二次函数与实际问题

实际问题与二次函数

一、利用函数求图形面积的最值问题

一、 围成图形面积的最值

1、 只围二边的矩形的面积最值问题

例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗

圃。

（1） 设矩形的一边长为 米），面积为y （平方米），求y 关

于x 的函数关系式；

（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大最大面积是多少

解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），

根据题意，得：x x x x y 18)18(2

+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩

⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2

+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

2、 只围三边的矩形的面积最值

例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（2

50x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252

1)250(2+-=-=； 又∵500,02

500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=2

1-＜0，∴y 有最大值，

即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)2

1(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为

2

625平方米。 3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm

由题意得： 17)4

20()4(22=-+x x

解得： 4,1621==x x 当161=x 时，20-x=4；当42=x 时，20-x=16

答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能

理由是：设第一个正方形的边长为xcm ，则第二个正方形的边长为

)5(4

420x x -=-cm ，围成两个正方形的面积为ycm 2，

根据题意，得：25102)5(222+-=-+=x x x x y ， ∵25102)5(2

22+-=-+=x x x x y 中，a= 2＞0，∴y 有最小值， 即当2

522102=⨯--=-=a b x 时， 225241025244422min =⨯-⨯⨯=-=a b ac y =＞12,故两个正方形面积的和不可能是1 2cm 2.

练习1、如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x ，正方形EFGH 的面积为y.

(1)求出y 与x 之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH 有没有最大面积若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由.

答 （1）y=2x 2-2ax+a 2 (2) 有.当点E 是AB 的中点时，面积最大.

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是

212

y x =- .

. 练习 1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上 ，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是4522++-=x x y .请回答下列问题：

(1)柱子OA 的高度是多少米

(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至

于落在池外

答 （1）45 （2）49 （3）2

5 图（1） 图（2）

2．一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米

（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过

多少米

答 （1）①21425y x =-+；②10； （2）①；②47．

三、利用抛物线解决最大利润问题

例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x ＋500.

（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润（6分）

（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元（3分）

（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元(成本＝进价×销售量) （3分）

答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.

练习 1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．