苏教版数学高一- 数学苏教必修一练习2.函数的单调性

双基达标(限时15分钟)

1．函数f(x)在R上是增函数，则f(3)与f(5)的大小关系是________．

解析根据增函数的定义直接作答．

答案f(3)＜f(5)

2．若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(π)与f(3)的大小关系是________．解析根据减函数的定义直接作答．

答案f(π)＜f(3)

3．若函数f(x)在实数集R上是增函数，且f(x)＞f(1－x)，则x的取值范围是________．

解析根据增函数的定义有x＞1－x，解得x＞1 2.

答案{x|x＞1 2}

4．函数y＝x2的单调减区间是________．

解析根据函数y＝x2的图象直接作答．

答案(－∞，0)

5．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________．

①y＝－x＋1②y＝－2

x③y＝x

2－4x＋5④y＝

2

x

解析结合函数的图象可知①③④在区间(0,2)上均为减函数．答案②

6．(1)证明函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数；

(2)证明函数f(x)＝1

x在(0，＋∞)上是减函数．

证明(1)设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)＝3(x1－x2)，

由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)＝3x＋2在R上是增函数．

(2)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝1

x1－

1

x2＝

x2－x1

x1x2，

∵00，x1x2>0.

于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．

∴f(x)＝1

x在(0，＋∞)上是减函数．

综合提高(限时30分钟)

7．函数y＝1

x＋2的单调递减区间是________．

解析作出图象如图，结合图象可知单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．

答案(－∞，0)，(0，＋∞)

8．若函数f(x)的图象如右图，则其单调递增区间是________．

解析单调递增即图象是上升的部分，即为(－∞，－1)和(1,4)．

答案(－∞，－1)，(1,4)

9．给出下列说法：(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数

f (x )在R 上单调递增；(2)若定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＞f (2)，则函数f (x )在R 上不可能单调递减；(3)函数f (x )＝－5

3x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)单调递增；(4)函数f (x )＝⎩⎨⎧

x ＋1，x ≥0

－x 2＋1，x ＜0在定义域R 上是增函数．其中正确说法的序号是

________．

解析 逐一判断．由增函数的定义可知(1)错误；由减函数的定义可知(2)正确；(3)函数f (x )＝－5

3x 在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递增，故错误；作出函数图象如图，由图象可知(4)正确．

答案 (2)(4)

10．函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2,0]，则f (x )的单调递减区间是________．

解析 因为f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1，所以f (t )＝(t －2)2，t ∈[－1,1]，即f (x )＝(x －2)2，x ∈[－1,1]，作出图象如图，结合图象可知[－1,1]是函数f (x )的减区间．

答案 [－1,1]

11．画出下列函数图象，并写出单调区间： (1)函数y ＝－1

x ； (2)f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋1，x ≤0

－2x ＋2，x ＞0

解作出图象如图1，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个单调增区间．

(2)作出图象如图2，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个单调减

区间．

图1图2

12．判断函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在R上的单调性，并说明理由．

解设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)．若k＞0，又x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)＝kx＋b在R上是增函数．

若k＜0，又x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

∴f(x)＝kx＋b在R上是减函数．

13．(创新拓展)讨论函数f(x)＝ax＋1

x＋2

(a≠

1

2)在(－2，＋∞)上的单调性．

解f(x)＝ax＋1

x＋2

＝

ax＋2a＋1－2a

x＋2

＝1＋

1－2a

x＋2

，

设－2＜x1＜x2，则(x2＋2)(x1＋2)＞0，x2－x1＞0，

∴f(x2)－f(x1)＝1－2a

x2＋2

－

1－2a

x1＋2

＝(1－2a)

(x1－x2)

(x2＋2)(x1＋2)

，

∵

(x1－x2)

(x2＋2)(x1＋2)

＜0

当a＜1

2时，f(x2)＜f(x1)，此时函数f(x)＝

ax＋1

x＋2

(a≠

1

2)在(－2，＋∞)上是单调

减函数；

当a＞1

2时，f(x2)＞f(x1)，此时函数f(x)＝

ax＋1

x＋2

(a≠

1

2)在(－2，＋∞)上是单调

增函数．