 的最小值是___________________16．给出下列 6 种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍；③图像向右平移个单位；④图像向左平移个单位；⑤图像向右平移3 3 2 32个单位；⑥图像向左平移个单位。

高中数学综合测试(含解析)新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题

必修第四册综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足2＋3i ＝z i(其中i 是虚数单位)，则z 的虚部为( B )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：2＋3i ＝z i ，∴z ＝2＋3i i ＝3－2i ，虚部为－2，故选B.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，A ＝π4，则B ＝( C )A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以222＝3sin B ，所以sin B ＝32，又因为b >a ，所以B >A ，所以B ＝π3或2π3，故选C.3．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误的是( D )A ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nB ．若n ⊥α，n ∥m ，则m ⊥αC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，m∥α，则m⊥β解析：逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m⊥α，n∥α，则m⊥n，选项A正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若n⊥α，n∥m，则m⊥α，选项B正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m⊥α，m∥β，则平面β内存在直线l，满足l∥m，则l⊥α，然后利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，选项C正确；在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取平面α，β分别为平面ABCD，ADD1A1，直线m为棱B1C1.满足α⊥β，m∥α，但是不满足m⊥β，选项D错误．故选D.4．复数z＝－21＋3i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z ＝－21＋3i ＝－2(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝－2＋23i 1－3i 2 ＝－2＋23i 4＝－12＋32i ，所以复数z 所对应的点为(－12，32)，它在第二象限，故选B.5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin A －sin B sin C ≥c －b a ＋b ，则( D )A ．A 的最大值为π6B ．A 的最小值为π6C ．A 的最大值为π3D ．A 的最小值为π3解析：由正弦定理得a －b c ≥c －b a ＋b，化简得b 2＋c 2－a 22bc ≤12，由余弦定理得cos A ≤12，故π3≤A <π，故选D.6．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，所有棱长均为3，P 是底面ABC 中心，则P A 1与平面ABC 所成角大小是( B ) A.5π12B.π3 C.π4D.π6解析：连接AP ，因为侧棱与底面垂直，所以∠A 1P A 即为P A 1与平面ABC 所成的角，因为P 是底面A 1B 1C 1中心，所以AP ＝23×32×3＝1，在Rt △AP A 1中，tan ∠AP A 1＝AA 1AP ＝3，∠AP A 1＝π3，所以P A 1与平面ABC 所成角大小为π3.故选B.7．设点P 是一个正四面体内的任意一点，则点P 到正四面体的各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于该四面体的( C )A ．棱长B ．斜高C ．高D ．两对棱间的距离解析：设正四面体的棱长为a ，∵P 是正四面体内的一点，∴正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为m ，n ，p ，q ，棱长为a 的正四面体的四个面的面积都是S ＝12×a ×a ×sin60°＝34a 2.又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的23，又高为a ×sin60°＝32a ，故底面中心到底面顶点的距离都是33a .由此知顶点到底面的距离是 a 2－(33a )2＝63a . 此正四面体的体积是13×34a 2×63a ＝212a 3.∴212a 3＝13×34a 2(m ＋n ＋p ＋q )，解得m ＋n ＋p ＋q ＝63a .∴P 到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于四面体的高．故选C.8．已知a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且b ＝2,4－c 2＝(a －3c )a ，则sin A －2cos C 的取值X 围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 C ．(0，3) D ．(－1,0)解析：由题意得：b 2－c 2＝a 2－3ac ，即cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32.∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π6. sin A －2cos C ＝sin A －2cos(π－A －B )＝sin A ＋2cos(A ＋B )＝sin A ＋2cos A cos B －2sin A sin B ＝sin A ＋3cos A －sin A＝3cos A .∵△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π20<C ＝5π6－A <π2，解得：π3<A <π2.∴cos A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴3cos A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32，即sin A －2cos C 的取值X 围为(0，32)，故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知复数z 满足i 2k ＋1z ＝2＋i ，(k ∈Z )，则z 在复平面内对应的点可能位于( BD )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵i 2k ＋1z ＝2＋i ，∴z ＝2＋ii 2k ＋1， ∵i 1＝i 5＝…＝i ，i 3＝i 7＝…＝－i.当k 为奇数时，∴z ＝2＋ii 2k ＋1＝2＋i －i ＝(2＋i )i －i ×i＝－1＋2i ，在复平面上对应的点为(－1,2)位于第二象限；当k 为偶数时，∴z ＝2＋i i2k ＋1＝2＋i i ＝(2＋i )i i ×i ＝1－2i ，在复平面上对应的点为(1，－2)位于第四象限，故复数z 在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限．故选BD.10．下列所给的四个命题中，是真命题的为(ABD)A．两个共轭复数的模相等B．z∈R⇔z＝zC．|z1|＝|z2|⇔z1＝±z2D．|z|2＝z·z解析：对于A，设z＝a＋b i(a，b∈R)，其共轭复数为z＝a－b i，|z|＝|z|＝a2＋b2两个共轭复数的模相等，故A正确；对于B，z∈R⇔z＝z，故B正确；对于C，例如z1＝1＋i，z2＝2，满足|z1|＝|z2|但不满足z1＝±z2，故C错误．对于D，设z＝a＋b i(a，b∈R)，其共轭复数为z＝a－b i，此时，|z|2＝z·z＝a2＋b2，故D正确，故选ABD.11．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个说法成立的是(ACD)A．水的部分始终呈棱柱状B ．水面四边形EFGH 的面积不改变C ．棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行D ．当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值解析：A 中水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA 1B 1B 平行平面CC 1D 1D 即可判断A 正确；B 中水面四边形EFGH 的面积不改变；EF 是可以变化的，而EH 不变的，所以面积是改变的，B 是不正确的；C 中棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A 1D 1∥EH ，所以结论正确；D 中当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值，水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选ACD.12．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE 、DF 、EF 折起，使A 、B 、C 重合于点P .则下列结论正确的是( ABC )A ．PD ⊥EFB ．平面PDE ⊥平面PDFC ．二面角P -EF -D 的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心解析：对于A 选项，作出图形(如图)，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知△BEF 和△DEF 为等腰三角形，故PH ⊥EF ，DH ⊥EF ，所以EF ⊥平面PDH ，所以PD ⊥EF ，故A 正确；根据折起前后，可知PE ，PF ，PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE ⊥平面PDF ，故B 正确；根据A 选项可知∠PHD 为二面角P -EF -D 的平面角，设正方形边长为2，因此PE ＝PF ＝1，PH ＝22，DH ＝22－22＝322，PD ＝AD ＝2，由余弦定理得：cos ∠PHD ＝PH 2＋HD 2－PD 22PH ·HD＝13，故C 正确；由于PE ＝PF ≠PD ，故点P 在平面DEF 上的投影不是△DEF 的外心，即D 错误．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin B－a sin A ＝12c sin C, cos A ＝14，则b c 的值为3.解析：由正弦定理可得，b 2－a 2＝12c 2，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝14，消去a 2，得32c 22bc ＝3c 4b ＝14，所以b c ＝3.14．将若干水倒入底面半径为2 cm 的圆柱器皿中(底面水平放置)，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，则水面的高度是6cm.解析：由题意得水的体积为：24π，∵轴截面为正三角形， ∴设倒置圆锥形器皿中水面高度为3a ，底面半径为a ，∴13×πa 2×3a ＝24π，∴a 3＝243，∴33a 3＝216，∴3a ＝6.15．已知三棱锥A -BCD 中，F ，G 分别是AC ，AD 的中点，E 在线段AB 上，且AE ＝2EB ，平面EFG 将该三棱锥截成一个四面体和一个五面体，分别记该四面体和五面体的体积为V 1，V 2，则V 1V 2＝15；若分别记该四面体和五面体的表面积为S 1，S 2，则S 2>2S 1(填“>”“<”或“＝”)．解析：如图，设三棱锥A -BCD 的体积为V ，因为F ，G 分别是AC ，AD 的中点，E 在线段AB 上，且AE ＝2EB ，所以S △AGF ＝14S △ACD ，设B 到面ACD 的距离为h ，所以E 到面ACD的距离为2h 3，所以V 1＝14×23×V ＝V 6，V 2＝5V 6，所以V 1V 2＝15. 因为S △AEG ＝13S △ABC ，所以2S △AEG ＝S 四边形BCGE ，同理2S △AEF ＝S 四边形BDFE,2S △AGF ＝23S 四边形CDFG <S 四边形CDFG ，2S △EFG <S △EFG ＋S △BCD ，所以S 2>2S 1.16．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，若△ABC 的面积为33，则BC 解析：由题意，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，且面积为33，所以12AB ·AC sin A ＝12×3×4sin A ＝33，解得sin A ＝32.又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3或A ＝2π3.当A ＝π3时，cos A ＝12，由余弦定理，可得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝32＋42－2×3×4×12＝13；当A ＝2π3时，cos A ＝－12，由余弦定理，可得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝32＋42－2×3×4×(－12)＝37.综上，BC 边的长度为13或37.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)设复数z ＝(2m 2－7m ＋3)＋(m 2－m －6)i ，问当实数m 取何值时：(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点在复平面的第四象限．解：(1)因为复数z ＝(2m 2－7m ＋3)＋(m 2－m －6)i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧ 2m 2－7m ＋3＝0，m 2－m －6≠0⇒m ＝12.(2)因为z 对应的点在复平面的第四象限，所以⎩⎨⎧ 2m 2－7m ＋3>0m 2－m －6<0⇒－2<m <12.18．(12分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b ，(1)求角A 的大小；(2)若a＝8，b＋c＝10，求△ABC的面积．解：(1)由2a sin B＝3b，利用正弦定理得：2sin A sin B＝3sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝3 2，又A为锐角，则A＝π3.(2)由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A，即64＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝100－3bc，∴bc＝12，又sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝3 3.19．(12分)已知z为复数，z＋2i和z2－i均为实数，其中i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(z＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，某某数a的取值X围．解：(1)由题意，设复数z＝x＋y i(x，y∈R)．因为z＋2i和z2－i均为实数，可得z＋2i＝x＋(y＋2)i∈R，所以y＋2＝0，即y＝－2.z 2－i ＝x＋y i2－i＝(x＋y i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(2x－y)＋(x＋2y)i5∈R，即x＋2y＝0，所以x＝4，所以复数z＝4－2i.(2)由(1)知复数z＝4－2i.因为复数(z＋a i)2＝(4－2i＋a i)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a－2)i对应的点在复平面位于第一象限，所以16－(a－2)2>0且8(a－2)>0，解得2<a<6.即实数a的取值X围是(2,6)．20．(12分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，BB1＝4，AB⊥BC，且AB＝BC＝4，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AM＝BN.(1)求证：无论M在何处，总有B1C⊥C1M；(2)求三棱锥B-MNB1体积的最大值．解：(1)证明：要证明无论M在何处，总有B1C⊥C1M，只需证明B1C⊥平面AC1B即可，∵BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，又AB⊥BC，BC∩B1B＝B，∴AB ⊥平面BCC 1B ，∴B 1C ⊥AB ，由题知四边形BCC 1B 1为正方形，∴B 1C ⊥BC 1，又AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面AC 1B ，原命题得证．(2)由三棱锥B -MNB 1的体积为：V 三棱锥B -MNB 1＝V 三棱锥B 1-BMN ＝13×4×12BM ·BN ＝23BM ·BN ≤23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BM ＋BN 22＝83，当BM ＝BN ＝2时取等号，所以三棱锥B -MNB 1体积的最大值为83.21．(12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3b ＝3a cos C ＋3a sin C ，(1)求A 的大小；(2)若a ＝3，求b 2＋c 2的取值X 围．解：(1)由题意，在锐角△ABC 中，满足3b ＝3a cos C ＋3a sin C ，根据正弦定理，可得3sin B ＝3sin A cos C ＋3sin A sin C ，解得tan A ＝3，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由正弦定理，可得asin A＝bsin B＝csin C＝332＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(2－cos2B－cos2C)＝4－2cos2B－2cos2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝4－cos2B＋3sin2B＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2B－π6＋4，又由⎩⎪⎨⎪⎧0<B<π2，0<2π3－B<π2可得π6<B<π2，π6<2B－π6<5π6.所以1<2sin⎝⎛⎭⎪⎫2B－π6≤2，即5<b2＋c2≤6，所以b2＋c2的取值X围(5,6]．22．(12分)如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE 沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2)．G为AE中点．(1)求证：DG⊥平面ABCE；(2)求四棱锥D-ABCE的体积；(3)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为G为AE中点，AD＝DE＝2，所以DG⊥AE，因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，DG∩平面ADE，所以DG⊥平面ABCE.(2)在直角三角形ADE中，易求AE＝22，则DG＝AD·DEAE＝2，所以四棱锥D-ABCE的体积为V D-ABCE＝13×(1＋4)×22×2＝53 2.(3)存在．如图，过点C作CF∥AE交AB于点F，则AF FB＝1 3.过点F作FP∥AD交DB于点P，连接PC，则DP PB＝1 3. 又因为CF∥AE，AE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，所以CF∥平面ADE，同理FP∥平面ADE.又因为CF∩PF＝F，所以平面CFP∥平面ADE，因为CP⊂平面CFP，所以CP∥平面ADE，所以在BD上存在点P，使得CP∥平面ADE，且BPBD＝34.。

人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)

高中数学必修4综合测试满分：150分时间：120分钟考生注意：客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卡上。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）1. sin300︒=A ．BC ．12D 2.角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为A ．4B ．－3C ．54D ．53-3.cos 25cos35sin 25sin 35-的值等于A ．0B ．12 C D ．12-4. 对于非零向量AB ，BC ，AC ，下列等式中一定不成立．．．的是 A ．+AB BC AC =B ．AB AC BC -= C ．AB BC AC +=D ．AB BC BC -=5.下列区间中，使函数sin y x =为增函数的是A ．[0,]πB ．3[,]22ππC ．[,2]ππD ． [,]22ππ-6.已知1tan()44πα-=, 则tan α的值为A ．35B ．35-C ．53D ．53-7.将函数y=sinx 图象上所有的点向左平移3π个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为A ．）（32sin π+=x yB ．）（62sin π+=x y C ．）（32sinπ+=x y D ．）（32sin π-=x y 8. 在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 下列命题中，正确的是A ．|a |＝|b |⇒a ＝bB ．|a |＞|b |⇒a ＞bC ．｜a ｜＝0⇒a ＝0D ．a ＝b ⇒a ∥b 10.函数)sin(ϕω+=x A y 此函数的解析式为A ．）（322sin2π+=x y B ．）（32sin π+=x y C ．）（32sin π-=x y D ．）（654sin 2π+=x y 11.方程sinπx ＝14x 的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．812.比较大小，正确的是（） A ．5sin 3sin )5sin(<<- B ．5sin 3sin )5sin(>>-C ．5sin )5sin(3sin <-<D ． 5sin )5sin(3sin >->（第10题图）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

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一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）1. sin300︒=A ．BC ．12D ．22.角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为A ．4B ．－3C ．54D ．53-3.cos 25cos35sin 25sin 35-的值等于A ．0B ．12 C ．2 D ．12-4. 对于非零向量AB ，BC ，AC ，下列等式中一定不成立．．．的是 A ．+AB BC AC =B ．AB AC BC -= C ．AB BC AC +=D ．AB BC BC -=5.下列区间中，使函数sin y x =为增函数的是A ．[0,]πB ．3[,]22ππC ．[,2]ππD ． [,]22ππ-6.已知1tan()44πα-=, 则tan α的值为A ．35B ．35-C ．53D ．53-7.将函数y=sinx 图象上所有的点向左平移3π个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为A ．）（32sin π+=x yB ．）（62sin π+=x y C ．）（32sinπ+=x y D ．）（32sin π-=x y 8. 在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 下列命题中，正确的是A ．|a |＝|b |⇒a ＝bB ．|a |＞|b |⇒a ＞bC ．｜a ｜＝0⇒a ＝0D ．a ＝b ⇒a ∥b 10.函数)sin(ϕω+=x A y 此函数的解析式为A ．）（322sin2π+=x y B ．）（32sin π+=x y C ．）（32sin π-=x y D ．）（654sin 2π+=x y 11.方程sinπx ＝14x 的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．812.比较大小，正确的是（） A ．5sin 3sin )5sin(<<- B ．5sin 3sin )5sin(>>-C ．5sin )5sin(3sin <-<D ． 5sin )5sin(3sin >->（第10题图）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

必修4数学测试题及答案

62
6
故 x 的取值集合为 {x|x= +k ,k Z}
6
(2) 由 2x+ [ +2k , +2k ],(k Z)得 ,x [ +k , +k ],(k Z)
62
2
3
6
故函数 f(x) 的单调递增区间为 [ +k , +k ],(k Z)
36
1
(3)f(x) ≥ 2 2sin(2x+ )+1 ≥ 2 sin(2x+ ) ≥
)=1 ， sin(A-
1
)=
6
62
因为 A (0, ),所以 A-
5
(- , ),所以 A- = ,故 A ＝
6 66
66
3
1 sin 2B
(cos B sin B)2
cos B sin B
(ห้องสมุดไป่ตู้) 2
2
cos B sin B
3 cos2 B sin 2 B
3 cos B sin B
3
cosB+sinB=-3cosB+3sinB 4cosB=2sinB tanB=2 tanC=tan( -(A+B))=-tan(A+B)
44
4
时 f(x) 取最大值 2
21．解 :f(x)=sin2xcos +cos2xsin +sin2xcos -cos2xsin +1+cos2x=2sin2xcos +cos2x+1
6
6
6
6
6
= 3 sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )+1 6

(完整)高中数学必修4综合测试题及答案(2),推荐文档

）
A．1 或－1
B． 2 或 2 C．1 或 2
55
5
D．－1 或 2 5
4、若点 P(sin cos , tan ) 在第一象限,则在[0, 2 ) 内的取值范围是（）
A.
(
,
3
)
(
,
5
)
24
4
C.
(
,
3
)
5 (
,
3
)
24 4 2
B.
(
,
)
(
,
5
)
42
4
D.
(
,
3
)
3 (
） D. B 4
7. 设集合 A (x，y) | y 2sin 2x，集合 B (x，y) | y x，则（
）
A． A B 中有 3 个元素 B． A B 中有 1 个元素
C． A B 中有 2 个元素 D． A B R
８．已知 x ( ,0), cos x 4 , 则 tan 2x （
2 23
， cos 2 的值为
。
14. 已知|a|=3,|b|=5, 且向量 a 在向量 b 方向上的投影为 12 ，则 a·b=
。
5
15.
已知向量 OP (2,1),OA (1,7),OB (5,1),设X是直线OP 上的一点（O 为坐标原点），那么
XA XB 的最小值是___________________。
16．给出下列 6 种图像变换方法：
①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1 ；②图像上所有点的纵坐标不变，
2
横坐标伸长到原来的 2 倍；③图像向右平移个单位；④图像向左平移个单位；⑤图像

高中数学必修四(综合测试题+详细答案)

必修四综合复习之马矢奏春创作时间：二O 二一年七月二十九日一、选择题（12道）1．已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ,则x+2y 的值为（）A ．0 B. 2 C. 21 D. －22．设πθ20<≤,已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ,()θθcos 2,sin 22-+=OP ,则向量21P P 长度的最年夜值是（）A.2B.3C.23D.32 3．已知向量a ,b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点, 则向量=CD （）A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21-- C ．BA BC 21- D ．BA BC 21+5．设a 与b 是两个不共线向量,且向量a b λ+与()2b a --共线,则λ=（）A ．0B ．－16．已知向量()1,3=a ,b 是不服行于x 轴的单元向量,且3=⋅b a ,则b =（） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1,0）7．在OAB ∆中,OA a =,OB b =,OD 是AB 边上的高,若AD AB λ=,则实数λ等于（） A ．2()a b a a b⋅--B ．2()a a b a b⋅-- C．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--8．在ABC ∆中,c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量(),,m b c c a =--(),n b c a =+,若向量⊥m n ,则角 A 的年夜小为（）A ．6πB ．3πC ．2πD ．32π 9．设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E,且有,BC CE λ=若2AB AC =则λ即是（）A 2B 21 C －3 D －3110．函数2sin cos y x x x =-的图象的一个对称中心是（）A.2(,32π- B.5(,62π- C.2(,32π- D.(,3π11.0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( )A.16B.8C.4D.2 12．那时04x π<<,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是（） A ．4 B ．12 C ．2 D ．14二、填空题（8道）13．已知向量(cos ,sin )a θθ=,向量(3,1)b =-,则2a b -的最年夜值是__________．14．设向量a与b 的夹角为θ,且)3,3(=a ,)1,1(2-=-a b ,则=θcos ______________．15．在AOB ∆中,)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ,若5-=⋅OB OA ,则AOB ∆的面积为__________. 16. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是________.17. ABC 中,3sin 5A =,5cos 13B =,则cosC =___________. 18．已知sin cos αβ+13=,sin cos βα-12=,则sin()αβ-=________________.19．函数x x y cos 3sin +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为_______．20．函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最年夜值2,最小值1-,则实数a =_________,b =___________.三、解答题（3道）21．已知|a|=2,|b|=3,向量a 与向量b 夹角为 45,求使向量a+λb 与λa+b 的夹角是锐角时,λ的取值范围22.（2011广东卷理）已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直,其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值；（2）若sin()2πθϕϕ-=<<,求cos ϕ的值． 23.（2011湖南卷理）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=若||||,0,a b θπ=<<求θ的值.年夜题参考谜底21、解：∵|a|=2,|b|=3 ,a 与b 夹角为 45∴3222345cos ||||=⨯==⋅ b a b a 而（a+λb ）·（λa+b ）=3113933222222++=+++=+++λλλλλλλλb ba ab a要使向量a+λb 与λa+b 的夹角是锐角,则（a+λb ）·（λa+b ）>0 即031132>++λλ 从而得6851168511+->--<λλ或 23、解：由||||a b =知,22sin (cos 2sin )5,θθθ+-=所以212sin 24sin 5.θθ-+=从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=,即sin 2cos21θθ+=-,于是sin(2)42πθ+=-.又由0θπ<<知,92444πππθ<+<, 所以5244ππθ+=,或7244ππθ+=.因此2πθ=,或3.4πθ=备用年夜题一、解答题(4道)1. 求函数2()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 2．已知△ABC 的内角B 满足2cos 28cos 50,B B -+=,若BC a =,CA b =且,a b满足：9a b =-,3,5a b ==,θ为,a b sin()B θ+.3．已知,135)4sin(,40=-<<x x ππ求)4cos(2cos x x +π的值.4．已知函数2()sin cos cos (0)2f x a x x x a b a =⋅++> (1)写出函数的单调递加区间；(2)设]20[π，∈x ,()f x 的最小值是2-,最年夜值是3,求实数,a b的值．年夜题参考谜底3、解：5()(),cos()sin()4424413x x x x πππππ-++=∴+=-=, 而120cos 2sin(2)sin 2()2sin()cos()2444169x x x x x ππππ=-=-=--=120cos 212169513cos()413x x π∴==+.4、解：1()sin 2cos 2)2f x a x x b =++ （1）3511222,2321212k x k k x k πππππππππ+≤-≤++≤≤+511[,],1212k k k Z ππππ∴++∈为所求（2）20,2,sin(2)123333xx x πππππ≤≤-≤-≤≤-≤。

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