高中数学知识点总结之三角函数篇

第三章 三角函数、解三角形

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

一、必记3个知识点 1．角的概念

(1)分类⎩

⎨⎧

按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．

2．弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和1

2

|α|r 2.

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，

tan α＝y

x

(x ≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 二、必明3个易误区

1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．

3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x

，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x

. 三、必会2个方法

1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；

2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．

①－3π4是第二象限角；②4π

3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一

象限角．其中正确的命题有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π

3是第三象限角，故②正

确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．

2．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪

⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z

，那么( )

A ．M ＝N

B ．M ⊆N

C ．N ⊆M

D ．M ∩N ＝∅

解析：选B 法一：由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ⎪⎪⎪⎭

⎪⎬⎪

⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，

135°，225°，…}，

N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

x ＝k

4

·180°＋45°，k ∈Z

＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.

法二：由于M 中，x ＝k

2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；

而N 中，x ＝k

4

·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆

N ，故选B.

3．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．

解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．答案：{α|α＝k π＋π

3

，

k ∈Z }

4．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．

解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，

得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45

360

，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得

β＝－675°或β＝－315°.

答案：－675°或－315° [类题通法]

1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．

2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．

[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎭⎪⎫sin 3，cos 3，则角α的最小正值为( )

A.5π6

B.2π3

C.5π3

D.11π

6

(2)(2013·临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝

2

4

x ，则sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

α＋π2＝________. [解析] (1)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝3

2，故α

＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π

6

.

(2)由题意得cos α＝

x

5＋x

2

＝2

4

x ，解得x ＝0或x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

α＋π2＝cos α＝－64. [答案] (1)D (2)－6

4

[类题通法]