最新人教版八年级数学下册二次根式全章导学案

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新人教版数学八年级下册(初二下)精品教案,导学案(含同步练习)：第十六章二次根式

新人教版数学八年级下册（初二下）精品教案第十六章二次根式16.1二次根式（第1课时）16.1 二次根式（第2课时）注意：●单独的一个数或者是单独的一个字母也叫做代数式.如：0，b，2006都是代数式.●只有用运算符号连接而成的式子才是代数式，用其它符号连接而成的式子不是代数式，如：x＋1＝3，是等式而不是代数式.再如：y－3≥0是不等式，但是，不等式的两边也是代数式.充.对于注意事项,教师要加以补充和强调其必要性.尝试应用1．下列各式中计算正确的是（）A.6)6(2-=-- B.9)3(2=-C.16)16(2±=- D.2516)2516(2=--2 . 计算：（1）()20.5；（2）235⎛⎫⎪⎪⎝⎭；（3）2322⎛⎫-⎪⎝⎭.3．填空：4=（）2；3=（）2；5=（）2；3.教材第5页练习1、2.4．如图，在平面直角坐标系中A（3，2）、B(6，2)、C（3，5）是三角形的三个顶点，求：BC的长.教师出示题目:学生练习时,教师巡视、辅导，了解学生的掌握情况.对于2、3题教师组织学生讨论,并引导学生发现解决问题的关键: 式子a中，a≥0非常重要.xy成果展示引导学生对上面的问题进行展示交流引导学生自己出一组题，小组内做.学习小组内互相交流，讨论，展示.补偿提高1．计算：（18）2 （23）2（94）2（0）2（-478）222(35)(53)-2．若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简23x+x的结果是（）A、－4xB、4xC、－2xD、2x3．已知实数x，y满足x y-++=540，求代数式的值.教师出示题目.第1题、第2题由学生独立完成. 教师巡视，个别辅导.请学生板练.师生共同评析.存在的共性问题共同讨论解决.第3题鼓励学生独立思考后解决.感觉有困难的学生可以寻求同学的帮助，然后完成.小组交流内.小结本节课你学到了什么知识？你有什么认识？学生自己说出本节课的收获作业设计作业：教材P5习题21.1复习巩固2题 (3)、(4)3题 (1)、(2).教师布置作业，并提出要求.学生课下独立完成，延续课堂.16.1二次根式【教学目标】1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．【教学重点】从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．【教学过程】一.创设情境提出问题1.电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km你能化简这个式子吗？式子公式中r=中的表示什么意义？2.问题：（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（2）中得到的式子有什么意义？（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则_____（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？表示的数怎样变化？二.合作探究形成知识（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？分别表示3，S ，65，5h的算术平方根这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式．（a≥0）的式子叫做二次根式，称为二次根号．三.初步应用巩固知识练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．例2 当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？答案：（1）a为任何实数；（2） a =1．总结：被开方数不小于零．四.比较辨别探索性质五.综合应用深化提高六.课堂小结七.回顾总结反思提升我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？四.作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，10题．五．教后反思16.2 二次根式的乘除（第1课时）二次根式的除法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而进一步降低学习的难度，提高学习的效率，但在教与学中，可以明显感受到学生对分母有理化概念在运用中的不灵活性，这也是应在今后的复习中给予加强的16.2 二次根式的乘除（第2课时）16.2 第一课时二次根式乘法第二课时：二次根式的除法最简二次根式a b，如16.2二次根式的乘除法二次根式的乘法一、学习目标1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

新人教版八年级数学下册导学案(全册136页)

第十六章二次根式16．1 《二次根式(1)》学案课型: 新授课上课时间：课时： 1学习内容：二次根式的概念及其运用学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习（一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．（3，3）．问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．（46.）（二）学生学习课本知识（三）、探索新知 1、知识：如3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做二次根式，“”称为．例如：形如、、是二次根式。

形如、、不是二次根式。

2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）．解：二次根式有：；不是二次根式的有：。

例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？解：由得：。

当时，31x -在实数范围内有意义．（3）注意：1、形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“a （a ≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。

二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2)(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)三、巩固练习教材练习．四、课堂检测（1）、简答题1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ -7 37x x 4 16 8 1x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________．（3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．3.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．16．1 《二次根式(2)》学案课型: 新授课上课时间：课时： 2 学习内容：1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）．学习目标：1、理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学过程一、自主学习（一）复习引入1．什么叫二次根式？2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？（二）学生学习课本知识（三）、探究新知1、a （a ≥0）是一个数。

人教版初中数学八年级下册第十六章：二次根式(全章教案)

第十六章二次根式教材简析本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值．教学指导【本章重点】二次根式的性质和运算．【本章难点】灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则．2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论．3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值．课时计划16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件．【教学难点】求二次根式中字母的取值范围．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．3．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45B．－3C．a2＋3D．2 3环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？11，－5，(－7)2，313，15－16，3－x(x≤3)，－x(x≥0)，(a－1)2，－x2－5，(a－b)2(ab≥0)．【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．【解答】因为11，(－7)2，15－16＝130，3－x(x≤3)，(a－1)2，(a－b)2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数都小于0，所以不是二次根式．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．【例2】当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．活动2巩固练习(学生独学)1．下列式子中，是二次根式的是(A)A．－7B．3 7C．x D．x 2．使式子－(x－5)2有意义的未知数x有(B) A．0 个B．1 个C．2 个D．无数个3．当x是多少时，2x＋3x＋x2在实数范围内有意义？解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，x ≠0.∴当x ≥－32且x ≠0时，2x ＋33＋x 2在实数范围内没有意义．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x 、y 满足y ＞x －2＋6－3x ＋3，求|y －3|－(x －y )2的值．【互动探索】要求|y －3|－(x －y )2的值，需确定出x 、y 的取值范围．根据式子y ＞x －2＋6－3x ＋3，可以确定出x 、y 的取值范围．【解答】由题意，得x －2≥0且6－3x ≥0，解得x ＝2，则y ＞3.故|y －3|－(x －y )2＝y －3－y ＋2＝2－3＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x 的值，从而确定y 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件——被开方数是非负数练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的性质教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a (a ≥0)是一个非负数、(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．【过程与方法】在明确(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识．【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力．二、重难点目标【教学重点】二次根式的性质．【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．(1)当a >0时，a 表示a ；(2)当a ＝0时，a 表示0概括：一般地，a (a ≥0)是一个非负数．2．教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空： (1)(4)2＝4； (2)2＝2；⎝⎛⎭⎫132＝13； (0)2＝0. (2)一般地，(a )2＝a (a ≥0)． 3．教材P4“探究”，填空： (1)22＝2；0.012＝0.01； ⎝⎛⎭⎫232＝23； 02＝0.(2)一般地，a 2＝a (a ≥0)．教师点拨：二次根式的三个性质：(1)a (a ≥0)是一个非负数；(2)(a )2＝a (a ≥0)；(3)a 2＝a (a ≥0)．4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式． 5．计算：0.019 6×22 500＝21；549＝73. 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)( 1.5)2； (2)(25)2； (3)16； (4)(－5)2.【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)()1.52 ＝1.5. (2)(25)2＝22×(5)2＝4×5＝20. (3)16＝(42)＝4. (4)()－52＝52＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，a 2＝||a ＝⎩⎨⎧a ()a ≥0；－a()a <0.【例2】化简下列二次根式． (1)8a 3b (a ≥0，b ≥0)； (2)(－36)×169×(－9).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简．注意：二次根式的结果是最简二次根式．【解答】(1)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝(2a )2·2ab ＝2a 2ab . (2)(－36)×169×(－9)＝36×169×9＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式正确的是( D ) A ．(－4)×(－9)＝－4×－9 B ．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×92．计算：(1)(9)2； (2)－(3)2； (3)64； (4)a 2＋2a ＋1. 解：(1)9. (2)－3. (3)8. (4)a 2＋2a ＋1＝()a ＋12＝||a ＋1.当a ≥－1时，原式＝a ＋1；当a <－1时，原式＝－a－1.3．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a ＋1)2＋2(b －1)2－|a －b |.解：从数轴上a 、b 的位置关系，可知－2＜a ＜－1,1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0，原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简(a ＋b ＋c )2－(b ＋c －a )2＋(c －b －a )2. 【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可．【解答】∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的性质⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0(a ≥0)(a )2＝a (a ≥0)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)a (a <0)练习设计请完成本课时对应训练！16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．【过程与方法】经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则．【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)16×25＝20，16×25＝20；(3)25×36＝30，25×36＝30.a≥0，b≥0.规律：一般地，二次根式的乘法法则是a·b＝ab()2．把a·b＝ab反过来，就得到ab＝a·b，利用它可以进行二次根式的化简．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)3×5； (2)13×27； (3)9×27； (4)12× 6. 【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算．【解答】(1)3×5＝15. (2)13×27＝13×27＝9＝3. (3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3. (4)12×6＝12×6＝ 3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．【例2】化简：(1)9×16； (2)16×81； (3)81×100； (4)4a 2b 3； (5)54.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？【解答】(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)4a 2b 3＝4·a 2·b 3＝2·a ·b 2·b ＝2ab b . (5)54＝9×6＝32×6＝3 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1 C ．－1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤－12．计算： (1)12×3； (2)23×315； (3)23×3512×5936. 解：(1)6. (2)310. (3)18.3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)(－4)×(－9)＝－4×－9； (2)41225×25＝4×1225×25＝4×1225×25＝412＝8 3. 解：(1)不正确．改正：(－4)×(－9)＝4×9＝36＝6. (2)不正确．改正：41225×25＝11225×25＝11225×25＝112＝47. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】比较大小：(1)35与53； (2)－413与－511.【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．【解答】(1)35＝9×5＝45， 53＝25×3＝75. 因为45<75，所以35<5 3. (2)－413＝－16×13＝－208，－511＝－25×11＝－275.因为208<275，所以－208>－275，所以－413>－511.【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．【教学难点】二次根式商的算术平方根的运用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)二次根式的除法1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.规律：一般地，二次根式的除法法则是ab＝ab()a≥0，b>0.2．把ab＝ab反过来，就得到ab＝ab()a≥0，b>0，利用它可以进行二次根式的化简．(二)最简二次根式1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如22，310，2aa等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．【解答】(1)原式＝123＝4＝2 .(2)原式＝32÷18＝32×8＝3×4＝2 3.(3)原式＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)原式＝648＝8＝2 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．【例2】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)35；(4)22－1.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．【解答】(1)原式＝364＝38.(2)原式＝64b29a2＝8b3a.(3)原式＝35＝3×55×5＝155.(4)原式＝2×()2＋1()2－1()2＋1＝2＋22－1＝2＋ 2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算113÷213÷125的结果是( A ) A ．27 5B ．27C ． 2D ．272．如果xy(y >0)是二次根式，那么化为最简二次根式是( C ) A ．xy(y >0) B ．xy (y >0) C ．xyy(y >0) D ．以上都不对3．化简： (1)483； (2)0.7； (3)23－1； (4)6－56＋5. 解：(1)4. (2)7010. (3)3＋1. (4)11－230. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x 的取值范围→化简所求式子【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6，∴6<x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8， ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4(x ＋1)＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式＝4×9＝6.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减教学目标一、基本目标【知识与技能】通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．【过程与方法】在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．二、重难点目标【教学重点】会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．【教学难点】运用二次根式的加减运算解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．计算下列各式．(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.解：(1)原式＝(2＋3)2＝5 2.(2)原式＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)原式＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4) 原式＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算： (1)27＋13＋12； (2)32＋48－8＋3； (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223；(4)()6－222＋()23－1()23＋1.【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？【解答】(1)27＋13＋12＝33＋33＋23＝1633. (2)32＋48－8＋3＝32＋43－22＋3＝2＋5 3. (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223＝26－2＋62－223＝326－53 2.(4)()6－222＋()23－1()23＋1＝6－412＋8＋()12－1＝25－8 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．【例2】已知a －5－2＋b －5＋2＝0，求a 2＋b 2＋7的值．【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a ＝5＋2，b ＝ 5－2，然后再代入求值即可．【解答】由题意，得a －5－2＝0，b －5＋2＝0，解得a ＝5＋2，b ＝5－2，a 2＋b 2＋7＝5＋4＋45＋5＋4－45＋7＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算32－2的值是( D ) A ．2 B ．3 C ． 2D ．2 22．若最简二次根式3a －8与17－2a 可以合并，则a ＝5. 3．计算： (1)348－913＋312； (2)(48＋20)＋(12－5)．解：(1)＝15 3. (2)63＋ 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求23x 9x ＋y 2x y 3－x 21x －5x yx的值．【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x －1)2＋(y －3)2＝0，即可求出x 、y 的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．【解答】∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝4x 2－4x ＋1＋y 2－6y ＋9＝(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3. 原式＝23x 9x ＋y 2x y3－x 21x＋5x y x＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6xy . 当x ＝12，y ＝3时，原式＝12×12＋632＝24＋3 6. 【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的混合运算教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用．【过程与方法】复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算．【情感态度与价值观】理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性．二、重难点目标【教学重点】熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力．【教学难点】正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P14的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 3．计算： (1)13×27； (2)35； (3)80－45； (4)(25－2)2. 解：(1)3. (2)155. (3) 5. (4)22－410. 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3.【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？【解答】(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝ 2. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5. (3)原式＝2－3＋23＝2－1－233.【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【例2】计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．【解答】(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋6 2.(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算：①(2)2＝2；② (－2)2＝2；③(－23)2＝12；④(2＋3)( 2－3)＝－1.其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＝ 6，b ＝ 4. 3．计算： (1)(6＋8)×3； (2)(46－32)÷22； (3)(5＋6)(3－5)； (4)(10＋7)(10－7)．解：(1)32＋2 6.(2)23－32.(3)13－3 5.(4)3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】先化简，再求值：1x＋y＋1y＋yx x＋y，其中x＝5＋12，y＝5－12.【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算【解答】1x＋y＋1y＋yx(x＋y)＝xyxy(x＋y)＋x(x＋y)xy(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝xy＋x(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝(x＋y)2xy(x＋y)＝x＋y xy.当x＝5＋12，y＝5－12时，x＋y＝5，xy＝1，所以原式＝ 5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以根据式子特点，整体代入进行计算．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．练习设计请完成本课时对应训练！。

新人教版八年级数学下册第16二次根式章导学案

二次根式的概念（第1课时）学生姓名：学习目标a ≥0）的意义解答具体题目重点：a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；难点：a ≥0）”解决具体问题．学习过程一、知识准备平方根的性质：正数有个平方根，它们；0的平方根是；负数平方根。

思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：(1)面积为5的正方形的边长为；(2)要修建一个面积为3的圆形喷水池，它的半径为 m ；(3)一个位图从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h=t 2 如果用含有h 的式子表示t,则t= 。

（4）6的算术平方根的相反数为；(5)0的算术平方根为。

二、探究在上面的问题中，结果分别是，它们都表示一些正数的算术平方根。

一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，称为（二次）根号．注：开平方时，被开方数a 的取值范围（为什么？）例1．当x 是多少时，2-x 在实数范围内有意义？例2、当x 11x +在实数范围内有意义？例3，求a 2004+b 2004的值．三、练习(1)下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：1x x>0）1x y+x ≥0，y•≥0）是二次根式的有：不是二次根式的有：（2）当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？四、课堂小结二次根式的概念需注意：五、课后作业1、形如________ 的式子叫做二次根式．2有意义，则x =_______．3、下列式子中，是二次根式的是（）A ．BCD ．x 4、已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5BC ．15D ．以上皆不对5、当x 在实数范围内有意义？6、已知a 、b 为实数，且满足021=-++b a ，求ba的值．六、课后反思二次根式的性质（第2课时）学生姓名：教学目标1、a ≥0）是一个非负数2、理解二次根式的两个性质2=a （a ≥0）=a （a ≥0）。

人教八下第十六章二次根式教学导学案

第十六章二次根式16.1 二次根式第1课时二次根式的概念学习目标1.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．重点：二次根式的概念，二次根式有意义的条件.难点：二次根式概念的理解，综合运用性质)0(0≥≥a a .学习过程1、回忆旧知识（1）什么叫做算术平方根？什么叫做平方根？（2）正数有几个平方根？0的平方根是多少？负数有平方根吗？2、用带根号的式子填空.（1）3的算术平方根是 .（2）直角三角形的两直角边是1和2，则斜边是 .（3）正方形的面积为3-b ，则边长为 .(4)自主完成课本第二页思考题.观察所列式子，有何共同特点？3、思考下列问题：开平方时，被开方数只能是和，为什么？4、请写出二次根式的概念：5、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 请同学们思考并总结一下，判断一个式子是否是二次根式，需要考虑哪些要点：6、根据开平方时，被开方数只能是和这一依据，完成下题：例1：当x 是怎样的实数时，6-x 在实数范围内有意义？7、做完以上例题，请填空：当a 为正数时，a 是a 的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a 才有算术平方根.所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义.8、扩展思考：当a 是怎样的实数时，a 在实数范围内有意义？a 呢？9、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？10.达标测试1.在式子12x -，13x -x 可以取2和3的是（）A ．12x -B ．13x - C D2.x 必须满足（） A ．x ≤2 B ．x ≥2 C ．x ＞2 D ．x ＜23.x 可以取的最小整数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34.有意义，则x 的取值范围为_________.5.若y= 22-，则（x+y ）y =_________.6.已知a 、b 是一等腰三角形的两边的长，且满足等式，求等腰三角形的周长．7.小组精彩讨论的镜头：你想一起参加讨论吗？若参加你怎么评价这四位同学的解答？并写出你解答的过程？第2课时二次根式的性质学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 、)0()(2≥=a a a 和a a =2；2.能利用上述性质公式对复杂的二次根式进行化简. 重点：二次根式的性质a a =2．难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算.学习过程1、回忆旧知（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式52-x 有意义，则x . 2、计算并总结公式（1）计算：2)4(= 、2)16(= 、2)3(= 、2)21(= 、2)0(= 观察其结果归纳得到：当=≥2)(,0a a 时（2）、计算：=24 、=22.0 、=2)54( 、=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时（3）、计算：-2)4(= 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时（4）、计算：=20 ，所以当==2,0a a 时3、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的两条非常重要的性质（公式）：（1）当=≥2)(,0a a 时（2）=2a4、化简下列各式：（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0( （3）、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ）5、请大家思考讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系.6、化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 4x （3）)3()3(2≥-a a7、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？8、达标测试 1.要使ba 是二次根式，则应满足的条件是（） A.a≥0且b≥0 B. a≥0且b ＞0 C.b a ＞0 D.ba ≥0且b≠0 2.把414写成一个正数平方的形式是（） A.2212⎪⎭⎫ ⎝⎛ B. 2212⎪⎭⎫ ⎝⎛或2212⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. 2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛或2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.函数21-=x y 中自变量的取值范围在数轴上表示为（） A. B. C. D.9.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：2a -2b -2)(b a -．10.已知x 、y 为实数，y=214422-+-+-x x x ，试求3x+4y 的值．11.甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简a 1+2a a 122-+ ，其中a=51. 甲同学的做法是：原式=a 1+2)a a1(-=a 1+a 1-a=a 2-a =10-51=549；乙同学的做法是：原式=a 1+2)a 1a (-=a 1+a-a 1=a=51. 到底谁错了？为什么？说明理由.16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法学习目标1a ≥0，b ≥0）a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简.2、通过学习和掌握知识目标的整个过程，培养学生对数学化简题目的敏锐度，同时培养学生的计算能力.重点：掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质.难点：会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.学习过程1．填空：（1；（2=____；（3．2、学生交流活动总结规律．一般地，对二次根式的乘法规定为：反过来例1、计算（1（2（3）3（4例2、化简（1（3（4（53、巩固练习（1）计算： ①②55×215 ③312a ·231ay（2）化简4、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243 后再进行计算，你有什么好办法？注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数.2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解.（2）分解后把能开尽方的开出来.5、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？6、.达标测试1.下列计算正确的是（） A.912=912⨯=231 B.)4()9(-⨯-=49-⨯-=(-3)×(-2)=6 C.22y x +=y x y x +=+22 D.b a 224=ab a 642⋅=2|a|ab 62.如果232a a +=2+-a a ，则实数a 的取值范围是（）A.a≥0B.0≤a≤2C.-2≤a≤0D.a≤-23.把a a1-根号外的因式移入根号内的结果是（） A.a - B.a -- C.a D.a -9.计算：（1）27×123×385（2）3031×2140×3222310.某公路规定行驶汽车的速度每小时不得超过70千米，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16df ，其中v 表示车速（单位：千米/小时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示磨擦因数．经测量，d=20米，f=1.25，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？11.小明在微机课上设计了一幅矩形图片，矩形的周长是π140cm ，宽是π35cm ，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助小明求出圆的半径.第2课时二次根式的除法学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.2、通过学习和掌握知识目标的整个过程，使学生能熟练进行二次根式的除法运算及化简.3、培养学生的数学学习兴趣，感受实数的应用价值.重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.学习过程1、计算：（1）38×（-46）（2）3612ab ab ⨯2、填空：（1；规律：（2；（3；（4．一般地，对二次根式的除法规定：3、计算：（1（2（3（44、化简：（1（2（3（4注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数.2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式.5、阅读下列运算过程：==== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.利用上述方法化简：(1)３=_____ ___ (４=___ ___ 6、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？7、达标测试1.如果6-x x =6-x x 成立，那么（） A.x≥6 B.0≤x≤6 C.x≥0 D.x＞62.下列各数中，与32的积为有理数的是（） A.32+ B.32- C.32+- D.39.计算：32212332b b b ⋅÷10.（1A ．．2E ．0问题的答案是（只需填字母）：；（2.11.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如35，32，132+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 553535535=⨯⨯= （一） 32＝363332＝⨯⨯ （二） 132+＝））（（）－（1313132-+⨯＝131313222---＝）（）（（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.132+还可以用以下方法化简：132+=1313+-=131)3(22+-=13)13)(13(+-+=13-.（四）（1)请用不同的方法化简352+. （2)①参照（三）式得 352+＝____________；②参照（四）式得352+＝__________. （2）化简：12121...571351131-+++++++++n n第3课时最简二次根式学习目标：1、理解最简二次根式的概念，把二次根式化成最简二次根式，熟练进行二次根式的乘除混合运算.2、使学生能熟练进行二次根式的乘除运算及化简.重点：最简二次根式的运用.难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算.学习过程1、化简（1）496x = （2=（3= (4= （5= 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：（1）．被开方数不含分母；（2）．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2、化简:(1) 2083、比较下列数的大小（1）8.2与432 （2）7667--与注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化.2、判断是否为最简二次根式的两条标准：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2．4、知识应用：设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=23，b=5.求a 的长.5、计算：（1）6·a 3·b 31 （2）16141÷ （3）50511221832++-6、探究计算：（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷-7、探究计算：（1）)52)(32(++ （2）2)232(-8、练习计算：（1）12)323242731(-- （2）)32)(532(+-（3）2)3223(+ （4）（9、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？10、达标训练2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.22xB.12+bC.a 4D.x1 3.下列判断正确的是（） A ．3＜3＜2 B ．2＜2＋3＜3 C ．1＜5－3＜2 D ．4＜3·5＜59.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？15，24，ab 27，2235y x +，23，23，24m m +，2x10.把下列各式化成最简二次根式（1）500 （2）323b a （3）b a c abc 4322-（4）ay x 22-（x ＞y ） 11.比较下来各组数的大小(1)3与22 (2) 52与33 (3) 27与113 (4) 132-与63-(5) 3131-与7121- (6)3π与64216.3 二次根式的加减一、学习目标1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式.2、理解和掌握二次根式加减的方法.3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.重点：二次根式化简为最简根式．难点：会判定是否是最简二次根式．学习过程1、计算．（1）x x 32+；（2）222532x x x +-；（3）y x x 32++；（4）22223aa a +-2、学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如（与整数中同类项的意义相类似我们把33与32-；a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式）如：所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将同类二次根式进行合并．例1．计算（1（2例2．计算（1）（ 2）+归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．3、练习计算 (1) )27131(12-- (2) )512()2048(-++4、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？5、达标训练2.下列各组中，是同类二次根式的是（） A.45.0与81.0 B. b a 23与22abC.2x 与32xD.x x 3与xx 122 3.计算12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4831375的结果是（） A ．6 B ．43 C ．23+6 D ．129.（1）计算：⎛÷ ⎝（202)10.（1）先化简，再求值： (a-3)(a+3)-a(a-6)，其中a=5+21．（5）已知：a=2-1，求142--a a a ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--12a a 的值．11.有这样一道题：计算4422---+x x x x +4422-+--x x x x -2x （x ＞2）的值，其中x=1005，某同学把“x=1005”错抄成“x=1050”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由．。

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案1(新版)新人教版

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案1（新版）新人教版1、知道二次根式的概念。

2、知道二次根号下被开方数是非负数，并会加以应用。

【定向导学互动展示当堂反馈】课堂元素自学合学展学学法指导（内容学法成果。

时间）互动策略（内容形式时间）展示方案（内容方式时间）概念认知例题导析（学习内容）认真自研教材P2-3完成下列自研探究：旧知链接 :1、a的算是平方根的定义2、填空：（1）面积为3的正方形的边长为，面积为s的正方形的边长为。

（2）等腰直角三角形的面积为7平方厘米，则它的腰长为。

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面的时间t(s)与开始下落的高度h(m)满足关系式h=1/2gt2，用含h和g的关系式表示t为。

3、我们把形如的式子叫做二次根式，称为二次根号。

4、判断题：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、、（x≥0，y ≥0）、5、例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？解：由得：。

当时，在实数范围内有意义、小对子交流分享准备询问对子的问题：。

；互助组：4人冲刺挑战旧知链接2共同体：8人在学科组长的带领下：•做好展示任务分工，完成版面设计，做好展示前的预演。

展示方案提示：展示单元一：二次根式判定，运用。

应用探究例1：判定下列代数式中哪些一定是二次根式:，，，，，(x≦0)，，例2：已知：再实数范围内有意义，求X的取植范围。

（2）当x是多少时，+在实数范围内有意义？(3)当 X是怎样的实数时有意义，（）2 呢？展示方案二利用“（a≥0）”解决具体问题3要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。

应用探究例3：已知y=++5，求的值、梳理小结查学课本3页练习1，2第2页思考题评学（回家25分钟）日清三层级能力提升达标题自评：师评：基础题：1、当x 时，在实数范围内有意义。

2、计算：。

3、已知a=，则代数式的值是。

4、若+=0，求a2004+b2004的值。

(新人教版课程导学案)八年级下学期第1课时二次根式

16.1 二次根式一、学习目标1.理解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围．2.掌握二次根式的性质： 2 =a（a≥0）=a（a≥0）．重点：二次根式中被开方数的范围；二次根式的性质．难点：二次根式中被开方数的范围；二次根式性质的应用．二、预习导入1．（______）2=4，（_____）2=3，（______）2=0.2．面积为7的正方形的边长为_________．3．计算：2=______，）2=________，）2=_________．4=________=_________．5._______0,且a_______0（比较大小）．三、典例精讲典例1x的取值范围是（）．A．x>5 B．x<5 C．x>0 D．x<0【变式延伸】1.若-2<x<0，则下列各式中不一定有意义的是（）．A B C D典例2 计算：（1））2；（2）（）2；（3；（4）回顾填空：）2 =a （a ≥0）=______．【变式延伸】1.计算：（1）（2；（2）（2；（3（4）a ≤-4）.四、阶梯训练A 组1.下列格式中，一定是二次根式的是（）．A B C D2.）2的结果是（）．A ．2B ．-2C ．±2D ．4A ．x ≥3B ．x ≤3C ．x>3D ．x<34.下列运算正确的是（）．A ．2=-3B ．（2=3C ．-2=3D ．-（）2=35．填空：2=_________，（2=________=_________．6.若x ，y 为实数，且满足30x -=，则（x y）2015=_____________． 7.如图1，在平面直角坐标系中，AC ∥y 轴，AB ∥x 轴，A （2m,2m ），B （6m ，2m ），C （2m,6m ），且△ABC 的面积为32，则AC=_____________．图18.如图2所示是由边长相等的15个小正方形构成的长方形，若这个长方形的面积为45 cm 2则它的长和宽方别是多少？图29.已知三角形的两边长为3和5，第三边长为c ，化简2(2)10c c -+-． B 组10.实数a,b 在数轴上的位置如图所示，则222()a b a b -+-的化简结果为_________.11. a ，b ，c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________.12.若1a b --24a b --a+b 的值．。

人教版数学八年级下册 16.4 二次根式复习导学案

二次根式复习一、学习目标1、知识目标：了解二次根式的定义||，掌握二次根式有意义的条件和性质||，熟练进行二次根式的乘除法运算||，理解同类二次根式的定义||，熟练进行二次根式的加减法运算了解最简二次根式的定义||，能运用相关性质进行化简二次根式||。

||，2、能力目标：着重培养学生的理解能力和计算化简能力||。

3、情感态度与价值观：使学生能在学习过程中总结经验||，解决更多的实际问题||。

二、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简||。

难点：二次根式的混合运算||，正确依据相关性质化简二次根式||。

三、学习过程（一）自学导航（课前预习）1．若a ＞0||，a 的平方根可表示为___________||，a 的算术平方根可表示________2．当a ______时||有意义||，当a ______时||没有意义||。

3________=______=4．________1872_______;4814=÷=⨯5．_______20125_______;2712=-=+（二）合作交流（小组互助）1、式子5454--=--x x x x 成立的条件是什么?2、计算： (1) 25341122÷⨯3．(1) - (2) 2(-（三）展示提升（质疑点拨）在二次根式的计算、化简及求值等问题中||，常运用以下几个式子：（1）22(0)(0)a a a a =≥=≥与（30,0)0,0)a b a b =≥≥=≥≥（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a a a a a a a （40,0)0,0)a b a b =≥>=≥> （5）22222()2()()a b a ab b a b a b a b ±=±++-=-与达标检测（1）化简()25-的结果是（） A 、5 B 、-5 C 、士5 D 、25 （2）代数式24-+x x 中||，x 的取值范围是（） A 4-≥x B 2>x C 24≠-≥x x 且 D 24≠->x x 且（3）下列各运算||，正确的是（）A 、565352=⋅B 、532592519==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯- C 、()12551255-⨯-=-⨯- D 、y x y x y x +=+=+2222 （40)y >是二次根式||，化为最简二次根式是（）A0)y >B 、0)y > C0)y > D 、以上都不对（5）化简2723-的结果是（）.33A B C D - - （6）55,51==b a ||，则（） A a ||，b 互为相反数 B a||，b 互为倒数 C 5=ab D a =b2、计算． (1)453227+-(3)2)(4)23)。

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案(新版)新人教版

八年级数学下册 16.1 二次根式导学案（新
版）新人教版
16、1二次根式学习目标
1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题、重点形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念难点利用
“（a≥0）”解决具体问题、预习引导活动
4、思考下列问题：①的运算结果是3，是不是二次根式？3是不是？②定义中为什么要加≥0？若a<0，表示什么？有无意义？③当 a=0时，表示什么？结果是什么？当 a>0时，表示什么？可不可能为负数？(≥0)是什么样的数呢？
问题导学课本思考
1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
，，课本思考2：当x是怎样的实数时，，有意义？
1、若，则x和m的取值范围是x_____；m______、
2、已知，求的值各是多少？活动
5、完成课本探究1活动
6、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变、练习：课本例2活动
7、完成课本探究2活动
8、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数、练习：课本例3补充练习：
1、化简：，；
2、直角三角形的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，则式子-与式子有什么关系？当堂检测作业P5习题
1、2
3、4板书设计知识与方法的建构教师学生反思小结。

人教版八年级下册第16章二次根式导学案

八年级（下）数学导学案 16.1.1二次根式（1）导习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件，二次根式的性质。

导学重点：二次根式有意义的条件，二次根式的性质．导学难点：(0)a a =≥和2(0)a a =≥. 学习过程一、创设情境，引入新知：（1）已知2x a =，那么a 是x 的______;x 是a 的_______, 记为______,a 一定是_____数。

（2）4的算术平方根为2=__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是。

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。

如果用含h 的式子表示t ，则t = ；(4) 正方形的面积为b -3，则边长为。

的平方根是；圆的面积为S ，则圆的半径是；定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做__________。

“” 。

下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x ≥0，y •≥0）．解：二次根式有：；不是二次根式的有：二、自主学习，探索新知1、当a 为正数时a 指a 的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。

2、根据算术平方根意义计算：(1) 2(2) 2 （3）2)5.0( （4）2)31(根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a ,3、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

________)(2=a如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2.练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35 (2)在实数范围内因式分解72-x 4a2-11三、合作交流，感悟新知1、当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？2、x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x③四、反思构建，融会新知五、展示检测，反馈新知 1、当x 是多少时，+在实数范围内有意义？2．若+有意义，则=_______．六、拓展延伸，深化新知 1、已知y=++5，求的值.2、若+=0，求a 2004+b 2004的值．x--21八年级（下）数学导学案 16.1.1二次根式（2）导习目标：1、掌握二次根式的基本性质：a a =2;2、能利用上述性质对二次根式进行化简.导学重点：二次根式的性质a a =2．导学难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算。

人教版八年级数学下册第十六章二次根式(全章)教案

16．1 二次根式[学习目标]理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．教学重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念教学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题．教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:学法：1、类比的方法、2、阅读的方法、3、分组讨论法4、练习法[学习过程]一、板书课题（一）讲述：同学们，我们来学习 16．1 二次根式二、出示目标（一）过渡语：要达到什么教学目标呢？请看投影：（二）屏幕显示学习目标理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．三、指导自学（一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学.（二）出示自学自导自学指导认真看课本P2全部内容：1.思考“思考1、2”中的问题，完成思考1中的问题，理解二次根式的概念及二次根式有无意义的条件。

2.注意例题1的格式和步骤。

3.讨论回答思考2中的问题。

.如有疑问，可请教同桌或举手问老师.5分钟后，比谁能做对与例题类似的题.四、先学（一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难.（二）过渡语：同学们，看完的请举手？懂了的请举手？好，下面就比一比，看谁能正确做出检测题.（三）检测 : P.3 练习1、2题。

学生练习，教师巡视。

（收集错误进行二次备课）五、后教教师引导学生评议、订正。

归纳小结：1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．五、当堂训练：一、选择题1．下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥一定是二次根式的有（）个。

A . 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若，则b的值为（）A．0 B．0或1 C．b≤3 D．b≥33．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A .5BC D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根．三、综合提高题1．若+有意义，则=_______．2.使式子有意义的未知数x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？4. 已知y=++5，求的值．教学反思：16.1 二次根式(2)[学习目标]理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．教学重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．教学难点：导出（a≥0）是一个非负数；•用探究（）2=a（a≥0）．教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:学法：1、类比的方法2、阅读的方法3、分组讨论法4、练习法[学习过程]一、板书课题：16.1 二次根式(2)讲述：同学们，我们来学习16.1 二次根式(2)二、出示目标（一）过渡语：要达到什么教学目标呢？请看投影：（二）屏幕显示学习目标理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．三、指导自学（一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学.（二）出示自学自导自学指导认真看课本P.3“探究”至例2结束。

人教版数学八年级下册16.1《二次根式(1)》导学案

16.1二次根式〔1〕学案学习目标：1.了解二次根式的意义；2.会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围。

学习重点：二次根式的概念及意义。

学习难点：二次根式的判断与字母取值范围确实定。

学习过程：一、温故互查1.什么叫平方根？2.什么叫算数平方根？3.〔算数〕平方根的性质平方根式是二、设问导读感受新知阅读课本，完成以下问题在课本思考框的问题中，结果分别是，结果都分别是表示65，S ，2，5h 的 . 我们知道：一个正数有两个平方根，它们；0的平方根是；在实数范围内，数没有平方根。

因此，开平方时，被开方数只能是 .【归纳】一般地，我们把形如〔a≥0〕的式子叫做，“〞称为．【注意】二次根式应满足两个条件：1.形式．．上必须是a 的形式； .三、自我检测例1.当x 是怎样的实数时，2 x 在实数范围内有意义？例2.当a<0时，a 有意义吗？【归纳】a 的双重非负性：1. a≥0 ; 2.四、稳固训练1.、1x x>0〕、、、1x y+〔x≥0，y ≥0〕．2.当x 是多少时，x 35-在实数范围内有意义？【课本练习】 1、2五、拓展提升1.当x 是怎样的实数时，以下各式在实数范围内有意义？〔1〕48-+x x 〔2〕2x 〔3〕3x2.〔1〕，求x y的值．〔2=0，求a 2021+b 2021的值．六、小结评价1.请你说说对二次根式的认识？〔口述给组长〕2.小组对你这节课表现进展评价：〔较好；好；一般；差；较差〕组长：。

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三、学习过程
（一）复习回顾：
（1）4 的算术平方根为 2，用式子表示为 =_4_________ ；正数 a 的算术平方根为 _______ ，
0 的算术平方根为 _______；式子 a 0(a 0) 的意义是
。
（二）自主学习 (1)6 的算术平方根是 (2) 一个物体从高处自由落下，
；落到地面的时间是
.
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16.1 二次根式 (2)
一、学习目标
1. 掌握二次根式的基本性质：
a2 a
2. 能利用上述性质对二次根式进行化简 . 二、学习重点 . 难点
重点：二次根式的性质 a 2 a ．
难点：综合运用性质 a 2 a 进行化简和计算。
三、学习过程（一）复习引入：
（ 1）什么是二次根式，它有哪些性质？
A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. a 2 3
4. 二次根式 a 1 中，字母 a 的取值范围是（） A. a＜ l B. a≤ 1 C. a≥ 1 D. a＞1 2. 已知 x 3 0 则 x 的值为 A. x>-3 B. x<-3 C. x=-3 D. x 的值不能确定
（五）小结反思：
（六）小结反思：
.
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一、学习目标
16.2 二次根式的乘除法
16.2.1 二次根式的乘法
理解 a · b ＝ ab （ a ≥ 0， b≥ 0）， ab = a · b （ a≥ 0， b≥ 0），并利用它
们进行计算和化简二、学习重点 . 难点
重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程（一）复习引入
注：利用 a2 a 可将二次根式被开方数中的完全平方式
进行化简的关键是准确确定“ a”的取值。（五）达标测试：
1. (2x 1)2 - ( 2x 3) 2 ( x 2) =_________.
“开方” 出来，达到化简的目的，
2. ( 4) 2 =
3. 化简：见课本 4 页练习第 2 题
4. 化简： a. b. c 为三角形的三条边，则 (a b c) 2 b a c 的值是多少。
为
。
1. 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3 ， 16 ， 3 4 ， 5 ， a (a 0) ， x2 1 3
2. 当 a 为正数时 a 指 a 的
，而 0 的算术平方根是
，负
数
，只有非负数 a 才有算术平方根。所以，在二次根式
a 中，字母 a 必须满
足
,
a 才有意义。
3. 根据算术平方根意义计算：
练习： 1. x 取何值时，下列各二次根式有意义？
① 3x 4
② 2a 3
③
1
2x
2. （ 1）若 a 3 3 a 有意义，则 a 的值为 ___________．
（ 2）若
x 在实数范围内有意义，则 x 为（）。
A. 正数
B. 负数
C.
非负数
D. 非正数
1 2x
3.(1) 在式子
中， x 的取值范围是 ____________.
t ( 单位：秒 ) 与开始下落时的高度
h( 单位：
米 ) 满足关系式 h 5t 2 。如果用含 h 的式子表示 t ，则 t =
；
(3) 圆的面积为 S，则圆的半径是
；
(4) 正方形的面积为 b 3 ，则边长为
。
思考：
6，
h
，
s
,
b
3 等式子的实际意义 . 说一说他们的共同特征
.
5
定义 : 一般地我们把形如 a （ a 0 ）叫做二次根式， a 叫做 _________ 。称
（ 2）二次根式
2 有意义，则 x
。
x5
（ 3）在实数范围内因式分解：（二）自主学习
x 2 6 x 2 ( ) 2=（ x+
） ( y- )
1. 计算：
42
0.22
(4)2
202
5
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
a 0时 , a 2
2. 计算：
( 4)2
( 0.2) 2
( 4)2 5
( 20) 2
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16.1 二次根式 (1)
一、学习目标
1. 了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2. 掌握二次根式有意义的条件。
3. 掌握二次根式的基本性质：
a 0(a 0) 和 ( a) 2 a(a 0)
二、学习重点 . 难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
难点：综合运用性质 a 0(a 0) 和 ( a )2 a(a 0) 。
(1) ( 4 ) 2
(2) ( 3 ) 2
（ 3） ( 0.5 ) 2
（4） ( 1 ) 2 3
根据计算结果，你能得出结论： ( a)2 ________，其中 a 0, 4. 由公式 ( a ) 2 a(a 0) ，我们可以得到公式 a =( a ) 2 , 利用此公式可以把任意一个非
.
负数写成一个数的平方的形式。
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
a 0时, a 2
3. 计算：
02
当 a 0时 , a 2
（三）合作探究展示： 1. 归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
a2 a
a a0 00
a a0
2. 化简下列各式：
（1） 0.32
（ 2） ( 0.5) 2
如( 5 ) 2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如
练习： (1) 把下列非负数写成一个数的平方的形式：
①3
(2) 在实数范围内因式分解：（三）合作探究展示：
① x2 7
例：当 x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？
5=( 5 ) 2.
② 0.35
2
② 4 a -11
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1x
(2) 已知 x 2 4 + 2 x y ＝ 0，则 x y _____________.
(3) 已知 y 3 x
（四）达标测试
x 3 2 , 则 y x = _____________ 。
2. 若 2x 1 y 1 0 ，那么 x =
， y=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
。
3. 一个数的算术平方根是 a，比这个数大 3 的数为（）
（ 3） ( 6) 2
.
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2
（4） 2a =
（ a 0）
3. 请大家思考 . 讨论二次根式的性质 ( a ) 2 a (a 0) 与 a2
（四）巩固练习 1. 化简下列各式
（1） 4x 2 ( x 0)
(2)
x4
a 有什么区别与联系。
2. 化简下列各式
（1） (a 3) 2 (a 3)
2
（ 2） 2x 3 （x＜ -2 ）

最新人教版八年级数学下册二次根式全章导学案

新人教版数学八年级下册(初二下)精品教案,导学案(含同步练习)：第十六章二次根式