苏教版数学高一- 数学苏教必修一练习2.函数的单调性
(苏教版)高一数学必修一配套练习：2.1.3函数的单调性(2)
§2.1.3函数的单调性（2）
课后训练
【感受理解】
1.已知函数)y f x =（
在R 上是增函数，且f(m 2)＞f(-m)，则m 的取值范围是: __________.
2.函数()f x =
的单调减区间 . 3.函数1()1x f x x -=
+的单调递减区间 .
4. 函数y =_____________.
【思考应用】
5. 若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范为 .
6. 函数)(x f 在),0(+∞上是减函数，那么)1(2+-a a f 与)4
3
(f 的大小关系是 . 7. 设)(x f 为定义在R 上的减函数，且0)(>x f ，则下列函数：
①)(23x f y -=；② )
(11x f y +=；③ )(2x f y =；④ )(2x f y += 其中为R 上的增函数的序号是 .
8. 函数x x x f 2)(+
=在]1,0(上有最 值 . 9.函数1||22+-=x x y 的单调增区间为 .
10. 已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 .
11. 求证：函数()f x x =在R 上是单调减函数．
【能力提高】
12. 设)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，满足)()()(y f x f y
x
f -=，且1)3(=f . ① 求)1(f ；
② 若2)8()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围.。
苏教版必修一第2章函数作业题及答案解析2.1.3第1课时
2．1.3 函数的简单性质第1课时 函数的单调性 课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．1．单调性设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I ⊆A .如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有__________，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调______，I 称为y ＝f (x )的单调________．如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调________，I 称为y ＝f (x )的单调________．2．a >0时，二次函数y ＝ax 2的单调增区间为________．3．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是____函数．4．函数y ＝1x的单调递减区间为__________． 一、填空题1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如右图所示．给出如下命题:①f (0)＝1；②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是________．(填序号)2．若(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，则f (x 1)________f (x 2)．(填“>”、“<”或“＝”)3．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上________．(填序号)①至少有一个根；②至多有一个根；③无实根；④必有唯一的实根．4．函数y ＝x 2－6x ＋10的单调增区间是________．5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是______________________________________．①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0； ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；③f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )；④x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0. 6．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为________．7．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．8．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.二、解答题9．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证:f(g(x))在(a，b)上也是增函数．11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．能力提升12．定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f (x )＝1x在(－∞，0)和(0， ＋∞)上都是减函数，但不能说函数f (x )＝1x在定义域上是减函数． 3．求单调区间的方法:(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤:即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．若f (x )>0，则判断f (x )的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．2．1.3 函数的简单性质第1课时 函数的单调性知识梳理1．f (x 1)<f (x 2) 增函数 增区间 减函数 减区间 2.[0，＋∞)3．增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)作业设计1．①④2．<解析 由题意知y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，因为x 2>x 1，所以f (x 2)>f (x 1)．3．④解析 ∵f (x )在[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，∴当f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )<0，f (b )>0，当f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )>0，f (b )<0，故f (x )在区间[a ，b ]上必有x 0使f (x 0)＝0且x 0是唯一的．4．[3，＋∞)解析 如图所示，该函数的对称轴为x ＝3，根据图象可知函数在[3，＋∞)上是递增的．5．①②④解析 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，①、②、④正确；对于③，若x 1<x 2时，可有x 1＝a 或x 2＝b ，即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故③不成立．6．(－∞，－3]解析 该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．7．m >0解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0.8．－3解析 f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28， 由题意m 4＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.9．解 y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 (x ≥0)－x 2－2x ＋3 (x <0)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋4 (x ≥0)－(x ＋1)2＋4 (x <0). 函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．10．证明 设a <x 1<x 2<b ，∵g (x )在(a ，b )上是增函数，∴g (x 1)<g (x 2)，且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，又∵f (x )在(a ，b )上是增函数，∴f (g (x 1))<f (g (x 2))，∴f (g (x ))在(a ，b )上是增函数．11．解 函数f (x )＝x 2－1在[1，＋∞)上是增函数． 证明如下:任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 21－1 ＝x 22－x 21x 22－1＋x 21－1 ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 22－1＋x 21－1. ∵1≤x 1<x 2，∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x 22－1＋x 21－1>0.∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．12．解 (1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝1，n ＝0，得f (1)＝f (1)·f (0)．因为f (1)≠0，所以f (0)＝1.(2)函数f (x )在R 上单调递减．任取x 1，x 2∈R ，且设x 1<x 2.在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)，由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1.在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1.当x >0时，0<f (x )<1，所以f (－x )＝1f (x )>1>0， 又f (0)＝1，所以对于任意的x 1∈R 均有f (x 1)>0.所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0，即f (x 2)<f (x 1)．所以函数f (x )在R 上单调递减．13．解 (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)．∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4.∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。
第二中学高中数学(苏教版)必修一同步练习2.2函数的单调性1Word版
作业：函数的单调性（1）
班级 组号 姓名 学号
1．函数26y x x =-的减区间是 .
2．在区间（0，2）上是增函数的序号是 .
（1）y =－x +1 （2） y （3）y = x 2－4x ＋5 （4）y =2x
3．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .
4.如果函数y=|x-2a|在区间(－∞，2]上是减函数，那么实数a 的取值范围是______
5．函数y=x 2+(a-1)x+3在()1,∞-上是减函数,则a 的取值范围是___________.
6. .如果函数221y x ax =++在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[1，+∞)上是增函数,那么实数a 的值是________________________ .
7.函数y=-x 2+2|x|+5的单调减区间是___________.
8．函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 在(,)a b 上是 . （填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）
9．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f
==. （1）求b 与c 的值；（2）试证明函数()f x 在区间(2,)+∞上是增函数.
10.求证:函数f(x)=－x 3+1在区间(－∞, 0]上是单调减函数.
11.讨论函数x x y 1+
=的单调性.。
2021年高中数学 2.2.1函数的单调性(一)课时作业 苏教版必修1
2021年高中数学 2.2.1函数的单调性（一）课时作业 苏教版必修1课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．1．单调性设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I ⊆A .如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有__________，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调______，I 称为y ＝f (x )的单调________．如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调________，I 称为y ＝f (x )的单调________．2．a >0时，二次函数y ＝ax 2的单调增区间为________． 3．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是____函数．4．函数y ＝1x的单调递减区间为__________．一、填空题1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如右图所示． 给出如下命题：①f (0)＝1； ②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是________．(填序号)2．若(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，则f (x 1)________f (x 2)．(填“>”、“<”或“＝”)3．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上________．(填序号)①至少有一个根；②至多有一个根；③无实根；④必有唯一的实根．4．函数y ＝x 2－6x ＋10的单调增区间是________．5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是______________________________________． ①f x 1－f x 2x 1－x 2>0；②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ③f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )；④x 1－x 2f x 1－f x 2>0. 6．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为________． 7．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．8．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________. 二、解答题9．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．能力提升12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f (x )＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f (x )＝1x在定义域上是减函数．3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性． 4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤： 即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．若f (x )>0，则判断f (x )的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”． 2．1.3 函数的简单性质 第1课时 函数的单调性知识梳理1．f (x 1)<f (x 2) 增函数 增区间 减函数 减区间 2.[0，＋∞) 3．增 4.(－∞，0)和(0，＋∞) 作业设计 1．①④ 2．<解析 由题意知y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，因为x 2>x 1，所以f (x 2)>f (x 1)． 3．④解析 ∵f (x )在[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0， ∴当f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )<0，f (b )>0， 当f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )>0，f (b )<0，故f (x )在区间[a ，b ]上必有x 0使f (x 0)＝0且x 0是唯一的． 4．[3，＋∞) 解析 如图所示，该函数的对称轴为x ＝3，根据图象可知函数在[3，＋∞)上是递增的．5．①②④解析 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，①、②、④正确； 对于③，若x 1<x 2时，可有x 1＝a 或x 2＝b ， 即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故③不成立． 6．(－∞，－3]解析 该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数． 7．m >0解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0. 8．－3解析 f (x )＝2(x －m4)2＋3－m 28，由题意m4＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.9．解 y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3 x ≥0－x 2－2x ＋3 x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋4 x ≥0－x ＋12＋4 x <0.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． 10．证明 设a <x 1<x 2<b ， ∵g (x )在(a ，b )上是增函数， ∴g (x 1)<g (x 2)，且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，又∵f (x )在(a ，b )上是增函数， ∴f (g (x 1))<f (g (x 2))，∴f (g (x ))在(a ，b )上是增函数．11．解 函数f (x )＝x 2－1在[1，＋∞)上是增函数． 证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 21－1＝x 22－x 21x 22－1＋x 21－1＝x 2－x 1x 2＋x 1x 22－1＋x 21－1.∵1≤x 1<x 2，∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x 22－1＋x 21－1>0. ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数． 12．解 (1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 令m ＝1，n ＝0，得f (1)＝f (1)·f (0)． 因为f (1)≠0，所以f (0)＝1. (2)函数f (x )在R 上单调递减． 任取x 1，x 2∈R ，且设x 1<x 2.在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)， 由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1. 在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1. 当x >0时，0<f (x )<1，所以f (－x )＝1f x>1>0，又f (0)＝1，所以对于任意的x 1∈R 均有f (x 1)>0. 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， 即f (x 2)<f (x 1)．所以函数f (x )在R 上单调递减．13．解 (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，∴f (2)＝3. (2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4.∴不等式的解集为{m |m ≥4}．930572 776C 睬27616 6BE0 毠[@29317 7285 犅32974 80CE胎 35122 8932 褲U22981 59C5 姅]32804 8024 耤 28339 6EB3 溳。
苏教版精品学案数学·必修1 习题：第2章2.2-2.2.1函数的单调性 Word版含解析
第2章函数2.2 函数的简单性质2.2.1 函数的单调性A级基础巩固1.函数f(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数D．函数f(x)在[2，4]上是增函数解析：增函数具有“上升”趋势；减函数具有“下降”趋势，故A正确．答案：A2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则() A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)C．f(a＋3)＞f(a－2) D．f(6)＞f(a)解析：因为a＋3＞a－2，且f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a＋3)＞f(a－2)．答案：C3．y＝2x在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是()A．1，12 B.12，1 C.12，14 D.14，12解析：因为函数y＝2x在[2，4]上是单调递减函数，所以y max＝22＝1，y min＝24＝12.答案：A4．函数y＝x2－6x的减区间是() A．(－∞.2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 解析：y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故函数的单调减区间是(－∞，3]．答案：D5．下列说法中，正确的有()①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④函数y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：当x1＜x2时，x1－x2＜0，由f（x1）－f（x2）x1－x2＞0知f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)，①正确；②③④均不正确．答案：B6．已知函数f(x)＝4x－3＋x，则它的最小值是()A ．0B ．1 C.34 D ．无最小值解析：因为函数f (x )＝4x －3＋x 的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，且是增函数，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34. 答案：C7．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________________．解析：由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．答案：(－∞，1]和(1，＋∞)8．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (2x －1)＞f (1)的实数x 的取值范围是________．解析：因为f (x )在R 上是减函数，且f (2x －1)＞f (1)，所以2x －1＜1，即x ＜1.答案：(－∞，1)9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为直线x ＝1，所以当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1.又因为f (0)＝3，所以f (2)＝3.所以m ≤2.故1≤m ≤2.答案：[1，2]10．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924， 所以当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：12011．讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在[－2，2]上的单调性．解：因为函数图象的对称轴x ＝2a ＋1，所以当2a ＋1≤－2，即a ≤－32时，函数在[－2.2]上为增函数． 当－2＜2a ＋1＜2，即－32＜a ＜12时， 函数在[－2，2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1，2]上是增函数．当2a ＋1≥2，即a ≥12时，函数在[－2，2]上是减函数． 12．已知f (x )＝x ＋12－x，x ∈[3，5]． (1)利用定义证明函数f (x )在[3，5]上是增函数；(2)求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )在区间[3，5]上是增函数，证明如下：设x 1，x 2是区间[3，5]上的两个任意实数，且x 1＜x 2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋12－x1－x2＋12－x2＝3（x1－x2）（2－x1）（2－x2）.因为3≤x1＜x2≤5，所以x1－x2＜0，2－x1＜0，2－x2＜0.所以f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在区间[3，5]上是增函数．(2)因为f(x)在区间[3，5]上是增函数，所以当x＝3时，f(x)取得最小值为－4，当x＝5时，f(x)取得最大值为－2.B级能力提升13．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是()A．(－∞，40)B．[40，64]C．(－∞，40]∪[64，＋∞)D．[64，＋∞)解析：对称轴为x＝k8，则k8≤5或k8≥8，解得k≤40或k≥64.答案：C14．若y＝ax与y＝－bx在区间(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：本题通过一次函数、反比例函数的单调性，判断出a，b的符号．因为y＝ax与y＝－bx在区间(0，＋∞)上都是减函数，所以a＜0，b＜0，所以函数y＝ax2＋bx的对称轴方程为x＝－b2a＜0，故函数y ＝ax 2＋bx 在区间(0，＋∞)上是减函数．答案：B15．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1，图象如下．所以f (x )最小值为f (0)＝f (2)＝0.而a ＜－x 2＋2x 恒成立，所以a ＜0.答案：(－∞，0)16．画出函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ∈（－∞，0），x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）的图象，并写出函数的单调区间及最小值．解：f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.17．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最大值和最小值； (2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2，4]上是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，对称轴是x ＝1.所以f (x )的最小值是f (1)＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54，f (3)＝5， 所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上的最大值是5，最小值是1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，所以m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6. 故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．18．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1] 上不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为f (0)＝1，所以c ＝1.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以2ax ＋a ＋b ＝2x .所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1，1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m ＞0在[－1，1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ， 其对称轴为x ＝32， 所以g (x )在区间[－1，1]上是减函数．所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m＞0.所以m＜－1.所以实数m的取值范围是(－∞，－1)．。
高中数学函数的单调性同步练习1 苏教版 必修1
函数的单调性 同步练习11．下列函数在区间),0(+∞上是增函数的是（ ）A ．122+-=x x yB ．xy 2= C ．122++=x x y D ．12+=x y 2．已知函数)(x f 是定义域上的上的减函数21,x x ，是定义域内任意两个值，则有（ ）A ．若21x x <，则)()(21x f x f <B ．若)()(21x f x f <，则21x x <C ．若21x x ≤，则)()(21x f x f >D ．若)()(21x f x f =，则21x x =3．若一次函数)0(≠+=k b kx y 在),(+∞-∞上是单调减函数，则点),(b k 位于直角坐标平面的（ ）A ．上半平面B ．下半平面C ．左半平面D ．右半平面4．函数1062+-=x x y 在区间)4,2(上（ ）A ．单调递减B ．单调递增C ．先递减后递增D ．先递增后递减5．有下列四个函数，①||x y =；②xx y ||=；③||2x x y -=；④||x x x y +=。
借助图像，可以判断在)0,(-∞为增函数的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6．（1）函数xy 1=的单调区间是 。
（2）函数11+=x y 的单调区间是 。
7．函数1062+--=x x y 的单调增区间是 。
单调减区间是 。
8．函数x x x f 2)(2+-=在]10,0[上的最大值 ，最小值 。
9．若b kx y +=是实数集R 上的递减函数，则k ，b 。
10)(x f y =11．画出函数1||22--=x x y 的图像，并指出此函数的单调区间。
12．根据函数单调性的定义，证明：函数1)(3+=x x f 在),0(+∞上是单调增函数。
13．证明：（1）函数x x x f 1)(+=在区间]1,0(上是单调减函数； （2）函数xx x f 1)(+=在区间),1[+∞上是单调增函数； （3）尝试写出xx x f 1)(+=的单调区间。
江苏省高一数学苏教版必修1课后导练：2.2.4函数的单调性、奇偶性综合应用 Word版含解析
课后导练基础达标1.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,g(x)(x∈R)为偶函数,则下列函数中一定是奇函数的是（）A.［f(x)］2+［g(x)］2B.f［g(x)］C.f(x)-g(x)D.f(x)·g(x)解析：由复合函数奇偶性判断的性质可知f(x)·g(x)为奇函数，选D.答案：D2.定义在R上的偶函数f(x),在x>0上是增函数,则（）A.f(3)<f(-4)<f(-π)B.f(-π)<f(-4)<f(3)C.f(3)<f(-π)<f(-4)D.f(-4)<f(-π)<f(3)解析：因f(x)为偶函数,∴f(-4)=f(4),f(-π)=f(π),又因在x＞0上是增函数，∴f(4)＞f(π)＞f(3),即f(-4)＞f(-π)＞f(3)，故选C.答案：C3.下列结论中正确的是（）A.偶函数的图象一定与y轴相交B.奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0C.定义域为R的增函数一定是奇函数D.图象过原点的单调函数，一定是奇函数解析：∵y=f(x)为奇函数，∴f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0).∴2f(0)=0,∴f(0)=0.故选B.答案：B4.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在（-∞,0］上是减函数，且f(2)=0,则使得f(x)＜0的x的取值范围是（）A.（-∞，2）B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)解析：用图象法解，由函数的性质可画出其图象如右图所示.显然f(x)＜0的解集为{x|-2＜x＜2},故选D.答案：D5.设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x)（）A.既是奇函数,又是增函数B.既是偶函数,又是增函数C.既是奇函数,又是减函数D.既是偶函数,又是减函数解析：∵f(-x)=-x|x|=-f(x),∴f(x)在R上是奇函数；当x＞0时f(x)=x2,在［0，+∞）上是增函数，又奇函数在原点两侧单调性一致，故选A.答案：A6.若y=(m-1)x 2+(2+m)x+3是偶函数，则m=______________.解析：二次函数是偶函数，则一次项系数为0，也可用偶函数定义来判断，m=-2. 答案：-27.已知y=ax,y=xb 在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax 2+bx+c 在(-∞,0)上是_________________函数.（填“增”或“减”) 解析：y=ax 是减函数,则a ＜0，y=x b 在（0，+∞）上是减函数，则b ＞0.y=ax 2+bx+c 的对称轴x=-ab 2＞0，又抛物线开口向下，所以在（-∞,0）上是增函数. 答案：增8.奇函数在整个定义域(-1,1)上为减函数,且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求实数a 的取值范围.解析：f(1-a)+f(1-a 2)＜0⇒f(1-a)＜-f(1-a 2)=f(a 2-1),∴f(1-a)＜f(a 2-1),由题目已知可得：⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-,12,20,20,11,111,11122a a a a a a a 或-2＜a ＜0⇒0＜a ＜1.9.已知f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3)=f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2-4,求f(5.5).解析：f(x+3)=f(x)⇒f(5.5)=f(2.5)=f(-0.5).∵f(x)是奇函数，且0≤x ≤1时，f(x)=x 2-4,∴f(-0.5)=-f(0.5)=-(0.52-4)=415. 10.已知奇函数f(x)的定义域R ，且当x ＞0时，f(x)=x 2-2x+3.求f(x)的表达式.解析：设x ＜0,则-x ＞0.∴f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x 2+2x+3.∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x).∴当x ＜0时，f(x)=-f(-x)=-x 2-2x-3;当x=0时，f(0)=0.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-).0(32),0(0),0(2222x x x x x x x 综合训练11.已知偶函数y=f(x)(x ∈R)在x<0时是增函数,若x 1<0,x 2>0且|x 1|<|x 2|,则下列结论中正确的是（ ）A.f(-x 1)<f(-x 2)B.f(-x 1)>f(-x 2)C.f(-x 1)=f(-x 2)D.以上结论都不对解析：因x 1＜0,x 2＞0,|x 1|＜|x 2|,∴0＞x 1＞-x 2,∴f(x 1)＞f(-x 2).而f(x 1)=f(-x 1),∴f(-x1)＞f(-x2),选B.答案：B12.f(x)是奇函数,当x∈［0,+∞］时,f(x)≤m(m<0),则f(x)的值域是（）A.［m,-m］B.(-∞,m)C.［-m,+∞)D.(-∞,m］∪［-m,+∞)解析：设x∈(-∞,0］,则-x≥0,于是f(-x)≤m.又因为f(x)是奇函数，因而f(-x)=-f(x)≤m.所以f(x)≥-m,故选D.答案：D13.若h(x)、g(x)均为奇函数,f(x)=ah(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,则在(-∞,0)上f(x)有最小值____________.解析：∵当x＞0时ah(x)+bg(x)+2≤5,∴ah(x)+bg(x)≤5-2=3,f(-x)=ah(-x)+bg(-x)+2=-ah(x)-bg(x)+2=-［ah(x)+bg(x)］+2≥-3+2=-1.答案：-114.设f(x)=ax7+bx5+cx3+dx+5,其中a、b、c、d是常数，若f(-7)=-7,则f(7)=___________.解析：f(-7)=a(-7)7+b(-7)5+c(-7)3+d(-7)+5=-7,∴a(-7)7+b(-7)5+c(-7)3+d(-7)=-7-5=-12,∴-(a×77+b×75+c×73+d×7)=-12,∴a×77+b×75+c×73+d×7=12,∴f(7)=12+5=17.答案：1715.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)对任意的实数x、y总成立,且f(1)≠f(2).求证:f(x)是偶函数.解析：令y=0,则f(x)+f(x)=2f(x)·f(0).∵f(1)≠f(2),∴f(x)不恒为0.∴f(0)=1.令x=0,f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),∴f(-y)=f(y).∴函数f(x)是偶函数.拓展提升16.若对于一切实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0),并证明f(x)为奇函数;(2)若f(1)=3,求f(-3).解析:(1)令x=y=0,则f(0)=2f(0),即f(0)=0.令y=-x,则f［x+(-x)］=f(x)+f(-x),∴f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x).∴y=f(x)为奇函数.(2)由y=f(x)为奇函数,∴f(-3)=-f(3).∵f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1),∴f(-3)=-3f(1)=-9.。
苏教版必修一2.4函数的单调性(学案含答案)(完整资料).doc
当0<x1<x2< 时，0<x1x2<a，又x1－x2<0，
∴ ，即 ，
∴函数 在（0， ）上是减函数。
当 <x1<x2时，x1x2>a，又x1－x2<0，
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），
∴函数f（x）在（ ，＋∞）上是增函数。
例题1若函数f（x）＝ 在（－∞，－1）上是减函数，求实数a的取值范围。
二、解答题
9. 设 是定义在R上的函数，对 、 恒有 ，且当 时， 。
（1）求证： ；
（2）证明： 时恒有 ；
（3）求证： 在R上是减函数；
（4）若 ，求 的取值范围。
1. 2 解析：画出 的图象如下：
由图可知， 的最小值是2。
2.
解析：画出分段函数 的图象如下：
而 ，观察图象可知满足 的解集。
3. （1） ；（2）
，即 ，
∴ 在 上是增函数。
技巧点拨：对于抽象函数（未给出具体解析式的函数）的求值问题，需要根据题目给出的已知条件进行灵活赋值，求出需要求的函数值；抽象函数单调性的证明仍然采用单调性的定义以及结合题目已知来进行。
【综合拓展】
巧用函数单调性解不等式
◆解函数不等式问题的一般步骤：
①确定函数f（x）在给定区间上的单调性；
由图可知： ，∴ 。
7. （1） ；（2）
解析：（1）画出符合题意的 的图象如下图：
由图可知：二次函数 的对称轴直线方程为 ，
∴ ， 。
又∵ ，
∴ 。
（2）
画出 的图象如下图：
∵ ，又∵ ，
∴ ，
解得： 。
苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案 函数的单调性(2)
第6课时函数的单调性(2)教学过程一、问题情境引入教材P23中函数起始课的第3个问题,气温θ是关于时间t的函数,记为θ=f(t).提出问题:观察这个气温变化图(如图1),你能求出函数的值域吗?通过观察你还能发现什么?[3](图1)学生从图象上可以看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0至24时之间,气温于14时达到最大值9℃.从图象上看,图象在这一点的位置最高.同样可以看出4时的气温为全天的最低气温,它表示在0至24时之间,气温于4时达到最小值-2℃.二、数学建构(一)生成概念问题1如何用数学语言来刻画图1中的“气温于14时达到最大值”、“气温于4时达到最小值”?解可以看出:对于任意的x∈[0,24],都有f(x)≤f(14)=9;对于任意的x∈[0, 24],都有f(x)≥f(4)=-2.问题2如何抽象出函数最大值的定义?一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value).思考你能仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(minimumvalue)的定义吗?一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value).(二)理解概念1.函数最大(小)值的定义中的不等式f(x)≤M(f(x)≥M)必须对定义域中的任意x都成立,这说明函数的最值是函数全局的一个性质.2.仅满足“对任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)”,不能得出M是最大(小)值这一结论,必须同时满足“存在x0∈I,使得f(x0)=M”.针对这一点,可以举个生活中的例子,如:我们班上的任意一个同学的年龄肯定都小于等于100岁,那么能说我们班上的同学最大年龄是100岁吗?3.函数的最大值不一定唯一,比如:这次数学考试,由于试卷比较简单,满分(160分)的同学有5个,那么这次考试成绩的最大值是多少?显然,最大值是160分,且有五人取最大值.(三)巩固概念问题3“即时体验”中的第2题有最大值、最小值吗?如果有,那么是多少?[4]解根据其函数图象可以发现:该函数没有最大值,但有最小值,最小值是0.三、数学运用【例1】(教材P39例3)函数y=f(x),x∈[-4, 7]的图象如图所示,指出它的最大值、最小值及单调区间.[5](见学生用书课堂本P21)(例1)[处理建议]在学生正确回答完本题后,教师还可以追问:“你能用刚学到的数学语言来描述这些结果吗?”让学生在实际的问题解决中加深对概念的理解与记忆.[规范板书]解观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点(-1.5,-2).所以当x=3时,函数y=f(x)取得最大值,即y max=3;当x=-1.5时,函数y=f(x)取得最小值,即y min=-2.函数的单调增区间为[-1.5, 3],[5, 6];单调减区间为[-4,-1.5],[3, 5],[6, 7].[题后反思]本例是为了让学生体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系及其几何意义,引导学生通过函数的单调性研究最大(小)值,同时要考虑定义域为闭区间的函数在端点处的函数值的大小.变式(教材P40例5)已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b.当x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数;当x∈[c,b]时,f(x)是单调减函数.试证明f(x)在x=c时取得最大值.[处理建议]引导学生逐步应用适当的数学概念及符号语言进行推理和证明.如果学生从“数”的视角回答(利用单调性的定义),教师就引导学生尝试从“形”入手(画出满足题意的一个图象);如果学生从“形”的视角回答,则引导学生再从“数”的角度进行检验.[规范板书]证明因为当x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数,所以对于任意x∈[a,c],都有f(x)≤f(c).又因为当x∈[c,b]时,f(x)是单调减函数,所以对于任意x∈[c,b],都有f(x)≤f(c).因此,对于任意x∈[a,b]都有f(x)≤f(c),即f(x)在x=c时取得最大值.[题后反思]本题没有涉及具体函数,求这类题目的最值可以从“形”与“数”两个方向切入:利用“形”直观判断,利用“数”具体验证.同时,要让学生体验函数的单调性与函数最值的关系,感受量变和质变的辩证过程,并感受最值的奇异美.【例2】(教材P39例4)求下列函数的最小值:(1)y=x2-2x;(2)y=,x∈[1, 3].(见学生用书课堂本P22)[处理建议]可以引导学生分别挑选用图象和用定义解决,但要注意图象的直观性无法代替数学的严谨性.[规范板书](1)∵y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且当x=1时y=-1,∴函数取得最小值-1,即y min=-1.(2)∵对于任意实数x∈[1, 3],都有≥,且当x=3时=,∴函数取得最小值,即y min=.[题后反思]这两个函数的最值也可以通过图象来解决.函数y=x2-2x没有最大值,但可以让学生讨论,看看题目怎样改可以有最大值.变式求函数y=x2-2x+5,x∈[-1, 2]的值域.[规范板书]解y=(x-1)2+4,∵x∈[-1,2],由二次函数图象的性质可知:当x=1时,y min=4;当x=-1时,y max=8.故该函数的值域是[4, 8].【例3】判断函数f(x)=x-,x∈(0,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.[6](见学生用书课堂本P22) [处理建议]如果学生不能作出正确的判断,教师可以将题目进行分解,如可以先问:f1(x)=x,x∈(0,+∞)和f2(x)=-,x∈(0,+∞)这两个函数有单调性吗?若学生回答均是单调增函数时,再问:f(x)=f1(x)+f2(x),x∈(0,+∞)的单调性能确定吗?会用定义证明吗?进而引导学生进一步地巩固函数单调性的概念.[规范板书]解f(x)=x-,x∈(0,+∞)是单调增函数.设x1,x2是(0,+∞)内的任意两个值,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-x2-=(x1-x2).∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,1+x1x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=x-在(0,+∞)上是单调增函数.[题后反思]本题中的函数f(x)可视作函数y=x和y=-的和函数,这两个函数在(0,+∞)上都是单调增函数,f(x)也是(0,+∞)上的单调增函数.由此可见:如果两个函数在同一区间上都是单调增(减)函数,那么它们的和在该区间上也是单调增函数.变式判断函数f(x)=x2-,x∈(0,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.[处理建议]引导学生模仿例3独立完成.[规范板书]函数f(x)=x2-,x∈(0,+∞)是单调增函数.设x1,x2是(0,+∞)内的任意两个值,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2)x1+x2+.∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2+>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=x2-在区间(0,+∞)上是单调增函数.[题后反思]本题中的函数f(x)也可视作函数y=x2和y=-的和函数,这两个函数在(0,+∞)上都是单调增函数,f(x)也是(0,+∞)上的单调增函数.一般地,判断“f(x)=f1(x)+f2(x)”型函数的单调性,可以先分别判断f1(x),f2(x)的单调性,如果f1(x), f2(x)都是单调增函数,则f(x)亦为单调增函数;如果f1(x),f2(x)都是单调减函数,则f(x)亦为单调减函数.*【例4】(根据教材P45第13题改编)已知函数f(x)的定义域是F,函数g(x)的定义域是G,且对于任意的x∈G,g(x)∈F,试根据下表中所给的条件,用“单调增函数”、“单调减函数”、“不能确定”填空:f(x)g(x)f(g(x))f(x)+g(x)单调增函数单调增函数单调增函数单调减函数单调减函单调减函数数单调减函数单调增函数[处理建议]对于基础好的班级,教师在学生正确回答后可以“追问”,如:你判断f(g(x))是单调增函数,能用定义证明吗?你判断f(x)+g(x)是单调减函数,能用定义证明吗?怎样证?你能举个具体的函数例子吗?等等.一方面,可以帮助学生巩固概念;另一方面,可以拓展学生的视野,提高学生演绎推理的能力.需要说明的是,这类题目学生初次接触,不宜增加定义域的限制,从而加深难度,要以判断为主.[规范板书]f(x)g(x)f(g(x))f(x)+g(x)单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数单调减函数单调减函数不能确定单调减函数单调减函数单调增函数单调减函数单调减函数单调增函数单调减函数不能确定[题后反思]①本题是对前两题判断函数单调性的一种归纳,旨在提高学生运用数学符号、利用数学语言的能力,提高学生演绎推理的能力.对于判断函数f(g(x))的单调性,可以采用“换元法”,例如:“已知f(x)是单调增函数,g(x)是单调减函数,求证:f(g(x))是单调减函数.证明:对于y=f(g(x)),设t=g(x),∴y=f(t).设x1,x2∈R,且x1<x2.∵t=g(x)是单调减函数,∴t1=g(x1)>t2=g(x2).∵y=f(x)是单调增函数,∴f(t1)>f(t2),即f(g(x1))>f(g(x2)).∴f(g(x))是单调减函数”.②视情况,还可以让学生判断f(x)·g(x)与的单调性.变式求函数y=的单调区间.[规范板书]解函数的定义域为(-∞,-)∪[,+∞).y=可看成由y=,t=x2-2复合而成的函数.因为t=x2-2在(-∞,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,而y=是单调增函数,所以y=在(-∞,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.即函数y=的单调减区间为(-∞,],单调增区间为[,+∞).四、课堂练习1.求下列函数的最大值、最小值以及值域:(1)y=x2-4x+1;(2)y=x2-4x+1,x∈[3, 4].解(1)∵y=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,∴当x=2时,y min=-3.函数无最大值,值域为[-3,+∞).(2)如图,由图象可知,函数在[3,4]上单调递增,∴当x=3时,y min=-2;当x=4时,y max=1.∴函数的值域为[-2, 1].(第1(2)题)2.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是单调减函数,则实数a的取值范围是a≤-3.提示借助图象得-≥4,解得a≤-3.3.若f(x)在R上是单调增函数,且a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).(填“<”、“>”或“=”)提示由a+b>0得a>-b,b>-a,又∵f(x)在R上是单调增函数,∴f(a)>f(-b), f(b)>f(-a),∴f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).五、课堂小结1.函数最大(小)值及其几何意义.2.求函数最值的一般方法:①对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等函数,可以先画出其图象,再根据函数的性质来求最值;②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数,可以先判断函数的单调性,再用定义证明,然后利用函数的单调性求出函数的最值.3.熟练掌握函数单调性的其他运用.。
苏教版数学高一 必修1学业测评2.函数的单调性
学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如图2-2-2是定义在闭区间－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象，y ＝f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________．图2-2-2【解析】增区间为(－2,1)，(3,5)，减区间为(－5，－2)，(1,3)．【答案】(－2,1)，(3,5)(－5，－2)，(1,3)2．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)－f(b)a－b＞0，则必有________．(填序号)①函数f(x)先增后减；②函数f(x)先减后增；③函数f(x)是R上的增函数；④函数f(x)是R上的减函数．【解析】由f(a)－f(b)a－b＞0知，当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．【答案】③3．函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|<2的自变量x的取值范围是________．【解析】由题意可知：当x∈(－3,1)时，－2<f(x)<2，即|f(x)|<2.【答案】(－3,1)4．函数f(x)＝|x|与g(x)＝x(2－x)的递增区间依次为________．【解析】f(x)＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x<0，因此递增区间为0，＋∞)，函数g(x)＝x(2－x)为二次函数，开口向下，对称轴为x＝1，因此递增区间为(－∞，1]．【答案】0，＋∞)，(－∞，1]5．函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．【解析】函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，a－1]．要使函数在区间(－∞，4]上是减函数，需有(－∞，4]⊆(－∞，a－1]，所以a－1≥4，∴a≥5.【答案】5，＋∞)6．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是________．(填序号)【解析】因为函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，所以：①当a＝0，y＝2ax＋b的图象可能是(1)；②当a＞0时，－b2a≥0⇔b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是(3)；③当a＜0时，－b2a≤0⇔b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是(4)．故y＝2ax＋b的图象不可能是(2)．【答案】(2)7．已知f(x)是定义在区间－1,1]上的增函数，且f(x－3)＜f(2－x)，则x的取值范围是________．【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x－3≤1，－1≤2－x≤1，x－3＜2－x，解得1≤x ＜52，故满足条件的x 的取值范围是1≤x ＜52. 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x ＜52 8．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.【导学号：37590030】【解析】 f (x )＝ax ＋1x ＋2＝ax ＋2a ＋1－2ax ＋2＝a ＋1－2a x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，结合反比例函数性质可知1－2a <0，∴a >12，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞二、解答题 9．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1. (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在1，＋∞)上是单调增函数． 【解】 (1)由题意知x ＋1≠0， 即x ≠－1.所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)证明：任取x 1，x 2∈1，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2＋1－2x 1－1x 1＋1＝(2x 2－1)(x 1＋1)－(2x 1－1)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).∵x1<x2，∴x2－x1>0.又∵x1，x2∈1，＋∞)，∴x2＋1>0，x1＋1>0.∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)．∴函数f(x)＝2x－1x＋1在1，＋∞)上是单调增函数．10．作出函数f(x)＝x2－6x＋9＋x2＋6x＋9的图象，并指出函数f(x)的单调区间．【解】原函数可化为f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x≤－3，6，－3<x≤3，2x，x>3.图象如图所示．由图象知，函数的单调区间为(－∞，－3]，3，＋∞)．其中单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为3，＋∞)．能力提升]1．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间1,2]上单调，则m的取值范围是________．【解析】f(x)的对称轴为x＝m，要使f(x)在1,2]上单调，则m不能在区间1,2]内部，∴m≥2或m≤1.【答案】(－∞，1]或2，＋∞)2．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2的解集为________．【解析】 ∵f (－3)＝2，f (0)＝－2， ∴f (0)<f (x )<f (－3)，∵f (x )在R 上是减函数，∴0>x >－3， 故解集为{x |－3<x <0}． 【答案】 {x |－3<x <0}3．已知f (x )＝⎩⎨⎧(6－a )x －4a ，(x <1)，ax ，(x ≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数a的取值范围是________．【解析】函数在(－∞，＋∞)上是增函数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧6－a >0，a >0，6－a －4a ≤a ，解不等式得a 的取值范围是1,6)．【答案】 1,6)4．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值________0(填“大于”或“小于”)．【解析】 ∵f (－x )＋f (x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. ∵f (x )是定义在R 上的增函数， ∴f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)， f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)， f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0. 【答案】大于5．讨论函数f(x)＝ax＋1x＋2⎝⎛⎭⎪⎫a≠12在(－2，＋∞)上的单调性.【导学号：37590031】【解】f(x)＝ax＋1x＋2＝a＋1－2ax＋2，设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2ax1＋2－1－2ax2＋2＝(1－2a)x2－x1(x2＋2)(x1＋2)，∵－2<x1<x2，∴x2－x1>0，又(x2＋2)(x1＋2)>0.(1)若a<12，则1－2a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．(2)若a>12，则1－2a<0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．综上，当a<12时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a>1时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．2。
苏教版高中数学必修一第二章学生同步练习第课时函数的单调性和奇偶性
让学生学会学习第12课 函数的单调性和奇偶性分层训练：1、二次函数y=ax 2+bx+c 的递增区间为(－∞，2]，则二次函数y=bx 2+ax+c 的递减区间为( ) A.(－∞,81]B.[81，+∞]C.[2，+∞]D.(－∞，2]2、设f(x)是(－∞, +∞)上的奇函数，f(x+2)= －f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)=( ) A.0.5 B. －0.5 C.1.5 D. －1.53、函数f(x)=(x －1)·)1,1(,11-∈-+x xx( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数4、下列结论正确的是( ) A.偶函数的图象一定与y 轴相交B.奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0C.定义域为R 的增函数一定是奇函数D.图象过原点的单调函数，一定是奇函数5、设偶函数y=f(x)(x ∈R)在x<0时是增函数，若x 1<0，x 2>0且|x 1|<|x 2|，则下列结论中正确的是( ) A.f(－x 1)<f(－x 2) B.f(－x 1)>f(－x 2) C.f(－x 1)=f(－x 2) D.以上结论都不对6、若f(x)满足f(－x)= －f(x)，且在(－∞，0)内是增函数，又f(－2)=0，则xf(x)<0的解集是( )A.(－2,0)∪(0，2)B.(－∞,－2)∪(0，2)C. (－∞,－2) ∪(2，+∞)D.(－2，0) ∪(2，+∞)7、函数y=(2k+1)x+b 在(－∞，+∞)上是减函数，则k 的取值范围是_______________.8、函数y=－xa在(0，+∞)上是减函数，则y=－2x 2+ax 在(0，+∞)上的单调性为_______________.9、定义在(－1，1)上的奇函数f(x)=12+++nx x mx ，则常数m ，n 的值为______.。
苏教版数学高一-必修1课时作业 .1函数的单调性
2．1.3 函数的简单性质第1课时 函数的单调性课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．1．单调性设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I ⊆A .如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有__________，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调______，I 称为y ＝f (x )的单调________．如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调________，I 称为y ＝f (x )的单调________．2．a >0时，二次函数y ＝ax 2的单调增区间为________．3．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是____函数．4．函数y ＝1x的单调递减区间为__________．一、填空题1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如右图所示．给出如下命题：①f (0)＝1；②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是________．(填序号)2．若(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，则f (x 1)________f (x 2)．(填“>”、“<”或“＝”)3．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上________．(填序号)①至少有一个根；②至多有一个根；③无实根；④必有唯一的实根．4．函数y ＝x 2－6x ＋10的单调增区间是________．5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是______________________________________．①f(x1)－f(x2)x1－x2>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；③f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)；④x1－x2f(x1)－f(x2)>0.6．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为________．7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是________．8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.二、解答题9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．能力提升12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数2．1.3函数的简单性质第1课时函数的单调性知识梳理1．f(x1)<f(x2)增函数增区间减函数减区间 2.[0，＋∞)3．增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)作业设计1．①④2．<解析由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，所以f(x2)>f(x1)．3．④解析∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，∴当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，故f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．4．[3，＋∞)解析如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在[3，＋∞)上是递增的．5．①②④解析 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，①、②、④正确；对于③，若x 1<x 2时，可有x 1＝a 或x 2＝b ，即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故③不成立．6．(－∞，－3]解析 该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．7．m >0解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0.8．－3解析 f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28， 由题意m 4＝2，∴m ＝8. ∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.9．解 y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 (x ≥0)－x 2－2x ＋3 (x <0)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋4 (x ≥0)－(x ＋1)2＋4 (x <0). 函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．10．证明设a<x1<x2<b，∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)<g(x2)，且a<g(x1)<g(x2)<b，又∵f(x)在(a，b)上是增函数，∴f(g(x1))<f(g(x2))，∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．11．解函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x22－1－x21－1＝x22－x21x22－1＋x21－1＝(x2－x1)(x2＋x1) x22－1＋x21－1.∵1≤x1<x2，∴x2＋x1>0，x2－x1>0，x22－1＋x21－1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．12．解(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)函数f(x)在R上单调递减．任取x1，x2∈R，且设x1<x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)，由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1.在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1.当x >0时，0<f (x )<1，所以f (－x )＝1f (x )>1>0， 又f (0)＝1，所以对于任意的x 1∈R 均有f (x 1)>0. 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0，即f (x 2)<f (x 1)．所以函数f (x )在R 上单调递减．13．解 (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)．∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4.∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。
2019—2020年苏教版高中数学必修一《函数的单调性》课时练习2及答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一2.2.1 函数的单调性（二） 课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．1．函数的最值设y ＝f(x)的定义域为A.(1)最大值：如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有__________，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最大值，记为______＝f(x 0)．(2)最小值：如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f(x)≥f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最小值，记为________＝f(x 0)．2．函数最值与单调性的联系(1)若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上单调递增，则f(x)的最大值为______，最小值为______．(2)若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．一、填空题1．若函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．2．已知函数y ＝x ＋2x －1，下列说法正确的是________．(填序号)①有最小值12，无最大值；②有最大值12，无最小值； ③有最小值12，最大值2； ④无最大值，也无最小值．3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．4．如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么f(－2)，f(0)，f(2)的大小关系为________．5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的________．(填序号)①最小值是0，最大值是4；②最小值是－4，最大值是0；③最小值是－4，最大值是4；④没有最大值也没有最小值．6．函数f(x)＝11－x (1－x )的最大值是________． 7．函数y ＝2|x|＋1的值域是________． 8．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b](a<b<3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________.9．若y ＝－2x，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________． 二、解答题10．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋2.(1)求f(x)在区间[12，3]上的最大值和最小值； (2)若g(x)＝f(x)－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．能力提升12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)________．(填序号)①有最大值3，最小值－1；②有最大值3，无最小值；③有最大值7－27，无最小值；④无最大值，也无最小值．13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．1．函数的最大(小)值(1)定义中M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x 2(x ∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解．(2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M 或f(x)≥M 成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．拓展 对于函数y ＝f(x)的最值，可简记如下：最大值：y max 或f(x)max ；最小值：y min 或f(x)min .2．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x)在闭区间[a ，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．3．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．第2课时 函数的最大(小)值知识梳理1．(1)f(x)≤f(x 0) y max (2)y min2．(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b)作业设计1．(－∞，－3]解析 由二次函数的性质，可知4≤－(a －1)，解得a ≤－3.2．①解析 ∵y ＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数， ∴y ≥f(12)＝12，即函数最小值为12，无最大值． 3．[1,2]解析 由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知，当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2. 由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.4．f(0)<f(2)<f(－2)解析 依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x ＝12， 因为f(x)＝x 2＋bx ＋c 开口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图象可知，[12，＋∞)为f(x)的增区间， 所以f(1)<f(2)<f(3)，即f(0)<f(2)<f(－2)．5．③解析 y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4 (x ≥3)－2x ＋2 (－1≤x<3)4 (x<－1).因为[－1,3)是函数y ＝－2x ＋2的减区间，所以－4≤y ≤4，综上可知③正确．6.43解析 f(x)＝1(x －12)2＋34≤43. 7．(0,2]解析 观察可知y>0，当|x|取最小值时，y 有最大值， 所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2， 故函数y 的值域为(0,2]．8．－2 0解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a<b<3，∴函数y 在区间[a ，b]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9， 得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)．9．2解析 函数y ＝－2x在[－4，－1]上是单调递增函数， 故y max ＝－2－1＝2. 10．解 (1)∵f(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]， ∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f(12)＝54，f(3)＝5， 所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，即f(x)在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1. (2)∵g(x)＝f(x)－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6. 故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．11．解 (1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由f(0)＝1，∴c ＝1， ∴f(x)＝ax 2＋bx ＋1.∵f(x ＋1)－f(x)＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f(x)＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．令g(x)＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ， 其对称轴为x ＝32， ∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，∴g(x)min ＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.12．③解析 画图得到F(x)的图象：射线AC 、抛物线AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ， 得x A ＝2－7，代入得F(x)的最大值为7－27， 由图可得F(x)无最小值． 13.解 (1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋1， x<0x 2－x ＋1， x ≥0. 作图(如右所示)(2)当x ∈[1,2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g(a)＝f(2)＝－3.若a>0，则f(x)＝a(x －12a )2＋2a －14a －1， f(x)图象的对称轴是直线x ＝12a. 当0<12a <1，即a>12时，f(x)在区间[1,2]上是增函数， g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时， g(a)＝f(12a )＝2a －14a－1， 当12a >2，即0<a<14时，f(x)在区间[1,2]上是减函数， g(a)＝f(2)＝6a －3. 综上可得g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6a －3， 0≤a<142a －14a －1， 14≤a ≤123a －2， a>12。
高中数学 苏教版必修一 函数的单调性(二)
2.2.1 函数的单调性(二)
【学习要求】
1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；
本 2．理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会求
课
时
函数最值是函数单调性的应用之一．
栏 目
【学法指导】
开 关
通过实例，体会函数的最大(小)值，实际上是函数图象的最高(低)
点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，
时
栏 所以[1，＋∞)上 f(x)为减函数，f(1)为 f(x)在[1，＋∞)上的最大
目 开
值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．
关
练一练•当堂检测、目标达成落实处
填一填 研一研 练一练
3．已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若 f(x)有最小值－2，则
f(x)的最大值为____1____．
本 解 作出函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18 的图象(如图)．显然，
课
时 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是
栏
目 烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
开 关
研一研•问题探究、课堂更高效
填一填 研一研 练一练
由二次函数的知识，对于函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，有：
开 关
因此，对于任意 x∈[a，b]都有 f(x)≤f(c)，
即 f(x)在 x＝c 时取得最大值．
研一研•问题探究、课堂更高效
填一填 研一研 练一练
小结 要证明函数在给定的闭区间上最大值是 M(最小值是 N)，就 是要证明在给定的区间内任意一点的函数值都小于或等于 M(大于 或等于 N)．
高中数学函数的单调性练习(无答案)苏教版必修一
函数的单调性知识点及方法判断函数的单调性;证明函数的单调性;函数单调性的应用（解不等式、比较大小、求函数的值域和最值）判断函数的单调性 1. 写出函数8log 2log )(21221++-=x x x f 的的单调区间.2. 写出函数)24sin(log 2x y -=π的的单调区间.3. 已知函数x x f 2)(=,312)(++-=x x x g ,求))((x g f 的单调区间.4. 已知228)(x x x f -+=， 求函数)2(2x f -单调区间。
5. 若函数f (x )的图象与函数x x g )31()(=的图象关于直线x y =对称，求)2(2x x f -的单调递减区间.6. 已知函数f (x )=|2-x |＋|x |的值随x 值的增大而增大，求x 的取值范围.7. 设f (x ) =21++x ax (a ≠21)，讨论x ∈),2(+∞-的单调性。
8. 已知y =2x 2－2ax +3在区间[－1,1]上的最小值是f (a ),试求f (a )的解析式,并说明当a ∈[－2,1] 时,)(log )(21a f a g =的单调性.9. 已知二次函数f (x )的二次项系数为正,且对于任意实数x ,都有f (2-x )=f (x ＋2)，讨论函数f (x )的单调性。
10. 已知函数f (x )=|x 2-1|＋m |x ＋1|＋a 有最小值f (2)=-4，(a )作出函数y =f (x )的图象，(b )写出函数f (1-2x )的递增区间。
证明函数的单调性1. 已知函数f (x )=13--x , 用函数单调性的定义证明：)(x f 在(－∞,+∞)上单调递减.2. 已知函数f (x )=xx 1+在区间),1(+∞上是增函数。
3. 求证：函数x y tan =当)2,2(ππ-∈x 时是增函数。
4. 已知函数f (x )=)(log x a a a -,(a ＞1)，（1）求f (x )的定义域、值域; （2）判断f (x )的单调性,并证明;二次函数的单调性 1. 函数22)1()(2-+-+=a x a x x f 在]3,(-∞上是减函数，求a 的取值范围。
高一数学苏教版必修1课后训练2.2.1函数的单调性 Word版含解析
课后训练千里之行始于足下．下列函数为单调增函数的序号是．①（>）；②；③；④.．函数＝－＋的单调减区间是，最小值是．．下列命题正确的序号是．①定义在（，）上的函数（），若存在，∈（，），使得<时，有（）<（），则（）在（，）上递增．②定义在（，）上的函数（），若有无穷多对，∈（，），使得<时，有（）<（），则（）在（，）上递增．③若（）在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则（）在∪上也一定是单调增函数．④若（）在区间上单调递增，（）在区间上单调递减，则（）－（）在区间上单调递增．．已知函数＝（）与函数＝（）的图象如图：则函数＝（）的单调增区间是；函数＝（）的单调减区间是．．小军遇到这样一道题目：写出满足在（－∞，）上递减，在[，＋∞）上递增，且有最小值为的两个函数．请你帮小军写出满足条件的两个函数表达式：.．有下列四个命题：①函数＝＋＋在（，＋∞）上不是单调增函数；②函数在（－∞，－）∪（－，＋∞）上是单调减函数；③函数的单调增区间是（－∞，＋∞）；④已知（）在上为单调增函数，若＋>，则有（）＋（）>（－）＋（－）．其中正确命题的序号是．．已知函数（）＝＋（－）＋在（－∞，－）上是单调减函数．（）求（）的取值范围；（）比较（－）与（）的大小．．已知函数（）＝＋＋，∈[－]．（）当＝－时，求函数（）的最大值与最小值；（）求实数的取值范围，使＝（）在区间[－]上是单调函数．百尺竿头更进一步已知函数，问此函数在区间[]上是否存在最大值和最小值？若存在，请求之，若不存在，请说明理由．参考答案与解析千里之行．④解析：在（，＋∞）上是单调减函数在[，＋∞）上是单调减函数，.在（，＋∞）上也是单调减函数，在[，＋∞）上为单调增函数．．解析：函数的对称轴为，且开口向上，所以单调减区间为．，∴当时，.所以函数的最小值为.．④解析：由单调增函数的定义，知，必须是区间（，）上的任意两个值且<，所以“存在”，“有无穷多对”都不对，因此①②错；③反例在（－∞，）上是单调增函数，在（，＋∞）上也是单调增函数，但不能说在（－∞，）∪（，＋∞）上是单调增函数，故③错；对④设，∈,且<，则（）<（），（）>（），∴－（）>－（），∴（）－（）>（）－（），故（）－（）在上单调递增，∴④正确．．（－∞，－]，[，＋∞）（－∞，]，（，＋∞）．＝＋或＝＋解析：这是一个开放性题，答案不惟一，可以是＝＋，＝＋（>）．．④解析：①因为函数在上为单调增函数，所以在（，＋∞）上也是单调增函数，故①错．②函数在区间（－∞，－）和（－，＋∞）上各自是单调减函数。
苏教版高中数学必修1全册课时作业及答案
苏教版高中数学必修1 全册课时作业目录1.1第1课时集合的含义1.1第2课时集合的表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集2.1.1函数的概念和图象2.1.2习题课2.1.2函数的表示方法2.1.3习题课2.1.3第1课时函数的单调性2.1.3第2课时函数的最大（小）值2.1.3第3课时奇偶性的概念2.1.3第4课时奇偶性的应用2.1.4映射的概念2.2.1函数的单调性（一）2.2.1函数的单调性（二）2.2.1分数指数幂2.2.2 习题课2.2.2习题课2.2.2函数的奇偶性2.2.2指数函数（一）2.2.2指数函数（二）2.2习题课2.3.1第1课时对数的概念2.3.1第2课时对数运算2.3.2习题课2.3.2对数函数（一）2.3.2对数函数（二）2.3映射的概念2.4幂函数2.5.1函数的零点2.5.2用二分法求方程的近似解2.5习题课2.6习题课2.6函数模型及其应用3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数（一）3.1.2指数函数（二）3.1习题课3.2.1第1课时对数（一）3.2.1第2课时对数（二）3.2.2对数函数（一）3.2.2对数函数（二）3.2习题课3.3幂函数3.4.1习题课3.4.1第1课时函数的零点3.4.1第2课时用二分法求方程的近似解3.4.2习题课3.4.2函数模型及其应用第1章集合§1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个________．集合中的每一个对象称为该集合的________，简称______．2．集合通常用________________表示，用____________________表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a____A，读作“a______A”，如果a不是集合A的元素，就说a__________A，记作a____A，读作“a________A”．4．集合中的元素具有________、________、________三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或______来表示．一、填空题1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号)①著名的科学家；②留长发的女生；③2010年广州亚运会比赛项目；④视力差的男生．2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号)①0∈A；②a∉A；③a∈A；④a＝A.3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________．(填序号)①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号)①1；②－2；③6；④2.5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有________个元素．7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2______R，－3______Q，－1_______N，π______Z.二、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升 12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第1章集合§1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义知识梳理1．集合元素元 2.大写拉丁字母A，B，C…小写拉丁字母a，b，c，… 3.属于∈属于不属于∉不属于4．确定性互异性无序性 5.R Q Z N N*N＋作业设计1．③解析①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．2．③解析由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．3．④解析集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．4．③解析因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③. 5．3解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．6．2解析 因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素． 7．①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1解析 当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈A ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故答案为－1.9．∈ ∈ ∉ ∉10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的． (2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确，因为个子高没有明确的标准． 11．解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A ，∴11－－1＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴A 不可能为单元素集．第2课时 集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法将集合的元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．两个集合相等如果两个集合所含的元素____________，那么称这两个集合相等． 3．描述法将集合的所有元素都具有的______(满足的______)表示出来，写成{x |p (x )}的形式． 4．集合的分类(1)有限集：含有________元素的集合称为有限集． (2)无限集：含有________元素的集合称为无限集． (3)空集：不含任何元素的集合称为空集，记作____．一、填空题1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为___________________________________． 2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示________．(填序号) ①方程y ＝2x －1； ②点(x ，y )；③平面直角坐标系中的所有点组成的集合； ④函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合．3．将集合⎩⎪⎨⎪⎧x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法为______________．4．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为________．5．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则有________．(填序号) ①－1∈A ；②0∈A ；③3∈A ；④2∈A .6．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集不可表示为________．①{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1}；②{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2}；③{1,2}；④{(1,2)}．7．用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N }＝______________________________.8．下列各组集合中，满足P ＝Q 的为________．(填序号) ①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}； ②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}；③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }．9．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是________．(填序号) ①M ＝{π}，N ＝{3.141 59}； ②M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}；③M ＝{x |－1<x ≤1，x ∈N }，N ＝{1}；④M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}． 二、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； ③不等式x －2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是________．①{x |x ＝1}；②{y |(y －1)2＝0}；③{x ＝1}；④{1}．13．已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是____________________________________________________．1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示． 2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时 集合的表示知识梳理1．一一列举 2.完全相同 3.性质 条件 4．(1)有限个 (2)无限个 (3)∅ 作业设计 1．{1,2,3,4}解析 {x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}． 2．④解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合． 3．{(2,3)}解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．4．{1}解析 方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}． 5．② 6．③解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故③不符合． 7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ，∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}． 8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集． 9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； ③{x |x >8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ； 集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3， 所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P是抛物线y ＝x 2＋3上的点}． 12．③解析 由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0} ＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合． 13．x 0∈N解析 M ＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋24，k ∈Z }，∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，k ＋2(k ∈Z )是一个整数， ∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N .§1.2子集、全集、补集课时目标 1.理解子集、真子集的意义，会判断两集合的关系.2.理解全集与补集的意义，能正确运用补集的符号.3.会求集合的补集，并能运用Venn图及补集知识解决有关问题．1．子集如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的________，记作______或______．任何一个集合是它本身的______，即A⊆A. 2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的________，记为______或(______)．3．______是任何集合的子集，______是任何非空集合的真子集．4．补集设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的______，记为______(读作“A在S中的补集”)，即∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．5．全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个______，全集通常记作U.集合A相对于全集U的补集用Venn图可表示为一、填空题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是________．2．满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝________.4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M＝________.5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是_____________________________．6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝________，∁U B＝______，∁B A＝________.9．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．二、解答题10．设全集U＝{x∈N*|x<8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}．(1)求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)；(2)求(∁U A)∪(∁U B)，(∁U A)∩(∁U B)；(3)由上面的练习，你能得出什么结论？请结事Venn图进行分析．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设集合U＝A，求∁U B.能力提升12．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．13．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.2．∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．3．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.§1.2子集、全集、补集知识梳理1．任意一个子集A⊆B B⊇A子集 2.真子集A B B A3．空集空集 4.补集∁S A 5.全集作业设计1．P Q解析∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，∴P Q.2．7解析M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．3．{3,9}解析在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.4．{x|x<－2或x>2}解析∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．5．②解析由N＝{－1,0}，知N M.6．S P＝M解析运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁U A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．9．∁U B∁U A解析画Venn图，观察可知∁U B∁U A.10．解 (1)∵U ＝{x ∈N *|x <8}＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，A ∩B ＝{5}，∴∁U (A ∪B )＝{6}，∁U (A ∩B )＝{1,2,3,4,67}．(2)∵∁U A ＝{2,4,6}，∁U B ＝{1,3,6,7}，∴(∁U A )∪(∁U B )＝{1,2,3,4,6,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{6}．(3)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )(如左下图)；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )(如右下图)．11．解 因为B ⊆A ，因而x 2＝3或x 2＝x .①若x 2＝3，则x ＝± 3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1. 当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1； 当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}． 12．解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．13．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a}．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.§1.3交集、并集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．交集(1)定义：一般地，由____________________元素构成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝__________.(3)交集的图形语言表示为下图中的阴影部分：(4)性质：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩∅＝____，A∩B＝A⇔______.2．并集(1)定义：一般地，________________________的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作______．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝______________.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为图中的阴影部分：(4)性质：A∪B＝______，A∪A＝____，A∪∅＝____，A∪B＝A⇔______，A____A∪B，A∩B____A∪B.一、填空题1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝________.2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝________.3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是________．①A⊆B；②B⊆C；③A∩B＝C；④B∪C＝A.4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________. 5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于________．6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则下列关系正确的是________．①N∈M；②M∪N＝M；③M∩N＝M；④M>N.7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.二、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为________．13．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．对并集、交集概念全方面的感悟(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．拓展交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A⊆B⇔A∪B＝B，A⊆B⇔A ∩B ＝A .这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．§1.3 交集、并集知识梳理 1．(1)所有属于集合A 且属于集合B 的 A ∩B (2){x |x ∈A ，且x ∈B } (4)B ∩A A ∅ A ⊆B 2.(1)由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B (2){x |x ∈A ，或x ∈B } (4)B ∪A A A B ⊆A ⊆ ⊆ 作业设计1．{0,1,2,3,4} 2．{x |－1≤x <1}解析 由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}． 3．④解析 参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C . 4．{(3，－1)}解析 M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.5．3解析 依题意，由A ∩B ＝{2}知2a ＝2， 所以，a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3. 6．②解析 ∵N M ，∴M ∪N ＝M . 7．0或1解析 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ， ∴t 2－t ＋1＝－3①或t 2－t ＋1＝0②或t 2－t ＋1＝1③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1. 8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴A (B ∪C )， ∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}， ∴a ＝－1，b ＝2.10．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}，即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝3.11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a}，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a ＝0或a ＝12.12．6解析 x 的取值为1,2，y 的取值为0,2，∵z ＝xy ，∴z 的取值为0,2,4，所以2＋4＝6. 13．解 符合条件的理想配集有 ①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}． ②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}． ③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}． 共3个．第2章 函数 §2.1 函数的概念 2.1.1 函数的概念和图象课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个________，通常记为y ＝f(x)，x ∈A.其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f(x)的________． 2．若A 是函数y ＝f(x)的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的________． 3．函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则．一、填空题1．对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有________个． ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量； ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2．设集合M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有________．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是________．①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②y ＝x 0和y ＝1；③f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2；④f(x)＝x 2x 和g(x)＝xx2. 4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有________个． 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为________． 6．函数y ＝x ＋1的值域为________．7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：x 1 2 3 f(x) 2 3 1x 1 2 3 g(x) 1 3 2x 1 2 3 g[f(x)]填写后面表格，其三个数依次为：________.8．如果函数f(x)满足：对任意实数a ，b 都有f(a ＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，则f 2f 1＋f 3f 2＋f 4f 3＋f 5f 4＋…＋f 2 011f 2 010＝________. 9．已知函数f(x)＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．二、解答题11．已知函数f (1－x1＋x)＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应法则是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应法则所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应法则，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f(x)以表格形式给出时，其定义域指表格中的x的集合；②当f(x)以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f(x)以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1函数的概念和图象2．1.1 函数的概念和图象知识梳理1．函数定义域 2.值域作业设计1．2解析①、③正确；②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示． 2．②③解析 ①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾． 3．④解析 ①中的函数定义域不同；②中y ＝x 0的x 不能取0；③中两函数的对应法则不同． 4．9解析 由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”． 5．{x|0≤x≤1}解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x≥0，解得0≤x≤1.6．[0，＋∞) 7．3 2 1解析 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝1. 8．2 010解析 由f(a ＋b)＝f(a)f(b)，令b ＝1，∵f(1)＝1，∴f(a＋1)＝f(a)，即f a ＋1f a＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2 010时，得f 2f 1＝f 3f 2＝…＝f 2 011f 2 010＝1.故答案为2 010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x －3＝－1,1,3,5,7.10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤1，0≤x＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤12，－23≤x≤13，即x∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13，所以f(2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h)m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋2＋2h ]h 2＝h 2＋2h(m 2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)函数图象如下确定．由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．2.1.2 函数的表示方法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．1．函数的三种表示法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． (2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法． (3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法． 2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．一、填空题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )＝________.4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝__________________________________. 5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5 x ≥6f x ＋2x <6，则f (3)＝_________________________________. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 x ≥9f [f x ＋4] x <9，则f (7)＝________________________________.7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________．9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________． 二、解答题 10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)． 3．分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． 分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．1.2 函数的表示方法作业设计1．y ＝50x(x>0)解析 由x ＋3x2·y＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x (x>0)．2．1解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．3.1x －1解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x1－x，则有f(t)＝1t 1－1t＝1t －1.4．2x －1解析 由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3， 令t ＝x ＋2，则x ＝t －2， 代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1. 5．2解析 ∵3<6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2. 6．6解析 ∵7<9，∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)． 又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6. 即f(7)＝6.7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f(x)＝－x 2＋23x(x≠0)解析 ∵f(x)＝2f(1x)＋x ，①∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x .②由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x3，即f(x)＝－x 2＋23x (x≠0)．9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8解析 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8.10．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． 由f(0)＝f(4)知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝c ，f 4＝16a ＋4b ＋c ，f 0＝f 4，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 …y … －5 0 3 4 3 0 －5…连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．解 根据题意可得d ＝kv 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 0≤v <25212 500v 2S v ≥252.13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。
高中数学苏教版必修一函数的单调性(一) 最新
研一研•问题探究、课堂更高效 探究点一 增函数、减函数、单调性、单调区间等概念
问题 1 如图，气温 θ 关于时间 t 的函数，记为 θ＝f(t)，观察这个 函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是降低 的？
本 课 时 栏 目 开 关
答 在[0,4] 及[14,24] 上，随时间的增大气温逐渐降低，在[4,14] 上随时间的增大气温逐渐升高．
3 ．函数的单调性与单调区间：如果函数 y＝ f(x) 在区间 I 上是
本 课 时 栏 目 开 关
单调增函数或单调减函数 ________________________________ ，那么就说函数 y＝ f(x)在
区间 I 上具有单调性．单调增区间与单调减区间统称为
单调区间 ________________.
数，那么就说函数 y＝f(x)在区间 I 上具有单调性．
单调增区间与单调减区间统称为单调区间．
研一研•问题探究、课堂更高效
例 1 画出下列函数的图象，并写出单调区间： 1 2 (1)y＝－x ＋2；(2)y＝ (x≠0)． x 解 (1)函数图象如图(1)，从图中看出函数 y＝－x2＋2 的增
1 (2)函数图象如图(2)，从图中看出函数 y＝ 的单调减区间为 x (－∞，0)和(0，＋∞)．
如果对于区间 I 内的任意两个值 x1、x2，当 x1<x2 时，
都有 f(x1)>f(x2)，那么就说 y＝f(x)在区间 I 上是单调减函数， 区间 I 称为 y＝f(x)的单调减区间．
本 问题 6 你能找出问题 1 中气温图中的单调区间吗？ 课 答 单调增区间：[4,14] ，单调减区间：[0,4] ，[14,24] ． 时 栏 目 问题 7 函数的单调性与单调区间是怎样定义的？ 开 答 如果函数 y＝f(x)在区间 I 上是单调增函数或单调减函 关
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双基达标(限时15分钟)
1．函数f(x)在R上是增函数，则f(3)与f(5)的大小关系是________．
解析根据增函数的定义直接作答．
答案f(3)＜f(5)
2．若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(π)与f(3)的大小关系是________．解析根据减函数的定义直接作答．
答案f(π)＜f(3)
3．若函数f(x)在实数集R上是增函数，且f(x)＞f(1－x)，则x的取值范围是________．
解析根据增函数的定义有x＞1－x，解得x＞1 2.
答案{x|x＞1 2}
4．函数y＝x2的单调减区间是________．
解析根据函数y＝x2的图象直接作答．
答案(－∞，0)
5．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________．
①y＝－x＋1②y＝－2
x③y＝x
2－4x＋5④y＝
2
x
解析结合函数的图象可知①③④在区间(0,2)上均为减函数．答案②
6．(1)证明函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数；
(2)证明函数f(x)＝1
x在(0，＋∞)上是减函数．
证明(1)设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)＝3(x1－x2)，
由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)＝3x＋2在R上是增函数．
(2)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1
x1－
1
x2＝
x2－x1
x1x2，
∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x1x2>0.
于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝1
x在(0，＋∞)上是减函数．
综合提高(限时30分钟)
7．函数y＝1
x＋2的单调递减区间是________．
解析作出图象如图，结合图象可知单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
答案(－∞，0)，(0，＋∞)
8．若函数f(x)的图象如右图，则其单调递增区间是________．
解析单调递增即图象是上升的部分，即为(－∞，－1)和(1,4)．
答案(－∞，－1)，(1,4)
9．给出下列说法：(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数
f (x )在R 上单调递增；(2)若定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＞f (2)，则函数f (x )在R 上不可能单调递减；(3)函数f (x )＝－5
3x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)单调递增；(4)函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≥0
－x 2＋1，x ＜0在定义域R 上是增函数．其中正确说法的序号是
________．
解析 逐一判断．由增函数的定义可知(1)错误；由减函数的定义可知(2)正确；(3)函数f (x )＝－5
3x 在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递增，故错误；作出函数图象如图，由图象可知(4)正确．
答案 (2)(4)
10．函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2,0]，则f (x )的单调递减区间是________．
解析 因为f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1，所以f (t )＝(t －2)2，t ∈[－1,1]，即f (x )＝(x －2)2，x ∈[－1,1]，作出图象如图，结合图象可知[－1,1]是函数f (x )的减区间．
答案 [－1,1]
11．画出下列函数图象，并写出单调区间： (1)函数y ＝－1
x ； (2)f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋1，x ≤0
－2x ＋2，x ＞0
解作出图象如图1，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个单调增区间．
(2)作出图象如图2，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个单调减
区间．
图1图2
12．判断函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在R上的单调性，并说明理由．
解设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)．若k＞0，又x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)＝kx＋b在R上是增函数．
若k＜0，又x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)＝kx＋b在R上是减函数．
13．(创新拓展)讨论函数f(x)＝ax＋1
x＋2
(a≠
1
2)在(－2，＋∞)上的单调性．
解f(x)＝ax＋1
x＋2
＝
ax＋2a＋1－2a
x＋2
＝1＋
1－2a
x＋2
，
设－2＜x1＜x2，则(x2＋2)(x1＋2)＞0，x2－x1＞0，
∴f(x2)－f(x1)＝1－2a
x2＋2
－
1－2a
x1＋2
＝(1－2a)
(x1－x2)
(x2＋2)(x1＋2)
，
∵
(x1－x2)
(x2＋2)(x1＋2)
＜0
当a＜1
2时，f(x2)＜f(x1)，此时函数f(x)＝
ax＋1
x＋2
(a≠
1
2)在(－2，＋∞)上是单调
减函数；
当a＞1
2时，f(x2)＞f(x1)，此时函数f(x)＝
ax＋1
x＋2
(a≠
1
2)在(－2，＋∞)上是单调
增函数．。