毕业设计中期汇报

• 振子 n 的振动方程为 vn x Bn it • 由第 n-1 段细直梁和第 n 段细直梁的连接位置处的位移和应力连续条件可知
Pn p
n

p
n 1 2
coshia m
2
p

n
sinhia

i c S

Bn
p
n 1
sinhia
6000
有限元法 • 离散化 • 单元分析 • 整体分析 • 具体求解过程： 将结构离散化，包括单元划分、节点编号、单元编号、节点坐标计算、位移约 束条件的确定。 等效节点力的计算。按单元逐个分析再进行叠加。求整个结构的节点力载荷列 阵。 刚度矩阵的计算。 建立整体平衡方程，引入约束条件，求解节点位移。 应力计算。
Kelvin 模 型 的 色 散 关 系 曲 线 120
100
其无限周期结构的本征方程为
频 率 f/Hz
80 M-K单 原 子 链 色散曲线
60
40
带隙
m-k 谐 振 频 率
20
0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0 0.2 波 矢 qa/pi
0.4
0.6
0.8
1
• 上图所示为无限长均质细直梁和其上周期连接的振子所构成的一维杆状声子晶体， 我们仅考 察沿 x 方向传播的纵波。设细直梁的杨氏模量、 密度及截面积分别为 E、ρ 和 S； 振子的质 量和刚度分别为 m 和 k； 周期安装的振子的间距（也即晶格常数） 为 a；细直梁上 x 处的位 移为 u(x)， 振子 n 的位移为 vn， 第 n 段细直梁上的波动方程可写为 it ux e cosh i x na pn pn sinhi x na
材料组份比对钢丁睛橡胶第一振动带隙的影响 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 起始频率 截止频率
频 率 f/kHz
0
0.5
1
1.5
2 2.5 3 材料组分比
3.5
4
4.5
5
有限周期一维杆状结构的减振特性
• 图为晶格尺寸为20mm,材料组份比为1,周期数分别为5和10时,钢和丁腈橡胶叠合而成的一维杆 状结构振动传输特性曲线。以振动传输率小于1为确定振动传输衰减频率范围的标准,从图中可 以近似确定该结构的振动传输衰减频率区域的起始频率约为1200Hz,截止频率约为5500Hz,宽 度为4300Hz。还可以看出,随着叠加层数的增加,带隙内同一频率对应的加速度传递率明显减小。 即随着周期数的增加,杆状周期结构对振动传播的抑制越明显。计算中原胞离散为弹簧振子的 数目为20,等间距离散。
• 振动带隙影响因素
材料参数的影响 晶格尺寸a=20mm 材料组分比ᶇ=1 A的密度为7.89*10^3kg/m3 弹性模量为2.13*10^11Pa 24 B的密度为1.3*10^3kg/m3 弹性模量为1.752*10^7Pa 22 随着材料A密度的增大,第一振动带隙的起始频率 20 逐渐减小,截止频率基本不变,带隙的宽度逐渐增大。 18 可以说,材料A密度的增大有利于获得低频宽带 16 的振动带隙。
频 率 f/kHz
• 在材料组份比0.1<ᶇ<1时,随着材料组份比的增大,带隙起始频率增大,截止频率 减少，带隙宽度减小。在材料组分比ᶇ=1时达到最小。在材料组份比ᶇ>1时,随 着材料组份比的增大,带隙起始频率增大比截止频率增大的快,带隙宽度减小。 • 为了获得低频宽带隙,存在一个最优的组分比,其取值与一维杆状周期结构组元 材料的具体参数有关。
100
80
频 率 f/kHz
60
40 截止频率 20 起始频率 0 0.5 1 1.5 2
3
0
2.5
3
材 料 B密 度 *1300 kg/m
• 随着材料B弹性模量的增大,第一振动带隙的起始频率及截止频率均增大,截止频 率比起始频率增大的快，带隙宽度增大。
材 料 B弹 性 模 量 对 第 一 振 动 带 隙 的 影 响 800 700 截止频率 600 500
• 假设组成杆状周期结构的两种连续介质是理想弹性介质,可将其均匀地离散,每个离散单元的长 度为dj,在每个离散单元只能包含一种材料。按照质心不变的原则,每个振子位于离散单元的中 心,振子两侧为等刚度的弹簧。弹簧振子结构参数m可由下式确定
m
j
S
d
j
j 1, , n
• 当相邻两个离散单元为同种材料时,沿x方向的拉压刚度为 2 ES /( d j 1 d j ) 不同种材料时,拉压刚度为 2 E A E B S ( E A d j 1 E B d j) ,E为弹性模量。 对杆状周期结构原胞内不同材料的连续介质可使用不同的间距来离散,从而得到 非均匀分布的弹簧振子结构

20
10
振 动 传 输 频 响 函 数 /dB
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
1000
2000
3000 频 率 f/Hz
4000
5000
6000
• 衰减区域即带隙位于 690 ~ 3228 Hz，相应的归一化频率βa/2π为0.0173 ~ 0.0807。
一维具有局 域共振带隙的声子晶体的带隙特性计算结果 20
第j个质点的运动方程为 m j j k j ( x j 1 x j ) k j 1 ( x j x j 1) x 根据bloch定理在周期边界条件下
j 1, , n
xj
A
j
i(q
d j t )
j 1
j
由上式化简得
(
k k m
j j
j-1

)A m
钢 丁腈 睛橡胶声子晶体振动传输特性曲线 50
起始频率 0 5层
加 速 度 比 值 A/dB
截止频率
-50 10层
-100
-150
0
1
2
3
4
5 6 频 率 f/kHz
7
8
9
10
一维杆状周期结构的局域共振带隙 • Kelvin 模型本质上是由离散质点构成的最简单的具有局域共振带隙的声子晶体 结构。如图
引入状态向量
pn n p n
，上式可写为传递矩阵形式 n T n1
n 1
由于 x 方向上存在周期性，由 Bloch 定理可知

i

n
其中 μ 和 ε 分别
为衰减系数和相位系数 i T I 0 故可得到一个标准的 2×2 矩阵特征值问题 通过求解矩阵 T 的特征值， 即可得到衰减系数 μ、 相位系数 ε 与频率 ω 的关 系为 2
p
n 1
coshia
由上式可得
1 0 2 cosh( i a ) sinh( i a ) p p m n n1 k 1 p sinh(ia) cosh(ia) p 2 2 n1 i c S k m n

n 1 0
计算得到第 N 段细直梁上的状态参数 pn pn
一维具有局 域共振带隙的声子晶体的带隙特性计算结果
p U p 0
1 1

1


激励端的位移为 U 0 pn coshia pn sinhia 最终可得到该有限周期结构的振动传 输特性为 U1/U0 如右图为计算得到的 8 个周期的该一维有限周期结构的振 动传输频响函数
存在的问题 • 衰减区域即带隙位于 690 ~ 3228 Hz，相应的归一化频率βa/2π为0.0173 ~ 0.0807。布拉格散射机理作用下， 声子晶体带隙的归一化频率约为 0.5， 与 之相比， 下图所示带隙的两边界频率分别为布拉格带隙的 1/30 和 1/6。 这充 一维具有局 域共振带隙的声子晶体的带隙特性计算结果 分说明局域共振带隙的低频特点。 20 • 局域共振与布拉格散射如何比较？
n 1
n 1
2
集中质量法的收敛性 • 初始弹簧振子数目为4，只考虑前3个带隙频率随着原胞离散为弹簧振子的数目 1 2 增大,带隙频率计算结果越来越逼近定值 1.22
晶格尺寸a=20mm 材料组分比ᶇ=1 钢的密度为7.89*10^3kg/m3 弹性模量为2.13*10^11Pa 丁腈橡胶的密度为1.13*10^3kg/m3 弹性模量为1.2*10^7Pa
频 率 f/kHz
400 300 200 100 0 起始频率
0
100
200
300
400
500
600
7
700
800
900
1000
材 料 B弹 性 模 量 *1.75*10 N/m
• 综合以上讨论的四个影响因素,可以看出,材料A的密度及材料B的弹性模量对一 维杆状周期结构的振动带隙影响较大,选择大密度的材料A和较小密度、适当弹 性模量的材料B构成的一维杆状周期结构能够获得低频宽带的带隙特性。
cos( ) cosh( ) cos(a) 2 c S (k m )
2 2
km
sin(a)
具有局域共振带隙的一维杆状周期结构的衰减系数 μ 和相位系数 ε 随频率的变 化关系如图
4 3 2 衰减区域 1 0
4
-1 -2 -3
放大图
0.0165 0.017 0.0175 0.018
2 j j j
k
iq
d j1
A
j 1

k m
j -1 j
iq
dj
A
j 1
由于弹簧振子结构周期排列，在周期边界条件下有
用矩阵结构表示为 x q I A 0
0 n 1
k k m m d d A A
0 n 0 0 n
n
k k m m d d AA
1 n 1 1 1 n 1
10
4
2 ε
振 动 传 输 频 响 函 数 /dB
0.12 0.14 0.16
0
衰减系数μ 和相位系数ε
0 μ -2 衰减区域 （带隙）
-10
-20
-4
-30
-6
-40
-8 0 0.02 0.04 0.06 0.08 归一化频率 0.1
-50
0
1000
2000
3000 频 率 f/Hz
4000
5000
25 截止频率 20
频 率 f/kHz
15
10 起始频率 5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
材 料 A弹 性 模 量 *2.13*1011 N/m
• 随着材料B的密度的增大,第一振动带隙的起始频率降低,截止频率不变，带隙宽 度减小。
材 料 B密 度 对 第 一 振 动 带 隙 的 影 响 120
毕设汇报
毕设题目：周期结构带隙特性研究
工作进展
• 集中质量法：将连续系统的质量集中到有限个点或截面上
• 根据集中质量法的思想,可以将连续介质分解为有限个集中质量,而集中质量间的连接则简化为 无质量的弹簧连接,则原胞就简化为有限个自由度的弹簧振子结构,进而一维杆状周期结构就可 以简化为无限周期弹簧振子结构。
5.5
频 率 f/kHz
1.215
频 百度文库 f/kHz
5
1.21
5 10 15 20 计算所用的弹簧振子数目 3
4.5
5 10 15 20 计算所用的弹簧振子数目 4
11 10
频 率 f/kHz 频 率 f/kHz
260
9 8 7 6 5 10 15 20 计算所用的弹簧振子数目
250
240
230
5 10 15 20 计算所用的弹簧振子数目
频 率 f/kHz
材 料 A密 度 对 第 一 振 动 带 隙 的 影 响
截止频率
14 12 10 8 6 4 0.5 起始频率
1
1.5 材 料 A密 度 *7890 kg/m
3
2
2.5
• 随着材料A弹性模量的增大,第一振动带隙的起始频率及截止频率基本不变,也就 是说,对于一维杆状结构,密度和模量较大的材料即材料A的弹性模量对最低频的 振动带隙几乎没有影响。 材 料 A弹 性 模 量 对 第 一 振 动 带 隙 的 影 响
共振频率
2
衰减系数μ 和相位系数ε
-4 -5 -6 0.016 0.0185 0.019 0.0195 0.02
ε
0 μ -2 衰减区域 （带隙）
-4
-6
-8
0
0.02
0.04
0.06
0.08 归一化频率
0.1
0.12
0.14
0.16
• 对于具有 n个周期的有限周期结构的振动传输特性 假设第1段细直梁的一端为自由端，其位移为U1，即 根据传递矩阵，可通过 n T
晶格尺寸及材料组份比的影响
材料组分比ᶇ=1
随着晶格尺寸的增大,带隙的起始频率及截止频率减小,带隙的宽度减小。
晶格尺寸对钢 丁腈橡胶第一振动带隙的影响 晶 格 尺 寸 /对 钢 /丁 睛 橡 胶 第 一 振 动 带 隙 的 影 响
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 起始频率 0 2 4 6 8 10 12 晶格尺寸 a 14 16 18 20 截止频率