数电考研讲义-第一章数制与编码
第1章数制与码制讲义
南京邮电大学
2020年7月30日星期四
章目录
第一章 数制与码制
1
绪论
一、数字电子技术的发展与应用 二、模拟信号和数字信号 三、数字电子技术的优点 四、二进制代码“1”和“0”的波形表示 五、本课程的研究内容 六、学习方法 七、参考教材
八、考核方法及答疑安排
2020年7月30日星期四
2020年7月30日星期四
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第一章 数制与码制
16
三、十六进制（Hexadecimal）
构成：十六个数码（0～9，A～F）； 逢十六进一，借一当十六。
n1
(N )16 (N )H ai 16i
im
其中：ai ----0～F中任一数码。
例如：(1110)B=1×23 + 1×22 + 1 ×21 + 0 ×20
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第一章 数制与码制
2
第1章 数制与码制
1.1 数制（计数体制）
一、十进制（Decimal） 二、二进制（Binary） 三、十六进制（Hexadecimal） 四、八进制（Octal） 五、数制转换
2020年7月30日星期四
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第一章 数制与码制
3
1.2 码制（编码的制式）
一、二进制码 二、二—十进制（BCD）码 三、字符、数字代码 作业
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第一章 数制与码制
9
五、本课程的研究内容
1.逻辑代数的基本理论； 2.常用数字集成电路的结构、工作原理、逻辑功
能和使用方法 ；
3.数字电路的分析、设计方法；
2020年7月30日星期四
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第一章 数制与码制
第1章 数制与编码
第1章数制与编码内容提要：本章首先解释模拟信号、数字信号及其之间的区别，以及数字电路的特点。
接着从常用的十进计数制开始，讨论一般的进位计数规则和各种不同数制之间的转换方法，重点讨论二进计数制的基本特点及其在计算机中的表示形式。
最后介绍十进制数的二进制编码表示：加权码、非加权码及字符代码。
1.1数字电路基础知识导读:在这一节中，你将学习：⏹模拟信号与数字信号的概念及区别⏹数字电路的特点1.1.1 模拟信号与数字信号在近代电子工程中，按照所处理的信号形式，通常将电路分成两大类：模拟电路和数字电路。
模拟电路处理的是模拟信号；数字电路处理的是数字信号。
在电子应用中，可测量的信号分为模拟信号和数字信号。
1．模拟信号模拟信号是指时间上和幅度上均为连续取值的物理量。
在自然环境下，大多数物理信号都是模拟量。
温度是一个模拟量，因为它的取值是连续的，在一天中的某个时间段内，温度的变化不是从一个值跳变到另一个值，而是在值域范围内连续变化。
例如，温度不会在一瞬间从30℃跳变31℃，而是经历了30℃到31℃之间的所有值。
图1-1是气象台记录某一天的温度在不同时间的变化情况，这是一条光滑、连续的曲线。
其中，纵轴为温度值，数字电子技术 2横轴为一天的时间值。
模拟信号的另一个实例是速度，开车在公路上行驶时，计数器上显示车速，单位是千米每小时（kmph ）。
如果从50kmph 加速到60kmph ，车速不会从50kmph 马上跳变到60kmph ，而是经历了两者之间所有的速度值，最终到达60kmph 。
加速度越大，车速变化所需的时间就越短，但是仍然不可能瞬间完成加速的全过程。
也就是说，速度总是连续变化的，因此是模拟量。
其它模拟量的实例还有声波、压力、距离、时间等。
几乎所有的自然现象都是模拟量。
2．数字信号数字信号是指时间上和幅度上均为离散取值的物理量。
尽管自然界中大多数物理量是模拟的，但仍可以用数字形式来表示。
例如在图1-1中，不考虑温度变化的连续变化，只考虑时间轴上整点的温度值，这实际上是对温度曲线的特定点处进行采样，如图1-2所示。
高等教育数字电子技术(第四版)第一章：数制与编码
第一章 数制与编码
8
下标B表示为二进制。 其按权展开式为 N=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2－1+1×2－2
为便于理解和熟悉二进制， 下面列出十进制数和二进 制数的关系式：
(1101.01)B=1×23+1×22+1×20+1×2－2 =8+4+1+0.25 =(13.25)D
第一章 数制与编码
第一章 数制与编码
29
1.3.1 二—十进制（BCD
由于二进制机器容易实现， 所以数字调和中广泛采用 二进制。 但是， 人们对十进制熟悉， 对二进制不习惯。 兼 顾两者， 我们用一组二进制数符来表示十进制数， 这就是 用二进制码表示的十进制数， 简称BCD码（Binary Coded Decimal的缩写）。 它具有二进制数的形式， 却又具有十 进制数的特点。 它可以作为人与数字系统联系的一种中间 表示。
第一章 数制与编码
15
2. 十进制数分为整数和小数两部分， 它们的转换方法
整数转换， 采用基数除法， 即将待转换的十进制数除 以将转换为新进位制的基数， 取其余数，
第一章 数制与编码
16
（1） 将待转换十进制数除以新进位制基数R， 其余数 作为新进位制数的最低位（LSB
（2） 将前步所得之商再除以新进位制基数R， 记下余 数，
9
二进制书写起来太长， 故在数字设备和计算机中， 常采用八进制或十六进制， 可有效地缩短字长。 因8=23， 16=24， 故一位八进制数相当于三位二进制数， 一位十六进 制数相当于四位二进制数， 这样就分别将字长缩短为原来 的1/3和1/4。
第一章 数制与编码
数字电路不挂科-1-数制与码制
（2）补码计算。 (−13) 补 +(−10) 补 = (−13 − 10) 补 即 110011 + 110110 = 101001 。（注意符号位参与运算，舍去进位）
（3）将其转化为原码：补码再求补码即得原码。 结果对应的原码为：110111 ，转化为十十进制数即为−23 。
数字电路 不挂科 1.数制与码制 2.常用用的编码
数字电路 不挂科 1.数制与码制 2.常用用的编码 1.原码、反码、补码
例例题1-4 用用二二进制补码运算求出 −13 − 10 。
解析1-4
（1）确定位数。从十十进制结果−23 看出其数值23处于16和32之间，所以尾数部分需要5 位二二进制数来表示。
−13 （原码）101101 （补码）110011 −10 （原码）101010 （补码）110110
数制与码制
数字电路 不挂科 第一讲
常用的编码 小小节2 BCD码
小小节3 格雷雷码
数字电路 不挂科 1.数制与码制 2.常用用的编码 3.格雷雷码
格雷码
格雷雷码不不是BCD 码，其位数⻓长度没有限制。 在一一组二二进制代码中，两个相邻代码对应位置上不不同码值的数目目称为码距。 格雷雷码的特征就是相邻两个格雷雷码码距为 1 ，所以在代码转换过程中不不会因为物理理器器件变化速度 的不不同产生生过渡“噪声”；且除最高高位外，其余各位具有镜像对称的特点。
二进制与N进制的相互转换
二二进制与八八进制互相转换：每一一位八八进制与三位二二进制数对应。 二二进制与十十六进制互相转换：每一一位十十六进制数与四位二二进制数对应。
数字电路 不挂科 1.数制与码制 1.数制间的转换 2.二二进制与N进制的相互转换
例例题1-1 将二二进制数 (1001.1101)2 化为相应的八八进制数。 解析1-1 每3位二二进制数与1位八八进制数对应。从小小数点开始，分别向高高位和低位每三位划分一一组，写出对应的八八进制数。最
数字电路第一章 数制与编码
(10011100101101001000.01)B= (1001 1100 1011 0100 1000.0100)B =
不足补0 不足补
( 9
C
B
4
8
4 )H
=( 9CB48.4 ) H
反之: (345.7)O =( )B (345.7)O =(011 100 101.111 ) B
)2 )4
，
(0.125) 0.02) 4
例 5： (29.93) 10 = ( ) 2 解： (29.93) 10 = ( 11101.111011) 2
乘不尽咋办？？ 乘不尽咋办？？ 满足精度要求为止
三、混合法 (α → 10→ β)
[Y1]反＝ [X1]反＋ [－X2]反= 00010 → Y1＝＋0010 [Y2]反＝ [X2]反＋ [－X1]反= 11101 → Y2＝－0010
四、补码
例：
⒈ 组成： 符号位＋数值位 X1＝＋1101 [X1]补=01101 正→0 不变 X2＝－1101 [X2]补=10011 负→1 取反＋1 00000 [±0]补＝ ⒉ 特点： 11111+ 1 = 00000
[－2n]补= 2n [－24]补=10000
⒉ 特点(续)
⑸两数和的补码等于两数补码之和； ⑹符号位参与运算,有进位时丢弃。
进位丢 弃
例：已知 X1＝1100 X2＝1010 求 Y1＝ X1－ X2 ； Y2＝ X2－ X1 解： [X1]补=01100 ， [－X1]补=10100，
[X2]补=01010
第一章 数制与编码
§1 §2 §3 §4 学习要求 进位计数制 数制转换 带符号数的代码表示 常用的一般编码
第1章数制与编码
第1章数制与编码第1章数制与编码内容提要：本章⾸先解释模拟信号、数字信号及其之间的区别，以及数字电路的特点。
接着从常⽤的⼗进计数制开始，讨论⼀般的进位计数规则和各种不同数制之间的转换⽅法，重点讨论⼆进计数制的基本特点及其在计算机中的表⽰形式。
最后介绍⼗进制数的⼆进制编码表⽰：加权码、⾮加权码及字符代码。
1.1数字电路基础知识导读:在这⼀节中，你将学习：模拟信号与数字信号的概念及区别数字电路的特点1.1.1 模拟信号与数字信号在近代电⼦⼯程中，按照所处理的信号形式，通常将电路分成两⼤类：模拟电路和数字电路。
模拟电路处理的是模拟信号；数字电路处理的是数字信号。
在电⼦应⽤中，可测量的信号分为模拟信号和数字信号。
1．模拟信号模拟信号是指时间上和幅度上均为连续取值的物理量。
在⾃然环境下，⼤多数物理信号都是模拟量。
温度是⼀个模拟量，因为它的取值是连续的，在⼀天中的某个时间段内，温度的变化不是从⼀个值跳变到另⼀个值，⽽是在值域范围内连续变化。
例如，温度不会在⼀瞬间从30℃跳变31℃，⽽是经历了30℃到31℃之间的所有值。
图1-1是⽓象台记录某⼀天的温度在不同时间的变化情况，这是⼀条光滑、连续的曲线。
其中，纵轴为温度值，数字电⼦技术 2横轴为⼀天的时间值。
模拟信号的另⼀个实例是速度，开车在公路上⾏驶时，计数器上显⽰车速，单位是千⽶每⼩时（kmph ）。
如果从50kmph 加速到60kmph ，车速不会从50kmph 马上跳变到60kmph ，⽽是经历了两者之间所有的速度值，最终到达60kmph 。
加速度越⼤，车速变化所需的时间就越短，但是仍然不可能瞬间完成加速的全过程。
也就是说，速度总是连续变化的，因此是模拟量。
其它模拟量的实例还有声波、压⼒、距离、时间等。
⼏乎所有的⾃然现象都是模拟量。
2．数字信号数字信号是指时间上和幅度上均为离散取值的物理量。
尽管⾃然界中⼤多数物理量是模拟的，但仍可以⽤数字形式来表⽰。
例如在图1-1中，不考虑温度变化的连续变化，只考虑时间轴上整点的温度值，这实际上是对温度曲线的特定点处进⾏采样，如图1-2所⽰。
数字电路01 数制和码制
逢十六进一
十进制： D ki 10i N进制： D kiNi （基数N、权Ni）
ki ：是第 i 位的系数，可以是 0~N-1 中的任何一个
小数部分：i 为负数
二进制
D Ki 2i
K (0,1)
(101.11)2 1 22＋0 21＋1 20＋1 2－1＋1 2－2 (5.75)10
0.8125
2 1.6250
整数部分＝ 1 ＝k1
0.6250
2 1.2500
整数部分＝ 1 ＝k2
故
(0.8125 )10 (0.1101 )2
0.2500
2 0.5000
整数部分＝ 0 ＝k3
0.5000
2 1.000
整数部分＝ 1 ＝k4
三、二－十六转换
例：将(01011110.10110010)2化为十六进制
八进制
D Ki8i
K (0,7)
(12.4)8 181＋2 80＋4 8－1 (10.5)10
十六进制
D Ki16i
K (0, F)
(2A.7F)16 2 161＋10 160＋7 16－1＋1516－2 (42.4960937)10
不同进制数的对照表
十进制数 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
同理
例：
kn 2n1 kn1 2n2 k1 2(kn 2n2 kn12n3 k2 ) k1
∟ 2 173余数＝1＝k0 ∟ 2 86 余数＝0＝k1 ∟ 2 43 余数＝1＝k2 ∟ 2 21 余数＝1＝k3 ∟ 2 10 余数＝0＝k4 ∟ 2 5余数＝1＝k5 ∟ 2 2余数＝0＝k6
数制与编码专业知识讲座
整数 小数 整数部分 部分 部分 取1或0
小数部分
由(2)式知：等号两边旳整数部分和小数部分应分别相等。a-1=1。
(2)式等号两边分别减去a-1 =1，再分别乘以2得到：
0.252 = a-2 + a-3. 2-1 +……+ a-m+1. 2-m+3 + a-m. 2-m+2 =0. 5 (3)
整数部分 取1或0
因为24=16。
0000
0001
所以每四位二进制数就是一位十六进制数，如右表所示。 0 0 1 0
0011
转换措施：从小数点开始，分别向左、右方向每 四位一组地划分二进制数；然后把每四位一组旳 二进制数作为一位十六进制数。
0100 0101 0110 0111
1000
1001
例：（1 1 0 1 0 0 1 . 1 1 1）2 = ( 6 9 . E)16
(0.625)10 2进制数整数：
0.625－0.5（2-1）＝0.125 a-1＝1 0.125－0.125（2-3）＝0 a-3＝1
a-1＝1； a-3＝1。
a-2＝0。
a-1a-2a-3＝101
(43.625)10 ＝(101011.101)2
2. 10进制
8进制、16进制
转换措施：先由10进制转换为2进制，再由2进制转换为8进制或16进制。
16进制旳特点：逢16进1。有16个符号（数字）：0，1， 2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C， D，E，F（没有16）
12/30/2023
7
数字电路——分析与设计
第1章 数制与编码
每一种数制旳“逢几进1”, 这个“几”就叫作该数制旳基数 , 用r表达。 10进制数旳基数r是10 ; 2进制数旳基数r是2 ; 8进制数旳基数r是8 ; 16进制数旳基数r是16 ; …… ; n进制数旳基数r是n 。
L1第一章 数制与编码
5
7 0
5
5
4
二进制：010 101 111 000 101 101 100
十六进制：
A
F
1
6
C
因此，(257.0554)8=(10101111.0001011011)2 =(AF.16C)16
数制转换时，小数位数如何确定？
确定小数位数的依据：数值转换后的精度要求。 解：设 进制有i位小数，转换成 进制后保证同 样精度需要j位小数。 这时最低位的值应相等，即：
(和均为10进制表示)
i j
两边取对数，得： i lg j lg 所以： j i (lg( ) / lg( )) 一般，取j为满足下列不等式的最小整数：
j i (lg( ) / lg( ))
例：将（0.4071）10转换成八进制数，要求保持 4 (0.1)10 的精度。 解：设八进制小数需j位，则j应满足：
用权展开式表示为 (N)2 = an-12n-1+an-22n-2 +…+ a121+a020+a-1 2-1+ a-22-2+…+a-m2-m
ai 2
i m
n 1
i
权值一般用 十进制表示
例: (1011.01)2=1 23+022 +121+120+02-1+12-2
RC ) 0 LnR
lnR-1=0
由此得到最小的 R=e=2.718 ,则取R=2。
1.2 数制转换
1.2.1 二进制数和十进制数的转换
1、二进制数十进制数 • 按权展开式在十进制数域中计算 例如：
(11010 .101) 2 1 24 1 23 0 22 1 21 0 20
01数制与码制(数字电子技术)
第1章数制与码制1.1 概述电子信号可用于表示任何信息，如符号、文字、语音、图像等，从表现形式上可归为两类：模拟信号和数字信号。
模拟信号的特点是时间和幅度上都连续变化（连续的含义是在某一取值范围内可以取无限多个数值）。
交流放大电路的电信号就是模拟信号，如图1-1所示。
我们把工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。
数字信号是时间和幅度上都不连续变化的离散的脉冲信号，例如图1-2所示。
用数字信号对数字量进行算术运算和逻辑运算的电路称为数字电路，或数字系统。
由于它具有逻辑运算和逻辑处理功能，所以又称为数字逻辑电路。
图1-1 图1-2数字电路通常是根据脉冲信号的有无来进行工作的，而与脉冲幅度无关，所以抗干扰能力强、准确度高。
虽然数字信号的处理电路比较复杂，但因信号本身的波形十分简单，只有两种状态—有或无，在电路中具体表现为高电位和低电位（通常用1和0表示），所以用于数字电路的半导体管不是工作在放大状态而是工作在开关状态，要么饱和导通，要么截止，因此制作时工艺要求相对低，易于集成化。
随着数字集成电路制作技术的发展，数字电路在通信、计算机、自动控制、航天等各个领域获得了广泛的应用。
数字信号通常都是用数码表示的。
数码不仅可以用来表示数量的大小，还可以用来表示事物或事物的不同状态。
用数码表示数量大小时，需要用多位数码表示。
通常把多位数码中每一位的构成方法及从低位到高位的进位规则称为数制。
在用于表示不同事物时，这些数码已经不再具有表示数量大小的含义，它们只是不同事物的代号。
比如，我们每个人的身份证号码，这些号码仅仅表示不同对象，没有数量大小的含义。
为了便于记忆和查找，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就称为码制。
考虑到信息交换的需要，通常会制定一些大家共同使用的通用代码。
例如：目前国际上通用的美国信息交换标准代码（ASCII码，见本章第1.5节）就属于这一种。
数字电子技术1.2 几种常用的数制任何一个数都可以用不同的进位体制来表示，但不同进位计数体制的运算方法和难易程度各不相同，这对数字系统的性能有很大影响。
第1章 数制与编码
常用BCD 常用 BCD 码
十进制数 8421 码 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 8421 权 余 3 码 格雷码 2421 码 0011 0000 0000 0100 0001 0001 0101 0011 0010 0110 0010 0011 0111 0110 0100 1000 0111 1011 1001 0101 1100 1010 0100 1101 1011 1100 1110 1100 1101 1111 2421 5421 码 0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100 5421
生 变 化 。 一 个 代 码 时 只 有 一 位 发 另 的 邻
相
格 雷 码 的 特 点 ： 从 一 个 代 码 变 为
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2．奇偶校验码 奇偶校验码分为奇校验码和偶校验码两种。校验位的编码规 校验位的编码规 则是： 则是：对于奇校验码，若信息位中有偶数个1，则校验位为1； 对于偶校验码，若信息位中有奇数个1，则校验位为1。
５ ５
５
５
５×１００＝ ５ ＋ ＝５５５５
同样的数码在不同的数 位上代表的数值不同。
即：(5555)10＝5×103 ＋5×102＋5×101＋5×100 又如：(209.04)10＝ 2×102 ＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4 ×10－2
2、二进制 、
数码为：0、1；基数是2。 运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。 二进制数的权展开式： 如：(101.01)2＝ 1×22 ＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1 ×2－2 ＝(5.25)10
数字电子技术知识基础第1章数制和码制
05
实践应用
数制和码制在计算机中的应用
二进制数制在计算机中的应用 十进制数制在计算机中的应用 十六进制数制在计算机中的应用
计算机内部的信息处理是基于二进制数制的，因为二进 制只有0和1两种状态，适合表示电子电路的开和关状 态，便于存储和运算。
虽然计算机内部主要使用二进制数制，但在与人类交互 时，通常需要将二进制数转换成十进制数，以便于理解 和计算。
格雷码是一种二进制编码 方式，其特点是任意两个 相邻的数值只有一个二进 制位不同。
特点
格雷码具有最小单位距离， 即任意两个相邻数值之间 的差异最小，因此能够有 效地减少传输误差。
应用
格雷码常用于模拟数字转 换器和数字模拟转换器中， 以提高转换精度和稳定性。
BCD码
定义
BCD码（Binary-Coded Decimal）是一种二进制 编码方式，它将十进制数 转换为二进制数。
04
编码系统
二进制编码
定义
二进制编码是一种数字编码方式， 采用0和1两个数码来表示数值。
特点
二进制编码具有抗干扰能力强、可 靠性高、简化运算等优点，因此在 计算机、数字通信等领域广泛应用。
应用
二进制编码用于实现数字逻辑电路 的输入和输出，以及计算机内部的 数据存储和运算。
格雷码
01
02
03
定义
八进制数制使用0-7这八个数字 进行计数和运算。
每个数字的权值是8的幂次方， 从右往左数，小数点左边第一位 是8^0，第二位是8^1，以此类
推。
八进制数制在计算机科学中也有 广泛应用，尤其是在一些底层编
程语言中。
十六进制数制
十六进制数制使用0-9和A-F这十六个 数字进行计数和运算。
第一章 数制和编码
《数字系统与逻辑设计》刘丽华办公地点：教四楼243房间办公电话：62283723EMAIL:llh@学习本课程的意义它是现代通信技术，控制技术和计算机技术的基础z电子技术的发展趋势是：*数字化*智能化*微型化其中最主要的是信息数字化：（传输，处理，控制）*信息数字化的好处：。
便于传输（可能实现‘无失真’传输--通过检错和纠错编码）。
便于储存（大容量存储器技术的发展）；。
便于信息的处理（用计算机）；。
数字系统比模拟系统更容易达到需要的精度；。
便于保密（用数字加密技术）。
便于工业化高质量地大批量生产，可达到产品的高可靠性和高度一致性；。
便于电子设备的小型化，微型化。
参考书1.“数字电路与逻辑设计”邮电出版社王树堃徐惠民主编2.VICTOR P.Nelson etc“DIGITAL LOGICCIRCUIT ANALYSIS AND DESIGN”1997PRENTICE HALL清大出版社影印3.“数值逻辑”高教出版社鲍家元等4.“电子技术基础”数字部分康华光高教出版社学完本课应达到目的。
掌握布尔代数的基本理论。
了解基本逻辑门的工作机理。
会分析和设计常用的组合/及时序逻辑。
会用中小规模芯片设计中大规模硬件系统o理解半导体存储器的组成结构和工作原理，熟悉可编程逻辑器件的结构、功能及编程方法。
课程内容z第一章: 数字技术基础z第二章: 逻辑门电路z第三章: 组合电路的分析及设计z第四章：触发器（双稳态电路）z第五章：时序逻辑电路z第六章：存储器与可编程逻辑器件z第七章：模数转换和数模转换器考核方法：平时（考勤，作业）：15%期中考试：20％期末考试：65%第一章：数字技术基础§1-1：要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：1、数制与编码。
2、逻辑代数中的三种基本运算。
3、逻辑代数的基本公式、定理，把逻辑代数公式与普通代数公式对比，找出特殊公式。
4、逻辑函数的简化，尤以卡诺图法为主。
注意卡诺图的填写，画包围圈的原则和方法。
数字电子技术基础-第一章-数制和码制
②格雷码
自然二进制码
先将格雷码的最高位直接抄下，做为二进制 数的最高位，然后将二进制数的最高位与格雷码 的次高位异或，得到二进制数的次高位，再将二 进制数的次高位与格雷码的下一位异或，得二进 制数的下一位，如此一直进行下去，直到最后。
奇偶校验码
组成
信 息 码 ： 需要传送的信息本身。
1 位校验位：取值为 0 或 1，以使整个代码 中“1”的个数为奇数或偶数。
二、数字电路的特点
研究对象 输出信号与输入信号之间的逻辑关系
分析工具 逻辑代数
信 号 只有高电平和低电平两个取值
电子器件 工作状态
导通(开)、截止(关)
主要优点
便于高度集成化、工作可靠性高、 抗干扰能力强和保密性好等
1.1 数制和码制
主要要求：
掌握十进制数和二进制数的表示及其相互转换。 了解八进制和十六进制。 理解 BCD 码的含义，掌握 8421BCD 码， 了解其他常用 BCD 码。
(10011111011.111011)2 = ( ? )16
0100111111001111.111111001110 0
补 04 F B
E 补C 0
(10011111011.111011)2= (4FB.EC)16
十六进制→二进制 :
每位十六进制数用四位二进
制数代替，再按原顺序排列。
(3BE5.97D)16 = (11101111100101.100101111101)2
0000
0000
0011
1
0001 0001
0001
0001
0100
2
0010 0010
0010
0010
0101
【数电】（一）数制和码制
【数电】（⼀）数制和码制⼀、数制常⽤的数制有⼆进制(Binary)、⼗进制(Decimal)、⼗六进制(Hexdecimal)和⼋进制(Octal)。
感觉⼋进制不常⽤啊。
1.1 ⼗进制→⼆进制 (64.03)10=(?)2整数部分：64/2=32——余032/2=16——余016/2 = 8——余08/2 = 4——余04/2 = 2——余02/2 = 1——余01/2 = 0——余1从下往上为整数部分⼆进制结果1000000⼩数部分：0.03x2=0.06——整数部分00.06x2=0.12——00.12x2=0.24——00.24x2=0.48——00.48x2=0.96——00.96x2=1.92——10.92x2=1.84——10.84x2=1.68——10.68x2=1.36——10.36x2=0.72——0从上到下为⼩数部分0.0000011110（精确到了⼩数点后10位有效数字）因此(64.03)10=(1000000.0000011110)21.2 ⼆进制→⼗进制 (101.011)2=(?)10 =22+0x21+20+0x2-1+2-2+2-3 =5.375⼆、编码与码制2.1 原码、反码和补码在数字电路中，⼗进制数字⼀般⽤⼆进制来表⽰，原因就是逻辑电路的输出⾼低电平刚好可以表⽰⼆进制数的1和0。
在⼆进制数前增加⼀位符号位即可区分数字的正负，正数符号位为0，负数符号位为1，这种形式称之为原码。
正数的原码、反码和补码都是⾃⼰。
负数的反、补码规则如下:原码：1 1001（⼆进制增加符号位后的形式）反码：1 0110（符号位对应取反）补码：1 0111（反码+1） //“+1”这⼀操作使得正负相加刚好溢出正数+对应负数的补码=0 ！2.2 常⽤编码8421码、余3码、2421码、5211码和余3循环码都属于⼗进制代码。
8421码（BCD码）：BCD码的每⼀位上的1都代表⼀个固定的⼗进制数，分别为8、4、2、1，将其代表的数值相加就是8421码对应的⼗进制数，属于恒权代码。
数电第1章
第一章 数 制 与 代 码
小结：
进位计数制： 1、进位基数 R 2、数位的权数 Ri
权值表示法： (N )R
i a R i n 1
i m
二、八、十六进制数转换十进制数 (D)
多项式法
十进制数 (D) 转换二、八、十六进制数 整数连除法 （小数连乘法）
第一章 数 制 与 代 码
作业：
0………… 1
即 (11)D=(1011)B
最高位
第一章 数 制 与 代 码
2. 纯小数转换——基数连乘法
把十进制的纯小数 M 转换成 R 进制数的步骤如下： (1) 将M乘以R，记下整数部分。 (2) 将上一步乘积中的小数部分再乘以 R ，记下 整数部分。 (3) 重复做第 (2) 步，直到小数部分为 0 或者满足 精度要求为止。 (4) 将各步求得的整数转换成 R 进制的数码，并 按照和 运算过程相同的顺序 排列起来，即为所求 的R进制数。
在计算机应用系统中： 二进制主要用于机器内部的数据处理， 八进制和十六进制主要用于书写程序， 十制主要用于运算最终结果的输出。
第一章 数 制 与 代 码
1.2 数制转换
1.2.1 非十进制数 转换 成十进制数 不同数制之间的转换方法有若干种。把非十进制 数转换成十进制数采用按权展开相加法。 具体步骤是，首先把非十进制数写成按权展开的 多项式，然后按十进制数的计数规则求其和。
例9
解
(11.375)D=( ? )B
2 11 2 5………… 2 2………… 2 1………… 0………… 1 1 0 1
即 (11)D=(1011)B
0.375×2=0.75………0 0.75×2=1.5 0.5×2=1.0
………1 ………1
数电考研讲义-第一章 数制与编码
第一章数制与编码1.1数制1.1.1各进制中（1）十进制：采用0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9十个数码，其进位的规则是“逢十进一”。
如：4587.29=4⨯103+5⨯102+8⨯101+7⨯100+2⨯10-1+9⨯10-2（2）二进制：只有0、1两个数码，进位规律是：“逢二进一”。
（3）十六进制：只有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A、B、C、D、E、F十六个数码，进位规律是“逢十六进一”。
各位的权均为16的幂。
如：（4）八进制：只有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7八个数码，进位规律是“逢八进一”。
各位的权都是8的幂。
1.1.2数制转换（1）十进制转换为二进制（BCD码）：将十进制数连续不断地除以2 , 直至商为零，所得余数由低位到高位排列，即为所求二进制数。
【例题1-1】（）。
（北京邮电大学2016&802电子电路）解析：答案：10100.001【习题1-2】2014年双11淘宝网上销售额达571亿元，这个数转换成二进制时位数有（）位。
（杭州电子科技大学2015&849数字电路与信号系统）A、36B、37C、38D、39【习题1-3】将十进制数位有效数字。
（中国科技大学2012&809电子技术（模、数））（2）二—十六进制的转换：①二—十六：因为16进制的基数16=24 ，所以，可将四位二进制数表示一位16进制数，即0000～1111 表示0-F。
例(111100*********)B =(78AE)H②十六—二：将每位16进制数展开成四位二进制数，排列顺序不变即可。
例(BEEF)H =(1011 1110 1110 1111)B【例题1-4】十进制数等于十六进制数（）。
（湖南大学2011年&822电子技术基础一）A、；B、；C、；D、。
解析：答案：C（3）二—八进制的转换：因为八进制的基数8=23，所以，可将三位二进制数表示一位八进制数，即000～111 表示0～7。
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第一章数制与编码
1.1数制
1.1.1各进制中
（1）十进制：采用0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9十个数码，其进位的规则是“逢十进一”。
如：4587.29=4⨯103+5⨯102+8⨯101+7⨯100+2⨯10-1+9⨯10-2
（2）二进制：只有0、1两个数码，进位规律是：“逢二进一”。
（3）十六进制：只有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A、B、C、D、E、F十六个数码，进位规律是“逢十六进一”。
各位的权均为16的幂。
如：
（4）八进制：只有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7八个数码，进位规律是“逢八进一”。
各位的权都是8的幂。
1.1.2数制转换
（1）十进制转换为二进制（BCD码）：
将十进制数连续不断地除以2 , 直至商为零，所得余数由低位到高位排列，即为所求二进制数。
【例题1-1】（）。
（北京邮电大学2016&802电子电路）
解析：
答案：10100.001
【习题1-2】2014年双11淘宝网上销售额达571亿元，这个数转换成二进制时位数有（）位。
（杭州电子科技大学2015&849数字电路与信号系统）
A、36
B、37
C、38
D、39
【习题1-3】将十进制数位有效数字。
（中国科技大学2012&809电子技术（模、数））
（2）二—十六进制的转换：
①二—十六：因为16进制的基数16=24 ，所以，可将四位二进制数表示一位16进制数，即0000～1111 表示0-F。
例(111100*********)B =(78AE)H
②十六—二：将每位16进制数展开成四位二进制数，排列顺序不变即可。
例(BEEF)H =(1011 1110 1110 1111)B
【例题1-4】十进制数等于十六进制数（）。
（湖南大学2011年&822电子技术基础一）
A、；
B、；
C、；
D、。
解析：
答案：C
（3）二—八进制的转换：
因为八进制的基数8=23，所以，可将三位二进制数表示一位八进制数，即000～111 表示0～7。
转换时，由小数点开始，整数部分自右向左，小数部分自左向右，三位一组，不够三位的添零补齐，则每三位二进制数表示一位八进制数。
例(10110.011)B =(26.3)O
将每位八进制数展开成三位二进制数，排列顺序不变即可。
例(752.1)O=(111 101 010.001)B
【例题1-5】将二进制数分别转换成下列进制数：
十进制数（）、八进制数（）及十六进制数（）。
（浙江理工大学2015&977电子技术基础）
解析：由小数点开始，整数部分自右向左，小数部分自左向右，三位一组，不够三位的添零补齐，则每三位二进制数表示一位八进制数
解析：
正确答案：85.1875 125.14 55.3
1.2编码
1.2.1二进制编码
（1）二进制格雷码
格雷码又称为循环码，因为其任何相邻的两个代码中，仅有一位码元不同。
（2）自然二进制码与格雷码之间的转换
自然二进制转格雷码：
①两种代码的最高位（即最左边一位）相同
②从高位至低位依次读取自然二进制码的各位码元。
若某位码元与其前一位不同，则该位对应的格雷码的码元为1，否则为0。
格雷码转二进制：
①两种代码的最高位相同
②从高位至低位依次读取格雷码的各位码元。
若某位码元为0，则同该位对应的自然二进制码的码元与其前一位相同；否则，同该位对应的自然二进制码的码元与其前一位不同。
【例题1-6】与十进制数对应的码是；与二进制码对应的格雷码是。
（中国科技大学2016&809电子技术（模、数））
解析：
正确答案：；
1.2.2带符号数的编码及运算
（1）符号位通常占据最左边一位，0表示正，1表示负，其余各位表示数的大小，为数值位。
（2）正数的反码与其原码相同，即符号位为0，数值位不变；负数的反码是符号X位不变，为1，数值位逐位取反，即0变为1,1变为0。
（3）正数的补码与其原码相同；负数的补码是符号位不变，数值位逐位求反，然后在最低位加1。
（4）用补码实现加/减运算；减法运算的原理:减去一个正数相当于加上一个负数A-B=A+(-B)，对(-B)求补码，然后进行加法运算。
①将X与Y均表示成补码形式；
②两个补码相加，且符号位也参与运算；
③若符号位有进位，则自动丢失，所得结果为X+Y的补码。
【例题1-7】位二进制反码是（）。
（南京师范大学2013&850电子技术）
A、B、C、D、
解析：正数的反码与其原码相同，即符号位为0，数值位不变
答案：D
1.2.3二—十进制码
（1）8421BCD码
8421BCD码是BCD码中最常用的一种，由于8421BCD码的位权和自然二进制码相同，又称为自然BCD 码。
【例题1-8】阿里巴巴2015年双11销售额912亿写成码有（）位。
（杭州电子科技大学2016&849数字电路与信号系统）
A、B、C、D、
解析：
答案：D
【习题1-9
】设有两个带符号的二进制数
,
（南京航空航天大学2012&978数字电路） （1）列出运算式（竖式）
，并讨论：如果系统的字长仅为6位，将会出现什么问题？如何解决？ （2）如要将运算结果用十进制数显示出来，则需要进行二进制码到码的转换，请将运算结果用码表示出来（设系统位数不限）。
（2）余三码
余三码是由8421BCD 码每个代码加3（0011）得到的
【例题1-10】十进制数码6对应的余3码为
.（南京师范大学2014&850电子技术） A 、
B 、
C 、
D 、
解析：
答案：C
第一章习题答案
【习题1-2】答案：A
解析：
【习题1-3】答案：
【习题1-9】答案：
（1）
结果为
若系统字长仅为6位，结果会溢出，应进行位扩展。
（2）A-B=。