第3章动力计算习题

F M 1 I 2

0
展开得：
64 m 256 m 12 m 160 3EI 1 3EI 2 3EI m 512 1 160 m 896 m (2) 0 3EI 2 3EI 2 3EI m 1728 1 (3) m 256 m 896 2 3EI 2 3EI 3EI
2
2π
1 2 3
1 1 1 k1 k 2 k3
T1 T2 T3
2 2
2
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思考题
体系的质点位移编号如图所示，杆长均为l， 写出体系的质量矩阵M和频率方程。
2方向
m 0 解： M 0 3m
1方向
m EI 2m EI EI
例 4. 悬臂梁上作用3个质量分别为 m1=m2=m, m3=0.5m 的质点,梁的EI为常数，试求此体系的 自振频率和振型。
代入 1 0.0465 EI
m
由上述方程的任意两式可解得：
1(3) 6.17
m
1(2) 3.33
同样代入 2 0.264 EI
2(2) 1.001
可解得：
2(3) 1.405
同样代入 3 0.654 EI
3(2) 0.716
可解得： m 3(3) 0.45
习题训练
结构动力计算习题
训练求解集中质量（质点）对应
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− 结构本身固有的动力特性； − 结构的动力响应；
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例1 设直杆的轴向变形不计，图示体系的动力自由度为 多少？
(a) m1 m2
1 2
(b)
m3
自由度为2
例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体 系的动力自由度数为多少？
第一主振型为：
φ1={ 0.3332 0.6665 1 }T
将 2 1.6665 代入上式，令2（3）=1，同样可解得： φ2(1)=-0.6665 ， φ2(2)=-0.6665 ， 第二主振型为： 将
φ2={ -0.6665 -0.6665 1 }T
3 4.0 代入上式，令3（3）=1，同样可解得：
(a) (a) (a)
2 l/ l/ 2
l/ 2 EI EI EI
m m m EI EI EI EI EI EI l ll
F sinθ F sinθt
(b) (b) (b) F I1 F I1 F I1 F sinθt Fsinθttt Fsinθ θ
(c) (c)1 l /2 (c) 11 l /2/2 l l /2 /2 l l /2
k33
k13 k31 0
12EI 3 6 2 98 10 N / m 3 l
k12 k21
12EI 2 6 2 196 10 N / m 3 l
k23 k32
12EI 3 6 2 98 10 N / m 3 l
（3）求振型 将计算的结果代入方程：
(d) 1 (e) 1/8 F=1 1/8 17/64 (f) 17/64 1/8 33/64 33/64 Md（ sinθ t ) Fl 1/8 17/64 17/64
l
M1
3/8
MP ( Fl )
例8：求图a所示体系的自振频率及主振型。梁EI =常数。
(a) m EI1=∞ l/ 2 l l/ 2 m (b) m
1 30.12s
1
1 46.67s
1
12EI 12EI 6 k11 3 1 3 2 2 441 10 N / m l l
12EI 12EI 6 k22 3 2 3 3 2 294 10 N / m l l
X1 4l 3 ， 1 267EI k1 267EI m 4ml3
另解：体系简化成并联弹簧体系（图b），设梁在质点 m处的刚度系数为k2，k2=1/2 ，由M 图（图c） 可求得2
1 1 2l l 2l 2 1 2l 2l 2l 2 4l 3 2 ( ) EI 2 9 3 9 3 2 9 3 9 3 243EI
例3：图a 所示结构周期为Ti，求 图b所示体系周期。
(a) ki m
(b) k1 k2 k3 m
解：图b体系为串联弹簧，其柔度δ （刚度系数k的倒数）等于各弹 柔度δi（簧刚度系数ki的倒数） 之和。
m T 2π 2π m k 1 1 1 (2π) m( ) k1 k 2 k3

1.405
第三主振型
0.45
振型的动态显示
例5. 单跨三层平面刚架如图所示，假定刚架的质量全部集中在各层 横梁上，m1=m2=270t, m3=180t。各柱截面的惯性矩。 I1=3.267 10-3m4, I2=2.6110-3m4, I3=1.30710-3m4,横梁I4=∞，材料弹性模 量E=200Gpa。忽略杆的轴向变形,求刚架的自振频率和振型。
（注意：质量应减半）
l3 l3 11 ， 1P 代入方程，得 12 EI 24EI Fl 3 ml 4 1 (t ) y1 (t ) sin t y 24EI 24EI
由于
1 m 11
12EI 24EI ，代入上式，则方程变为 l ml 4 m l3 2
1
I3 I2 I1
m2 I4
4m
4m
m3 I4
m3
2
k 31
I3
1
k 32 k22 k12
k 33 k 23 k13
m2
2
k 21
I2
4m
m1 I4
m1
2
k11
1
I1
(c) (d) (e) 解: (1) 体系由3个自由度；采用刚度法计算。现计算刚度系数
12EI 12EI 6 k11 3 1 3 2 2 441 10 N / m l l
(K
M)
2
0
(K
M )
2
2 0 (1) 45 15 98 10 2 3 15 1 (2) 0 0 1 1 (3)
6
将 0.3335 代入上式，令1（3）=1，展开任意两个 1 方程可解得： φ1(1)=0.3332 ， φ1(2)=0.6665 ，
12EI 2 6 2 196 10 N / m 3 l
（2）求各阶频率 把计算得到的系数代入频率方程。
k11 k21 k31
9810
k12 k22 k32
2
k13 m1 2 k23 0 0 k33
2
0 m2 0
6
0 0 0 m3
（d)
1
Fsin Fsinθθtt Fsinθ t l/ 22 l/ l/ 2
l/l/2 l/22
ll/2/2 l /2
M 11 1 MM
l
M1
3
解：利用对称性取半边结构如图b所示。 柱顶位移 y1 (t ) F sin t 1P FI111 惯性力：
FI1 1 m l1 (t ) y 2
[解] (1) 求频率
用柔度法。可分别在1、2、 3点作用单位力，画出弯 矩图，利用图乘法就可以 求出各柔度系数值fij。
4m m
1
m
2
0.5m
3
(a)
4m
4m
4
1 2 3
M1
8 f11 64 , f22 512 3EI 3EI f33 1728 f23 f32 896 3EI 3EI 12 f12 f21 160 3EI f13 f31 256 3EI
m1
EI 1 =∞ EI EI
m2
EI
m1
EI 1=∞ EI
m2
自由度数5
例2：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。
k1 k2 (b) k3
ki (a)
解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚度 系数ki之和.
k=k1+k2+k3
k1 k2 k3 k 2 2 2 1 2 3 m m
(a) A (b)
F= 1
A B
m
B
Fra Baidu bibliotek
k1
l/ 3 (c) A 2l 9 B 2 l /3 (d) A
X1
F= 1
B 2l 9
X 1=1
M 1图
M P图
解： 本题的重点是求柔度系数， 用力法， 取图b的 X 11 X 1 1P 1 基本体系。力法典型方程为 k
1
8 ， 因此 X1 应用图乘法求出系数并代入方程解得 89
第三主振型为： φ3={ 4.0 -3.0 1 }T 或φ3={ 1 -0.75 0.25 }T
（4）刚架的振型图
4 8
1
4
8
1
4
8
0.25
3
7 0.6665
0.6665
3 7
0.75
3 7
2
6 0.3332
0.6665
2 6
2
6
1
1
y 5 x
1
y
5
1
5
x

振型的动态显示
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例6： 求图a所示结构的自振频率，EI=常数, 弹簧的刚 度系数 k=6EI／l3。
解上述方程可得：
1 0.0465 EI ,
m 3 0.653 EI m
2 0.264 EI
m
f11 64 , f22 512 3EI 3EI f33 1728 f23 f32 896 3EI 3EI f12 f21 160 3EI f13 f31 256 3EI
则振型向量为：
1 1 3.33 6.17 1 2 1.001 1.405 1 3 0.176 0.45
振型图如下：
1
第一主振型
3.33 6.17
第二主振型
1 1.001 0.716 1
A m B
m C k2 (a)
k1
k1
243 EI k2 4l 3
k1
l/ 3
2 l /3
k2 m (b)
F=1
(a)
k1 k2 267EI m 4m l3
A
B 2 l /9
M图
(c)
例7：已知图a刚架受简谐荷载作用，θ=0.6ω,绘出动 力弯矩图Md，并求柱顶最大位移 ymax。
Fl 3 1 (t ) 2 y1 (t ) 2 y sin t 24EI
只考虑稳态振动，设方程的特解
y1 (t ) A1 sint
Fl 3 2 25Fl 3 代入方程解得 A1 2 2 24EI ( ) 384EI 25Fl 3 25Fl 3 所以 y (t ) sin t ， max y M图如图f所示。 284EI 384EI
2 0 45 15 2 3 15 1 0 1 1 0
令 180 3 则： K M 98 10 方程的实根为：
1 0.3335 2 1.6665 3 4.0 , ,
1
刚架的三个自振频率为：
1 13.47s
m f 1 1 11 2 m1 f21 m1 fn1
m2 f12

mn f1n
m f 1 mn f2n 2 22 2 0 m2 f2n mn fnn 12
（2）求振型： 由柔度法公式：
4
4
1 2 3
M2
8
1
4
2 3
M3
把求得的系数代入柔度法频率方程：
64 m 256 m 12 m 160 3EI 3EI 2 3EI m 512 1 160 m 896 m 0 3EI 2 3EI 2 3EI m 1728 1 m 256 m 896 2 3EI 2 3EI 3EI
12EI 12EI 6 k22 3 2 3 3 2 294 10 N / m l l
k33
k13 k31 0
12EI 3 6 2 98 10 N / m 3 l
k12 k21
k23 k32
12EI 3 6 2 98 10 N / m 3 l