第十章 方差分析cjm

• 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 • 设 1 为无色饮料的平均销售量， 2 粉色饮料 的平均销售量， 3 为橘黄色饮料的平均销售 量， 4 为绿色饮料的平均销售量，也就是检 验下面的假设 H0: 1 2 3 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等 • 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
——反映全部观察数据的差异程度。
SST y ij y
i 1 j 1
k
ni
2
方差分析的基本思想和原理
（方差的分解——续）
2. 组内平方和
——各水平内部的观察值与该水平均值的离差平方和。
SSE
2 y y ij i k i 1 j 1
ni
• 反映同一水平下样本观察值的差异程度，所以不包 含系统误差，只包含随机误差。 • 比如，同种颜色的饮料的销售量差异。
方差分析的基本思想和原理
（方差的分解——续） • 3. 组间平方和
– —各组平均数与总平均数的离差平方和。
SSA y i y ni y i y
2 i 1 j 1 i 1
k
ni
k
2
– – –
反映因素的不同水平 ( 不同总体 ) 下各样本均 值之间的差异； 既包括随机误差，也包括系统误差； 如四种颜色的饮料平均销售量之间的差异
方差
总方差分解
不可解释的方差
定距测量 层次：用 均值预测 所导致的 全部误差
可解释的方差 Ｆ比值＝ 不可解释的方差
方差F比值的意义
• Ｆ比值愈大，表示可解释掉的误差越多， 说明Ｘ与Ｙ在总体中愈可能是相关的。 • Ｆ比值究竟大到什么程度可以通过检验， 这就需要借助Ｆ分布表。 • 因为Ｆ值满足Ｆ抽样分布曲线，所以可以 直接借助Ｆ分布，判断Ｘ与Ｙ总体中是否 相关。
将 MSA 和 MSE 进行对比，即得到所需要的检验统计 量F；
当 H0 为真时，二者的比值服从分子自由度为 k-1 、分 母自由度为 n-k 的 F 分布，即 ：
M SA F ~ F ( k 1, n k ) M SE
3. 计算检验的统计量值
(上例的计算过程 )
三种班次工人的劳动效率及均值
三、方差分析的基本思想和原理
（几个基本概念）
1.因素或因子 所要检验的对象称为因子 在上例中，颜色就是要检验的因素或因子。 2.水平 因素的具体表现称为水平（也称为类别或处理方案） . 在上例中四种颜色就是因素的四个水平。 3.观察值 在第 i 个水平下的 j 个观察值，记为 yij 上例中，每种颜色的销售量就是观察值.
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三、方差分析中基本假定
• 如果原假设成立，即H0: 1 = 2 = 3 = 4
– 四种颜色饮料销售的均值都相等 – 没有系统误差
•
这意味着每个样本都来自均值为、方差为 2的同一正态总体
f(X)
1 2 3 4
X
方差分析中基本假定
• 如果备择假设成立，即H1: i (i=1，2，3，4)不全相 等
方差分析就是检验定类变量和定距变量之间的关系。
【例】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色
共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四 种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量 的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五 家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响
方差分析的基本思想
（方差的比较）
1. 如果不同水平（颜色）对结果（销售量）没有影
响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没 有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该 很接近，两个方差的比值就会接近1； 反之，如果不同的水平对结果有影响，在组间方 差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差 ，这时组间方差就会显著地大于组内方差，组间 方差与组内方差之间的比值就会大于1； 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平 的总体均值之间存在显著差异（存在系统误差）.
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题 2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
相等的证据也就越充分 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据 就越充分
工人 ( j ) 1 2 早班 34 37 中班 49 47 晚班 39 40
3
4 5 6 7
35
33 33 35 36
51
48 50 51 51
y2=49.571
42
39 41 42 40
y3=40.429
各水平均值
y1 =34.714
y =41.571
SST
y ij y
2 SSE y ij y i
i
4. 计算 k n 检验的统计量值（续）
i 1 j 1
= (34-34.714)2 +… +(49-49.571)2 +...+(40-40.429)2=38.857
MSA SSA /( k 1) F MSE SSE /( n k )
方差分析的基本思想和原理
（几个基本概念）
试验 每一次随机抽样可看成一次随机试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素试验。 总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体； 比如上例中四种颜色可以看作是四个总体。 样本数据 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据
观察值的两种误差
• 设各水平下的观察值表示为：
3. 检验上述假设就需要采用方差分析。
1. 提出假设
一般提法
H0: 1 = 2 =…= k (因素有k个水平） H1: 1 、2 、… 、 k 不全相等
对上述例子
H0: 1 = 2 = 3
班次对劳动效率没有影响
H1: 1、2 、3 不全相等
班次对劳动效率有影响
2. 构造检验的统计量
一、什么是方差分析？
从两总体的均值差异比较说起： • 两总体的均值差异比较（第七章） 如果均值差异显著，说明？ • 多个总体均值的差异比较呢？
方差分析与均值差异检验
方差分析是均值差检验的推广，一般可用于检 验定类变量与定距变量之间的关系。 其中，定类变量被看作是“自变量”，或者影 响因素变量，而定距变量则被看作“因变量”
786 .286 /(3 1) F 182 .118 38.857 /(21 3)
计算结果常常列为表格——方差分析表
方差 来源 组间A 组内E 总和
离差平方和
自由度
均方
F值
786.29 38.86
2
393.15 2.16
182.1
—
18
—
825.15
—
5. 统计决策
将统计量的值 F 与给定的显著性水平 的临界值 F （ k-1,n-k ）进行比较，作出接受或拒绝原 假设H0的决策。
比如，对任一饮料来说，不同颜色的销量可
能都有明显差异，这可能是由于所研究因素 ——颜色不同而造成的
观察值的两种误差（续）
2.随机误差 由于偶然因素而产生的差异，或者说是由于抽 样的随机性所造成的。 即在因素的同一水平（同一个总体）下，样本 的各观察值之间的差异； 比如，同一种颜色的饮料的销售量是有差异的
例2某工厂实行早、中、晚三班工作制。工厂管理部 门想了解不同班次工人劳动效率是否存在明显的差异。 每个班次随机抽出了7个工人，得工人的劳动效率资料 （件/人）如表。分析不同班次工人的劳动效率是否有 显著性差异。
序号 1 2 3 早班 34 37 35 中班 49 47 51 晚班 39 40 42
yij i ij
＝该水平的总体均值+ 随机项
所有观察值 yij 之间的差异，可能来源于 两个方面：
观察值的两种误差（续）
1.系统误差（条件误差）
各水平的总体均值不同，从而导致了各水平
下的样本观察值也有差异；
由于所研究因素改变而产生的试验结果的差
异，即在因素的不同水平（总体）下，各观 察值间的差异；
2.
3.
第二节 单因素方差分析
• 一、分析步骤 • 提出假设 • 构造检验的统计量 • 给定检验的显著性水平 • 计算检验统计量的值 • 统计决策（结论）
方差分析中的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正 态分布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 2. 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中 抽取的 如四种颜色饮料的销售量的方差都相同 3. 观察值是独立的 如每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立
观察值的两种误差（续）
方差分析就是要判断有无系统误差存在。
若观察值的差异不仅来源于随机误差，
也包含系统误差，则说明存在明显的因 素效应（即所研究因素不同水平下的总 体均值不全相等）。 为此，要对观察值的差异进行分析。
方差分析的基本思想和原理
（方差的分解）
1. 1.总离差平方和
——全部观察值与总平均数的离差平方和；
构造检验的统计量
1. 为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2. 构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 SST：总离差平方和 SSR：组内平方和（剩余平方和）：各个观

测值对本组平均值的离差平方和 SSB：组间平方和：观测值的组平均值对总 平均值的离差平方和
单因方差分析与F检验
i
计算过程（续） k n
2
i 1 j 1
= (34-41.571)2+…+(40-41.571)2=825.1429
SSA
y i i j
k
1 1
ni
y
2
ni y i i
k
1
y
2
= 7×(34.714－41.571)2 +...+7×(40.429 －41.571)2 =786.286
4
5 6 7
33
33 35 36
48
50 51 51
39
41 42 40
问题的提出
1. 检验班次对劳动效率是否有影响，也就是 检验三种班次的平均劳动效率是否相同； 2. 设三种班次的总体平均劳动效率分别为： 1
、2 、3 ，也就是检验下面的假设：

H0: 1 2 3

H1: 1 , 2 , 3 不全相等
第九章
方差分析
• 第一节 方差分析概述 • 第二节 单因素方差分析 • 第三节 多因素方差分析（略）
第一节 方差分析的概念与基本原理
一、什么是方差分析？ 二、方差分析的基本思路 三、方差分析的基本假定
• • • •
方差分析适用范围：定类-定距变量 方差分析分类： 自变量的个数：单因素 多因素 因变量的个数：一元方差分析、二元方差 分析以及多元方差分析
– 基本逻辑： 将全部方差（以SST估计，自由度为：n-1）分 解为两个部分:消减方差（以SSB估计，自由度 为k-1）和剩余方差（以SSR估计，自由度为 n-k），然后从相互比较中推论X与Y在总体中 是否相关。 F=总体的消减误差/总体的剩余误差 即F=（SSB/df1）/(SSR/df2)； 或F＝组间方差/组内方差
– 至少有一个总体的均值是不同的 – 有系统误差
•
体
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总
f(X)
3 1 2 4
X
单因方差分析与F检验
• 单方差分析中的F检验： 通过对各观察数据误差来源的分析来判断 多个总体均值是否相等； 是参数检定法的一种；
– 目的：推算在各组总体中的均值是否相等。
，或者称为被分析的变量，定类变量的几个取
值往往被称为影响因素的几个水平或类别。
方差分析： 定类、序(自变量，x)——定距(因变量，y) 思考： 不同类别的总体均值差异显著，说明定类变 量与定距变量之间——？ 不同类别的总体均值差异不显著，说明—— ？
定类与定距变量间的关系
举例： 地区与平均寿命之间的关系； 职业与人际交往频次的关系； 学校类型与学生成绩的关系； ……
表8-1 该饮料在五家超市的销售情况
超市
1 2 3 4 5
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
二、方差分析的基本思想
可解释的方差