小波分析与实例
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ppt课件
1
小波分析
小波分析讲解
2
ppt课件
傅里叶变换与小波分析
小波分析的基本知识
多尺度分析与Mallat算法
小波分析的应用
1、傅里叶变换与小波分析
3
ppt课件
小波分析是近年来迅速发展起来的一个数学分支。除了 在数学学科本身中的价值外，小波分析在许多非数学的 领域也有着广泛的应用。
1、傅里叶变换与小波分析
ppt课件
Daubechies(dbN)小波系（多贝 24 西）
多贝西小波是以英格丽·多贝西的名字命名的一种 小波函数，多贝西小波主要应用在离散型的小波转换， 是最常使用到的小波变换。多贝西小波是一种正交小波， 所以它很容易进行正交变换。
对于有限长度的小波，应用于快速小波变换时， 会有两个实数组成的数列：一是作为高通滤波器的系数， 称作小波滤波器；二是低通滤波器的系数，称为调整滤 波器（尺度滤波器）。
ppt课件
1、傅里叶变换与小波分析
6
ppt课件
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段 信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。 因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。然而平稳信号大多是 人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生 物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样简单 的方法。
17
ppt课件
a,bta12tab b R ,a R 0
称为依赖参数a，b的连续小波，叫基本小波或 小波。若是窗函数，就叫为窗口小波函数，一般我 们恒假定为窗口小波函数。
2、小波分析的基本知识
18
ppt课件
a为尺度参数
2、小波分析的基本知识
19
ppt课件
b为位移参数
2、小波分析的基本知识
20
成立的自变量为实数的
L²（0,2π）：f（x+2π）=f（x），2 f(t)2dt 0
2、小波分析的基本知识
16
ppt课件
小波定义：
设ψ∈L²（R）∩L（R），在R上不几乎处处为0，
且满足
C
|ˆ()|2 ||
d
^
则称ψ为小波。其中() 为ψ的傅里叶变换。
1 (t)ei t dt
2
2、小波分析的基本知识
1, 0 t 1/2 (t) -1, 1/2 t 1
0, others
Haar小波是一组相互正交的函数集，是一个最简单的时域不连续的二进 小波，Haar的应用十分广泛，常用与图像处理。
ppt课件 2020/10/6
22
一维连续小波的例子
2. Mexico草帽小波(：t ) 21/4(1-t2)e-t2/2 3
4
一、傅里叶变换
ppt课件
对于平稳信号，做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上 看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。
1、傅里叶变换与小波分析
频率随着时间变化的非平稳信号，进行FFT后：
5
如左图，最上边的是频 率始终不变的平稳信号。 而下边两个则是频率随 着时间改变的非平稳信 号，它们同样包含和最 上信号相同频率的四个 成分。做FFT后，我们 发现这三个时域上有巨 大差异的信号，频谱 （幅值谱）却非常一致。 尤其是下边两个非平稳 信号，我们从频谱上无 法区分它们，因为它们 包含的四个频率的信号 的成分确实是一样的， 只是出现的先后顺序不 同。
草帽函数又称为Marr小波。其在时域、频域都有很好的局部特性，但它的 正交性尺度函数不存在，主要用于信号处理和边缘检测。
23
一维连续小波的例子：
ppt课件 2020/10/6
3. Morlet小波：
(t)ejte-t2/2
式中，i表示虚数，w表示常数。Morlet小波不具有正交性的同时也不 具有紧支集。其特点是能够获取信号中的幅值和相应的信息，广泛应用于 地球物理信号处理中。
（3）将小波函数沿时间轴右移一个单位时间，然后重 复（1）、（2）步骤，求出变换系数C，直到覆盖整个 信号长度；
小波运算的步骤
14
ppt课件
• （4）将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复 步骤（1）、（2）、（3）；
• （5）对所有的伸缩尺度重复步骤（1）、（2）、（3）、 （4）。
2、小波分析的基本知识
15
小波基础术语:
ppt课件
①紧支撑:对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取 到值；而在此之外，f(x)取值为0。
那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就 叫做紧支撑集。
比如：在(-1,1)之间的高斯函数。
②L²（R）:满足
f (t)2dt
实值或复值函数f的全体。
O f M lo 2M g, O wM
1、傅里叶变换与小波分析 11
ppt课件
1、傅里叶变换与小波分析 12
ppt课件
小波运算的步骤
13
ppt课件
（1）选择小波函数，并与分析信号起点对齐；
（2）计算在这一时刻要分析信号与小波函数的逼近程 度，即小波变换系数C。C越大，就意味着此刻信号与所 选择的小波函数波形越相近；
我们通常以滤波器长度N来形容滤波器为dbN，例 如N=2的多贝西小波写作db2；N=4的多贝西小波写作db4 。
②波动性：(x)dx0
小波的3 个特点
10
ppt课件
小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示 发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。 （傅里叶变换只具有频率分析的性质）
小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声 过滤等）
小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量 级。信号长度为M时， Fourier变换（左）和 小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
事件相关电位
股市折线图
1、傅里叶变换与小波分析
7
ppt课件
加窗傅里叶变换（短时傅里叶变换STFT）
1、傅里叶变换与小波分析
8
ppt课件
窗划分太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。 窗划分太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
1、傅里叶变换与小波分析
9
ppt课件
小波定义： ①小
ppt课件
小波正变换：
W f(a,b)f(t) (a,b)(t)dt
f(t)L2(R)
小波逆变换：
f(t) 1
C
Biblioteka Baidu
Wf(a,b)(a,b)(t)daa2 db
Wf (a,b) 是f（t）在函数(a,b)(t) 上的投影。
21
ppt课件 2020/10/6
一维连续小波的例子：
1. Haar小波：
1
小波分析
小波分析讲解
2
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傅里叶变换与小波分析
小波分析的基本知识
多尺度分析与Mallat算法
小波分析的应用
1、傅里叶变换与小波分析
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小波分析是近年来迅速发展起来的一个数学分支。除了 在数学学科本身中的价值外，小波分析在许多非数学的 领域也有着广泛的应用。
1、傅里叶变换与小波分析
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Daubechies(dbN)小波系（多贝 24 西）
多贝西小波是以英格丽·多贝西的名字命名的一种 小波函数，多贝西小波主要应用在离散型的小波转换， 是最常使用到的小波变换。多贝西小波是一种正交小波， 所以它很容易进行正交变换。
对于有限长度的小波，应用于快速小波变换时， 会有两个实数组成的数列：一是作为高通滤波器的系数， 称作小波滤波器；二是低通滤波器的系数，称为调整滤 波器（尺度滤波器）。
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1、傅里叶变换与小波分析
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可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段 信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。 因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。然而平稳信号大多是 人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生 物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样简单 的方法。
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a,bta12tab b R ,a R 0
称为依赖参数a，b的连续小波，叫基本小波或 小波。若是窗函数，就叫为窗口小波函数，一般我 们恒假定为窗口小波函数。
2、小波分析的基本知识
18
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a为尺度参数
2、小波分析的基本知识
19
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b为位移参数
2、小波分析的基本知识
20
成立的自变量为实数的
L²（0,2π）：f（x+2π）=f（x），2 f(t)2dt 0
2、小波分析的基本知识
16
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小波定义：
设ψ∈L²（R）∩L（R），在R上不几乎处处为0，
且满足
C
|ˆ()|2 ||
d
^
则称ψ为小波。其中() 为ψ的傅里叶变换。
1 (t)ei t dt
2
2、小波分析的基本知识
1, 0 t 1/2 (t) -1, 1/2 t 1
0, others
Haar小波是一组相互正交的函数集，是一个最简单的时域不连续的二进 小波，Haar的应用十分广泛，常用与图像处理。
ppt课件 2020/10/6
22
一维连续小波的例子
2. Mexico草帽小波(：t ) 21/4(1-t2)e-t2/2 3
4
一、傅里叶变换
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对于平稳信号，做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上 看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。
1、傅里叶变换与小波分析
频率随着时间变化的非平稳信号，进行FFT后：
5
如左图，最上边的是频 率始终不变的平稳信号。 而下边两个则是频率随 着时间改变的非平稳信 号，它们同样包含和最 上信号相同频率的四个 成分。做FFT后，我们 发现这三个时域上有巨 大差异的信号，频谱 （幅值谱）却非常一致。 尤其是下边两个非平稳 信号，我们从频谱上无 法区分它们，因为它们 包含的四个频率的信号 的成分确实是一样的， 只是出现的先后顺序不 同。
草帽函数又称为Marr小波。其在时域、频域都有很好的局部特性，但它的 正交性尺度函数不存在，主要用于信号处理和边缘检测。
23
一维连续小波的例子：
ppt课件 2020/10/6
3. Morlet小波：
(t)ejte-t2/2
式中，i表示虚数，w表示常数。Morlet小波不具有正交性的同时也不 具有紧支集。其特点是能够获取信号中的幅值和相应的信息，广泛应用于 地球物理信号处理中。
（3）将小波函数沿时间轴右移一个单位时间，然后重 复（1）、（2）步骤，求出变换系数C，直到覆盖整个 信号长度；
小波运算的步骤
14
ppt课件
• （4）将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复 步骤（1）、（2）、（3）；
• （5）对所有的伸缩尺度重复步骤（1）、（2）、（3）、 （4）。
2、小波分析的基本知识
15
小波基础术语:
ppt课件
①紧支撑:对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取 到值；而在此之外，f(x)取值为0。
那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就 叫做紧支撑集。
比如：在(-1,1)之间的高斯函数。
②L²（R）:满足
f (t)2dt
实值或复值函数f的全体。
O f M lo 2M g, O wM
1、傅里叶变换与小波分析 11
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1、傅里叶变换与小波分析 12
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小波运算的步骤
13
ppt课件
（1）选择小波函数，并与分析信号起点对齐；
（2）计算在这一时刻要分析信号与小波函数的逼近程 度，即小波变换系数C。C越大，就意味着此刻信号与所 选择的小波函数波形越相近；
我们通常以滤波器长度N来形容滤波器为dbN，例 如N=2的多贝西小波写作db2；N=4的多贝西小波写作db4 。
②波动性：(x)dx0
小波的3 个特点
10
ppt课件
小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示 发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。 （傅里叶变换只具有频率分析的性质）
小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声 过滤等）
小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量 级。信号长度为M时， Fourier变换（左）和 小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
事件相关电位
股市折线图
1、傅里叶变换与小波分析
7
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加窗傅里叶变换（短时傅里叶变换STFT）
1、傅里叶变换与小波分析
8
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窗划分太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。 窗划分太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
1、傅里叶变换与小波分析
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小波定义： ①小
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小波正变换：
W f(a,b)f(t) (a,b)(t)dt
f(t)L2(R)
小波逆变换：
f(t) 1
C
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Wf(a,b)(a,b)(t)daa2 db
Wf (a,b) 是f（t）在函数(a,b)(t) 上的投影。
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一维连续小波的例子：
1. Haar小波：