偏微分方程 课程总结
偏微分方程重点知识点总结
偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
大学数学偏微分方程理论学习
偏微分方程理论学习一． 偏微分方程发展简介1. 常微分方程十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。
结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了性的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。
2. 偏微分方程偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。
J.达朗贝尔（D’Alembert ）（1717-1783）、L.欧拉（Euler ）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli )（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange )（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace )（1749-1827）、S.泊松(Poisson )（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier )（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。
它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。
十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。
傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。
在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程其中k 是一个参数，其值依赖于物体的质料。
傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、表面绝热且无热流通过的柱轴。
在此情形下求解上述热传导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解偏微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=>==∂∂=∂∂,0),()0,(,0,0),(,0),0(T T 222l x x f x T t t l T t T x k x ，其中后面两项分别是边界条件和初始条件。
偏微分方程(本科生数学基础课教材)
偏微分方程(本科生数学基础课教材)微分方程是一种非常重要的数学方法，它可以处理定义在一定空间中的未知变量和已知变量间的关系。
本科生数学基础课教材中涉及到了一些偏微分方程的知识，本文将深入的介绍下偏微分方程的内容。
1. 什么是偏微分方程偏微分方程（partial differential equation，简称PDE）是指表示未知函数的某个变量的函数序列的方程，其中的变量的某些部分可能被某些定义的函数所限定。
这种方程反映了区域内任意函数的可能存在的连续性及其求解时某些变量之间的约束性关系。
偏微分方程在微分几何，动力学系统，电磁学，偏微分方程的变分技术，稳定性理论，普朗克力学，热传导，流体动力学等数学领域都有着广泛的应用。
2. 偏微分方程的基本概念偏微分方程的基本概念是函数的求导和积分，是变分法的基础。
它以熟悉概念为基础，将导数和积分结合起来，形成一种新的数学形式。
它所求解的未知函数，都是在空间和时间两个方面连续发展变化的，或者说，同时考虑空间和时间函数和现象之间的关系。
3. 常见的偏微分方程偏微分方程一般分为四类，其中常见的有波动方程，Poisson方程，拉普拉斯方程，Kelvin-Voigt方程，吉普斯梅尔方程，马太偏微分方程等。
（1）波动方程：它是一个非线性的偏微分方程，其解的特殊情况可表示为解析解，常见的波速等作为特例。
（2）Poisson方程：它是一个双曲型偏微分方程，可以用于描述在两个或多个方向上具有对称性的繁杂系统或一维系统中热或电荷的分布。
（3）拉普拉斯方程：它可以用于求解变分问题，它本身也是一个偏微分方程问题，可用来求解几何和物理系统中的路径长度，其求解结果为变函数。
（4）Kelvin-Voigt方程：它可以引用细胞膜的抗冲击性能的偏微分方程，在本科教材中可以用来求解组织在生物学上产生渐进延迟的情况。
（5）吉普斯梅尔方程：它是一类非线性偏微分方程，通常用来描述热传导，晶体振动和流体动力学在狭义上的应用。
偏微分方程课程学习报告
u(x, t) 1 (x at ) (x at ) 21 2 a
1 ( t 4a 2t
x
x at
at
( ) d
u(x ,y ,z ,t )
s
at ( M )
ds )
1 4a 2t
s
at ( M
)
ut a 2u xx f(x ,t ), x ,t 0 0 0 0 u(x , ) (x ), x u(0,t ) (t ),t 0
椭圆方程的边值问题
3u 0,(x ,y ,z ) k u s ( p ), p s
ds
而对于波动方程的初边值问题主要用分 离变量法 u(x,t)=X(x)T(t)
热传导方程定解问题求解方法
• Cauchy问题主要用自相似变换法 Poisson公式
x2 1 2 e 4a t ,t 0 G(x ,t ) 2a t 0,t 0
通解热核函数
u（x ,t )
Cauchy问题
utt a 2 u xx u yy uzz 0, x ,y ,z ,t 0 u t 0 (x ,y ,z ),ut t 0 (x ,y ,z ), x ,y ,z
4
波动方程的Cauchy问题
初边值问题
u tt a 2u xx f ( x, t ), 0 x , t 0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), 0 x u (0, t ) (t ), u (l , t ) (t ), t 0 1 2
0
0
偏微分方程之期末重要知识总复习
偏微分方程数值解总复习一、考虑一维经典的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=∈=(0)T )(0, ),(0u u t u t f dt du设函数),(u t f 在G ＝R T *],0[中连续，并且是关于u 满足Lipschitez 条件，即存在一个只依赖区域G ，而与变量t ，u 无关的常数L （称为Lipschitez 常数），使得对任意的（t ，u 1）和（t ，u 2）∈G ，都有2121),(),(u u L u t f u t f -≤-，这里的∙表示R 中的任一种范数。
给定等距分割：T t t t t n ≤<<<<= 2100，其中步长m m t t h -=+1，1,,1,0-=n m 。
在],[1+m m t t 上作：),(1m m m m u t hf u u +=+，1,,1,0-=n m这一方法称为Euler 方法。
如果记)(m t u 为微分方程在m t t =处的精确解，m u 为差分方程在m t t =处的精确解。
1、在],[h t t +上，定义算子：))(,()()(]);([t u t hf t u h t u h t u L --+=当2),(]);([≥=p h O h t u L p时，称数值方法是相容的。
2、当0→h 时，若)(m m t u u →，],0[T t m ∈，则称该数值方法是收敛的。
3、如果由初值0u 得到精确解m u ；由初值0v 得到精确解m v ，若存在常数C 和充分小的步长0h ，使得00v u C v u m m -≤-，0h h ≤，T mh ≤。
则称数值方法是稳定的。
证明：Euler 方法是相容的、收敛的、和稳定的。
证明1、 将)(h t u +在t 处做Taylor 展开，得2)(21))](,()([]);([h u h t u t f t u h t u L ξ''+-'=2)(21))](,()([h tuu f t f h t u t f t u t ξ=∂∂∂∂+∂∂+-'= )()))(((2122)(h O h t t,u f uft f t t u =∂∂+∂∂==ξ是微分方程的解所以该数值方法是相容的。
偏微分方程理论学习总结
偏微分方程理论学习总结>任荣珍院系：理学院|班级：19 班学号：34偏微分方程理论学习总结偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深，本科时学的是常微分方程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。
下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介：谈到偏微分方程，我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。
）十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程解决几何与理学中的新问题，结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的)。
而偏微分方程的研究要晚的多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支——数学物理方程的建立。
J.达朗贝尔(D ’Alembert)(1717-1783)、L.欧拉(Euler)(1707-1783)、D.伯努利 (Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、P .拉普拉斯(Laplace) (1749-1827)、S.泊松(Poisson)(1781-1840)、J.傅里叶(Fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础，它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。
十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。
而十九世纪偏微分方程的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程：2222220V V VV x y z∂∂∂∆=++=∂∂∂偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来，而本学期学习的偏微分方程理论的第一篇就介绍了线性椭圆形方程，椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一块以6章来详细介绍线性椭圆形方程，在这一篇中讲到了很多内容和知识点，下面我就来介绍一些关于线性椭圆形方程的一些定理及应用(在第一章预备知识这一块主要学习了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分单位分解定理、齐次化边界条件、振动方法等单位分解定理：(设12,,...,k ΩΩΩ是开集组，K 是紧集，满足1kj j K ϕ=⊂，则存在函数0()j j C ϕ+∞∈Ω，使得0j ϕ≥，11kj j ϕ=≤∑，且在K 的领域内11kj j ϕ==∑)、；接下来介绍一些重要的不等式： 一、基本不等式 (1) Cauchy 不等式对任意的,0a b ≥，有2222a b ab ≤+：(2) 带ε的Cauchy 不等式对任意的,0a b >和0ε>，有2222a b ab εε≤+(3) Jensen 不等式设:R R ϕ→是下凸的，则11(())(())b ba a f t dt f t dtb a b aϕϕ≤--⎰⎰ 对有限区间[,]a b 及可积函数:[,]f a b R →均成立 (4) Young 不等式~对任意,0a b ≥,1,p q <<∞，111p q+=，有 p qa b ab p q≤+(5) 带ε的Young 不等式对任意,0a b ≥和0ε>，1,p q <<∞，111p q +=，有 pq p qa b ab pqεε-≤+(6) Holder 不等式pp LL uvdx uv Ω≤⎰， 1,p q ≤≤∞，111pq+=(7)一般的Holder 不等式^121212......p p p kk kL L L u u u dx u u u Ω≤⎰，111...1kp p ++= (7’) Minkowski 不等式设1,p q ≤≤∞，,()p f g L ∈Ω，则()p f g L +∈Ω，使()()()p p p L L L f gfgΩΩΩ+≤+(8) 几何与算术平均不等式对任意12,,...,0k a a a ≥，有11212...(...)k k k a a a a a a k++≤(9) p L 空间的内插不等式;1rsta a LLLuuu-≤， s r t ≤≤，11a a r s t-=+ 二、内插不等式 (1) (Green 恒等式)2u u udx u dx uds nΩΩ∂Ω∂∆=-∇+∂⎰⎰⎰ 记号()()()()()i i x x u x u x n x u x n x n∂=∇=∂为u 在点x 的外法向导数。
偏微分方程理论学习总结
偏微分方程理论学习总结任荣珍院系：理学院班级：19 班学号：**********偏微分方程理论学习总结偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深，本科时学的是常微分方程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。
下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介：谈到偏微分方程，我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。
十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程解决几何与理学中的新问题，结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的)。
而偏微分方程的研究要晚的多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支——数学物理方程的建立。
J.达朗贝尔(D ’Alembert)(1717-1783)、L.欧拉(Euler)(1707-1783)、D.伯努利 (Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、P.拉普拉斯(Laplace) (1749-1827)、S.泊松(Poisson)(1781-1840)、J.傅里叶(Fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础，它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。
十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。
而十九世纪偏微分方程的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G .Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程：2222220V V VV x y z∂∂∂∆=++=∂∂∂偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来，而本学期学习的偏微分方程理论的第一篇就介绍了线性椭圆形方程，椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一块以6章来详细介绍线性椭圆形方程，在这一篇中讲到了很多内容和知识点，下面我就来介绍一些关于线性椭圆形方程的一些定理及应用在第一章预备知识这一块主要学习了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分单位分解定理、齐次化边界条件、振动方法等单位分解定理：(设12,,...,k ΩΩΩ是开集组，K 是紧集，满足1kj j K ϕ=⊂，则存在函数0()j j C ϕ+∞∈Ω，使得0j ϕ≥，11kj j ϕ=≤∑，且在K 的领域内11kj j ϕ==∑)、；接下来介绍一些重要的不等式： 一、基本不等式 (1) Cauchy 不等式对任意的,0a b ≥，有2222a b ab ≤+(2) 带ε的Cauchy 不等式对任意的,0a b >和0ε>，有2222a b ab εε≤+(3) Jensen 不等式设:R R ϕ→是下凸的，则11(())(())b ba af t dt f t dt b a b a ϕϕ≤--⎰⎰ 对有限区间[,]a b 及可积函数:[,]f a b R →均成立 (4) Young 不等式对任意,0a b ≥,1,p q <<∞，111p q+=，有 p qa b ab p q≤+(5) 带ε的Young 不等式对任意,0a b ≥和0ε>，1,p q <<∞，111p q +=，有 pq p qa b ab pqεε-≤+(6) Holder 不等式pp LL uvdx uv Ω≤⎰， 1,p q ≤≤∞，111pq+=(7)一般的Holder 不等式121212......p p p kk kL L L u u u dx u u u Ω≤⎰，111...1kp p ++= (7’) Minkowski 不等式设1,p q ≤≤∞，,()p f g L ∈Ω，则()p f g L +∈Ω，使()()()p p p L L L f gfgΩΩΩ+≤+(8) 几何与算术平均不等式对任意12,,...,0k a a a ≥，有11212...(...)k k k a a a a a a k++≤(9) p L 空间的内插不等式1rsta a L L L uuu-≤， s r t ≤≤，11a ar s t-=+二、内插不等式 (1) (Green 恒等式)2uu udx u dx uds nΩΩ∂Ω∂∆=-∇+∂⎰⎰⎰ 记号()()()()()i i x x u x u x n x u x n x n∂=∇=∂为u 在点x 的外法向导数。
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程理论的归纳与总结一、偏微分方程的分类：1.齐次与非齐次：一个偏微分方程中，如果所有出现的偏导数项的次数相同，且不含常数项，则称其为齐次方程；如果存在常数项，则称其为非齐次方程。
2.线性与非线性：一个偏微分方程中若只包含未知函数及其偏导数的一次项，并且未知函数的系数不依赖于未知函数自身及其偏导数，则称其为线性方程；反之，则是非线性方程。
3.定常与非定常：一个偏微分方程中，如果未知函数及其偏导数的系数不依赖于自变量，则称其为定常方程；反之，则是非定常方程。
4.高阶与低阶：一个偏微分方程中，若最高阶偏导数的阶数大于1，则称其为高阶方程；若最高阶偏导数的阶数为1，则称其为一阶方程。
二、偏微分方程的求解方法：1.分离变量法：对于一些特殊的偏微分方程，可以通过分离变量的方式将其转化为一阶常微分方程进行求解。
2.特征线法：对于一些具有特殊形式的偏微分方程，可以通过特征线法来求解。
该方法将方程中的自变量替换为新的变量，使得方程在新的变量系综下变得简单。
3.变换法：通过适当的变量代换，将原方程转化为形式简单的方程或标准的数学物理方程进行求解。
5.数值解法：对于一些复杂的偏微分方程，可以采用数值解法进行近似求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
三、偏微分方程的应用：1.物理学：偏微分方程在物理学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。
2.工程学：偏微分方程在工程学中也有重要应用，如电磁场方程、流体力学方程、固体力学方程等。
3. 经济学：偏微分方程在经济学中的应用主要用于建模和分析经济系统的动态变化，如Black-Scholes方程、Hamilton-Jacobi-Bellman方程等。
4. 生物学：偏微分方程在生物学中的应用主要用于描述群体的扩散、生物图像处理和生物电传导等问题，如Fisher方程、Gray-Scott方程等。
综上所述，偏微分方程理论是数学中的重要分支之一、通过对偏微分方程的分类、求解方法及其应用的归纳与总结，不仅可以帮助我们更好地理解偏微分方程的本质与特点，还能够为我们解决实际问题提供一个有效的数学工具。
高等数学中的偏微分方程理论
高等数学是现代数学的重要分支之一，其中偏微分方程理论是高等数学的核心内容之一。
偏微分方程是描述自然界中各种变量之间关系的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等各个领域。
偏微分方程理论主要研究的是偏微分方程的求解方法、解的存在性与唯一性以及解的性质等问题。
在实际应用中，我们往往需要解决各种复杂的物理问题，而偏微分方程理论为我们提供了一种强大的数学工具，可以通过数学分析的方法来研究和求解这些问题。
偏微分方程的求解方法有很多种，其中最基本的方法是分离变量法。
通过假设解可以表示为各个变量的乘积形式，再将方程代入，得到一系列常微分方程，进而可以求解得到解的表达式。
此外，还有变换法、特征线法、格林函数法等求解方法。
解的存在性与唯一性是偏微分方程理论中的一个重要问题。
偏微分方程往往是由物理规律所确定的，我们希望通过数学方法验证解的存在性，即是否存在一个满足方程的解。
同时，我们也关注解的唯一性，即是否存在多个满足方程的解。
对于线性偏微分方程，可以通过利用简化的方法，利用矩阵的特征值和特征向量来确定解的存在性与唯一性。
解的性质是偏微分方程理论中的另一个重要问题。
解的性质包括解的连续性、解的光滑性以及解的稳定性等。
通常情况下，我们希望解是连续的，即变量之间的关系是连续的。
对于某些特殊的问题，我们还需要解的光滑性，即解在某个区域内是无穷次可导的。
此外，解的稳定性也是一个重要的性质，即微小扰动不会改变解的形态。
偏微分方程理论的研究不仅仅是理论的探索，更是为了解决实际问题。
通过偏微分方程理论，我们可以定量地描述各种现象，预测未来的变化趋势，进而制定相应的措施。
例如，在物理学中，通过偏微分方程理论可以研究电磁场的传播、热传导等问题；在经济学中，可以通过偏微分方程研究价格变动、市场供需关系等问题。
总之，高等数学中的偏微分方程理论是现代数学的重要组成部分，对于研究自然界中各种现象、解决实际问题具有重要作用。
它提供了一种强大的数学工具，通过数学分析的方法，可以求解各种复杂的物理问题。
微分方程期末总结
微分方程期末总结第一章微分方程的基本概念与理论基础微分方程作为数学的一个分支，在不同领域应用广泛。
它是描述自然界或社会现象中变量之间关系的数学工具。
微分方程的研究过程需要涉及到微积分、代数、几何等数学知识，并且需要运用数学分析、几何分析等方法。
1.1 微分方程的定义与分类微分方程是描述函数未知函数及其各导数之间关系的方程。
常见的微分方程类型包括常微分方程、偏微分方程和积分方程。
常微分方程是自变量只有一个的微分方程，通过对未知函数及其导数的各阶求导得到。
偏微分方程是自变量有多个的微分方程，对未知函数及其各偏导数求导得到。
积分方程是通过对微分方程整体进行积分得到。
1.2 微分方程的解与解的存在唯一性微分方程的解是满足方程的函数，可以包含一个或多个参数。
微分方程的解可以是显式解或隐式解。
解的存在唯一性是指在一定条件下，对于给定的初值问题，当解存在时，解是唯一的。
1.3 微分方程的初值问题与边值问题初值问题是指给定了微分方程在某点的解值和导数值，要求求解整个方程解的问题。
边值问题是指在某一区间的两个端点处给定了微分方程的解值，要求求解在整个区间上的解的问题。
第二章一阶微分方程的解法一阶微分方程是指包含未知函数的一阶导数的方程，可以通过变量分离、齐次方程、线性方程等方法求解。
2.1 可分离变量方程可分离变量方程是指可以使方程的两边关于未知函数和自变量分离的方程。
通过对方程两边分离变量，再分别积分可以得到方程的解。
2.2 齐次方程齐次方程是指当方程右侧为零时，可以通过替换未知函数的形式，将方程转化为可分离变量方程。
通过变量替换和分离变量的方法可以求得齐次方程的解。
2.3 线性方程线性方程是指当方程右侧为一次函数时，可以通过积分因子法将方程转化为可分离变量方程。
通过确定积分因子和乘法积分可以求得线性方程的解。
2.4 恰当微分方程恰当微分方程是指可以通过判断方程的某种性质，从而直接找到方程的解。
判断恰当微分方程的方法包括齐次性条件和恰当条件。
对偏微分方程的理解和认识
对偏微分方程的理解和认识一、引言偏微分方程作为数学的一个重要分支，在科学、工程和技术中有着广泛的应用。
它描述了各种自然现象的变化规律，能够深刻反映事物的内在机制和发展趋势。
偏微分方程涉及到连续可微函数的概念，涉及微积分学的基本概念和方法。
由于它是一个抽象和精炼的数学模型，因此偏微分方程在理论研究和实际应用中都扮演着重要的角色。
二、偏微分方程的基本概念偏微分方程是关于未知函数的偏导数的方程。
在数学上，一个偏微分方程是包含一个或多个未知函数的偏导数的方程，其未知函数通常是多个变量的函数。
偏微分方程的求解通常需要找到满足该方程的未知函数。
在求解过程中，需要运用微积分学的基本概念和方法，如极限、连续性、可微性和积分等。
三、偏微分方程的应用领域偏微分方程在许多领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来描述波动、热传导、引力场、电磁场等现象；在化学中，它可以用来描述化学反应的动力学过程；在生物学中，它可以用来描述种群增长、传染病传播等现象；在工程学中，它可以用来模拟流体动力学、结构力学、控制论等领域的问题。
四、偏微分方程的研究方法偏微分方程的研究方法包括解析法、数值法和近似法等。
解析法是通过严格的数学推导来求解偏微分方程的方法，可以得到精确解。
数值法是通过计算机模拟来求解偏微分方程的方法，可以得到近似解。
近似法是通过物理直觉、数学归纳法等非严格方法来求解偏微分方程的方法，可以得到近似解。
这些方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的方法。
五、总结与展望通过对偏微分方程的研究，我们可以深入理解自然现象的本质和变化规律，预测其未来的发展趋势，为实际问题的解决提供重要的理论支持。
随着科学技术的发展和实际需求的增加，偏微分方程的应用范围和重要性也将不断提高。
未来我们需要更加深入地研究偏微分方程的求解方法和应用领域，以期为解决更多的实际问题提供更有效的工具和方案。
同时，我们也需要加强数学与其他学科的交叉融合，推动偏微分方程在各个领域的实际应用和创新发展。
偏微分方程总结报告
偏微分方程总结报告一、引言偏微分方程是数学中一个重要的分支，它描述了时间和空间中变化的物理量之间的关系。
在自然科学、社会科学和工程学中，偏微分方程有着广泛的应用。
本文将对偏微分方程的基本概念、分类和常见的求解方法进行总结。
二、偏微分方程的基本概念偏微分方程是一个包含未知函数的偏导数的方程。
它通常表示为一个数学表达式，其中包含一个或多个未知函数和这些函数的偏导数。
例如，热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程等都是偏微分方程的实例。
三、偏微分方程的分类根据不同的分类标准，偏微分方程可以分为多种类型。
常见的分类方式包括：1. 按照阶数：一阶偏微分方程、二阶偏微分方程等。
2. 按照自变量的个数：常微分方程、偏微分方程等。
3. 按照边界条件：Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和Robin边界条件等。
4. 按照方程的形式：线性偏微分方程和非线性偏微分方程等。
四、偏微分方程的求解方法求解偏微分方程的方法有很多种，下面列举几种常见的求解方法：1. 分离变量法：将偏微分方程转化为多个常微分方程，然后求解这些常微分方程。
这种方法适用于具有周期性解的偏微分方程。
2. 有限差分法：将偏微分方程转化为差分方程，然后在离散点上求解这个差分方程。
这种方法适用于具有规则网格的偏微分方程。
3. 有限元法：将偏微分方程转化为变分问题，然后使用有限元方法求解这个变分问题。
这种方法适用于具有复杂边界条件的偏微分方程。
4. 谱方法：将偏微分方程转化为谱问题，然后使用傅里叶分析、小波分析等方法求解这个谱问题。
这种方法适用于具有快速收敛解的偏微分方程。
偏微分方程学习笔记
偏微分方程一．预备知识1．平面凸集定义：若E 是一个平面凸集，则对于E 中任意两点x ，y ，连接这两点的线段也在E 内。
即λ x + (1-λ) y ∈E ( 任意x ， y ∈E ，任意0≤λ ≤ 1)2．空间凸集定义：设X 是线性空间，E 是X 中一个空间凸集，如果λ x + (1-λ) y ∈E ( 任意x ， y ∈E ，任意0≤λ ≤ 1)3．设D 是E 的一个子集，为凸集，泛函 f : D → R ,称为在D 上是凸的 是指任意x ，y ∈D ，t ∈ [0,1]均有f (tx + (1-t ) y )≤t f ( x )+ (1-t ) f ( y ) 若只在x = y 时取等号，则称f 是严格凸的.4．Cauchy 不等式: 2222a b ab ≤+.(,)a b R ∈证明：由于()22202a b a b ab ≤-=+-，可得2222a b ab ≤+.5.带ε的Cauchy 不等式: 2222a b ab εε≤+.(0)ε>证明:在公式2222a b ab ≤+中，令a ，b ，则有2222a b ab εε=≤+6.Young 不等式：设0,0,1,1,a b p q >>>>且111.p q+=则有.p q a b ab p q ≤+证明: 泛函 f : x → x e ,是凸的，因此有(1)(1)tx t yx y e te t e +-≤+-从而有11ln ln ln ln ln ln 11.p q p q p qa b a ba b p qa b ab eee e p q p q++==≤+=+ 7. 带ε的Young 不等式: 设0,0,0,1,1,a b p q ε>>>>>且111.p q+=则有.qpqpqpq pab ab a b pqεεεε--≤+≤+证明:在不等式p qa b ab p q≤+中用1p a ε和1p b ε-代替,a b ，可得11.ppqpqpqpq pab ab a b a b pqεεεεεε---=⋅≤+≤+8.Holder 不等式：设1,1,p q >>且111.p q+=若(),(),p q u L v L ∈Ω∈Ω则1(),u v L ⋅∈Ω且()().p q L L uvdx uvΩΩΩ≤⋅⎰证明：设1()t x 与1()s x 是Ω中这样的可测函数11()1,()1,p qt x dx s x dx ΩΩ==⎰⎰（★）根据Young 不等式有 111111.(0,0)p q t s t s t s p q ≤+>>，111.p q+=对上述不等式两边在Ω上积分得1111p q t s t s dx dx dx p q ΩΩΩ≤+⎰⎰⎰111p q=+= 其次，若(),()p q u L v L ∈Ω∈Ω，则函数1111()()(),()(())(())pqpqu x v x t x s x u x dx v x dx ΩΩ==⎰⎰满足（★）式的条件，故有1111()()()()1(())(())pqpqu x v x t x s x dx dx u x dx v x dx ΩΩΩΩ=⋅≤⎰⎰⎰⎰即 11()()(())(())pqpqu x v x dx u x dx v x dx ΩΩΩ≤⎰⎰⎰也就是()()()()()().p q L L u x v x dx u x v x ΩΩΩ≤⎰推论：（1）若11(),()0,1,u x v x pq≥+=则有11()()(())(()).p q pqu x v x dx u x dx v x dx ΩΩΩ≤⎰⎰⎰（2）若121,,,,m p p p ≤≤∞且121111,mp p p +++= 设(),(1,2,,),kp k u L k m ∈Ω=则有211212()()().p p p m m mL L L u u u dx u u u ΩΩΩΩ≤⋅⋅⋅⎰9.Minkowski ’s 不等式：设1p ≤≤∞，且,().p u v L U ∈则有 ()()().pp p L U L U L U u v uv+≤+证明：()1()p L U ppp UUu vu v dx u vu v dx -+=+≤++⎰⎰而111()p p p UU Uu v u v dx u vu dx u vvdx ---++=+++⎰⎰⎰()()111111, 1.qpqp p pUU Uu vu dx u vdx u dxq p --⎛⎫+≤++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()()111111, 1.qpqp p pUU Uu vvdx u vdx v dxq p--⎛⎫+≤++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰从而有,1pq p =-因此有 ()()11111p p pp p p pp UU Uu vu dx u vdx u dx ----⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()()11111p p ppp p pp UU Uu vv dx u vdx v dx----⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰上面两式相加得()()()()111111p p pp pp p ppp UU UUu v u v dx u vdx u dx v dx----⎛⎫⎛⎫ ⎪++≤++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰()1111(()())p ppppppUUUu v dxu dx v dx -⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰=1()()()()pp p p L U L U L U u v uv -++即是： 1()()()()()pp p p p p L U L U L U L U u v u vuv-+≤++，因此()()()()().p p p p L U L U L U L U u vu v u v +≤++10.-norms p L 内插不等式：设1,s r t ≤≤≤≤∞且有()11,rstθθ-=+若()().s t u L U L U ∈则有(),r u L U ∈且有()()1().rs t L U L U L U uuuθθ-≤证明：我们计算(1)rrrU U u dx uudx θθ-=⎰⎰，因为()11,r s tθθ-=+即是()11,r rstθθ-+=利用赫尔德不等式有()()(1)(1)(1)(1)rr s t s tr rrr rrrUUU Uu dx uudx udx u dx θθθθθθθθ----⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰两边同时1r次方得到：()()1().rs t L U L U L U uuuθθ-≤11.柯西-施瓦茨不等式：,(,).n x y x y x y R ≤∈证明：让0,ε>并注意到222202.x y x x y y εεε≤±=±+从而有下列结果221.22x y x y εε±≤+设,0xy yε=≠时取右边的最小值得到,(,).n x y x y x y R ≤∈ 12.Gronwall ’s 不等式(differential form).(i)Let ()η be a nonnegative, Absolutely continuous function on[0,],T which satisfies for a.e t theDifferential inequality(15) ()()()(),t t t t ηφηψ'≤+Where ()x φ and ()x ψ are nonnegative, summable functions on[0,].T Then(16) 0()0()(0)()tt s ds t es ds φηηψ⎰⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦⎰ For all 0.t T ≤≤(ii)In particular, if on[0,T]and (0)=0,ηφηη'≤then 0on[0,T].η≡ Proof. From (15) we see()000()()()()()()()()sssr dr r dr r dr d s e e s s s e s ds φφφηηφηψ---⎛⎫⎰⎰⎰'=-≤ ⎪⎝⎭For a.e 0.s T ≤≤因此对每一个0,t T ≤≤we have00()()()0()(0)()(0)().(1)ts st t r drr dr r drt e e s ds s ds e φφφηηψηψ---⎰⎰⎰≤+≤+≤⎰⎰This implies inequality(16).13.Gronwall ’s inequality ( integral form ).(i)Let ()t ζ be a nonnegative, summable function on [0,T] which satisfies for a.e. t the integral inequality (17) 120()()tt C s ds C ζζ≤+⎰ For constants 12,0.C C ≥ Then(18) 121()(1)C t t C C te ζ≤+for a.e. 0.t T ≤≤ (ii) In particular, if10()()tt C s ds ζζ≤⎰for a.e 0.t T ≤≤ then ()0..t a e ζ=Proof. Let 120():();()..[0,].tt s ds then t C C a e in T ηζηζη'==≤+⎰According to the differential form of Gronwall ’s inequality above1122()((0))C t C t t e C t C te ηη≤+=Then (17) implies11221()()(1).C t t C t C C C te ζη≤+≤+14.Poincare 不等式(也叫Friedrichs 不等式)符号说明：()(){()}122,,1,2,,n iuR H u L L i nx ∂Ω⊆Ω=∈Ω∈Ω=∂这个集合是线性的。
数学专业的偏微分方程学习
数学专业的偏微分方程学习偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学专业重要的研究方向之一，也是应用数学中的重要工具。
它广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域，对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍数学专业的偏微分方程学习的基本内容与方法。
一. 偏微分方程的定义与分类偏微分方程是含有多个未知函数的微分方程，其中的未知函数依赖于多个自变量，并且其导数也是关于多个自变量的。
它与常微分方程相比，更为复杂。
根据方程中各阶导数的形式，偏微分方程可分为：椭圆型、抛物型和双曲型三类。
椭圆型方程对应静态问题、抛物型方程对应自由振动问题、双曲型方程对应波动问题。
二. 偏微分方程的基本解法1. 分离变量法：假设解可以分解为各个变量的乘积形式，然后将分离后的常微分方程求解，最后将各个分离后的方程相乘得到原偏微分方程的解。
2. 特征线法：根据偏微分方程的类型，构造一系列特征曲线，并沿着特征曲线进行变量代换，将偏微分方程转化为常微分方程求解。
3. 变量替换法：通过合适的变量变换将偏微分方程化简成简单形式，然后利用常微分方程的解法求解。
三. 常见的偏微分方程模型与应用场景1. 热传导方程：描述物质内部的温度分布随时间的变化规律，常用于热传导和传热问题的研究。
2. 波动方程：描述机械波的传播和振动现象，常用于声波、电磁波等波动问题的研究。
3. 扩散方程：描述物质内部的浓度或质量分数随时间和空间的变化规律，常用于扩散和传质问题的研究。
4. 广义波动方程：包括薛定谔方程、亥姆霍兹方程等，用于描述量子力学中的粒子行为和波函数分布。
5. 线性对流方程：描述流体中速度场和浓度场的关系，广泛应用于流体力学和环境科学等领域。
四. 偏微分方程的数值解法偏微分方程的解析解往往难以求得，因此需要借助数值方法进行近似求解。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
这些方法基于离散化和近似的思想，将偏微分方程转化为代数方程组，并利用计算机进行求解。
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程理论的归纳与总结(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--偏微分方程基本理论的归纳与总结偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象.根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是：（1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法；（2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段；（3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计；（4）双曲型方程,对应于Galerkin方法；（5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法.从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类：（1）稳态方程（非时间演化方程）；（2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容；（3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征；（4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制.下面具体来介绍三类经典方程：三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论.关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法.关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论.具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性.椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空间中考虑,我们将在连续函数空间和平方可积函数空间中分别讨论解关于输入数据的连续依赖性问题学习偏微分方程理论以及偏微分方程分析是研究其它一切的基础.首先有必要解释一下解的适定性.简单地说,一个偏微分方程是适定性的,若它有解（存在性）解唯一（唯一性）且对输入数据的微小改变的响应也是很小的改变（连续依赖性）.前两个准则是一个有意义的物理模型所要求的,第三个准则是实验观察的基础.考虑适定性时,还应记得对有实际意义的问题通常不可能求得显示解,从而可考虑逼近格式,特别是数值解在应用中就具有特别的重要性.因此,适定性问题与偏微分方程科学计算的如下中心问题有密切联系：对一个问题给定一定精度的数据,数值解计算输出有多少精度？正因为这个问题对现代定量科学的重要性,适定性成为偏微分方程理论的核心内容.因此,偏微分方程的学习应以三类线性偏微分方程的适定性问题为主要研究对象.同时,考虑到偏微分方程理论的两个特点：一是与应用、与物理的紧密联系；二是与数学其它分支的联系.以下,我们具体来说一下其两个具有应用价值的特点.针对特点一：首先,数学物理方程是自然科学和工程技术的各门分支中出现的偏微分方程,这些方程给出了所考察的物理量关于自变量（时间变量和空间变量）的偏导数的关系.例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理的范畴,数学物理方程侧重于模型的建立和定解问题的解题方法,而偏微分方程则侧重于其自身的数学理论,所以偏微分方程理论的研究是能够更好地将其运用于物理当中.针对特点二：偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、数论、拓扑学、代数、复分析等紧密联系.偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念,基础思想和基本方法,并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响.鉴于此,对于应用数学而言,掌握和研究偏微分方程的目的主要应该放在以下几个方面：（1）建立模型.在经典物理中,具有普遍意义的自然定律不仅可以用实验手段获得,而且根据这些定律很容易对相应的自然现象建立数学模型.如天体力学,连续介质力学,流体动力学以及经典电磁学中的物理定律就属于这种情况.在近代物理中,情况有一些变化.咋爱量子力学与广义相对论中,一些自然规则与物理定律是隐而不见的,此时数学物理方程是依靠部分物理原则与实验数据猜测出来的.然而,到了现代数学阶段,大多数面临的问题仅依靠物理或数学的单一学科知识和直觉建立模型已变得非常困难,必须具备多学科交叉能力才行.因此,只有系统全面地掌握偏微分方程的理论与方法,才能训练出从方程解的性质反推出模型的形式的能力,这里方程解的性质是由实验数据与观测资料所提供.这种模型反推能力再结物理直觉就是现在建立数学模型的基本要求;（2）从已知的方程和模型推导出新的发现和预言.这个方面可以说是科学发展最重要的环节之一;（3）从控制自然现象的微分方程中得到问题的机理和解释;（4）最后一个方面就是从数学模型获得与实验和观测相吻合的性质和结论.虽然这类工作不能提供新的科学结果,但能使我们加深对问题的理解,体现自然美与数学美的有机结合.在总结了偏微分方程理论所研究的内容及其特点以后,我们该怎样学习基本理论呢？首先,对于每一类方程,我们要了解它的物理背景及其意义,否则,我们根本不知道它在说什么.事实上,同一个方程有许多不同的来源,这一方面是偏微分方程理论具有广泛应用的原因之一.同时对于不同的来源进行类比研究可以更好地解释物理过程的某些特性,因为某个具体物理特性在某个物理过程还没有被观察到或没有引起注意,而在另外某个物理过程已经被观察注意到了,如果这两个物理过程服从同一个偏微分方程,则在原来的物理过程中应该也具有这个特性.其次,在对数学模型研究之后,需要有意识地讲数学解带回原来的物理意义中,去理解,解释物理现象.这一方面可以验证数学模型的有效性,另一方面可以更好地理解已知的物理现象,从而更加深刻地了解其在现实中的意义.然后,要善于去思考,总结,归纳.逐步提高分析、解决实际问题的能力.至于与数学其他学科的联系,比如,求解过程中将会用到许多微积分或数学分析的概念,思想,和定理,解的表达形式也是有积分形式的或级数形式的,解空间的结构则用到许多线性代数的知识.最后,学好泛函分析也是同等重要的,因为偏微分方程解的唯一性和连续依赖性需要许多实变和泛函分析的理论和方法.所以在重视偏微分方程基本理论时（实变函数和泛函分析的许多思想方法都是来源于偏微分程理论研究）,也要同样学好泛函分析.参考文献（1）王明新，偏微分方程基本理论；（2）马天，偏微分方程理论与方法；（3）王明新，数学物理方程.。
偏微分方程的几种经典解法
偏微分方程的几种经典解法经过一个学期偏微分方程课程的学习,我们掌握了几种求解三种典型方程的方法,如分离变量法、行波法、特征函数展开法、求解非齐次方程的Duhanmel 原理灯,此外,我们通过学习还掌握了求解波动方程的'D Alembert 公式,求解位势方程的Green 公式等等.这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程,故而是基本而重要的.本文着重总结了偏微分方程的几种经典解法,一次介绍了分离变量法、行波法、幂级数解法、Fourier 变换法以及Green 函数法,通过对典型方程的研究,深入理解集中经典方法.1.分离变量法分离变量法：基本思想是设法把偏微分方程的问题转化为解常微分方程的问题.1.1第一初边值问题例：利用分离变量法求解下述问题(非齐次0边值双曲方程)2222sin 2cos 2,u ux t t x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<> (1.1) (0,)(,)0,u t u t π== 0t > (1.2) (,0)sin ,u x x =0x π<< (1.3)(,0)sin 2,ux x t∂=∂ 0x π<< (1.4) 解：用分离变量法求问题(1.1)—(1.4)的形式解.设该问题有如下形式的非零解(,)()()u x t X x T t = (1.5)方程(1.1)对应的齐次方程为22220,u ut x∂∂-=∂∂0,0x t π<<> (1.6) 将(1.5)式代入方程(1.6)得""()()()(),X x T t X x T t =0,0x t π<<>即""()()()()X x T t X x T t λ∆==- (1.7) 其中λ为固定常数,下面证明0λ>. 由(1.7)有"()()0,X x X x λ+=上式两端同乘()X x ,并在(0,)π上积分,得"20()()()0,X x X x dx X x dx ππλ+=⎰⎰注意到由(1.2)和(1.5)有(0)()0,X X π==所以有'220()()X x dx X x dx ππλ=⎰⎰易见0λ>.所以(1.2)—(1.6)可以化为如下形式的两个常微分问题,即()()"()()0,1(0)()0,2X x X x X X λπ⎧+=⎪⎨==⎪⎩ 以及由"()()0T t T t λ+=和适当的定解条件确定的关于()T t 的常微分问题. 求解问题(1).根据常微分方程的理论可知,问题(1)的通解为().X x A B =+将其带入(0)0,X =得0A =.再将()X x B =带入()0X π=,得2,1,2,3,n n n λ==特征值2n n λ=相应的特征函数为()sin ,1,2,n X x nx n == (1.8)注意到{}1()n n X x ∞=是一个直交系统,即0,,()(),,2m n m n X x X x dx m n ππ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰这表明{}1()n n X x ∞=正规化后是2((0,))L π的一个基底.将问题(1.1)—(1.4)中的非齐次项和初值按{}1()n n X x ∞=展开,得1sin 2cos 2()sin ,n n x t f t nx ∞==∑ 0,0x t π≤≤≥1sin sin ,n n x a nx ∞==∑ 0,x π≤≤1sin 2sin ,n n x b nx ∞==∑ 0,x π≤≤其中0,1()cos 2,20,0,3n n f t t n t n =⎧⎪==≥⎨⎪≥⎩ 1,10,2n n a n =⎧=⎨≥⎩,0,11,20,3n n b n n =⎧⎪==⎨⎪≥⎩设1(,)()()n n n u x t X x T t ∞==∑, 0,0x t π≤≤≥ (1.9)是问题(1.1)—(1.4)的形式解,将上式代入(1.1)—(1.4)可得,()n T t 是如下常微分方程初值问题的解,"'()()(),0(0),(0),n n n n n n n n T t T t f t t T a T b λ⎧+=>⎪=⎨⎪=⎩,其中1,2,n =.求解问题(2).当1n =时,问题(2)转化为求常微分问题"11'11()()0,(0)0,(0)1,T t T t T T ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩ (3) 有常微分方程理论可知,问题(3)的通解为112()cos sin T t c t c t =+.将其代入1(0)1T =,得11c =.将12()cos sin T t t c t =+代入'1(0)0T =得20c =.故1()cos T t t =. 当2n =时,问题(2)转化为常微分问题"22'22()4()cos 2,(0)1,(0)0,T t T t t T T ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩ (4)对应其次方程的特征根为2i α=±,用常微分方程中的算子解法求特解.2(4)cos2,D x t +=故sin 24tx t =.所以问题(4)的通解为212()cos 2sin 2sin 2.4tT t c t c t t =++将其代入2(0)0T =得10c =,将22()sin 2sin 24t T t c t t =+代入'2(0)1T =得212c =,故22()sin 2.4t T t t +=当3n ≥时,问题(2)转化为常微分问题"2'()()0,(0)0,(0)0,n n n nT t n T t T T ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩ (5) 由常微分理论可知,问题(5)的通解为12()cos sin ,3,4,n T t c nt c nt n =+=将其代入(0)0,n T =得10c =.将2()sin n T t c nt =代入'(0)0,n T =得20c =.故()0n T t =. 综上有cos ,1,2()sin 2,2,040,3,n t n t T t t n t n =⎧⎪+⎪==≥⎨⎪≥⎪⎩(1.10)将(1.8)(1.10)代入(1.9)中,得问题(1.1)—(1.4)的形式解为2(,)sin cos sin 2sin 2,4t u x t x t x t +=+ 0,0x t π≤≤≥经检验,该形式解满足原问题及初边值条件,该形式解就是原问题的解. 例：利用分离变量法求解下述问题22220,u ut x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<> (1.11) (0,)sin ,(,)0,u t t u t π== 0t >, (1.12) (,0)0,u x = 0x π<<, (1.13)(,0),u x x t ππ∂-=∂ 0x π<<, (1.14) 解：将上述非零边值问题转化为零边值问题,用变量代换,设(,)u x t 是原问题的解,令(,)(,)sin ,xv x t u x t t ππ-=-0,0x t π≤≤≥. 则(,)v x t 是如下问题的解2222(,),v vf x t t x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<> (1.15) (0,)(,)0,v t v t π== 0t >, (1.16) (,0)0v x =, 0x π<<, (1.17)(,0)0,vx t∂=∂ 0x π<<, (1.18) 其中(,)sin ,xf x t t ππ-=0,0x t π≤≤≥. 用分离变量法求问题(1.15)—(1.18)的形式解.设该问题有如下形式的形式解(,)()()v x t X x T t =, (1.19)方程(1.15)对应的齐次方程为22220,v vt x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<>, (1.20) 将(1.19)代入方程(1.20)得""()()()(),X x T t X x T t =0,0x t π<<>即""()()()()X x T t X x T t λ∆==- (1.21) 其中λ为固定常数,下面证明0λ>. 由(1.21)有"()()0,X x X x λ+=上式两端同乘()X x ,并在(0,)π上积分,得"20()()()0,X x X x dx X x dx ππλ+=⎰⎰注意到由(1.16)和(1.19)有(0)()0,X X π==所以有'220()()X x dx X x dx ππλ=⎰⎰易见0λ>.所以(1.16)—(1.18)(1.20)可以化为如下形式的两个常微分问题,即"()()0,(0)()0,X x X x X X λπ⎧+=⎨==⎩ (6) 以及由"()()0T t T t λ+=和适当的定解条件确定的关于()T t 的常微分问题.(7) 求解问题(6).根据常微分方程的理论可知,问题(6)的通解为().X x A B =+将其带入(0)0,X =得0A =.再将()X x B =带入()0X π=,得2,1,2,3,n n n λ==特征值2n n λ=相应的特征函数为()sin ,1,2,n X x nx n == (1.22)注意到{}1()n n X x ∞=是一个直交系统,即0,,()(),,2m n m n X x X x dx m n ππ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰这表明{}1()n n X x ∞=正规化后是2((0,))L π的一个基底. 将问题(1.15)—(1.18)的非齐次项按{}1()n n X x ∞=展开,得1sin ()sin ,n n xt f t nx ππ∞=-=∑0,0.x t π≤≤≥ 令sin n xc nx ππ-=,则在其两端同乘sin nx 再在(0,)π上积分,得 200sin sin 2nn x nxdx c nxdx c πππππ-==⎰⎰. 由分部积分,经计算可得2n c n π=.从而2()sin n f t t n π=,0t ≥,1,2,n =.设1(,)()()n n n v x t X x T t ∞==∑,0,0.x t π≤≤≥是问题(1.15)—(1.18)的形式解,将其带入(1.15)—(1.18)可得,()n T t 是如下常微分问题的解"22()()sin ,n n T t n T t t n π+=0,t > (1.23) (0)0,n T = (1.24) '(0)0,n T = (1.25)其中1,2,n=(1.23)—(1.25)对应的齐次方程的特征根为ni α=±,则通解为()cos sin n n n T t A nt B nt =+.用算子算法求特解,222()()sin n D n T t t n π+=,解得 22sin ()(1)n tT t n n π=-. 故该问题的通解为22sin ()cos sin (1)n n n tT t A nt B nt n n π=++-. (1.26)将上式代入(0)0,n T =得0n A =,将22sin ()sin (1)n n t T t B nt n n π=+-代入'(0)0,n T =得222(1)n B n n π-=-,1,2,n =.故2222sin 2sin ()(1)(1)n nt tT t n n n n ππ-=+--,0,t >1,2,n =.因此,问题(1.15)—(1.18)的形式解为22212sin 2sin (,)sin (1)(1)n nt t v x t nx n n n n ππ∞=⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭∑,0,0.x t π≤≤≥ (1.27) 考察(1.27)右端级数的收敛性.记2222sin 2sin sin (1)(1)n nt t a nx n n n n ππ⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭,0,0,x t π≤≤≥1,2,n =.容易验证下列级数均在[0,][0,)π⨯+∞上一致收敛1n n a ∞=∑,1n n a x ∞=∂∂∑,1n n a t ∞=∂∂∑,221n n a x ∞=∂∂∑,221n n a t ∞=∂∂∑,21nn a x t ∞=∂∂∂∑. 经检验,(,)v x t 满足问题(1.15)—(1.18),就是 问题(1.15)—(1.18)解.将(1.27)代入(,)(,)sin xu x t v x t t ππ-=+,0,0,x t π≤≤≥ 得22212sin 2sin (,)sin sin (1)(1)n nt t xu x t nx t n n n n ππππ∞=⎛⎫--=++ ⎪--⎝⎭∑,0,0,x t π≤≤≥ 此即为原问题(1.11)—(1.14)的解.1.2第二初边值问题例：利用分离变量法求解下述问题(抛物型)220,u ut x ∂∂-=∂∂ 01,0x t <<> (1.28) (0,)(1,)0,u u t t x x ∂∂==∂∂ 0,t > (1.29) (,0)cos ,u x x π= 01,x << (1.30)解：用分离变量法求解问题(1.28)—(1.30)的形式解.设该问题有如下形式的非零解(,)()()u x t X x T t = (1.31)将其代入(1.28)有"'()()()()X x T t X x T t λ∆==-,01,0x t <<> (1.32) 其中λ为某一常数,且0λ≥. 由(1.32)有"()()0,X x X x λ+=上式两端同乘()X x ,并在(0,1)上积分,得11"20()()()0,X x X x dx X x dx λ+=⎰⎰注意到由(1.29)和(1.31)有''(0)(1)0,X X ==所以有11'220()()X x dx X x dx λ=⎰⎰易见0λ≥.故(1.28)—(1.30)可化为如下形式的两个常微分问题,即"''()()0,01,(0)(1)0,X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩ (8) 和'()()0,0T t T t t λ+=> (9)求解问题(8),当0λ=时,有"()0X x =,''(0)(1)0,X X ==由常微分方程的理论可知,问题(8)的通解为12()X x c c x =+,01x ≤≤.将其代入'(0)0X =,有20c =,故1()X x c =,其中1c 为任意常数. 当0λ>时,由常微分方程的理论可知,问题(8)的通解为12(),X x c c =+ 01x ≤≤将其代入'(0)0X =,则20c =,将1()X x c =代入'(1)0X =,得2()n n λπ=, 1,2,n=特征值n λ对应的特征函数为()cos n X x n x π=,1,2,n =,01x ≤≤.所以,对于0λ≥,有()cos n X x n x π=,01x ≤≤, 0,1,2,n=注意到{}1()n n X x ∞=是一个直交系统,即100,,()(),,2m nm n X x X x dx m n π≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰ 这表明{}1()n n X x ∞=正规化后是2((0,1))L 的一个基底. 下面求解问题(9),将2()n n λπ=代入,可有'22()()0,n n T t n T t π+=0,1,2,n =,0t ≥.有常微分方程理论可知其通解为223()n t n T t c e π-=, 0,1,2,n =, 0t ≥.此时,形式解为2230(,)()()cos n t n n n n u x t X x T t c n xe ππ∞∞-====∑∑, 01x ≤≤,0t ≥.将其代入(1.30)中,得30(,0)cos cos n u x c n x x ππ∞===∑,01,x <<由比较系数法,可得31,10,1n c n =⎧=⎨≠⎩ 故问题(1.28)—(1.30)的形式解为2(,)cos t u x t xe ππ-=,01x ≤≤,0t ≥.经检验,该形式解满足原问题(1.28)—(1.30),此即为原问题的解.1.3 Poisson 方程的边值问题分离变量法还适用于某些特殊形状区域上的二维Poisson 方程的各种边值问题,如果所考虑的定解区域是矩形域,那么可以完全仿照前面的方法来求解,只是此时x,y 之一要扮演t 的角色；如果定解区域是圆域或环形域,则应先做极坐标变换将定解问题化为矩形区域上的定解问题,然后利用分离变量法求解. 例:利用分离变量法求解下述问题22222212(),u u x y x y∂∂+=-∂∂ 12,<< (1.33)(,)0,u x y =1,= (1.34)(,)0,ux y υ∂=∂2,= (1.35)其中υ为2{(,):2}x y R ∂∈<上的单位外法向量.解：用分离变量法求解问题(1.33)—(1.35)的形式解.首先,通过极坐标变换将环形域上的定解问题化为矩形域上的定解问题,做极 坐标变换cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 12,02ρθπ≤≤≤≤, 则(1.33)—(1.35)化为2222221112cos 2,v v vρθρρρρθ∂∂∂++=∂∂∂ 12,02ρθπ<<<<, (1.36) (1,)0,(2,)0,vv θθρ∂==∂ 02θπ<<, (1.37) 其中(,)(cos ,sin )v u ρθρθρθ=,12,02ρθπ≤≤≤≤.注意到在极坐标条件下(,0)ρ与(,2)ρπ表示同一点,故(,)v ρθ还满足如下周期性条件(,0)(,2),(,0)(,2),v v v v ρρπρρπθθ∂∂==∂∂ 12,ρ<< (1.38) 问题(1.36)—(1.38)是一个定解问题. 方程(1.36)对应的齐次方程为22222110,v v vρρρρθ∂∂∂++=∂∂∂ 12,02ρθπ<<<<, (1.39) 设问题对应的形式解为(,)()()v R ρθρθ=ψ,12,02ρθπ≤≤≤≤. (1.40)将(1.40)代入(1.37)中,得"'"211()()()()()()0,R R R ρθρθρθρρψ+ψ+ψ= 12,02ρθπ<<<<即"2"'()()(),()()R R R θρρρρλθρ∆ψ+=-=-ψ12,02ρθπ<<<<, (1.41) 其中λ为固定常数,下面证明0λ≥.由(1.41)有"()()0,θλθψ+ψ= 02θπ<<,在上式两端同乘()θψ,并在(0,2)π上积分,由(1.38)和(1.40)可知''(0)(2),(0)(2),ππψ=ψψ=ψ所以有22'220()(),d d ππθθλθθψ=ψ⎰⎰易见0λ≥.所以问题(1.37)(1.38)(1.40)可化为两个常微分问题,即"''()()0,(0)(2),(0)(2),θλθππ⎧ψ+ψ=⎪⎨ψ=ψψ=ψ⎪⎩ 02θπ<<, (10) 以及2"'()()()0R R R ρρρρλρ+-=和适当定解条件的常微分问题(11)求解问题(10).当0λ=时,有"''()0,(0)(2),(0)(2),θππψ=ψ=ψψ=ψ由常微分方程的理论可知,问题(10)的通解为()A B θθψ=+,02θπ≤≤,代入(0)(2)πψ=ψ得()A θψ=,其中A 为任意实数. 当0λ>时,通解为(),A B θψ=+02θπ≤≤, 将其代入''(0)(2),(0)(2)ππψ=ψψ=ψ有sin ,A A B =+=-+, 故2,1,2,n n n λ==特征值n λ对应的特征函数为()cos sin ,02,1,2,n n n A n B n n θθθθπψ=+≤≤=.其中n A 和n B 是任意不同时为零的实数,综上可知()cos sin ,02,0,1,2,n n n A n B n n θθθθπψ=+≤≤=,其中0A 是任意不为零的实数,n A 和n B 是任意不同时为零的实数. 注意到1{cos sin }n n n θθ∞=+是一个直交系统,即20()()0,,,0,1,2,m n m n m n πθθψψ=≠=⎰,这表明1{cos sin }n n n θθ∞=+正规化后是2((0,2))L π的一个基底.设1(,)()()()cos ()sin ,n n n n n n n v R A n B n ρθρθρθρθ∞∞∞====ψ=+∑∑∑12,02ρθπ≤≤≤≤,将非齐次项按1{cos sin }n n n θθ∞=+展开,有2n =时,2212A ρ=代入(1.4)—(1.6)有"'22222'2214()()()12,(1)(2)0,A A A A A ρρρρρρ⎧+-=⎪⎨⎪==⎩ 12,ρ<< 2"'2'1()()()0,12,(1)(2)0,n n n nn n A A A A A ρρρρρρ⎧+-=<<⎪⎨⎪==⎩ 0,1,3,4,n =,和2"'2'1()()()0,12,(1)(2)0,n n n nn n B B B B B ρρρρρρ⎧+-=<<⎪⎨⎪==⎩ 1,2,3,n =.解得2242129112(),1717A ρρρρ-=-++ 12ρ≤≤, ()0n A ρ=, 12ρ≤≤,0,1,3,4,n =, ()0n B ρ=, 12ρ≤≤,1,2,3,n =.故224129112(,)()cos 21717v ρθρρρθ-=-++, 12,02ρθπ≤≤≤≤ 因此,原问题的形式解为2222222112(,)[12917()],17()x y u x y x y x y -=-++++12≤. 经检验,该形式解满足原问题,即为原问题的解.二．行波法行波法：求解一维波动方程的常用解法,利用这种方法得到波动方程的一个重要求解公式（'d Alembert 公式）1.齐次波动方程cauchy 问题定理2.1（'d Alembert 公式）设2C R ϕ∈（）,1C R ψ∈（）,则函数 ()()()()()x+atx-at11u x t =x-at +x+at +d 22a ϕϕψξζ⎰，,[)()2u C R 0+∈⨯∞，是cauchy 问题22222u u-a =0t x∂∂∂∂, x R t>0∈， ()(),0u x x ϕ=, x R ∈()(),0ux x tψ∂=∂, x R ∈的解.例：求解下述波动方程的cauchy 问题()()2222120,,0,0cos ,,0cos ,u u uu x R t t x t u x x x R ux e x x R t -⎧∂∂∂-++=∈>⎪∂∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪=-∈⎪∂⎩解：首先将方程化为标准形式.设u 是原问题的解,令()(),,,,0t v x t e u x t x R t =∈≥则v 是如下问题的解()()222210,,0,cos ,,0,v vx R t t x v x t x x Rvx e x R t-⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪=∈∂⎪⎩ 由定理2.1可知()()()()1111,cos cos 22cos cos ,,0x t x tv x t x t x t e d x t te x R t ζ+---=-+++=+∈≥⎰ 因此()()()1,cos cos t u x t e x t t e -+=+, ,0x R t ∈≥为原问题的解.利用一维齐次波动方程cauchy 问题的通解表达式,还可以求解其他定解问题.在此不再赘述.2.非齐次波动方程的cauchy 问题定理2.2（'d Alembert 公式）设2C R ϕ∈（）,1C R ψ∈（）,[)()10,f C R ∈⨯+∞, 则函数()()()()()()()()011,221,,,02x atx at t x a t x a t u x t x at x at d af d d x R t aττϕϕψξζζτζτ+-+---=-++++∈≥⎰⎰⎰属于[)()20,C R ⨯+∞,是cauchy 问题()()()()()22222,,,0,0,,0,u u a f x t x R t t x u x x x R ux x x R t ϕψ⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪=∈∂⎪⎩的解,其中0a >.注2.1上述问题解得光滑程度本质上取决于初值和非齐次项的光滑程度. 注2.2 如果()(),x x ϕψ和(),f x t 都是x 的奇（偶,周期）函数,则上述问题的解也是x 的奇（偶,周期）函数. 例：求解下述波动方程的定解问题()()()()()()22222,,00,0,0,0,0,0,0u u a f x t x t x u t t u x x x ux x x tϕψ∂∂-=>∂∂=>=>∂=>∂其中0a >,[)()[)()[)[)()2110,,0,,0,0,C C f C ϕψ∈+∞∈+∞∈+∞⨯+∞,且满足相容性条件()()()()2''000,00,0a f ϕψϕ==-=解：注意到如果u 是x 的奇函数,则u 自然满足边值条件.因此,根据注2.2,我们可以采用奇延拓方法来求解上述问题.将()(),x x ϕψ和(),f x t 关于0x =做奇延拓,即令()()(),0,0x x x x x ϕϕ≥⎧⎪Φ=⎨-<⎪⎩ ()()(),,0x x x x x ψψ≥⎧⎪ψ=⎨-<⎪⎩ ()()(),,0,0,,,0,0f x t x t F x t f x t x t ≥≥⎧⎪=⎨-<≥⎪⎩考虑cauchy 问题()()()()()22222,,,0,0,,0,u u a F x t x R t t x u x x x R ux x x R t⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=Φ∈⎨⎪∂⎪=ψ∈∂⎪⎩ 按'd Alembert 公式形式地写出其解()()()()()()()()011,221,,,02x atx at t x a t x a t u x t x at x at d F d d x R t aττξζζτζτ+-+---=Φ-+Φ++ψ+∈≥⎰⎰⎰回到原来的初值,ϕψ和非齐次项f ,就可以得到原问题的形式解如下：当0x at ≥≥时,()()()()()()()()011,221,2x atx att x a t x a t u x t x at x at d a f d d a ττϕϕψξζζτζτ+-+---=-++++⎰⎰⎰ ()1而当0x at ≤≤时,()()()()()()()()()()())/0/11,221(,,2x atat x t x a x a t t x a t a t x t x a x a t u x t at x x at d af d d f d d aττττϕϕψξζζτζτζτζτ+--+-+------=--+++++⎰⎰⎰⎰⎰ ()2可以直接验证由()1和()2确定的形式解[)[)()20,0,u C ∈+∞⨯+∞就是定解问题的解.三．幂级数解法幂级数解法：是求解偏微分方程的经典解法之一,不仅可以求解一维问题,还可以求解高维问题.我们先来求解如下的常微分方程初值问题()()()()2''0,00,'00,u t a u t t u A u +=>== ()()()3.13.23.3其中0a >方程()3.1的通解是()12cos sin ,0u t C at C at t =+≥其中1C 和2C 是任意实数.由边值条件()3.2和()3.3,可得12,0C A C ==.于是,问题()()3.1 3.3-的解为()cos ,0u t A at t =≥注意到()()()201cos ,02!nnn at at t n ∞=-=≥∑因此,问题()()3.1 3.3-的解可写为如下的级数形式()()()()()()222001,02!2!nn nnn n at tu x A a A t n n ∞∞==-==-≥∑∑. ()3.4定理3.1 假设()C R ϕ∞∈,并且对任意的0R >,都存在非负数列{}0n n a ∞=,满足级数()202!nn n t a n ∞=∑在[)0,+∞上收敛,且()2,,0,1,2,n n D x a x R n ϕ≤≤=则函数()()()()()2222200,,,0,2!2!nnn nn n t t u x t x D x x R t n x n ϕϕ∞∞==⎛⎫∂==∈≥ ⎪∂⎝⎭∑∑ 就是波动方程Cauchy 问题()()()22220,,0,0,,0=0,u ux R t t x u x x x R u x x Rt ϕ⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪∈∂⎪⎩的级数形式的形式解.定理3.2 假设()C R ϕ∞∈,并且对任意的0R >,都存在非负数列{}0n n a ∞=,满足级数0!nn n t a n ∞=∑在[)0,+∞上收敛,且()2,,0,1,2,n n D x a x R n ϕ≤≤=则函数()()()22200,,,0,!!nnn nn n t t u x t x D x x R t n x n ϕϕ∞∞==⎛⎫∂==∈≥ ⎪∂⎝⎭∑∑就是热传导方程Cauchy 问题220,,0u u x R t t x∂∂-=∈>∂∂()(),0,u x x x R ϕ=∈的级数形式地形式解.幂级数方法求解问题的一大优点就是空间维数不限,下面的例子是一个高维问题.例：求解三维波动方程的Cauchy 问题()()()()()()()()()232330,,,,0, 3.5,,,0,,,,,, 3.6,,,00,,,,3.7uu x y z R t t u x y z x y z x y z R ux y z x y z R tϕ∂-∆=∈>∂=∈∂=∈∂ 其中222222,x y z∂∂∂∆=++∂∂∂()()2223,,,,,x y z x y z x y z R ϕ=++∈解：令2,a A ϕ=-∆=,则由()3.4可得到问题()()3.5 3.7-的级数形式的形式解()()()()230,,,,,,,,,02!n nn t u x y z t x y z x y z R t n ϕ∞==∆∈≥∑ ()3.8将ϕ的表达式代入()3.8,得()()22223,,,3,,,,0u x y z t x y z t x y z R t =+++∈≥容易验证,这个形式解的确是定解问题的解.四.Fourier 变换方法1.()R ε,()D R 和()R ϕ空间（i ）()R ε空间：对于{}()1n n u C R ∞∞=⊂和()u C R ∞∈,如果对任何a b <及任何非负整数k ,都有[]()()()(),0sup limk knn x a b u x u x →∞∈-= 则称()n u x 在()C R ∞中收敛于()u x ,赋予上述收敛性的函数空间()C R ∞,称为基本空间()R ε.(ii ）()D R 空间：对于{}()01n n u C R ∞∞=⊂和()0u C R ∞∈,如果存在a b <,使得[],n u a b ⊂supp 且对任何非负整数k ,都有()()()()0sup lim k knn x Ru x u x →∞∈-=则称()n u x 在()0C R ∞中收敛于()u x ,赋予上述收敛性的函数空间()0C R ∞,称为基本空间()D R .(iii ）()R ϕ空间：如果()u C R ∞∈,且对任何非负整数k 和m ,都有()()sup k mx Rxu x ∈<+∞,则称()u R ϕ∈.()R ϕ中序列收敛的概念：对于{}()1n n u R ϕ∞=⊂和()u R ϕ∈,如果对任何非负整数m 和k ,都有()()()()()0sup limkkmnn x Rx u x u x →∞∈-= 则称()n u x 在()R ϕ中收敛于()u x .2．速降函数空间上的Fourier 变换(i ）定义：设(),R ϕϕ∈称函数[]()(),ix Rx e dx R ξϕξϕξ-=∈⎰F为ϕ的Fourier 变换,也记为();ϕξ∧称函数[]()-11x (),2ix Re d x R ξϕϕξξπ=∈⎰F为ϕ的Fourier 逆变换,也记为()x ϕ∨. (ii ）性质：a ）设()R ϕϕ∈,对任意正整数m 有()()()[]()()()()[]()11,;m m m m i x ix x ϕξξϕξϕϕ--⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎣⎦F F F F[]()()()()()[]()()()()()11,.m m mm ix x i x ϕξϕξϕξϕ--⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦F F FFb) 设()R ϕϕ∈,对任意正整数0a R b R ∈≠∈和,有[]()[]()()()[]()11(),;ia iaxx a e a x e x ξϕξϕξϕξϕ----=-=⎡⎤⎣⎦F F FF[]()[]()()()[]()1111(),.x bx b x b b bbξϕξϕϕξϕ--==⎡⎤⎣⎦F F FFc) 设()12,R ϕϕϕ∈,则[][][][][][]11112121212,2ϕϕϕϕϕϕπϕϕ---*=*=；F F F FF F [][][][][][]111121212121,.2ϕϕϕϕϕϕϕϕπ---=*=*F F F F FF其中12ϕϕ*表示1ϕ与2ϕ的卷积,即()()()()1212,.R x x y y dy x R ϕϕϕϕ*=-∈⎰d ）Fourier 变换与Fourier 逆变换都是()R ϕ上的连续线性变换.e ）Fourier 变换与Fourier 逆变换互为逆变换. (iii)在速降函数空间中求解热传导方程 考虑热传导方程的Cauchy 问题()()()()()()220,,0,,4.1,0,,4.2u u x t R t xu x g x x R ∂∂-=∈⨯+∞∂∂=∈ 其中()g R ϕ∈.由于()g R ϕ∈,因此,我们猜想Cauchy 问题()()4.1,4.2的解u 满足(),u t •∈()()0.R t ϕ≥将方程()4.1和初值问题()4.2关于x 作Fourier 变换,并利用Fourier 变换的微分性质,得()()20,0,,0,u u t tu g ξξξ∧∧∧∧⎧∂⎪+=>⎪∂⎨⎪=⎪⎩其中R ξ∈.求解这个常微分方程的初值问题,得()()2,,,0.t u t g e R t ξξξξ∧∧-=∈≥关于ξ作Fourier 逆变换,并利用()R ϕ上Fourier 逆变换的线性性质,得(),u x t ()212t ix Rg ee d ξξξξπ∧-=⎰()()22241()21()2().iy t ix R R t i x y R R x y tR g y e dye e d g y e d dy g y e dy ξξξξξξπξπ---+---===⎰⎰⎰⎰ 即问题()()4.1,4.2的解u 具有如下表达式的形式解()()24,(),,0.x y tRu x t g y edy x R t --=∈>特别地,若()22,xg x ex R -=∈,则问题()()4.1,4.2的解u 的形式解为()()()2222442,,,0.x x y y t tRu x t eedy x R t ----+==∈≥⎰且容易验证这个形式解满足方程（4.1）和初值问题（4.2）,从而是问题（4.1）,（4.2）的解.(iv)在速降函数空间中求解弦振动方程考虑弦振动方程的Cauchy 问题()()()()()()()()()22220,,0,,4.3,0,, 4.4,0,,4.5u ux t R t x u x x x R ux x x R tϕψ∂∂-=∈⨯+∞∂∂=∈∂=∈∂其中()()(),x x R ϕψϕ∈.由于()()(),x x R ϕψϕ∈,因此,我们猜想Cauchy 问题()()4.3 4.5-的解u 满足(),u t •∈()()0.R t ϕ≥将方程()4.3和初值问题()()4.4,4.5关于x 作Fourier 变换,并利用Fourier 变换的微分性质,得()()()()()()()2220,0,4.6,0, 4.7,0, 4.8u u t t u ut ξξϕξξψξ∧∧∧∧∧∧⎧∂⎪+=>⎪∂⎪⎪=⎨⎪⎪∂=⎪∂⎪⎩其中R ξ∈.求解这个常微分方程,方程()4.6的通解为()()()12,.i t i t u t C e C e ξξξξξ∧-=+由()()4.7 4.8和,得()()()()()()12121==,.C C C C R i ξξϕξξξψξξξ∧∧+-∈，因此()()()()()()1211=,.22C C R i i ψξψξξϕξξϕξξξξ∧∧∧∧⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()()()()()11,22i t i t u t e e i i ξξψξψξξϕξϕξξξ∧∧∧∧∧-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()1,,0.(4.9)22i t i t i t i t e e e e R t i ξξξξψξϕξξξ∧∧--=++-∈≥将())i t i t e e i ξξξ--改写为()1,,0.t i t i t i t e e e d R t i ξξξττξξ---=∈≥⎰ 对()4.9两端同时关于ξ作Fourier 变换,结合上式可得(),u x t ()()()()11222i t i t i t i t ix R e e e e e d i ξξξξξψξϕξξπξ∧∧--⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎣⎦⎰ ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1144111222112211,,0.22t i x t i x t i i xR Rt t i x t t R ttx tx te e d e d e d x t x t e d d x t x t x d x t x t d x R t ξξξτξξϕξξψξτξππϕϕψξξτπϕϕψττϕϕψξξ∧∧+--∧+--+-=++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭=++-++=++-+∈≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 即问题()()4.3 4.5-的解u 具有如下表达式的形式解()()()()()11,,,0.22x t x t u x t x t x t d x R t ϕϕψξξ+-==++-+∈≥⎰3.广义函数（i ）定义：(),D R ()R ε和()R ϕ上的连续线性泛函分别称为()',D R ()'R ε和()'R ϕ广义函数，它们统称为广义函数；(),D R ()R ε和()R ϕ上的全体连续线性泛函分别记为()',D R ()'R ε和()'.R ϕ(ii)判定：a ）设F 为()D R 上的线性泛函，则()'F D R ∈的充分必要条件是对任何闭区间[],ab ,存在非负整数~k 和正实数,M 使得()[]()()()[]~,0,,.sup k x a b k kF u M u x u D R a b ∈≤≤≤∈⊂且supp ub ）设F 为()R ε上的线性泛函，则()'F R ε∈的充分必要条件是存在闭区间[],a b 以及非负整数~k 和正实数,M 使得()[]()()()~,0,.sup k x a b k kF u M u x u R ε∈≤≤≤∈c ）设F 为()R ϕ上的线性泛函，则()'F R ϕ∈的充分必要条件是存在非负整数~~,m k 和正实数,M 使得()()()()~~0,0,.supk m x Rm m k kF u Mx u x u R ϕ∈≤≤≤≤≤∈4.广义函数空间上的Fourier 变换（i ）定义：设()[]()',f R f Fourier f R ϕϕ∈定义的变换为如下的上的泛函F[][](),,,f f R ϕϕϕϕ=∈，FF也记为;f ∧[]()-1f Fourier f R ϕ定义的逆变换为如下的上的泛函F[][]()-1-1,,,f f R ϕϕϕϕ=∈，F F也记为f ∨. (ii ）性质：a ）设()'f R ϕ∈,有()[]()[]()'1'1,;f i f f x ix f x ξξ--⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎣⎦F FFF[]()()()()[]()()()()'11,'.f ixf x f x i f x ξξξξ--=-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦F FFF这里,导数指广义导数,乘积是指广义函数与其乘子的乘积.b ）Fourier 变换与Fourier 逆变换都是()'R ϕ上的连续线性变换.c ）Fourier 变换与Fourier 逆变换互为逆变换.（iii ）()'R Fourier ϕ上的变换方法考虑热传导方程的Cauchy 问题()()()()()()220,,0,,4.10,0,,4.11u u x t R t x u x g x x R ∂∂-=∈⨯+∞∂∂=∈其中()'g R ϕ∈.由于()g R ϕ∈,因此,我们猜想Cauchy 问题()()4.10,4.11的解u 满足(),u t •∈()()'0.R t ϕ≥将方程()4.10和初值问题()4.11关于x 作Fourier 变换,并利用()'R ϕ上Fourier 变换的微分性质,得()()20,0,,0,u u t tu g ξξξ∧∧∧∧⎧∂⎪+=>⎪∂⎨⎪=⎪⎩其中R ξ∈.求解这个常微分方程的初值问题,得()()2,,,0.t u t g e R t ξξξξ∧∧-=∈≥()()()2'',0t g R e t R ξϕϕ∧-∈≥这里是的乘子.关于ξ作Fourier 逆变换,就可以得到问题()()4.10,4.11的形式解. 例：求解问题()()()()()()220,,0,,4.12,0,,4.13u ux t R t xu x x x R δ⎧∂∂-=∈⨯+∞⎪∂∂⎨⎪=∈⎩解：由于初值不是一个普通函数,所以问题()()4.12,4.13的解不可能在 0t =处连续,因此我们需要重新定义u 满足初值条件()4.13的含义.既然g 是一个不是普通函数的()'R ϕ广义函数,因此我们可以把初值条件()4.13定义为：作为()'R ϕ广义函数,(),u t •在0t =处等于g ,即()()'0lim ,.t u t g R ϕ+→•=于下面我们来求解问题()()()4.12,4.13.1, 5.3g ∧=注意到于是由，得()()22,=,,0.ttu t g eeR t ξξξξξ∧∧--=∈≥0t >因此当时，有()()224-14,,.x t tu x t e x R ξ--⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦F()()4.12,4.13于是我们得到问题的形式解()()24,,0.xt u x t x R t -=∈>，()()()0, 5.1.u C R ∞∈⨯+∞容易验证这个形式解满足方程最后验证它还满足初值条件()5.2,即()()()0lim ,,,,.t u x t x R ϕδϕϕϕ+→=∈事实上,对任意的()R ϕϕ∈,有()()()()()()2244,,,xxt t Ru x t x x ex dx ϕϕϕ--==⎰(22,0.yRe dy t ϕ-=>由控制收敛定理可知()()(200lim ,,lim 2y Rt t u x t x edyϕϕ++-→→=(()200,yRe dy ϕϕδϕ-===五．Laplace 方程的基本解和Green 函数place 方程的基本解求解全空间上的N （≥2）维Poisson 方程()(), 5.1Nu f x x R -∆=∈的解的表达式,先寻找其次Poisson 方程,即Laplace 方程()0, 5.2Nu x R -∆=∈的径向解,设()(||),N u x w x x R =∈是方程（5.2）的一个解,将u 的表达式代入方程（5.2）,得1''(||)'()0,\{0}N N w x w r x R r---=∈也就是说,w 满足方程1''()'()0,0N w r w r r r-+=>即1('())'0,0N r w r r -=>因此1'(),0,N A w r r r-=>其中A 是任意实数.从而2ln ,2(),3N B r C N w r BC N r-+=⎧⎪⎨+≥⎪⎩当，当， 其中B 和C 是任意实数, 定义：称N R 上的函数211ln 22||()1,3(2)||N N N x x N N x πω-⎧=⎪⎪Γ=⎨⎪≥⎪-⎩，当当 为Laplace 方程（5.2）的基本解,也成为Newton 位势,其中N ω是N 维单位球的表面积,Laplace 方程的基本解具有的性质：(1) (\{0})N C R ∞Γ∈,且对任意的\{0}N x R ∈,有()0x ∆Γ=；(2) Γ,1()()Nloc x L R ∇Γ∈,且在广义函数意义下()(),N x x x R δ-∆Γ=∈,即对任意的0()N C R ϕ∞∈,有()()(0)NR x x dx ϕϕ∇Γ⋅∇=⎰或者()()(0)NR x x dx ϕϕΓ⋅∇=-⎰2.Green 函数考虑Poisson 方程的第一边值问题()(),, 5.3u f x x -∆=∈Ω()()(),,5.4u x g x x =∈∂Ω其中Ω是(2)N R N ≥中具有光滑边界的有界区域,设21()()u C C ∈Ω⋂Ω是为题（5.3）,（5.4）的解,可以得到对任意的ξ∈Ω,()()()()()(()()),u x x x u x dx u x x u x dS v vξξξΩ∂Ω∂∂Γ-Γ-∆=-+Γ--∂∂⎰⎰ 即()()()()()()(()()), 5.5u x x u x x u x dx x u x dS v vξξξΩ∂Ω∂∂Γ-=Γ-∆+Γ--∂∂⎰⎰其中v 表示∂Ω的单位外法向量,因此,问题（5.3）,(5.4)属于21()()C C Ω⋂Ω的解可用（5.5）右侧积分值表示出来,但第二个积分式子中含未知数u 沿外法向量的导数,这是我们所不知道的,注意到由Green 公式可以推出：对任意的21()()v C C ∈Ω⋂Ω,有()()(()()()())(()()),v x u x u x v x v x u x dx u x v x dS v vΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰ 即()()()(()()()())(()()). 5.6v x u x u x v x v x f x dx g x v x dS v vΩ∂Ω∂∂∆+=-∂∂⎰⎰由（5.5）和（5.6）得()()()()()[(()())()()()][(()())()()].5.7u u x v x x x v x f x u x v x dx x v x g x dS v v v ξξξξΩ∂Ω=∂∂∂Γ-Γ-++∆+Γ-+-+∂∂∂⎰⎰ 如果21(,)()()()v C C ξξ⋅∈Ω⋂Ω∈Ω是问题()(,)0,,5.8x v x x ξ-∆=∈Ω()(,)(), 5.9v x x x ξξ=-Γ-∈∂Ω的解,那么根据（5.7）有()()()(,)()(),, 5.10G x u G x f x dx g x dS vξξξΩ∂Ω∂=-∈Ω∂⎰⎰其中(,)()(,),(,),.G x x v x x x ξξξξξ=Γ-+∈Ω⨯Ω≠这样我们得到了问题（5.3）,（5.4）一个解的表达式（5.10）定义：如果对任意固定的21(,)()()()v C C ξξ⋅∈Ω⋂Ω∈Ω满足方程（5.8）和边值条件（5.9）,则我们称定义于{(,):}x x ξξ∈Ω⨯Ω≠上的函数(,)()(,)G x x v x ξξξ=Γ-+为Laplace 算子关于区域Ω的Green 函数,称()x ξΓ-为Green 函数(,)G x ξ的奇异部分,而称(,)v x ξ为Green 函数(,)G x ξ的正则部分,注：如果Green 函数(,)G x ξ的正则部分(,)v x ξ存在,则根据第一边值问题（5.8）（5.9）解的唯一性,可知(,)(,),(,).v x v x x ξξξ=∈Ω⨯Ω因此21()().v C C ∈Ω⨯Ω⋂Ω⨯ΩLaplace 算子关于区域Ω的Green 函数(,)G x ξ具有以下性质： （1） 对任意的(,)x ξ∈Ω⨯Ω,x ξ≠,都有(,)(,);G x G x ξξ=（2） 对任意的ξ∈Ω,有21(,)(\{})(\{}),(,)|0,G C C G ξξξξ∂Ω⋅∈Ω⋂Ω⋅=且对任意的\{}x ξ∈Ω,(,)0x G x ξ∆=；（3） 对任意的ξ∈Ω,有1(,),(,)(),x G G x L ξξ⋅∇∈Ω且在广义函数意义下(,)(),x G x x x ξδξ-∆=-∈Ω.注：资料可能无法思考和涵盖全面，最好仔细浏览后下载使用，感谢您的关注！。
偏微分方程基础知识
偏微分方程基础知识偏微分方程是数学中重要的分支，涉及到数学物理、工程学和应用数学等领域。
本文将介绍偏微分方程的基础知识，包括定义、分类、解的求解方法以及一些经典的例子。
一、定义偏微分方程是包含未知函数及其各个偏导数的方程，其一般形式可以表示为：F(x, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ...) = 0其中，u表示未知函数，x和y表示自变量，∂u/∂x和∂u/∂y表示偏导数。
偏微分方程可以是一阶的或高阶的，可以是线性的或非线性的。
二、分类根据方程的性质和特点，偏微分方程可以分为几个主要的分类：1. 抛物型方程：抛物型方程具有热传导、扩散等性质，常见的抛物型方程包括热传导方程和扩散方程。
2. 双曲型方程：双曲型方程具有波动、传播等性质，常见的双曲型方程包括波动方程和二维亥姆霍兹方程。
3. 椭圆型方程：椭圆型方程具有稳定、静态等性质，常见的椭圆型方程包括拉普拉斯方程和泊松方程。
三、解的求解方法解决偏微分方程的具体方法取决于方程的类型、边界条件和初值条件等因素。
以下是几种常见的解法：1. 分离变量法：适用于可分离变量的线性偏微分方程。
通过假设解为一系列函数的乘积形式，将偏微分方程化简为一系列常微分方程。
2. 特征线法：适用于一些特定的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程和一些可变系数的二阶偏微分方程。
通过选取适当的特征线，将偏微分方程转化为常微分方程。
3. 变换法：通过引入适当的变量变换和新的坐标系，将原偏微分方程转化为更简单或标准形的方程，从而求解。
4. 数值方法：对于复杂的偏微分方程，常常需要使用数值方法进行求解，如有限差分法、有限元法和谱方法等。
四、经典的例子1. 热传导方程：描述热传导现象，一维热传导方程可以表示为∂u/∂t = α∂^2u/∂x^2，其中α为热扩散系数。
2. 波动方程：描述波动现象，一维波动方程可以表示为∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，其中c为波速。
偏微分方程课程总结
偏微分方程课程总结一、课程概述偏微分方程是数学的一个重要分支，它描述了时间和空间中某一变量变化率的规律。
这门课程主要涵盖了偏微分方程的基本理论、解法及其应用。
通过学习，我深入理解了偏微分方程在物理、工程、经济等领域的重要作用，也掌握了一些解决实际问题的技巧。
二、课程内容1. 偏微分方程的基本概念：介绍了偏微分方程的定义、分类以及解的存在性与唯一性。
2. 求解方法：讲解了分离变量法、积分变换法、有限差分法等基本解法，并进行了实例分析。
3. 线性偏微分方程：重点讨论了线性偏微分方程的基本理论，包括解的存在性、唯一性、正则性等，以及一些常见的线性偏微分方程的解法。
4. 非线性偏微分方程：探讨了非线性偏微分方程的基本理论，如整体解、奇异解、周期解等，并介绍了一些重要的非线性偏微分方程。
5. 应用实例：结合实际问题，如热传导、波动现象、流体动力学等，进行了偏微分方程的应用分析。
三、课程收获通过这门课程，我不仅掌握了偏微分方程的基本理论，还学会了如何运用这些知识解决实际问题。
我深入理解了偏微分方程在各个领域的应用，也学会了如何将复杂的实际问题转化为数学模型。
此外，我还提高了自己的数学思维能力，学会了如何分析问题、解决问题。
四、课程不足虽然这门课程让我收获颇丰，但也有一些不足之处。
首先，课程内容较为抽象，对于初学者来说可能有一定的难度。
其次，课程中涉及的数学知识点较多，需要有一定的数学基础才能更好地理解。
最后，课程的应用实例部分可以更加丰富，以便更好地展示偏微分方程的实际应用价值。
五、总结与展望总体来说，这门偏微分方程课程非常值得学习。
通过学习，我不仅掌握了偏微分方程的基本理论和方法，还学会了如何运用这些知识解决实际问题。
在未来的学习和工作中，我将继续深入学习偏微分方程的相关知识，不断提高自己的数学素养和解决实际问题的能力。
同时，我也希望能够将所学的知识应用到实际工作中，为解决实际问题做出贡献。
陈泽光偏微分方程笔记
陈泽光偏微分方程笔记（实用版）目录1.偏微分方程的概念及一般形式2.弱导数和分布导数的定义3.半线性抛物型偏微分方程的概述4.偏微分方程四大方程的内容5.结论正文一、偏微分方程的概念及一般形式偏微分方程是一种涉及多个自变量的微分方程，它联系着几个自变量、偏导数以及未知函数的等式。
偏微分方程的一般形式可以表示为：f(x1, x2,..., xn) = 0其中，f(x) 是已知函数，x(x1, x2,..., xn) 属于欧几里得空间 Rn，u(x) 表示未知函数。
二、弱导数和分布导数的定义弱导数和分布导数是偏微分方程中常见的概念。
弱导数是指函数在某点处的导数，它是一种局部性质。
分布导数是指函数在某点处的导数，它是一种全局性质。
在 Sobolev 空间中，弱导数和分布导数的定义可以参考 Lawrence C.Evans 的《Partial Differential Equation》一书。
三、半线性抛物型偏微分方程的概述半线性抛物型偏微分方程是一种特殊的偏微分方程，它的最高阶导数（即二阶导数）部分纯粹是线性的，它的非线性只出现在函数及其一阶导数项。
这样的方程称为半线性方程。
例如，在热平衡问题中，如果热传导系数是常数，但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的热源，则可得抛物型偏微分方程。
四、偏微分方程四大方程的内容偏微分方程四大方程包括：Laplace 方程（调和方程）、Poisson 方程（泊松方程）、Helmholtz 方程（亥姆霍兹方程）和 Maxwell 方程（麦克斯韦方程）。
这些方程在物理、工程等领域具有广泛的应用。
五、结论偏微分方程是一种重要的数学工具，它应用于许多领域，如物理、工程、生物学等。
偏微分方程：一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学
偏微分方程：一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学偏微分方程这门数学学科，对于广大中学生来说，恐怕是完全陌生的，难免会感到高不可攀；至于说它是一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学，恐怕更显得匪夷所思了。
尽管如此，这篇短文仍希望能对此做一个简单的说明和介绍。
1.什么是偏微分方程？中学里的数学，已讲过函数，并涉及到一点简单的微积分。
说是自变量的一个函数，记为，是指当自变量在一给定的范围中变动时，函数的值也按一定的规则相应地变动。
例如，以匀速运动的物体，其位移是时间的一次函数：, 而自由落体的位移则是时间的二次函数：（其中为重力加速度），等等。
函数的变化率，表示函数值随着自变量变化的速率，则用其对的导数来表示。
在匀速运动的情形，位移对时间的导数就是速度；而在自由落体运动的情形，位移对时间的导数是 ,它也是一个的函数。
上面这些函数都只有一个自变量，统称为一元函数，是比较简单的情形。
在众多的实际应用中，一个函数所依赖的自变量往往不止一个。
例如，一个矩形的面积等于其长与宽的乘积，即。
当或变动时，的值都要相应的变化，就是及的一个二元函数。
当自变量的个数更多时，类似地有多元函数。
对一个多元函数，可以相应地考虑其对某个自变量的变化率，即当其他自变量暂时固定时、该函数对此自变量的变化率，称为该函数对此自变量的偏导数(在经济学中,称之为边际效益!),它一般也是已有一切自变量的函数。
例如，矩形的面积对其长的偏导数，记为，其值为；而对其宽的偏导数，则记为，其值为。
对于一个多元函数而言，不仅可以有一阶的偏导数及，而且由于一阶偏导数仍是一个多元函数，还可以继续求偏导数，从而还有二阶的偏导数，及，等等。
由于多元函数在应用中的重要性，对其研究必然会引起极大的重视。
这比研究一元函数要困难得多，对数学也提出了新的发展机遇与挑战。
在一元函数的情形，如果在决定未知函数的方程中包括其某些导数，则称其为常微分方程。
求解相应的常微分方程得到其解，即得到所求的未知函数，已经对解决很多应用问题带来了极大的推动与帮助。
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偏微分方程 （13）
古典解的性质
—— 热传导方程
能 量 估 计
该类估计方法在物理上可以反映能量关系 特点: 在方程两端乘以u的某种关系式, 再 积分, 利用 利用一些已知的不等式进行估计 些已知的不等式进行估计, 最 终得到解u与已知函数之间的积分不等式.
1
常用概念
设 Ω ⊂ R , p ≥ 1. 1 我们用 L (Ω) 表示满足条件
N p
的 Ω 上的Lebesgue可测函数u所构成的线性空 p 间. 对 u ∈ L (Ω), 定义 1/ p
|| u || p = || u || L p ( Ω ) =
∫
Ω
| u( x ) |p dx < +∞
(∫
Ω
| u ( x ) | p dx
)
.
Ω 上的Lebesgue可测函数 u 称为在 Ω 上本性有 界,如果存在 如果存在一个常数 个常数 K 使得 | u( x ) |≤ K a .e . Ω . 常数 K的下确界叫做 u 在 Ω 上的本性上确界, 记做
ess sup | u ( x ) | .
L (Ω) 表示Ω 上全体本性有界函数组成的线性空间.
|| u ||∞ = || u || L∞ ( Ω ) = ess sup | u ( x ) | .
x∈Ω
∞
x ∈Ω
2
常用概念
L (Ω)
p loc
u 是 Ω 上的可测函数:
对任意的紧集 G ⊂ Ω , 都有 u ∈ Lp (G)
L (Ω) 中的函数称为 Ω 上的局部可积函数.
1 loc
设 u 和 v 是 R 上的局部可积函数, 如果 u 和 v 满 足积分等式
− ∫ u( x )ϕ '( x )dx = ∫ v ( x )ϕ ( x )dx ,
R R
∀ϕ ∈ D( R ),
3
则称 u 广义可导, 而称 v 为 u 的广义导数.
常用概念
设 Ω ⊂ R , 定义
N
H 1 (Ω )
u ∈ L (Ω ) : u 的一阶广义偏导数 ∂u 2 都属于 L (Ω) ( j = 1,2, 1 2 N) ∂x j
2
|| u || H 1 ( Ω ) =
(∫
Ω
( u ( x ) + | ∇ u ( x ) | ) dx
2 2
)
1/ 2
.
1 ∞ H0 (Ω) 是由 C0 (Ω) 按H1 (Ω)中的范数完备化得到的.
∞ 即 C0 (Ω) 中所有按 H1 (Ω) 中的范数的Cauchy序 列的极限构成的集合.
4
Poincaré 不等式
N
常用不等式
设 Ω ⊂ R 为一有界区域, 则存在仅依赖于 Ω 直 1 u ∈ H μ > 0 径的常数 , 使得对所有的 0 (Ω) , 都有
∫
Ω
u ( x )dx ≤ μ ∫ | ∇u( x ) | dx .
2 2 Ω
Young不等式 1 1 0 b>0 0, p > 1 1, q > 1, 1 且 + = 1. 1 则有 设 a > 0, p q p q a b ab ≤ + . p q 当 p = q = 2 时, 又称为Cauchy 不等式
5
考虑
能量估计
∂u − Δ u + c ( x , t ) u = f ( x , t ), ∂t u( x , t ) = 0,
假如所给的边值条件为
( x , t ) ∈ QT , ( x , t ) ∈ ∂ p QT .
u ( x , t ) = g ( x , t ),
( x , t ) ∈ ∂ p QT ,
而 g 在 QT 上适当光滑, 则可代替原方程而考虑 u − g 的方程, 它是一个右端换成了另一个函 数的热传导方程.
6
考虑
能量估计
∂u − Δ u + c ( x , t ) u = f ( x , t ), ( x , t ) ∈ QT , ∂t ( x , t ) ∈ ∂ p QT . u ( x , t ) = 0,
定理2.12 2 12 设 Ω 是 N 中的有界区域, c 是 QT 内的非 2 2,1 0,1 f ∈ L ( Q ), u ∈ C ( Q ) ∩ C (Ω × (0, T )) ∩ C (QT ) 负函数, T T 是上述问题的解, 则
0< t <T
sup || u(⋅, t ) ||L2 (Ω) + || u ||L2 (Q ) + || ∇u ||L2 (Q ) ≤ M || f ||L2 (Q ) ,
T T T
其中 M 仅依赖于Ω 的直径.
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这种能量估计方法对于Poisson方程也是成立的. 对于弦振动方程来说, 极值原理不再成立. 这是双 曲型方程与椭圆型方程和抛物型方程的一个重要 差别.
∂ 2u ∂ 2u − 2 = 0, 0 < x < 2π , t > 0, 2 ∂t ∂x u(0, t ) = u(π , t ) = 0, t > 0, u( x , 0) = 0 0, 0 < x < 2π , ∂u ( x , 0) = sin x , 0 < x < 2π . ∂t
u( x , t ) = sin x sin t
可以验证u为解且其上下确界均在区域内部达到. 可以对双曲型方程建立能量估计.
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磨光算子
定理
设是中的开集, 则()(),1,p x L p ϕ∈Ω≤<∞ΩN R ()();
N
J x C εϕ∞∈R 1)2)||||||||;
p p J εϕϕ≤00−3)||||0,0.
p J εϕϕε→ →变分学基本原
变分学基本原理设1
)如果
0,(),
u x x dx C ∞= ∀∈R (),loc u L ∈R 0()(),ϕϕ∫R 则()0,...u x a e x = ∈R
谢谢大家。