(参考资料)折叠类家具设计的数学模型

针对问题三，本文在问题一的模型基础上进行改进，并加入问题二的模型的约束条件，从 而建立一个能满足客户对桌高、桌面边缘线和桌脚边缘线要求的一般模型。并且我们展示了两 个创意折叠桌的设计。
关键词： 创意折叠桌 槽长 桌脚边缘线 加工参数
1
一、问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ述
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌脚随着铰链的活动可以平摊成一张平板。 桌脚由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌脚 各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成， 造型美观。
针对问题一，分析可知，木条的运动实质上是旋转，每根木条都绕着各自的铰链旋转，因 此，建立空间直角坐标系，给出了描述折叠桌动态变化过程的模型。紧接着，利用 MATLAB 绘出了折叠桌在 xoz 平面的运动轨迹，然后计算出钢筋在每条桌脚木条中的初始位置和最终位 置，两者做差即可求出每根桌脚木条的所需的开槽长度（见表 2）。同时，在 xoz 平面的运动轨 迹的基础上，建立了桌脚边缘线的参数方程（见方程组 5）。
问： 1. 给定长方形平板尺寸为 120cm ×50cm ×3cm ，每根木条宽 2.5cm ，连接桌脚木条的钢筋 固定在桌脚最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53cm 。试建立模型描述此折叠桌的 动态变化过程，并给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌脚木条开槽的长度等）和桌脚边缘 线的数学描述。 2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高 度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平 板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70cm ，桌面直径 80cm 的情形，确定最优设计加 工参数。 3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形 状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参 数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。我们团队的任务是帮助给出这一软件设 计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设 计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图。
3
四、符号说明
为了建立模型的方便，我们引入如下符号：
符号 h d R
A1 An
B1 Bn C1 Cn D1 Dn
E1 En M O x y
表 1 符号说明
定义 桌面底面距地面的高度 最外侧桌脚的边缘距地面的高度
圆桌半径 最外侧桌脚触地时与地面的夹角
第 n 条桌脚的铰链位置
针对问题二，本文分别对稳固性、加工方便和节省用料进行分析。对于稳固性，本文对折 叠桌进行受力分析，并得出最长桌脚越垂直于桌面越稳固；对面节省用料，由于桌面直径和桌 高一定，所以用料只与桌脚长度有关；对于加工方便，本文用开槽长度这一指标来度量加工难 易，并得出一结论：折叠桌在桌面直径、桌脚长度和桌高一定的情况下，钢筋位置越低，开槽 长度越短。
2
问题一给定了长方形平板的尺寸、每条木条的宽度、钢筋的位置位于最外侧木条的中心以 及桌子的高度。则我们可以建立三维直角坐标系，描述桌子的动态变化过程。根据钢筋固定在 桌脚最外侧的木条的中心位置和运动过程中的几何关系，可以计算出钢筋在每条桌脚木条中的 初始位置和最终位置，两者做差即可求出每根桌脚木条的所需的开槽长度。另外，我们可以领 桌脚木条趋近于零，根据桌脚木条的边缘点的坐标，列表或画成散点图描述桌脚边缘线，求出 解析式，近似描述真实的桌脚边缘线。
问题二给定折叠桌的高度和圆桌桌面直径，要求在产品稳固性好、加工方便、用材最少的 条件下，给出长方形平板材料和折叠桌的最有设计加工参数。
1）对于产品稳固性，我们对折叠桌进行受力分析，讨论折叠桌桌面与桌脚形成的角度和 最大承受力的关系。
2）对于加工方便，我们将尽可能减少开槽长度。又因为开槽长度与钢筋位置有关，即钢 筋位置越低，开槽长度越短，所以我们通过调节钢筋位置来减少开槽长度，从而达到加工方便。
折叠类家具设计的数学模型
摘要
折叠家具的研究目的在于有效的利用或节省环境空间，并且在有限空间中追求宜人效果， 借助先进的科技手段发现新的家具折叠方式，即可丰富家具品种，又可愉悦用户生活，寻求折 叠式产品设计的新概念，为设计师提供展示才华和实现瞎想的平台，为产品设计的整体水平的 提高增加素材。但在当今的信息社会中，每时每刻都面临着激烈市场竞争与挑战。本文为创意 折叠桌的设计建立模型。
完全平铺时第 n 条桌脚最外侧边缘点
二、问题分析
本题主要是研究在客户指定的要求下（如折叠桌高度、圆桌桌面直径设计、桌面边缘线的 形状大小等），和在产品稳固性好、加工方便、用料最少的基本要求下，应如何给出所需平板 材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的 形状。最后由特殊到一般，遵从产品稳固性较好、加工较方便、用材最少的原则，设计折叠桌 的各项加工参数指标，建立给出相应的最优设计加工参数的数学模型。
三、模型假设
为了建立模型的方便，我们引入如下假设： 1、假设不考虑桌脚的若干木条之间的间隙； 2、假设钢筋与木条的空槽之间光滑，没有摩擦； 3、假设钢筋的直径小于木板的厚度； 4、假设钢筋质量良好，不会发生弯曲或者变形； 5、假设桌脚之间光滑，不影响桌子正常展开； 6、假设木板厚度均匀，且设计时所用平板材料的厚度不变，为 3cm ；
3）对于用材最少，由于桌面直径确定，木条厚度一定，所以，在高度一定的情况下，用 材最少，即腿长最短。
这样，在上述三个约束条件下，我们可以建立一个关于设计的优化模型。 问题三要求根据客户任意设定的折叠高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形 状，给出所需平板材料的形状尺寸和相关设计加工参数。首先，我们可以根据客户给出的大致 桌面边缘线的形状和桌脚边缘线的形状，建立空间直角坐标系，得到相应的坐标，从而得到折 叠桌的运动轨迹，然后将数据代入一般模型，即可得到设计加工参数。