2.1.2-1指数函数的概念
学案6：2.1.2指数函数及其性质
2.1.2指数函数及其性质学习目标1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)知识梳理教材整理1指数函数的定义阅读教材，完成下列问题．指数函数的定义一般地，函数(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.练一练1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．()(2)函数y＝2x＋1是指数函数．()(3)函数y＝(－2)x是指数函数．()教材整理2指数函数的图象和性质阅读教材，完成下列问题．R练一练2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(2)当a>1时，对于任意x∈R，总有a x>1.()(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．()类型一：指数函数的概念例1 (1)下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝a x B ．y ＝x a (a >0且a ≠1) C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3 D ．a >0且a ≠1名师指导1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1；2．求指数函数的解析式常用待定系数法．跟踪训练1 (1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________. (2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 类型二：指数函数的定义域和值域 例2 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝√1−3x ； (2)y ＝(23)√−|x|； (3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. 名师指导1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．2．函数y＝a f(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．跟踪训练2 求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x−3；(2)y＝221()2x x.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？探究2若函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b满足什么条件？例3(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()(2)函数y ＝a－|x |(0＜a ＜1)的图象是( )名师指导指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .跟踪训练3 定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥hhg <h ，已知函数f (x )＝2x ⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图象是( )课堂检测1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2x C.⎝⎛⎭⎫12xD.⎝⎛⎭⎫22x2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－89，8 B.⎣⎡⎦⎤－89，8 C.⎝⎛⎭⎫19，9D.⎣⎡⎦⎤19，93．已知1>n >m>0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )4．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0, 且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________． 5．设f (x )＝3x ，g(x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g(x )的图象；(2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m )与g(－m )的值，从中你能得到什么结论？参考答案知识梳理教材整理1 指数函数的定义 y ＝a x ； x 练一练1【答案】 (1)× (2)× (3)×【解析】 (1)由指数函数的定义形式可知(1)(2)(3)均错误． 教材整理2 指数函数的图象和性质 (0，＋∞) ；(0,1)；增函数；减函数；y 轴 练一练2【答案】 (1)√ (2)× (3)×【解析】 (1)因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方． (2)当x ≤0时，a x ≤1.(3)因为f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )＝2－x在R 上是减函数． 类型一：指数函数的概念 例1 【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝⎛⎭⎫12x 显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.跟踪训练1 【答案】 (1)3x (2) ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 则f (2)＝a 2＝9.又因为a >0，所以a ＝3. 所以f (x )＝3x .(2)由题意可知{ 2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 类型二：指数函数的定义域和值域例2 解：(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝ √1−3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1.所以√1−3x ∈[0,1)，即函数y ＝ √1−3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0， 所以函数y ＝ (23)√−|x|的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以y ＝ (23)√−|x| ＝(23)0＝1，即函数y= (23)√−|x|的值域为{y |y ＝1}．(3)因为对于任意的x ∈R ， 函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义， 所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R . 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2 ＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 跟踪训练2 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠3}． 令t ＝1x−3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t ≠1， 故函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2， 则t ＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)t ≥ (12)1＝12，故函数的值域为[12，+∞）.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1 【答案】 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(0,1)；在f (x )＝a x －1＋2中令x －1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)． 探究2 【答案】 如图，由图可知0<a <1，b ≤－1.例3【答案】 (1)D (2)A【解析】(1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增， 又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减，A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D. (2)y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.跟踪训练3 【答案】 B【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≥01x <0，∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥11x <1，∴其图象为B ，故选B.课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x . 2．【答案】 A【解析】 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.3．【答案】 C【解析】 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C. 4．【答案】 (0,1)【解析】 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1.5． 解：(1)函数f (x )，g(x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g(－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π， f (m )＝3m ，g(－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m＝3m.。
初中数学知识点指数函数与对数函数的概念与性质
初中数学知识点指数函数与对数函数的概念与性质初中数学知识点：指数函数与对数函数的概念与性质指数函数与对数函数是数学中重要的函数形式。
它们在数学、科学和工程领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍指数函数与对数函数的概念与性质。
一、指数函数的概念与性质指数函数是以正实数为底数的幂函数，它的定义域为实数集，值域为正实数集。
形式上，指数函数可以表示为：\[ y = a^x \]其中，a代表底数，x代表指数，y代表函数值。
1.1 指数函数的定义域和值域指数函数中的底数a必须是正实数而不能为零或负数，因为负数和零没有实数次幂的定义。
指数函数的定义域为实数集，即一切实数。
值域为正实数集，即大于零的实数。
1.2 指数函数的特点指数函数具有以下几个特点：（1）指数函数在底数不变的情况下，随着指数增大而增大，随着指数减小而减小。
（2）当指数为0时，指数函数的值为1。
（3）指数函数在不同的底数下，增长的速度不同，底数越大，增长的速度越快。
1.3 指数函数的图象指数函数的图象一般呈现为一个逐渐上升或下降的曲线，具体的形状取决于底数的大小和正负。
二、对数函数的概念与性质对数函数是指数函数的逆运算，它的定义域为正实数集，值域为实数集。
形式上，对数函数可以表示为：\[ y = \log_a{x} \]其中，a代表底数，x代表函数值，y代表指数。
2.1 对数函数的定义域和值域对数函数中的底数a必须是正实数且不等于1，因为负数和1没有实数对数的定义。
对数函数的定义域为正实数集，即大于零的实数。
值域为实数集。
2.2 对数函数的特点对数函数具有以下几个特点：（1）对数函数在底数不变的情况下，随着函数值的增大而指数增大，随着函数值的减小而指数减小。
（2）当函数值为1时，对数函数的指数为0。
（3）对数函数在不同的底数下，增长的速度不同，底数越大，增长的速度越慢。
2.3 对数函数的图象对数函数的图象一般呈现为一个先上升后趋于平缓的曲线，具体的形状取决于底数的大小。
指数函数的概念及其解法
指数函数的概念及其解法
1. 概念
指数函数是数学中一种重要的函数，它的定义形式为 f(x) = a^x，其中 a 是非零实数，x 是任意实数。
2. 解法
指数函数的求解方法主要有以下两种：
2.1. 对数法
对数法是指将指数函数转化为对数函数来求解。
对数函数是指
以某个正实数为底的对数，即 f(x) = log_a(x)。
对数法的基本思路是通过将指数函数的等式转化为对数函数的等式，从而求得未知数 x
的值。
2.2. 变换法
变换法是指通过对指数函数进行变换，将其转化为可以直接求
解的形式。
常用的变换包括平移变换、对称变换、缩放变换等。
通
过合理选择变换的方式，可以简化指数函数的求解过程。
3. 示例
以下是一个简单的指数函数求解的示例：
已知 f(x) = 2^x = 8，求解 x 的值。
3.1. 对数法解法
我们可以将指数函数转化为对数函数的等式，得到 log_2(8) = x。
通过计算，我们可以得到x ≈ 3。
3.2. 变换法解法
我们可以先将指数函数进行变换，将 f(x) = 2^x = 8 变换为 f(x-3) = 1。
这样，我们可以直接得出 x-3 = 0，从而得到x ≈ 3。
以上是指数函数的概念及其解法的简要介绍。
指数函数在数学中有着广泛的应用，深入理解和掌握其概念及解法对于数学学习和应用都具有重要意义。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教材梳理素材 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
2.1.2指数函数的定义、图象1
问题2：《庄子· 天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量 y 关于 x 的 函数关系式？
截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次 祁 阳 一 中 高 一 数 学 备 课 组
1 x * y ( ) , xN 2
木棰 剩余
1 2
1 2
2
y
0.8
0.1
0.8
0.2
1 x
0
指数函数图象与性质的应用： ③ ④
3
0.9
.
0.8
( )
0.9
( )
1 0.5 6
.
1 0.5 2
y
y 0.8
x
y 3
1
x
x 0.9
x 0
⑤
1.7
0.3
.
0.9
0
3.1
根据指数函数的性质知
1.7
即
0.3
1.7 1 0.9 0.9 1
2
阳 一 中 高 一 数 学 备 课 组
变式：求f ( x) 3 9的定义域
x
当 x 2, 0 时，函数 的值域是
y 3
x 1
2
y a x 1 (a 0且a 1) 引申：若函数 在区间 2， 上的最大值为8，求 2
a 的值。
祁 阳 一 中 高 一 数 学 备 课 组
x=1
2
1 2 1 3
小结：
1．学习了指数函数的概念、图象和性质；
a>1 图 象 y=1 (0,1) 0 性 质 定义域:R 值 域 :（0，+ ∞ ） x 0 x y y=ax (a>1) y=ax (0<a<1) y=1 0<a<1 y (0,1)
数学新课标人教A版必修1教学课件：2.1.2.1 第1课时 指数函数的图象及性质
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第二十二页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
3.如图所示是指数函数的图象，已
知 a 的值取 2，43，130，15，则相应曲线 C1，C2，
C3，C4 的 a 依次为( )
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第四页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
1．指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1，x∈R)叫做指数函数，其中 x为自变量． 2．指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第五页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
栏目导引 第三页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
(4)当a＝0时，n取__零__或__负__数__没有意义． 如果y＝f(x)在D上是增函数，则对任意x1， x2∈D且x1<x2，有f(x1)<(填“>”、“<”或 “＝”)f(x2)，y＝f(x)的图象从左至右逐渐__上__升 (填“上升”或“下降”)．
(4)∵－233<0，4313>430＝1，3412<340＝1， ∴－233<3412<4313.12 分
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第二十八页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
[题后感悟] 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比 较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对 于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较， 可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)
2.1.2指数函数及其性质
1 y ( )x 2
1 y 2 与y 2
x
x
这两个函数 解析式有何 共同特征?
1.指数函数的定义： 形如y = ax(a0，且a 1)的函数叫做指数函数， 其中x是自变量 .函数的定义域是R . 思考:为何规定a0，且a1?
0
1
a
思考:为何规定a0，且a1 ?
§2.1.2指数函数及其性质
折纸问题
1.折纸过程中，纸的层数y与对折的 次数x之间的函数关系式是怎样的？ 得到函数关系式： x 2.折后面积y与对折的次数x之间的函 数关系式又是怎样的？（记折前纸张面 积为1） x 1 得到函数关系式：
y 2 (x N )
y (x N ) 2
1 4
0.8
1 与 2
1.8
4
8 7
7 与 8
5 12
不同底但可化同底
5
0.3
0.3
与 0.2
0.3
不同底பைடு நூலகம்同指数
6
1.7
0.3
与0.9
3.1
底不同，指数也不同
课堂小结
函 数 图 2.指数函数的图像和性质 3.指数函数性质的简单应用 思想与方法: 数形结合，由具体到一般 象
x
4 y x (2)
x y ( 4 ) (3) y 4 (4)
x
(5)
y (6) y 2
x
2
x 1
(7) y 5
x
x
x y (2 a 1) (8)
变式训练一：函数 y (a 3a 3) a 是指数函数，则有（ Ａ． a ＝１或
第二章 2.1 2.1.2(一)指数函数
2.1.2指数函数及其性质(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？梳理一般地，叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a<0时，；②当a=0时，；③当a>0时，x可以取；④当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数．②指数函数的自变量必须位于的位置上．③a x的系数必须为.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．知识点二指数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：1．y ＝x x (x >0)是指数函数．( × )2．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)是指数函数．( × )3．因为a 0＝1(a >0且a ≠1)，所以y ＝a x 恒过点(0,1)．( √ ) 4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的最小值为0.( × )类型一 求指数函数的解析式例1 已知指数函数f (x )的图象过点(3，π)，求函数f (x )的解析式．跟踪训练1 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1,2)，求a ，b 的值．类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域 命题角度1 f (a x )型例2 求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝3x 1＋3x ；(2)y ＝4x －2x＋1. 跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域． (1)y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x；(2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)．命题角度2 a f (x )型 例3 求函数y ＝32x －1－19的定义域、值域．反思与感悟 y ＝a f (x )的定义域即 的定义域，求y ＝a f (x )的值域可先求 的值域，再利用y ＝a t 的单调性结合t ＝f (x )的范围求y ＝a t 的范围． 跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：11(1)0.3;x y -=(2)y =类型三 指数函数图象的应用 命题角度1 指数函数整体图象例4 在如图所示的图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )反思与感悟 函数y ＝a x 的图象主要取决于 .但前提是a >0且a ≠1. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝4＋a x＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(－1,5)B ．(－1,4)C ．(0,4)D ．(4,0) 命题角度2 指数函数局部图象例5 若直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|的图象有两个公共点，求实数a 的取值范围． 反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．跟踪训练5 函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x2．若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．a >0且a ≠1B ．a ≥0且a ≠1C ．a >12且a ≠1D ．a ≥123.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <04．函数23x y －＝的值域是________． 5．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________．1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)这一结构形式，即a x 的系数是1，指数是x 且系数为1.2．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的性质分底数a ＞1,0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同．4．求函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的值域的方法如下： (1)换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； (2)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(3)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t 在t ∈M 上的值域．一、选择题1．若函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2D ．a >0且a ≠12．函数y ＝a x －a (a >0且a ≠1)的大致图象可能是( )3．设指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则下列等式中不正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) B ．f (x －y )＝f (x )f (y )C ．f (nx )＝[f (x )]n (n ∈Q )D ．[f (xy )]n ＝[f (x )]n [f (y )]n (n ∈N *)4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x ，x ≥0，若方程f (x )＝a (a 为实常数)有2个根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．函数y ＝3x 与y ＝3－x 的图象关于下列哪条直线对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝xD ．直线y ＝－x6．已知函数f (x )＝(a 2－1)x ，若x >0时总有f (x )>1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<2 C ．|a |>1D ．|a |> 27．若函数f (x )＝12x ＋1，则此函数在(－∞，＋∞)上( )A ．单调递减且无最小值B ．单调递减且有最小值C ．单调递增且无最大值D ．单调递增且有最大值8.如图所示，面积为8的平行四边形OABC 的对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a 等于( )A. 2B.3 C ．2 D ．3 二、填空题9．函数y ＝32－2x 的定义域是________．10．已知5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab 与0的大小关系是________．11．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (x )的值域为________．三、解答题12．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝(2)y ＝5-x －1.13．已知x ∈[－3,2]，求f (x )＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．四、探究与拓展14．若函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a －1) b ____0.(填“>”“<”“＝”) 15．已知函数y ＝131-⎪⎭⎫ ⎝⎛x(1)画出函数的图象(简图)； (2)由图象指出函数的单调区间；(3)由图象指出当x 取何值时函数有最值，并求出最值．。
新人教A版必修1高中数学2.1.2-1指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-1指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：1、理解指数函数的定义 2、掌握指数函数的图象和性质 学习重点：指数函数性质的应用 学习过程：一、情景体验、获得新知1、一张纸对折1次，厚度变为原来的2倍；对折2次，厚度变为原来的 倍；对折3次，厚度变为原来的2倍；对折4次，厚度变为原来的____ 倍；对折次，厚度变为原来的______倍。
2、指数函数的概念____________________ 练习：1、下列函数中是指数函数的是________ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥2、函数是指数函数，则a=_________二、指数函数的图象与性质1、图象：在直角坐标系中作出下列函数的图象(1)(2)2、指数函数的图象和性质练习：1、 若a>1，-1<b<0，则函数的图象一定在第_____象限 2、 比较大小（1） ，（2），(3) ,一、选择题(每小题5分，共20分)1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 22．若⎝ ⎛⎭⎪⎫142a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.()1，＋∞C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，123．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)5．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x ＋1<4，x∈Z，则M∩N 等于( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0} 6．设14<⎝ ⎛⎭⎪⎫14b <⎝ ⎛⎭⎪⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a二、填空题(每小题5分，共10分)7．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝____8．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．9．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.10．下列空格中填“>、<或＝”．(1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.三、解答题(每小题10分，共20分)11．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－2x(a >0且a ≠1)．12．已知a>0且a≠1，讨论f(x)＝a－x2＋3x＋2的单调性．．．13．(10分)已知函数f(x)＝3x＋3－x.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．。
2-1-2-1 指数函数及其性质(第1课时)
第22页
第二章
2.1 2.1.2 第1课时
第 6页
第二章
2.1 2.1.2 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
1.
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，图像的高低与a的取值有何关 系？
第 7页
第二章
2.1 2.1.2 第1课时
高考调研
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答：指数函数y＝ax的图像如图所示．在第一象限内，自左 向右顺时针依次递减！ 如上图中底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1. 在第一象限的图像可简记为“底大图高”．
【答案】 C
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第二章
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探究2
利用“入木三分”中的“底大图高”法判断．
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第二章
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思考题2
如图所示，曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝ bx，y＝cx，y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是 ________________．
【答案】
2 a －3a＋3＝1， 由条件知，a必须满足 a>0且a≠1
⇒a＝2.
C
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第二章
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(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点(2,4)，求f(－1)＝ ________.
【解析】
x
设f(x)＝ax，∵过点(2,4)，∴4＝a2解得a＝2.
1x 1 2x 1 x (4)y＝2 ＝( ) ，(5)y＝( ) ＝( ) . 2 2 4
必修一2-1-2-1指数函数的图像和性质
在R上是 增函数 .
想一想：观察同一直角坐标系中函数 y＝2 ，y＝3 ，y＝4
1 1 x y＝3 ，y＝4x 的图象如图所示，能得到什么规律？
x
x
x
1 ，y＝2x，
提示 (1)当 a>1 时， a 的值越大， 图象越靠近 y 轴， 递增速度越快． (2)当 0<a<1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快． (3)底互为倒数时，图象关于 y 轴对称，即 y＝a 与 y 轴对称．
否符合 y＝ax(a>0 且 a≠1)这一形式，即底数为常数，指数只能 是 x，且 ax 的系数为 1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 1】 若函数 y＝(4－3a)x 为指数函数， 求实数 a 的取值范围． 解 若函数 a≠1， 所以实数 a
4 的取值范围是aa<3且a≠1 4－3a>0， x y＝(4－3a) 为指数函数，则 4－3a≠1，
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2.指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域R；值域
(0，＋∞) .
图象过定点 (0,1)
性质 当x>0时， y>1 ； 当x<0时，
，即x＝0时，y＝1
当x>0时， 0<y<1 ；
0<y<1
. 当x<0时， y>1 . 在R上是 减函数 .
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
[思路探索] 先判断 a，b，c，d 与 1 的大小，再判断 a 与 b、c 与 d 的大小．
高中数学必修一课件：2.1.2.2指数函数及其性质的应用
2070年的人口数是 y 161.0250 43(亿);
2075年的人口数是 y 161.0255 48(亿);
2080年的人口数是 y 161.0260 52(亿);
2085年的人口数是 y 161.0265 58(亿); 2090年的人口数是 y 161.0270 6（4 亿);
13
（4）你是如何看待我国的计划生育政策的？ 计划生育是我国的基本国策，是千年大计！
14
三、导学（时间约18分钟）
探究点3 指数函数在解题中的应用
例9.将下列各数值按从小到大的顺序排列
(
4
)
1 3
,
(
2
)3
,
(
3
)
1 2
,
(
5
)0
.
3 34 6
分析：根据指数函数的性质，指数幂的运算法则进行，
注意采用中间值0和1进行比较。
所以，20年后的人口数是 131.0120 16(亿）， 33年后人口数是 131.0133 2（5 亿）。
9
（2）如果人口年平均增长率保持在2%，利用计算器分别 计算202X到2100年，每隔5年相应的人口数。 以例题中计算的202X年我国的人口数16亿为基准。
这时函数模型是 y 16 1.02x. 2025年的人口数是 y 161.025 18(亿）; 2030年的人口数是 y 161.0210 20(亿）;
解：( 2)3 0;
0
(
3
)
1 2
1;
(5)0 1;
(
4
)
1 3
1.
3
4
6
3
所以，
15
例10.解下列不等式：
人教版高中数学必修一2-1-2《指数函数及其性质》公开课教案
课题：指数函数及其性质2.1.2 指数函数及其性质一、教学目标：1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质.2.通过教学，掌握研究函数性质的思路方法，如类比、从特殊到一般等，增强学生识图用图的能力.3.在指数函数的学习过程中，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想、数形结合等数学思想. 二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的定义、图象和性质.教学难点：指数函数定义、图象和性质的发现总结。
三、教学过程：1.创设情境引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为y ＝2x ，*x N .引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”则截取x 次后，木棰剩余量y 与x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为1()2x y = ，*x N ∈.问题1: 观察函数12()2xxy y ==与的解析式，这两个函数是不是我们以前学习的一次、二次、反比例函数？这两个函数的解析式有何共同特征？生：不是以前学习的一次、二次、反比例函数，他们的共同特征都是xy a =的形式. 问题2: 你能模仿以前学习的一次、二次、反比例函数的定义，给出这一新型函数的定义吗？学生回答xy a =，若回答不出，教师因势利导，然后板书课题：指数函数及其性质. 2. 指数函数的定义一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .（归纳指数函数的定义，学生可能归纳不全，如想不到限制条件0a >且1a ≠，师直接说即可.）问题3: 在指数函数的定义中，为什么规定底数0a >且1a ≠呢？ 生：(1)若0a =，则当0x >时，0xa =；当0x ≤时，xa 无意义；(2)若a <0，则对x 的某些值，可使xa 无意义，如12,2a x =-=； (3)若1a =，则无论x 取何值，它总是1，没有研究的价值.师：以上同学解释得都有一定道理但不够，底数a 范围的确定，是为了保证a 在这个范围内取值时，这一类函数的定义域永远是相同的.师：请大家来看下面一组练习：判断下列函数是不是指数函数？(学生回答)1(1)3x y += (2)3x y = (3)3x y =- 3(4)y x =(5)x y x =(6)x y π= (7)(3)x y =- ()()821xy a =-1(2a >且1)a ≠ 规律总结：指数函数的特征：（1）幂的系数为1；（2）底数是一个正的不等于1常数；（3）指数为自变量x .3. 指数函数的图象师：问题4:要研究一种新函数，如何研究？生：定义—图象—性质-应用师：问题5：研究一个函数，主要研究它的哪些性质呢？ 生：定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.师：既然我们明晰了研究函数的思路和方法，那请你画指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象.生：不知道底数a ，画不出来.师：那我们先画哪个指数函数的图象呢？ 生：画12()2xxy y ==与的图象.师：请大家画出以下四个指数函数的图象.()()()()112 2()2133 4()3x x x xy y y y ==== 由学生分组上黑板画图，然后师生一起订正。
【原创,自用】2.1.2指数函数的概念和图像
3
2
x
(4) y 5 ; (5) y 3
x
2
;
(6) y 4 1.
x
二、新 课
3、例 题：
2 x
练习：函数y (2a 3a 2)a 是指数函数， 则a的取值范围是（ ( A)a 0, a 1 1 (C )a 2 ） ( B) a 1 1 ( D) a 1或a 2
用描点法作函数 y 2 和y 3 的图象 .
x x
函 数 图 象 特 征
x
y=2x y=3x
…
…
-3
1/8
-2
1/4 1/9
-1
1/2 1/3
x
0
1 1
1
2 3
2
4 9
3
8 27
…
… …
… 1/27
yy 3
y 2x
1
-3 -2 -1
o
1
2
3
x
函 数 图 象 特 征
1 x 1 x 用描点法作函数 y ( ) 和y ( ) 的图象 . 2 3
x
1 y 3
3 x
解、 ① ③
②
x
由 3 x 0，得 x 3
x 0 即 a a 由 1-a 0，得 a 1 当 a 1时，x 0；当 0 a 1时，x 0
二、新 课
3、例 题：
(1)若a 1, 1 b 0, 则函数y a x b的图像一定经过（ ） ( A)第一、二、三象限 ( B)第一、三、四象限 (C )第二、三、四象限 ( D)第一、二、四象限 (2)在同一坐标系下，函数y ax 2和y (a) x 的图像 可能是（ ）
指数函数及其性质教案
2.1.2-1指数函数的概念教案【教学目标】1. 理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图像；2. 在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；3. 通过类比，回顾归纳从图象和解析式两个角度研究函数性质的方法；4. 感受数学思想方法之美，体会数学思想方法只重要 【教学重难点】教学重点：指数函数概念、图象和性质教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 【教学过程】1、创设情境、提出问题师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，……，按这样的规律，50号同学该准备多少粒米？ 学生：回答粒数师：如果改成1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？ 师：大家能否估计一下50好同学准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学准备的大米约有1.2亿吨师：1.2亿吨是什么概念？相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，y 与x 之间的关系分别是什么？学生很容易得出y=2x 和y =2x （*x N ∈）学生可能漏掉x 的范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的取值范围。
2、新知探究（1）指数函数的定义师：在本章开头的问题中，也有一个与y =2x类似的关系式 1.073xy =（*x N ∈且x20≤）请思考以下问题①y =2x（*x N ∈）和 1.073xy =（*x N ∈且x20≤）这两个解析式有什么共同特征？②他们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？引导学生观察，两个函数中底数是常数，指数是自变量. 师：把这两个函数归为一般形式就是我们今天要学习的函数，我们把它称作指数函数.（2）让学生讨论并给出指数函数的的定义。
教学设计：2.1.2 指数函数及其性质
2．1.2 指数函数及其性质（分2个课时讲解）第1课时指数函数的概念一．教学目标：1．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质．③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．②培养学生观察问题，分析问题的能力．3．过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质．二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用．难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用．三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法．②教具：多媒体．教学过程提出问题1．一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%，求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________．(y=0.84x)2．某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成十六个，依次类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的关系式是_________．(y=2x)提出问题(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0，a≠1?(4)为什么指数函数的定义域是实数集?(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤． 活动：先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答，教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的问题集中解决．问题(1)看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值． 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量． 问题(3)为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性．问题(4)在(3)的规定下，我们可以把a x 看成一个幂值，一个正数的任何次幂都有意义． 问题(5)使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式．讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，再就是它们的自变量x 都在指数的位置上，它们的底数都大于0，但一个大于1，一个小于1，0.84与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x 和y ．(2)对于两个解析式y =0.84x 和y =2x ，我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示，这样我们得到指数函数的定义:一般地，函数y =a x (a >0，a ≠1)叫做指数函数，其中x 叫自变量，函数的定义域是实数集R ． (3)a =0时，x >0时，a x 总为0；x ≤0时，a x 没有意义．a <0时，如a =－2，x =21，a x =(－2)21=2-显然是没有意义的．a =1时，a x 恒等于1，没有研究的必要．因此规定a >0，a ≠1．此解释只要能说明即可，不要深化．(4)因为a >0，x 可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R ．(5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数． 提出问题(1)前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢? (2)前面我们学习函数的时候，如何作函数的图象?说明它的步骤． (3)利用上面的步骤，作函数y =2x 的图象．(4)利用上面的步骤，作函数y =(21)x的图象． (5)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点?(6)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗? (7)把y =2x 和y =(21)x的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗? (8)你能证明上述结论吗? (9)能否用y =2x 的图象画y =(21)x的图象?请说明画法的理由． 活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图象，同时投影展示课本表21，22及图2.12，2.13及2.14，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究指数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识． 讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的性质．(2)一般是列表，描点，连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象． (3)列表．作图如图1图1(4)列表．作图如图2图2(5)通过观察图1，可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象位于x 轴上方，说明值域大于0．图象经过点（0，1），且y 值分布有以下特点，x <0时0<y <1，x >0时y >1．图象不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察图2，可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象位于x 轴上方，说明值域大于0．图象经过点（0，1），x <0时y >1，x >0时0<y <1．图象不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数． 可以再画下列函数的图象以作比较，y =3x ，y =6x ，y =(31)x ，y =(61)x ．重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．（6）一般地，指数函数y =a x 在a >1和0<a <1的情况下，它的图象特征和函数性质如下表所示．一般地，指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：（7）在同一坐标系中作出y=2x和y=(2)x两个函数的图象，如图3．经过仔细研究发现，它们的图象关于y轴对称．图3(8)证明:设点p(x1，y1)是y=2x上的任意一点，它关于y轴的对称点是p1(－x1，y1)，它满足方程y=(21)x=2－x，即点p1(－x1，y1)在y=(21)x的图象上，反之亦然，所以y=2x和y=(21)x两个函数的图象关于y轴对称．(9)因为y=2x和y=(21)x两个函数的图象关于y轴对称，所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．应用示例例1判断下列函数是否是一个指数函数？y =x 2，y =8x ，y =2·4x ，y =(2a －1)x (a >21，a ≠1)，y =(－4)x ，y =πx ，y =6x 3+2． 活动：学生观察，小组讨论，尝试解决以上题目，学生紧扣指数函数的定义解题，因为y =x 2，y =2·4x ，y =6x 3+2都不符合y =a x 的形式，教师强调y =a x 的形式的重要性，即a 前面的系数为1，a 是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式），指数必须是x 的形式或通过转化后能化为x 的形式． 解：y =8x ，y =(2a －1)x (a >21，a ≠1)，y =(－4)x ，y =πx 是指数函数；y =x 2，y =2·4x ，y =6x 3+2不是指数函数． 变式训练函数y =23x ，y =a x +k ，y =a －x ，y =(a 2)－2x (a >0，a ≠1)中是指数函数的有哪些? 答案：y =23x =(23)x ，y =a －x =(a 1)x ，y =(a 2)－2x =［(a2)－2］x 是指数函数．例2比较下列各题中的两个值的大小: （1）1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1．活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的，再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案），比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并及时评价．解法一：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出y =1.7x 的图象，如图4．图4在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5<1.73，同理0.8－0.1<0.8－0.2，1.70.3>0.93.1．解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77，1.73≈4.91， 所以1.72.5<1.73．同理0.8－0.1<0.8－0.2，1.7.3>0.93.1．解法三：利用函数单调性，①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y =1.7x ，当x =2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y =1.7x 在R 上是增函数，而2.5<3，所以1.72.5<1.73； ②0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y =0.8x ，当x =－0.1和－0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y =0.8x 在R 上是减函数，而－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2；③因为1.70.3>1，0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1．点评：在第（3）小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值． 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用?活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习，强化来实现． 变式训练1．已知a =0.80.7，b =0.80.9，c =1.20.8，按大小顺序排列a ，b ，c ． 答案：b <a <c (a 、b 可利用指数函数的性质比较，而c 是大于1的)． 2．比较a 31与a 21的大小（a ＞0且a ≠0）．答案：分a ＞1和0<a <1两种情况讨论．当0<a <1时，a 31>a 21；当a >1时，a 31<a 21．例3求下列函数的定义域和值域:(1)y =241-x ；(2)y =(32)||x -；(3)y =10112-+x x ．活动：学生先思考，再回答，由于指数函数y =a x ，(a ＞0且a ≠1)的定义域是R ，所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求，教师适时点拨和提示，求定义域，只需使指数有意义即可，转化为解不等式． 解：(1)令x －4≠0，则x ≠4，所以函数y =241-x 的定义域是｛x ∈R ∈x ≠4｝，又因为41-x ≠0，所以241-x ≠1，即函数y =241-x 的值域是｛y |y >0且y ≠1｝．(2)因为－|x |≥0，所以只有x =0． 因此函数y =(32)||x -的定义域是｛x ∈x =0｝．而y =(32)||x -=(32)0=1，即函数y =(32)||x -的值域是｛y ∈y =1｝．(3)令12+x x ≥0，得12+x x ≥0，即11+-x x ≥0，解得x <－1或x ≥1， 因此函数y =10112-+x x 的定义域是｛x ∈x <－1或x ≥1｝．由于12+x x －1≥0，且12+x x≠2，所以112-+x x ≥0且112-+x x ≠1． 故函数y =10112-+x x的值域是｛y ∈y ≥1，y ≠10｝．点评：求与指数函数有关的定义域和值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性，特别是第(1)题千万不能漏掉y >0． 变式训练求下列函数的定义域和值域: (1)y =(21)22x x -；(2)y =91312--x ；(3)y =a x －1(a >0，a ≠1)． 答案：(1)函数y =(21)22x x -的定义域是R ，值域是［21，+∞）；(2)函数y =91312--x 的定义域是［21-，+∞），值域是［0，+∞）；(3)当a >1时，定义域是{x |x ≥0}，当0<a <1时，定义域是{x |x ≤0}，值域是［0，+∞）． 知能训练课本P 58练习 1、2． 【补充练习】1．下列关系中正确的是( )A ．(21)32<(51)12<(21)31B ．(21)31<(21)32<(51)32C ．(51)32<(21)31<(21)32D ．(51)32<(21)32<(21)31答案：D2．函数y =a x (a >0，a ≠1)对任意的实数x ，y 都有( ) A ．f (xy )=f (x )·f (y ) B ．f (xy )=f (x )+f (y )C．f(x+y)=f(x)·f(y) D．f(x+y)=f(x)+f(y)答案：C3．函数y=a x+5+1(a>0，a≠1)恒过定点________．答案：（－5，2）拓展提升探究一：在同一坐标系中作出函数y=2x，y=3x，y=10x的图象，比较这三个函数增长的快慢．活动：学生深刻回顾作函数图象的方法，交流作图的体会．列表、描点、连线，作出函数y=2x，y=3x，y=10x的图象，如图5．图5从表格或图象可以看出:(1)x<0时，有2x>3x>10x；(2)x>0时，有2x<3x<10x；(3)当x从0增长到10，函数y=2x的值从1增加到1 024，而函数y=3x的值从1增加到59 049．这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快．同理y=10x比y=3x的函数值增长得快．因此得：一般地，a>b>1时，(1)x<0时，有a x<b x<1；(2)x=0时，有a x=b x=1；(3)x>0时，有a x>b x>1；(4)指数函数的底数越大，x>0时其函数值增长就越快．探究二：分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图6)，对照底数为2、3、5的指数函数的图象，研究指数函数y=a x(0<a<1)中a对函数的图象变化的影响．图5由此得：一般地，0<a<b<1时，(1)x>0时，有a x<b x<1；(2)x=0时，有a x=b x=1；(3)x<0时，有a x>b x>1；(4)指数函数的底数越小，x>0时，其函数值减少就越快．课堂小结1．指数函数的定义．2．指数函数的图象和性质．3．利用函数的图象说出函数的性质，即数形结合的思想(方法)，它是一种非常重要的数学思想和研究方法．4．利用指数函数的单调性比较几个数的大小，特别是中间变量法．作业课本P59习题2.1 A组5、6、8、10．第2课时指数函数的应用一．教学目标：1．知识与技能①进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性质；②会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性、奇偶性；③能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式．2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．②培养学生观察问题，分析问题的能力．3．过程与方法能够解决指数函数有关的应用问题．二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用．难点：能够解决指数函数有关的应用问题．三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法．②教具：多媒体．教学过程1、复习指数函数的图象和性质提出问题(1)指数函数有哪些性质?(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?(3)对复合函数，如何证明函数的单调性?(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法?活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容.讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：(4)x >0时，y >1;x <0时，0<y <1(4)x >0时，0<y <1;x <0时，y >1 （5）在R 上是增函数（5）在R 上是减函数(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：①取值.即设x 1、x 2是该区间内的任意两个值且x 1＜x 2. ②作差变形.即求f （x 2）－f （x 1），通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.③定号.根据给定的区间和x 2－x 1的符号确定f （x 2）－f （x 1）的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论.④判断.根据单调性定义作出结论.(3)对于复合函数y =f (g (x ))可以总结为:当函数f (x )和g (x )的单调性相同时，复合函数y =f (g (x ))是增函数;当函数f (x )和g (x )的单调性相异即不同时，复合函数y =f (g (x ))是减函数;又简称为口诀“同增异减”.(4)判断函数的奇偶性:一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f (x )与f (－x )的关系，最后确定函数的奇偶性;二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性.2、例题讲解例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出 1.7xy =的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5， 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标1.7x y =为2.5的点的上方，所以 2.531.7 1.7<.解法2：用计算器直接计算： 2.51.7 3.77≈ 31.7 4.91≈所以， 2.531.7 1.7<解法3：由函数的单调性考虑因为指数函数 1.7x y =在R 上是增函数，且2.5＜3，所以， 2.531.7 1.7< 仿照以上方法可以解决第（2）小题 .注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合 .由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .思考：1、已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c .2. 比较1132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）.指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用. 例2（P 67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿经过1年 人口约为13（1+1%）亿经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过x 年 人口约为13(1+1%)x 亿经过20年 人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 13(11%)x y =+当x =20时，2013(11%)16()y =+≈亿答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N ，平均增长率为P ，则对于经过时间x 后总量(1),(1)(x x x y N p y N p y ka K R =+=+=∈像等形如，a ＞0且a ≠1）的函数称为指数型函数 .思考：P 68探究：（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数 .（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数 .（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？（4）如何看待计划生育政策？例3设a >0，f (x )=x x ea a e +在R 上满足f (－x )=f (x ). (1)求a 的值;(2)证明f (x )在(0，+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论，如果有困难，教师提示，引导.(1)求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f (－x )=f (x )可建立方程.(2)证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式.(1)解：依题意，对一切x ∈R 有f (－x )=f (x )成立，即x ae1+ae x =x x e a a e +. 所以)1)(1(x x ee a a --=0对一切x ∈R 成立.由此可得a a 1-=0，即a 2=1. 又因为a >0，所以a =1.(2)证明:设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)=212111x x x x e e e e -+-=)11)((2121--+x x x x e e e =)1(121--x x x e e ·2121)1(x x x x e e ++-. 由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 2+x 1>0，12x x e ->0，112x x e +-<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在（0，+∞）上是增函数.点评：在已知等式f (－x )=f (x )成立的条件下，对应系数相等，求出a ，也可用特殊值求解.证明函数的单调性，严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观.知能训练求函数y =(21)|1+2x |+|x －2|的单调区间.活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答.解：由题意可知2与21-是区间的分界点. 当x <21-时，因为y =(21)－1－2x －x +2=(21)1－3x =23x －1=21•8x ， 所以此时函数为增函数. 当21-≤x <2时，因为y =(21)1+2x －x +2=(21)3+x =2－3－x =81•(21)x ， 所以此时函数为减函数. 当x ≥2时，因为y =(21)1+2x +x －2=(21)3x －1=21－3x =2•(81)x ， 所以此时函数为减函数.当x 1∈［21-，2），x 2∈［2，+∞）时，因为2•(81)x 2－81•(21)x 1=12222233x x •-•-- =1233122x x ----，又因为1－3x 2－(－3－x 1)=4－3x 2+x 1=4+x 1－3x 2<0，所以1－3x 2<－3－x 1，即2•(81)x 2<81•(21)x 1. 所以此时函数为减函数. 综上所述，函数f (x )在（－∞，21-］上单调递增，在［21-，+∞）上单调递减. 拓展提升设m <1，f (x )=244+x x，若0<a <1，试求: (1)f (a )+f (1－a )的值; (2))10011000()10013()10012()10011(f f f f ++++ 的值. 活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决.解：(1)f (a )+f (1－a )=24424411+++--a a a a =24444244+++a a a a =aa a 4244244•+++=a a a 422244+++=2424++a a =1. (2))10011000()10013()10012()10011(f f f f ++++ =［)]1001501()1001500([)]1001999()10002([)]10011000()10001([f f f f f f ++++++ =500×1=500.点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问号是衔接的，利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形，要注意问号与问号之间的联系.课堂小结本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高.作业：P 69 A 组第 7 ，8 题 P 70 B 组 第 1，4题。
必修1教案2.1.2指数函数及其性质(一)
2.1.2 指数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识与技能了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象．2．过程与方法能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和图象．2．教学难点：指数函数的概念和图象．（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1. 在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的 1.073(20)xy x x=∈≤与问题(2)中时间t和C-14含量P的对应关系]t51301P=[()2，请问这两个函数有什么共同特征.2. 这两个函数有什么共同特征157301][()]2tP=t57301把P=[()变成2，从而得出这学生思考回答函数的特征．由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a =（a ＞0且a ≠1来表示）.形成概念理解概念指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y +=（2）(2)xy =- （3）2xy =-（4）xy π=（5）2y x = （6）24y x=（7）xy x =（8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a =1, 11,xy == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足学生独立思考，交流讨论，教师巡视，并注意个别指导，学生探讨分析，教师点拨指导．由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．使学生进一步理解指数函数的概念.(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，a 为常数,如：,,xy x =1xxy=2-3,y=253,31x x y y +==+等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数 .深化概念我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究xy a =（a ＞1）的图象， 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象x3.00- 2.50- 2.00- 1.50-2x y =18-141.00- 0.00 0.50 1.00 1.502.00 121 2 4再研究先来研究xy a =（0＜a ＜1）的图象，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy =的图象.x2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.001()2x y =141211.00 1.502.00 2.50学生列表计算，描点、作图．教师动画演示．学生观察、归纳、总结，教师诱导、点评． 通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势，通过描点，作图培养学生的动手实践能力．不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程．培养学生的归纳概括能力．从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图象.2 4所以0(0)1f π==，133(0)f ππ==，11(3)f ππ--==.归纳 总结1、理解指数函数(0),xy a a =>101a a ><<注意与两种情况2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .学生先自回顾反思，教师点评完善． 通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.课后 作业作业：2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力备选例题例1 指出下列函数哪些是指数函数： （1）x y 4=； （2）4x y =； （3）x y 4-=； （4）xy )4(-=； （5）xy π=； （6）24x y =；（7）x x y =； （8）,21()12(>-=a a y x且)1≠a . 【分析】 根据指数函数定义进行判断. 【解析】 （1）、（5）、（8）为指数函数； （2）是幂函数（后面2.3节中将会学习）； （3）是1-与指数函数x 4的乘积；（4）底数04<-，∴不是指数函数； （6）指数不是自变量x ，而底数是x 的函数； （7）底数x 不是常数. 它们都不符合指数函数的定义.【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.例 2 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系，⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x .解：⑴作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12+x 、y =22+x 与y =x2的关系：将指数函数y =x2的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y =12+x 的图象，将指数函数y =x2的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y =22+x 的图象⑵作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12-x 、y =22-x 与y =x 2的关系：将指数函数y =x 2的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y =12-x 的图象，将指数函数y =x 2的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y =22-x 的图象小结：⑴当m >0时，将指数函数y =x 2的图象向右平行移动m 个单位长度，就得到函数y =m x -2的图象；当m >0时，将指数函数y =x 2的图象向左平行移动m 个单位长度，就得到函数y =2x m +的图象。
高中数学 2.1.2.1指数函数的定义与简单性质课件 新人教A版必修1
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[走出误区] 易错点⊳忽略分类讨论致求指数型函数值域出错 [典例] [2013·赤壁高一检测]若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
a0－1＝0， [错解档案] 由题意可知a2－1＝2， 解得a＝ 3.
[误区警示] 虽然结果正确，但解题过程缺少步骤，没有分类讨论的意识．实际上在不知底数a的取 值的情况下，要对a的取值分a>1和0<a<1两种情况讨论．
由指数函数的性质知，y＝(13) x－2≤(13)0＝1， 且y>0，故此函数的值域为(0,1]．
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[规律小结] 1.指数函数的定义 理解指数函数的定义，需注意的几个问题：
(1)因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R；且ax>0，所 以函数的值域是(0，＋∞)．
1．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”；当a>1时，指数函数的图象“上升”；当 0<a<1时，指数函数的图象“下降”．
2．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数 图象越靠近y轴．
当a>b>1时， (1)若x>0，则ax>bx>1； (2)若x<0，则1>bx>ax>0. 当1>a>b>0时， (1)若x>0，则1>ax>bx>0； (2)若x<0，则bx>ax>1.
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【跟踪训练1】 函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2
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2. 1.2-1指数函数的概念教案【教学目标】1. 理解指数函数的概念, 能画出具体指数函数的图像；2. 在理解指数函数概念、性质的基础上, 能应用所学知识解决简单的数学问题；3. 通过类比, 回顾归纳从图象和解析式两个角度研究函数性质的方法；4. 感受数学思想方法之美, 体会数学思想方法只重要 【教学重难点】教学重点：指数函数概念、图象和性质教学难点：对底数的分类, 如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 【教学过程】1、创设情境、提出问题师：如果让1号同学准备2粒米, 2号同学准备4粒米, 3号同学准备6粒米, 4号同学准备8粒米, ……, 按这样的规律, 50号同学该准备多少粒米？ 学生：回答粒数 师：如果改成1号同学准备2粒米, 2号同学准备4粒米, 3号同学准备8粒米, 4号同学准备16粒米, ……, 按这样的规律, 51号同学该准备多少粒米？ 师：大家能否估计一下50好同学准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学准备的大米约有1.2亿吨师：1.2亿吨是什么概念？相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！以上两个问题中, 每位同学所需准备的米粒数用y 表示, 每位同学的座号数用x 表示, y 与x 之间的关系分别是什么？学生很容易得出y=2x 和y =2x （*x N ∈）学生可能漏掉x 的范围, 教师要引导学生思考具体问题中x 的取值范围。
2、新知探究（1）指数函数的定义师：在本章开头的问题中, 也有一个与y =2x类似的关系式 1.073xy =（*x N ∈且x20≤）请思考以下问题①y =2x（*x N ∈）和 1.073xy =（*x N ∈且x20≤）这两个解析式有什么共同特征？②他们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是, 你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？引导学生观察, 两个函数中底数是常数, 指数是自变量.师：把这两个函数归为一般形式就是我们今天要学习的函数, 我们把它称作指数函数.（2）让学生讨论并给出指数函数的的定义。
对底数得分类, 可将问题分解为： ①若a<0,会有什么问题？ ②若a=0, 会有什么问题？ ③若a=1, 又会怎样？学生讨论教师适时点拨形成对问题的严谨认识师：为了避免上述各种情况的发生, 所以规定a>0且a ≠1接下来教师可以让学生写几个指数函数, 同时教师在黑板写一些解析式让学生判断, 如2,323,2x x x y y y ==⨯=-.3、 指数函数的性质 （1） 提出两个问题① 目前研究函数一般可以包括哪些方面？② 研究函数可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？目的：①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法, 由此引导学生从图象和解析式两个角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法的有机渗透。
（2） 分组活动, 合作学习师：下面我们就从图象和解析式这两个角度对指数函数进行研究. 让学生分成两大组, 每组再分小组, 最后汇集结论写下来以便讨论 （3） 交流总结形成共识图象 01a << 图象略 1a >图象略定义域R值域(0, +∞)性质过定点（0, 1）非奇非偶在R 上是减函数在R 上是增函数4、典例示范、巩固练习 例1、已知指数函数()f x = x a ( 0,1a a >≠)的图像经过点（3, π）, 求(0),(1)f f ,(3)f -的值.解：因为()f x = x a ( 0,1a a >≠)的图像经过点（3, π）, 所以(3)f π=, 即3a π=解得13a π=, 于是3()x f x π=, 所以31,(3)(0)1,(1)f f f ππ-===变式：（1）在同一直角坐标系中画出3xy =和1()3xy =的大致图象, 并说出这两个函数的性质；（2）求下列函数的定义域：①22x y -=；②11()2x y =5、课堂小结师：通过本节课的学习, 你对指数函数有什么认识？你有什么收获？生：总结指数函数的性质, 教师要引导学生谈谈对函数研究的学习, 即怎么研究一个函数【板书设计】 一、对数函数概念 二、例题例1 变式1【作业布置】课本练习2.1A 组5.2.1.2-1指数函数的概念学案课前预习学案一． 预习目标1. 通过预习理解指数函数的概念2. 简单掌握指数函数的性质 二． 预习内容１．一般地, 函数 叫做指数函数． ２．指数函数的定义域是 , 值域 ． ３．指数函数)1,0(≠>=a a y a x的图像必过特殊点 ． ４．指数函数)1,0(≠>=a a y a x, 当时, 在),(+∞-∞上是增函数；当 时,在),(+∞-∞上是减函数．三．提出疑惑通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面的横线上课内探究学案一． 学习目标1. 理解指数函数的概念能画出具体的指数函数图象2. 在理解指数函数概念、性质的基础上, 能运用所学知识解决简单的数学问题 学习重点：指数函数概念、图象和性质学习难点：对底数的分类, 如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 二． 学习过程 探究一 １．函数2(33)xy a aa =-+⋅是指数函数, 则有（ ）Ａ．ａ＝１或ａ＝２ Ｂ．ａ＝１ Ｃ．ａ＝２ Ｄ．ａ＞０且1≠a２．关于指数函数2xy =和)21(xy =的图像, 下列说法不正确的是（ ）Ａ．它们的图像都过（０, １）点, 并且都在ｘ轴的上方． Ｂ．它们的图像关于ｙ轴对称, 因此它们是偶函数． Ｃ．它们的定义域都是Ｒ, 值域都是（０, ＋∞）． Ｄ．自左向右看2xy =的图像是上升的, )21(xy =的图像是下降的．３．函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数, 则a 的取值范围是（ ）A 、1>aB 、2<aC 、2a <D 、12a <<４．指数函数ｆ（ｘ）的图像恒过点（－３,81）, 则ｆ（２）＝ ． ５．函数2233x y -=的单调递增区间是 。
探究二例１：指出下列函数那些是指数函数： （１）4xy = （２）xy 4=（３）4xy -= （４）)4(-=xy （５）π=y x（６）xy 24=（7）xxy =（8）)1,21(()12≠>=-a a y a x例２：求下列函数的定义域与值域：（１）241-=x y （２）)32(xy -=（３）1241++=+x xy（４）11210-+=x xy例３：将下列各数从小到大排列起来：)35)2()65)23()523)53()3231303221322131(,,(,,(,,,(---三．当堂检测１．下列关系式中正确的是（ ）Ａ．)2132(＜25..1-＜)2131(Ｂ．)2131(＜)2132(＜25..1-Ｃ．25..1-＜)2132(＜)2131(Ｄ．25..1-＜)2131(＜)2132(２．若－１＜ｘ＜０, 则下列不等式中正确的是（ ） Ａ．5x-＜5x ＜5.0xＢ．5x ＜5.0x＜5x-Ｃ．5x＜5x-＜5.0xＤ．5.0x ＜5x-＜5x３．下列函数中值域是（０, ＋∞）的函数是（ ） Ａ．21xy =Ｂ．12-=xy Ｃ．12+=xy Ｄ．)212(xy -=４．函数121xy =-的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞U C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞U课后练习与提高１．函数)1,0(1≠>-+=a a m y ax图像在不在第二象限且不过原点, 则ｍ的取值范围是（ ）Ａ．ａ＞１ ｂ．ａ＞１且ｍ＜０ Ｃ．０＜ａ＜１且ｍ＜０ Ｄ．０＜ａ＜１ ２．设０＜ａ＜ｂ＜１, 则下列不等式中正确的是（ ）Ａ．a a ＜bbＢ．b a ＜bbＣ．a a ＞baＤ．b b ＜aa３．已知x ＞0, 函数y=(a 2－8)x 的值恒大于1, 则实数a 的取值范围是________． ４．若21(5)2x f x -=-, 则(125)f = 。
5．已知函数x xy 3)2111(2+-= （１）求ｆ（ｘ）的定义域；（２）讨论ｆ（ｘ）的奇偶性；。