22.1.3二次函数的图象和性质(4)
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数的图象和性质》比赛说课稿
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数的图象和性质》比赛说课稿一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是人教版九年级数学上册第22.1.3节的内容。
本节主要介绍二次函数的图象和性质，是学生在学习了二次函数的定义、标准式、顶点式的基础上进行的。
通过本节的学习，使学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质，为学生进一步解决实际问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的基本概念和性质有所了解。
但学生在学习过程中，对二次函数的图象和性质的理解还不够深入，尤其对一些概念的内涵和外延认识不清晰。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从直观的图象中感知二次函数的性质，让学生在动手实践、合作交流中理解知识，提高学生的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生从图象中感知二次函数的性质，提高学生的数学观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学问题的热情，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象特征，二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
2.教学难点：二次函数性质的灵活运用，对一些特殊函数图象的理解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用“引导发现法”、“案例教学法”和“合作学习法”。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合学习卡、练习题等辅助教学手段。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些实际问题，引导学生关注二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解二次函数的图象特征，引导学生从图象中感知二次函数的性质。
通过典型案例，使学生了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
3.课堂练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质【2014版】
一、二次函数y=ax2图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图像都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图像性质:
y x2
8 6 4 2
y 2 x2
y
2
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
－4 －2
1 2 x 2
4
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点; 在y轴的左侧y随x的增大而减小，在y轴的右侧y随x的 增大而增大； 2 4 －4 －2 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛 －2 物线的最高点;在y轴的左侧y随x的增大 －4 1 而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减 y x －6 2 小， －8 y x （3）|a|越大,抛物线的开口越小; y 2 x
抛物线y ax 2向上（或向下）平移 k 个单位长度， 得到抛物线y ax 2 k (k 向上，k 0向下)
课堂练习：
1 2 1、抛物线y x 2的开口 向下 ，对称轴 y轴 ， 3 （0，-2） 顶点坐标 ，当x 0 时，y有最 大 值为 -2 . 3 2 2、抛物线y x +3的开口 向上 ，对称轴 y轴 ， 5 顶点坐标 （0，3） ，当x 0 时，y有最 小 值为 3 .
9
y = x 2+1 y=x2 y = x 2-1
6
3
－3
3
讨论 （1）抛物线y=x21
y=x2
方向、对称轴、顶点各是什么？ （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2 有什么关系？ （3）它们的位置由什么决定的？ 答：(1)它们开口方向向上，对称轴是y
轴，顶点分别是（0，1）（0，-1）。
22.1 二次函数的图象和性质(第4课时)
（1，3）
y/m
O1 2 3 x/m
321
（1，3）
y/m
O1 2 3 x/m
321
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
九、作业： 教科书习题22.1，第5题（2）（3），第7题（1）．
十、课后反思
是x = h，顶点是（h，0），开口向下，顶点是抛物线的
最高点，a越小，抛物线的开口越小．当x＜h时，y随
x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．
小组合作
达标测评
例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池
象特征和性质．
通过对二次函数 的探究，你能说出二次函数 的图象特征和性质
吗？
归纳：ห้องสมุดไป่ตู้
一般地，当a＞0时，抛物线 的对称轴
是x = h，顶点是（h，0），开口向上，顶点是抛物线的
最低点，a越大，抛物线的开口越小．当x＜h时，y随
x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大．
归纳：
一般地，当a＜0时，抛物线 的对称轴
课题
22.1二次函数的图象和性质（第4课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
本课是在学生已经学习了二次函数y = ax 2，y = ax 2 + k的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函
数图象和性质研究的延续．
二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
四、教学重点
五、教学难点
六、教学方法
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质课件2022-2023学年人教版九年级数学上册
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
4 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线__y_=_4_x_2____向左___
平移__1___个单位得到.
5.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_x_2_-2__, 再向上平移3个单位得到抛物线_y_=_-_2_x_2+_1_____; 若向 左平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_（__x_+_2_）__2 __，向右平 移2个单位得到抛物线__y_=_-2_（__x_-2_）__2____.
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 3)2 4
y 1 x2 3 2
y 3 (x 5)2 4
y 1(x 6)2 2
小结 拓展
你认为今天这节 课最需要掌握的是
________________ ？
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
画出二次函数
y
1 2
(
x
1)
2、
y
1 2
(
x
1)2
22.1.3二次函数的图像与性质 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
教师姓名仲志英单位名称霍城县大西沟中心学校填写时间2020.8.24学科数学年级/册九年级（上）教材版本新人教版课题名称第二十二章二次函数---二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质难点名称难点分析从知识角度分析为什么难抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律探究是本节课学习的知识难点。
画特殊图象结合图像探究形y=a(x-h)2+k的图像特征及性质把握好数形结合及观察分析类比归纳的研究方法.难点教学方法通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题突破难点教学环节教学过程导入问题将抛物线y=-x2向下平移1个单位，所得到的抛物线表达式是什么？若再将它向左平移1个单位呢？学生思考并回答？画出二次函数y=-(x+1)2-1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.知识讲解（难点突破）1、请在问题1中所在的平面直角坐标系内，画出抛物线y=-x2，及抛物线y=-（x+1）2，y=-x2-1,观察所得到的四个抛物线，你能发现什么？问题2、请依据问题2中你的发现，说说抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2(a≠0)通过怎样的平移而得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【设计意图】教师可给予15~20分钟的时间让学生自主探究，画出图象，并让学生们交流，获得感性认识.教师巡视，鼓励每个学生积极参与进来，针对个别同学，应适时予以点拨.如果条件允许，对学生的成果可通过多媒体展示.2、精讲点拨：1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的形状相同（因为a 值相同），而位置不同.将抛物线y=ax2上下平移，可得到抛物线y=ax2+k(k＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移-k个单位)，再将抛物线y=ax2+k左右平移后，可得到抛物线y=a(x-h)2+k（h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移）.（简称：上加下减函数值，左加右减自变量。
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
2.(2016广东东莞月考)抛物线y=3x2+1的开口向
标为
.
(上或下),顶点坐
答案 上;(0,1) 解析 根据抛物线的解析式y=3x2+1可知其开口向上,顶点坐标为(0,1).
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
对应点的坐标为(1,0),所以平移后,所得抛物线相应的函数解析式为y=
-(x-1)2.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
知识点三 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 6.(2017江苏宿迁中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个 单位,所得抛物线相应的函数表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-1 答案 C 根据平移口诀“左加右减自变量,上加下减常数项”可知平 移得到的抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
4.(2018江苏盐城阜宁期中)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为
a的符号 图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
九年级数学上册 第二十二章 22.1 二次函数的图像及性质 22.1.3 二次函数y=ax2+k的图
第二十二章 22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质知识点:二次函数y=ax2+k的图象及其性质二次函数y=ax2+k的性质与二次函数y=ax2的性质很多都相同,只是图象顶点坐标及最值有所区别,但也可以由二次函数y=ax2的图象的顶点平移得到二次函数y=a x2+k的图象的顶点的坐标,因而学习二次函数y=ax2+k的性质,可在熟记二次函数y=ax2的性质的基础上类比学习.二次函数图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值y=ax2+ka>0k>0向上(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小当x=0时,y最小值=ka>0k<0向上(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小当x=0时,y最小值=k a<0k>0向下(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大当x=0时,y最大值=k a<0k<0向下(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大当x=0时,y最大值=k 二次函数的解析式中常数项的变化与其图象移动的关系:上加下减.考点1：二次函数y=ax2+k的图象【例1】小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分(如图),若投中篮框中心,则他与篮底的距离l是( )A.3.5 mB.4 mC.4.5 mD.4.6 m答案:B点拨：由题意令y=3.05,可得3.05=-x2+3.5,解得x=±1.5(负值不符合题意,舍去),所以他与篮底的距离l=1.5+2.5=4(m).考点2：二次函数y=ax2+k的性质【例2】将抛物线y=-3x2向上平移1个单位后,得到的抛物线对应的函数解析式是.答案:y=-3x2+1点拨：由“上加下减”的规律知,该抛物线向上平移1个单位后得到的抛物线对应的函数解析式为y=-3x2+1.感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
22.1.3-二次函数y=a(x-h)2的图象和性质教案
y
1 2
(x
1)2，
习。
学
2
解： 先列表：
x
… －4 －3 －2 －1 0
y 1 (x 1)2 2
…
步
y 1 (x 1)2 2
…
学生展示自学完 成的练习。
1
学生质疑学习内 容。
描点、连线
骤
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
y 1 (x 1)2
第
周
授课时间:
授课：
教材
九 年级
上下册
课题
22.1.3 二次函数 y＝a （x-h）2 的图象和性质
(2)
课型
1．能画出二次函数 y＝a（x-h）2 的图像.
知识 目
标
2．掌握抛物线 y ax2 与抛物线 y＝a（x-h）2 之间的联系，
学
3.掌握二次函数 y＝a（x-h）2 图像特征及其性质.
习
2.掌握二次函数 y＝a（x-h）2 图像及其性质.
学习难点
使用二次函数 y＝a（x-h）2 的性质解决实际问题.
教学模式 六环五式教学法
教具 或器材
教学方法 启发自学、体验过程、学习互助、精讲达标。
教学思路
目标导入→自学引导→小组合作→成果展示→质疑精讲 →培养能力→增强信心。
教师活动
学生活动
旧知回顾】
可以看作由 y 1 x2 2
向
平移
三、知识梳理 X|k | B| 1 . c|O |m
（一）抛物线 y a(x h)2 特点：
1. 当 a 0 时 ， 开 口 向
口
；
22.1.3二次函数的图像与性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
22.1.3二次函数 的图象和性质
22.1.3二次函数k ax y +=2的图象和性质学习目标：1．知道二次函数k ax y +=2与2ax y =的联系． 2.掌握二次函数k ax y +=2的性质，并会应用；学习重点：会用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋b 的图象，理解二次函数y ＝ax 2＋b 的性质，理解函数y ＝ax 2＋b 与函数y ＝ax 2的相互关系。
学习难点：二次函数k ax y +=2的性质的应用 教学过程：（一）【创设情境，引入课题】1.直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
2.由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？ 猜想： 。
设计意图:通过回顾以前所学知识进行以下学习。
（二）【探究新知，练习巩固】1.在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象并填表。
2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12-=x y .x3． 抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同。
设计意图： 引导学生认真观察，积极思考。
（三）【合作探究，尝试求解】1. 抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．2.抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x = 时，y 有最 值是 。
设计意图：巩固函数y=ax 2+k 的图像和函数y=ax 2的图像之间联系。
（四）【概括提炼，课堂小结】 抛物线k ax y +=2特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 。
22.1.3二次函数的图象与性质(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数。它在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以抛物线运动为例，探讨二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在实践活动和小组讨论中，我尽量让学生们自己动手操作，互相交流，这样能更好地培养他们的团队合作能力和解决问题的能力。从成果展示来看，大部分学生都能积极参与，但我也注意到有几个学生显得比较被动，可能是因为他们对二次函数的理解还不够深入，或者是对讨论的主题不够感兴趣。
在学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者，提出一些开放性的问题来启发他们的思考。我发现这样的方式能激发学生的思维，让他们更主动地参与到讨论中。不过，我也发现有些学生在分享成果时表达得不够清晰，这可能是因为他们的逻辑思维和语言表达能力还有待提高。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的图象与性质的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
九年级数学上册22.1.3 二次函数的图像和性质
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 (2).已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象
上，则y1,y2,y3的大小关系是y2>y1>y.3
5. 抛物线y=a(x+1)2经过点(1,-12). 求:(1)a的值； (2)当x在什么范围内取值时，y随x的增大而增大？ 解: (1)∵抛物线y=a(x+1)2经过点(1,-12)
A．向上平移1个单位； C．向左平移1个单位；
B．向下平移1个单位； D．向右平移1个单位．
2.抛物线y= 2x2 向上平移5个单位,会得到哪条抛物线. 向下平移3.4个单位呢?
3、把抛物线y= 2x2-4x+2化成y= a(x-h)2的形式,并指出抛物线的开口 方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大值还是最小值?是多少?
O
开开口口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
对称性 关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点
顶点是最低点
顶点是最高点
在在对对增称称减轴轴性左右侧侧递递减增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点 增减性
c>0
c<0
c>0
c<0
y 1 x2 2
y 1 (x 2)2 2
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
人教初中数学 《二次函数的图象和性质(第4课时)》教案 (公开课获奖)
22.1 二次函数的图象和性质教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．（演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．D CA BD CABDC A BⅢ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D C ABEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．E DC A B P所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算：(1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
22.1.3二次函数的图像与性质
1 2 抛物线 y x 2
1
y
有什么关系?
1 y ( x 1) 2 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 1 -2 y ( x 1) 2 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1 2 y x 2
1 2 y x 2 1 2 y x 2
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
向上
y轴
y轴
(0，k) (0，k)
向下
|a|越大开口越小，反之开口越大。
练习
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 2 1 2 到抛物线 y x 2 ，再向上平移5个单位， 2 1 2 可以得到抛物线 y x 3 ； 2 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y随
2
在同一坐标系中,作出二次函数y=3x², y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象. y 3x 2 2 根据图象回答问题：
向左平移 1个单位 向右平移 1个单位
1 2 y ( x 1) 2 1 2 y ( x 1) 2
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 y ( x 1 ) -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 1 y x -10 y ( x 1) 2
当x=
3
时，y有最
小 值，其值为 0 。
抛物线与x轴交点坐标 ，与y轴交点 （ 3， 0 ） 坐标 。 （0，36）
抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
22.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
22.1.3二次函数()2h x a y -=的图象和性质一、知识链接：1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习(一) 画出二次函数2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象归纳：（1）2)1(+=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。
2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。
（2）2)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。
2)1(-=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。
（二）思考并回答： 2)1(+-=x y ，2)1(--=x y 的性质。
三、整理知识点x2．对于二次函数的图象，只要a 相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 四、课堂训练1．抛物线()223y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
2. 抛物线22(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
3. 抛物线221y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；4.抛物线25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．5. 抛物线24y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 6．将抛物线()2123y x =--向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 7．抛物线()242y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________． 8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线22y x =-都相同的二次函数解析式_______________． 五、目标检测1．抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y______________；当x ＝－3时，y 有_______值是_________．2．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则 m ＝__________，n ＝___________．3．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．。
22.1.3二次函数的图像和性质
(7)抛物线 y ax bx c 与x轴的交点情况
2
可由对应的一元二次方程ax 2 bx c 0
的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
再见
1
y
x -2 -1 o 1 2
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
(0,0) (0, c)
( h, k )
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 的 形状 相同， 位置 不同
y = a( x – h )2 + k 平左 移右 y = ax2 + k 上下平移 y = ax2 y=ax2 平上 移下 y = a(x – h )2
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时， y＝0，所以0 02 k 4 0 k 7 ，所以k＝ －7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点； ②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0， k 4 b 即 0 ，所以k＝－4，所 以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
b h＝－ 2a
4ac b 2 k＝ 4 a
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
综上得
2 4 ac b b y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋ 2a )2＋ 4a
抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）
2 b 2 4ac b ＝a(x＋ 2a ) ＋ 4a
\
识记
因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是
直接画函数
1 2 y x 6 x 21 2
的图象
根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
1 ∵a= >0, 2
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先列表：
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y ＝2
1(x －6)2
＋3
… 7.5 5
3.5
3
3.5 5 7.5 …
然后描点画图，得到y ＝2
1(x －6)2＋3的图象． 从上图中二次函数的图象可以看出： 抛物线y ＝2
1
x 2－6 x ＋21的顶点是(6，
3)，对称轴是x ＝6．在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x ＜6时，y 随x 的增大而减小；当x ＞6时，y 随x 的增大而增大．
2．用上面的方法讨论二次函数y ＝－2x 2－4 x ＋1的图象和性质． 教师引导学生独立完成，教师在学生配方时可给予适当指导．
y ＝－2x 2－4 x ＋1
＝－2(x 2＋2 x －2
1) ＝－2(x 2＋2 x ＋1－1－2
1) ＝－2[(x ＋1)2－2
3] ＝－2(x ＋1)2＋3．
三，探究新知
【师生互动】教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；
以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。
那么，对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗? y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x 2＋b a x)＋c ＝a[x 2＋b a x ＋(b 2a )2－(b
2a
)2]＋c。