背包算法问题
算法导论16.2-20-1背包问题
算法导论16.2-20-1背包问题CLRS 16.2-2 请给出⼀个解决0-1背包问题的运⾏时间为O(nW)的动态规划⽅法，其中，n为物品的件数，W为窃贼可放⼊他的背包中的物品中的最⼤重量。
我们有n种物品，物品j的重量为w j，价格为p j。
我们假定所有物品的重量和价格都是⾮负的。
背包所能承受的最⼤重量为W。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以⽤公式表⽰为：maximizesubject to⽅法⼀：采⽤最原始的递归⽅法，公式为V(1,...,n) = max(v k + V(1,...,k-1,k+1,...,n));时间复杂度为O(2n)，很多⼦问题被重复计算。
View Code1 #include <stdio.h>2 #include <stdlib.h>34//每件物品的价值和重量5 typedef struct goods_t6 {7int weight;8int value;9 }goods;1011//删除第i个元素后的所有元素12 goods* remain_data(goods* data, const int n, const int i)13 {14 goods* remain = (goods*)malloc((n-1)*sizeof(goods));15int j;16int count = 0;17for (j = 0; j < n; j++)18 {19if (j != i)20 remain[count++] = data[j];21 }22return remain;23 }2425//递归26int recursive(goods* data, const int n, int weight)27 {28int max = 0;29int i;30for (i = 0; i < n; i++)31 {32if (data[i].weight <= weight)33 {34int tmp = data[i].value + recursive(remain_data(data, n, i), n - 1, weight - data[i].weight);35if (tmp > max)36 max = tmp;37 }38 }39return max;40 }4142int main()43 {44//输⼊最⼤重量45int max_weight;46 scanf("%d", &max_weight);47//输⼊物品件数及其重量和价值48int num;49 scanf("%d", &num);50int n = num;51 goods* data = (goods*)malloc(n*sizeof(goods));5253 goods g;54while (num--)55 {56 scanf("%d%d", &(g.weight), &(g.value));57 data[n-num-1] = g;58 }59 printf("%d\n", recursive(data, n, max_weight));60return0;61 }⽅法⼆：我们假定w1, ..., w n和W都是正整数。
背包问题的算法研究及应用
背包问题的算法研究及应用背包问题是一种经典的组合优化问题，常常被用来研究在有限的空间下如何使价值最大化。
背包问题可以分为 01 背包问题、完全背包问题、多重背包问题和混合背包问题等多种类型。
这些问题的求解方法也各有特点，需要根据具体问题进行选择。
本文主要介绍 01 背包问题和完全背包问题的求解算法及应用。
一、01 背包问题01 背包问题指的是在一个容量为 V 的背包中装入物品，每件物品都有自己的体积 vi 和价值 wi，问怎样装能使背包价值最大化，且物品不能重复使用。
01 背包问题可以用贪心算法或动态规划算法进行求解。
贪心算法的思想是每次选择当前最优的物品，直到背包无法继续装下为止。
但是贪心算法不能保证一定能获得最优解。
动态规划算法则是将问题分解为子问题，并通过递推关系式来求解。
具体来说，我们定义一个 dp[i][j] 表示将前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值，则有：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-vi]+wi)其中 max 表示取两者中的最大值，dp[i-1][j] 表示不选择第 i 件物品，dp[i-1][j-vi]+wi 表示选择第 i 件物品放入背包中。
根据递推关系式，我们可以得到目标值为dp[n][V]，其中 n 表示物品个数。
二、完全背包问题完全背包问题指的是在一个容量为 V 的背包中装入物品，每件物品都有自己的体积 vi 和价值 wi，问怎样装能使背包价值最大化，且每件物品可以无限使用。
完全背包问题和 01 背包问题类似，也可以用贪心算法或动态规划算法进行求解。
贪心算法的思想是每次选择当前最优的物品，并一直选择直到不能再在背包中装入为止。
但是贪心算法仍然不能保证获得最优解。
动态规划算法则是将问题分解为子问题，并通过递推关系式来求解。
与 01 背包问题相比，完全背包问题的递推关系式与之略有不同，具体来说，我们定义一个 dp[i][j] 表示将前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值，则有：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*vi]+k*wi)其中 max 表示取两者中的最大值，k 表示第 i 件物品中的物品数量。
贪心算法-01背包问题
贪⼼算法-01背包问题1、问题描述：给定n种物品和⼀背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装⼊背包的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找⼀n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∋ ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最⼤.即⼀个特殊的整数规划问题。
2、最优性原理：设(y1,y2,…,yn)是 (3.4.1)的⼀个最优解.则(y2,…,yn)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解:证明:使⽤反证法。
若不然,设(z2,z3,…,zn)是上述⼦问题的⼀个最优解,⽽(y2,y3,…,yn)不是它的最优解。
显然有∑vizi > ∑viyi (i=2,…,n)且 w1y1+ ∑wizi<= c因此 v1y1+ ∑vizi (i=2,…,n) > ∑ viyi, (i=1,…,n)说明(y1,z2, z3,…,zn)是(3.4.1)0-1背包问题的⼀个更优解,导出(y1,y2,…,yn)不是背包问题的最优解,⽭盾。
3、递推关系：设所给0-1背包问题的⼦问题的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。
由0-1背包问题的最优⼦结构性质，可以建⽴计算m(i，j)的递归式:注:(3.4.3)式此时背包容量为j，可选择物品为i。
此时在对xi作出决策之后,问题处于两种状态之⼀:(1)背包剩余容量是j,没产⽣任何效益；(2)剩余容量j-wi,效益值增长了vi ；使⽤递归C++代码如下：#include<iostream>using namespace std;const int N=3;const int W=50;int weights[N+1]={0,10,20,30};int values[N+1]={0,60,100,120};int V[N+1][W+1]={0};int knapsack(int i,int j){int value;if(V[i][j]<0){if(j<weights[i]){value=knapsack(i-1,j);}else{value=max(knapsack(i-1,j),values[i]+knapsack(i-1,j-weights[i]));}V[i][j]=value;}return V[i][j];}int main(){int i,j;for(i=1;i<=N;i++)for(j=1;j<=W;j++)V[i][j]=-1;cout<<knapsack(3,50)<<endl;cout<<endl;}不使⽤递归的C++代码：简单⼀点的修改//3d10-1 动态规划背包问题#include <iostream>using namespace std;const int N = 4;void Knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int m[][10]);void Traceback(int m[][10],int w[],int c,int n,int x[]);int main(){int c=8;int v[]={0,2,1,4,3},w[]={0,1,4,2,3};//下标从1开始int x[N+1];int m[10][10];cout<<"待装物品重量分别为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){cout<<w[i]<<" ";}cout<<endl;cout<<"待装物品价值分别为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){cout<<v[i]<<" ";}cout<<endl;Knapsack(v,w,c,N,m);cout<<"背包能装的最⼤价值为："<<m[1][c]<<endl;Traceback(m,w,c,N,x);cout<<"背包装下的物品编号为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){if(x[i]==1){cout<<i<<" ";}}cout<<endl;return 0;}void Knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int m[][10]){int jMax = min(w[n]-1,c);//背包剩余容量上限范围[0~w[n]-1] for(int j=0; j<=jMax;j++){m[n][j]=0;}for(int j=w[n]; j<=c; j++)//限制范围[w[n]~c]{m[n][j] = v[n];}for(int i=n-1; i>1; i--){jMax = min(w[i]-1,c);for(int j=0; j<=jMax; j++)//背包不同剩余容量j<=jMax<c{m[i][j] = m[i+1][j];//没产⽣任何效益}for(int j=w[i]; j<=c; j++) //背包不同剩余容量j-wi >c{m[i][j] = max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);//效益值增长vi }}m[1][c] = m[2][c];if(c>=w[1]){m[1][c] = max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);}}//x[]数组存储对应物品0-1向量,0不装⼊背包，1表⽰装⼊背包void Traceback(int m[][10],int w[],int c,int n,int x[]){for(int i=1; i<n; i++){if(m[i][c] == m[i+1][c]){x[i]=0;}else{x[i]=1;c-=w[i];}}x[n]=(m[n][c])?1:0;}运⾏结果：算法执⾏过程对m[][]填表及Traceback回溯过程如图所⽰：从m(i，j)的递归式容易看出，算法Knapsack需要O(nc)计算时间; Traceback需O(n)计算时间；算法总体需要O(nc)计算时间。
背包算法问题
背包问题贪心方法 实验日志实验题目：1）求以下情况背包问题的最优解：n=7，M=15，（71,,p p ）=（10，5，15，7，6，18，3）和（71,,w w ）=（2，3，5，7，1，4，1）。
实验目的：1. 掌握贪心方法算法思想；2. 熟练使用贪心算法之背包问题解决相应的问题。
实验思想：贪心方法是一种改进了的分级处理方法。
它首先根据题意，选取一种量度标准。
然后按这种量度标准对这n 个输入排序，并按排序一次输入一个量。
如果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部分最优解加在一起不能产生一个可行解，则不把此解输入加到这部分解中。
这种能够得到某种度量意义下的最优解的分级处理方法称为贪心方法。
1．背包问题（1）背包问题的描述：已知有n 种物品和一个可容纳M 重量的背包，每种物品i 的重量为i w 。
假定将物品i 的一部分i x 放入背包就会得到i i x p 的效益，这里，10≤≤i x , 0>i p 。
显然，由于背包容量是M ，因此，要求所有选中要装入背包的物品总重量不得超过M.。
如果这n 件物品的总重量不超过M ，则把所有物品装入背包自然获得最大效益。
现需解决的问题是，这些物品重量的和大于M ，该如何装包。
由以上叙述，可将这个问题形式表述如下：极 大 化∑≤≤n i i x p 1i约束条件 M x w n i i ≤∑≤≤1in i w p x i i i ≤≤>>≤≤1,0,0,10（2）用贪心策略求解背包问题首先需选出最优的量度标准。
不妨先取目标函数作为量度标准，即每装入一件物品就使背包获得最大可能的效益值增量。
在这种量度标准下的贪心方法就是按效益值的非增次序将物品一件件放到背包中去。
如果正在考虑中的物品放不进去，则可只取其一部分来装满背包。
但这最后一次的方法可能不符合使背包每次获得最大效益增量的量度标准，这可以换一种能获得最大增量的物品，将它（或它的一部分）放入背包，从而使最后一次装包也符合量度标准的要求。
背包问题解析（一）-贪心算法
背包问题解析（⼀）-贪⼼算法⼀、题⽬:有N件物品和⼀个容量为V的背包。
第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。
求解将哪些物品装⼊背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最⼤。
⼆、解决思路:本题刚开始的解题的时候,想采取贪⼼算法来解决,也就是将放⼊的物品的性价⽐按照从⾼到低进⾏排序，然后优先放优先级⾼的，其次优先级低的。
三、代码实现（python）1# 重量w=[5,4,3,2]2# 价值v=[6,5,4,3]3 b=[]4 m=int(input("请输⼊背包的最⼤重量:"))5 n=int(input("请输⼊商品的数量:"))6for i in range(n):7 a=input("请分别输⼊重量和价值,以空格隔开:")8 a=a.split("")9for i in range(len(a)):10 a[i]=int(a[i])11 b.append(a)12print("加载初始化:",b)13for i in range(len(b)):14for j in range(i+1,len(b)):15if b[i][1]/b[i][0]<b[j][1]/b[j][0]:16 b[i],b[j]=b[j],b[i]17print("性价⽐排序:",b)18 v=019 c=[]20for i in range(len(b)):21if m-b[i][0]>0:22 m=m-b[i][0]23 c.append(b[i])24 v+=b[i][1]25print("放⼊背包:",c)26print("最⼤价值为:",v)打印结果：四、算法分析：贪⼼选择是指所求问题的整体最优解可以通过⼀系列局部最优的选择，即贪⼼选择来达到。
0-1背包问题的枚举算法
0-1背包问题的枚举算法一、问题概述0-1背包问题是一种经典的优化问题，给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，而你有一个限制容量的背包。
目标是在不超过背包容量的情况下，选择物品使得总价值最大化。
然而，在某些情况下，所有的物品都不能被放入背包中，这时就需要用到0-1背包问题的枚举算法。
二、算法原理枚举算法的基本思想是从所有可能的物品组合中逐个尝试，找出满足条件的组合。
对于0-1背包问题，我们可以枚举所有可能的物品组合，对于每个组合，计算其总价值和当前背包的剩余容量，如果总价值大于当前背包容量所能获得的最大价值，那么就将这个物品放入背包中，并更新背包剩余容量和总价值。
如果当前物品的价值小于或等于当前背包容量所能获得的最大价值，那么就将这个物品标记为0（表示已经考虑过），并继续尝试下一个物品。
最终得到的组合就是最优解。
三、算法实现以下是一个简单的Python实现：```pythondefknapsack_enumeration(items,capacity):#初始化结果列表和当前价值result=[]current_value=0#枚举所有可能的物品组合foriinrange(len(items)):#标记当前物品为0（已考虑过）items[i][1]=0#计算当前物品的价值并更新总价值forjinrange(len(items)):ifj<i:#不考虑之前的物品对当前物品的价值影响current_value+=items[j][1]*items[i][0]/capacityelse:#考虑之前的物品对当前物品的价值影响（假设不考虑前一个物品的重量）current_value+=items[j][0]*(capacity-items[i][0])/capacity#将当前物品从物品列表中移除（放入背包中）delitems[i]#将当前价值添加到结果列表中result.append(current_value)returnresult```四、应用场景枚举算法在许多实际应用中都有应用，如计算机科学、运筹学、工程学等。
c语言算法--贪婪算法---01背包问题
c语言算法--贪婪算法---0/1背包问题在0 / 1背包问题中，需对容量为c 的背包进行装载。
从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为wi ，价值为pi 。
对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指所装入的物品价值最高，即n ?i=1pi xi 取得最大值。
约束条件为n ?i =1wi xi≤c 和xi?[ 0 , 1 ] ( 1≤i≤n)。
在这个表达式中，需求出xt 的值。
xi = 1表示物品i 装入背包中，xi =0 表示物品i 不装入背包。
0 / 1背包问题是一个一般化的货箱装载问题，即每个货箱所获得的价值不同。
货箱装载问题转化为背包问题的形式为：船作为背包，货箱作为可装入背包的物品。
例1-8 在杂货店比赛中你获得了第一名，奖品是一车免费杂货。
店中有n 种不同的货物。
规则规定从每种货物中最多只能拿一件，车子的容量为c，物品i 需占用wi 的空间，价值为pi 。
你的目标是使车中装载的物品价值最大。
当然，所装货物不能超过车的容量，且同一种物品不得拿走多件。
这个问题可仿照0 / 1背包问题进行建模，其中车对应于背包，货物对应于物品。
0 / 1背包问题有好几种贪婪策略，每个贪婪策略都采用多步过程来完成背包的装入。
在每一步过程中利用贪婪准则选择一个物品装入背包。
一种贪婪准则为：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。
这种策略不能保证得到最优解。
例如，考虑n=2, w=[100,10,10], p =[20,15,15], c = 1 0 5。
当利用价值贪婪准则时，获得的解为x= [ 1 , 0 , 0 ]，这种方案的总价值为2 0。
而最优解为[ 0 , 1 , 1 ]，其总价值为3 0。
另一种方案是重量贪婪准则是：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。
背包问题的算法
背包问题是一种经典的优化问题，通常用于解决在给定一组物品和它们的重量、价值等信息的情况下，如何选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大或总重量最小等问题。
以下是背包问题的一种经典算法——动态规划法：
1. 定义状态：设f[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值或最小重量。
2. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f[i][j]=f[i-1][j]；
- 放入背包中，此时f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分别表示第i 个物品的重量和价值。
3. 初始化：f[0][0]=0。
4. 计算最优解：根据状态转移方程，从上到下依次计算每个物品的状态值，最终得到f[n][m]即为所求的最优解。
时间复杂度：O(n*m)，其中n为物品数量，m为背包容量。
空间复杂度：O(n*m)。
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含源代码
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含嘿，大家好！今天我来给大家分享一个相当有趣的编程问题——背包问题。
这可是算法领域里的经典难题，也是体现动态规划思想的好例子。
我会用我10年的方案写作经验，给大家带来一份详细的实验报告，附带哦！让我简单介绍一下背包问题。
假设你是一个盗贼，要盗取一个博物馆里的宝贝。
博物馆里有n个宝贝，每个宝贝都有它的价值v和重量w。
你有一个承重为W的背包，你希望放入背包的宝贝总价值最大，但总重量不能超过背包的承重。
这个问题，就是我们要解决的背包问题。
一、算法思路1.创建一个二维数组dp，dp[i][j]表示前i个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
2.初始化dp数组，dp[0][j]=0，因为如果没有宝贝，那么无论背包承重多少，价值都是0。
3.遍历每个宝贝，对于每个宝贝，我们有两种选择：放入背包或者不放入背包。
4.如果不放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
5.如果放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j-w[i]的背包中，加上当前宝贝的价值。
6.dp[i][j]取两种情况的最大值。
二、defknapsack(W,weights,values,n):dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=10weights=[2,3,4,5]values=[3,4,5,6]n=len(values)输出结果max_value=knapsack(W,weights,values,n)print("最大价值为：",max_value)三、实验结果分析通过上面的代码，我们可以得到最大价值为15。
背包问题和TSP问题算法报告
算法报告班级： 140710班组员： 14071006 魏泽琳14071008 田恬14071019 黄婧婧14071021 宋蕊14071026 于婷雯指导老师：徐旭东广义背包问题一、问题描述广义背包问题的描述如下：给定载重量为M的背包和n种物品，每种物品有一定的重量和价值，现在需要设计算法，在不超过背包载重量的前提下，巧妙选择物品，使得装入背包的物品的总价值最大化。
规则是，每种物品均可装入背包多次或不装入（但不能仅装入物品的一部分）。
请用数学语言对上述背包问题加以抽象，在此基础上给出动态规划求解该问题的递归公式。
要求对所给公式中的符号意义加以详细说明，并简述算法的求解步骤。
用一种你熟悉的程序设计语言加以实现。
二、基本思路1、01背包问题在讨论广义背包问题前应该先讨论最基础的01背包问题。
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即F[i][m]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值。
其状态转移方程是：F[i][m]=max{F[i−1][m],F[i−1][m−wi]+Ci}}这个方程是解决背包问题的关键点，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要解释一下：“将前i件物品放入容量为m的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只和前i−1件物品相关的问题。
如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i−1件物品放入容量为v的背包中”，价值为F[i−1][m]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i−1件物品放入剩下的容量为m−wi 的背包中”，此时能获得的最大价值就是F[i−1][m−wi]再加上通过放入第i件物品获得的价值Ci。
最优解的函数从方程中能得出:F[i][m]=F[i-1][m](当第i个物品不装入)F[i][m]>F[i-1][m](当第i个物品装入)以上是有关01背包的讨论，现在讨论广义背包的问题。
动态规划算法0-1背包问题课件PPT
回溯法
要点一
总结词
通过递归和剪枝来减少搜索空间，但仍然时间复杂度高。
要点二
详细描述
回溯法是一种基于递归的搜索算法，通过深度优先搜索来 找出所有可能的解。在0-1背包问题中，回溯法会尝试将物 品放入背包中，并递归地考虑下一个物品。如果当前物品 无法放入背包或放入背包的总价值不增加，则剪枝该分支 。回溯法能够避免搜索一些无效的组合，但仍然需要遍历 所有可能的组合，时间复杂度较高。
缺点
需要存储所有子问题的解，因此空间 复杂度较高。对于状态转移方程的确 定和状态空间的填充需要仔细考虑， 否则可能导致错误的结果。
04
0-1背包问题的动态规划解法
状态定义
状态定义
dp[i][ j]表示在前i个物品中选，总 重量不超过j的情况下，能够获得 的最大价值。
状态转移方程
dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i1][ j-w[i]] + v[i])，其中w[i]和v[i] 分别表示第i个物品的重量和价值。
02
计算时间复杂度：时间复杂度是指求解问题所需的时间与问题规模之间的关系。对 于0-1背包问题，时间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被遍历， 因此时间复杂度为O(2^n)，其中n是物品的数量。
03
空间复杂度：空间复杂度是指求解问题所需的空间与问题规模之间的关系。在0-1 背包问题中，空间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被存储，因此 空间复杂度也为O(2^n)，其中n是物品的数量。
06
0-1背包问题的扩展和实际应用
多多个物品和多个 背包，每个物品有各自的重量和价值， 每个背包有各自的容量，目标是选择物 品，使得在不超过背包容量限制的情况 下，所选物品的总价值最大。
背包问题的贪心算法
Wi Xi
16.5 20 20 20
Vi X i
24.25 28.2 31 31.5
先检验这四个为可行解*,即满足约束条件(4.2.2),(4.2.3).再比 较目标函数值,∑vixi .知④组解效益值最大.该组解是背包问题的最 优解。(见定理4.2）
6
例4.4 n＝3,c＝20, (V1,V2,V3) (25, 24,15) (W1,W2,W3) (18,15,10)
7
，且物品2的24/15 = v2/w2 较物品3的15/10＝ v3/w3效益值高。按 此选择策略,得②即(1, 2/15, 0),∑vixi=28.2 .此解是一个次优解。 显然，按物品效益值的非增次序装包不能得最优解。
原因：背包可用容量消耗过快。
（2）以容量作为量度。即按物品重量的非降次序将物
—选取最优的量度标准实为用贪心方法求解问题的核心.
16
4.3 贪心算法的基本要素
1.贪心选择性质
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以 通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这 是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与 动态规划算法的主要区别。
动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问 题，而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭 代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就 将所求问题简化为规模更小的子问题。
品装包。如例4.4中的解③（让背包尽可能慢被消耗）
排序 : (w3,w2,w1)= (10,15,18)
(V3,V2,V1) (15, 24, 25)
V3=15,x3=1,w3=10,背包剩余C－10＝10;物品2有次大重量(w2＝15), 但包装不下。使用x2＝2/3，刚好装满背包且物品2装入2/3与物品1 装入5/9的容量均为10个单位。但前者的效益值24×2/3=16 >后者
0-1背包问题的近似算法
0-1背包问题的近似算法0-1背包问题的近似算法对问题特点和算法思想做一些整理如下：这类问题其实很有意思，做数学和做计算机的人都会研究，而且我这里将要提到的论文都是做计算机的人所写的。
问题简述0-1 Knapsack Problem （0-1背包问题，下面简称KP）和Subset Sum Problem （子集合加总问题，下面简称SSP）是经典的NP完全问题。
两个问题简要描述如下：KP：有n个物品要放入背包，第i个物品的价值为ci，占据体积为vi，背包的总容积为V，要选择一部分物品放入背包，使得他们的总价值最大。
对应的优化问题是maxxi∑ci∗xis.t.∑vi∗xi≤V,xi∈{0,1}这里xi代表是否选取第i个物品进背包，等于1就代表放入背包，等于0代表不放入背包。
SSP: 给一个集合{c1,c2,…,cn}，还有一个目标值V，问能否选出一个子集，使得子集中元素求和刚好等于V。
我们一般考虑的是他的另一种表述方式：选出一个子集，使得子集中元素求和不超过V，且尽量大。
对应的优化问题是maxxi∑ci∗xis.t.∑ci∗xi≤V,xi∈{0,1}这里xi代表是否选入子集，等于1就是选入子集，等于0就是不选入子集。
SSP是KP的特殊情况，也即当ci=vi的时候，KP退化为SSP，从问题式子上看，也完全一样了。
尽管如此，研究了KP不代表就不用研究SSP了，后面会说明这一点。
精确算法与近似算法这两个问题都有很简单的动态规划算法可以精确求解，但可惜算法的时间复杂度是伪多项式的，也即和V相关，但V不是问题输入数据的规模，n才是。
在ACM竞赛等算法比赛中，经常会遇到一些问题属于KP的变种，而伪多项式算法也就足够了。
由于网上资料很多，而且难度不大，这里就不详细介绍了。
如果你不知道，请你搜索“动态规划求解0-1背包问题”。
这里我们更关心多项式近似算法，也即PTAS（Polynomial Time Approximation Scheme），也即对任意给定的ϵ，算法可以在关于n的多项式时间内求得一个解，且该解和真实最优解的最多相差ϵ倍。
算法背包问题的五种方法
算法背包问题的五种方法1. 动态规划背包问题是一种经典的组合优化问题，动态规划是解决背包问题的常用方法之一。
动态规划将问题分解为子问题，并利用已解决子问题的结果来求解更大规模的问题。
对于背包问题，动态规划算法的基本思想是创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
通过填表格的方式，从子问题逐步求解到原问题，最终得到最优解。
2. 贪心算法贪心算法是另一种解决背包问题的方法。
它的基本思想是每一步都选择当前看起来最好的选择，而不考虑之前的选择对后续步骤的影响。
在背包问题中，贪心算法通常是按照物品的价值密度（价值与重量的比值）进行排序，然后依次选择价值密度最高的物品放入背包，直到背包容量不足为止。
贪心算法的优势在于其简单性和高效性，但它并不一定能得到最优解。
3. 分支定界法分支定界法是一种通过搜索方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是通过搜索可能的解空间，并根据当前搜索路径的特性进行剪枝操作，从而减少搜索的时间和空间复杂度。
在背包问题中，分支定界法通常根据当前节点的上界（通过松弛问题得到）与当前最优解进行比较，如果上界小于当前最优解，则该节点不再继续拓展，从而减少搜索空间的大小，提高求解效率。
4. 回溯算法回溯算法是一种通过不断试探和回退的方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是从问题的初始状态开始，不断地尝试不同的决策，并根据约束条件判断该决策是否可行。
如果决策可行，则继续尝试下一步决策；如果不可行，则回退到上一步并尝试其他决策。
在背包问题中，回溯算法通过递归的方式依次尝试每个物品的放入与不放入两种选择，直到找到满足约束条件的解或者穷尽所有可能。
5. 近似算法近似算法是一种通过快速求解背包问题的“近似”解来减小计算复杂度的方法。
它的基本思想是用一种简单而快速的策略求解背包问题，并且能够保证求解结果的近似程度。
在背包问题中，常见的近似算法有贪心算法和启发式算法。
背包问题 启发算法
背包问题启发算法
背包问题是一种常见的优化问题，通常用于解决资源分配、决策制定等方面的问题。
启发式算法是一种常用的求解背包问题的策略，其基本思想是通过经验或直观来构造一个可行的解决方案，然后不断迭代优化这个方案，直到满足终止条件。
以下是一个简单的0-1背包问题的启发式算法：
1. 初始化：选择一个初始解，通常是一个空解或者随机解。
2. 迭代优化：在每次迭代中，尝试对当前解进行改进。
具体步骤如下：
a. 对于每个物品，计算将其添加到背包中的收益，即物品的重量与价值的乘积。
b. 选取收益最大的物品，将其添加到背包中。
c. 重复步骤b，直到背包满载或者没有剩余的物品。
3. 终止条件：当达到指定的迭代次数或者背包价值达到最大值时，停止迭代。
4. 输出结果：返回最终的背包解。
需要注意的是，启发式算法只能得到近似最优解，而不是最优解。
因此，在某些情况下，启发式算法可能无法得到最优解，但对于许多实际问题，启发式算法可以提供足够好的解决方案，并且计算效率较高。
经典算法详解之背包算法
经典算法详解之背包算法背包问题(Knapsackproblem)是⼀种组合优化的。
问题可以描述为：给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。
这个问题涉及到了两个条件：⼀是物品总的⼤⼩⼩于或等于背包的⼤⼩，⼆是物品总的价值要尽量⼤。
如果我们⽤⼦问题定义状态来描述的话可以这样解释：⽤f[i][v]表⽰前i件物品恰放⼊⼀个容量为v的背包可以获得的最⼤价值。
⽤公式表⽰:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}或 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}具体的解释可以理解为将前i件物品放⼊容量为v的背包中，现只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为⼀个只涉及前i-1件物品和第i件物品的问题。
如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放⼊容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放⼊剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最⼤价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放⼊第i件物品获得的价值w[i]。
（v表⽰背包的最⼤容量，c[i]表⽰第i件物品的⼤⼩，w[i]表⽰第i件物品的价值）算法如下：class Fruit{private String name;private int size;private int price;public Fruit(String name,int size,int price){=name;this.size=size;this.price=price;}public String getName(){return name;}public int getPrice(){return price;}public int getSize(){return size;}}public class Knapsack{public static void main(String[] args){final int MAX=8;final int MIN=1;int[] item=new int[MAX+1];int[] value=new int[MAX+1];Fruit fruits[]={new Fruit("李⼦",4,4500),new Fruit("苹果",5,5700),new Fruit("橘⼦",2,2250),new Fruit("草莓",1,1100),new Fruit("甜⽠",6,6700)};for(int i=0;i<fruits.length;i++){for(int s=fruits[i].getSize();s<=MAX;s++){//s表⽰现在背包的⼤⼩int p=s-fruits[i].getSize();//表⽰每次增加单位背包空间，背包所剩的空间int newvalue=value[p]+fruits[i].getPrice();//value[p]表⽰增加的背包空间可以增加的价值，fruits[i].getprice()表⽰原有的背包的价值if(newvalue>value[s]){//现有的价值是否⼤于背包为s时的价值value[s]=newvalue;item[s]=i;//将当前的⽔果项添加到背包的物品中}}}System.out.println("物品\t价格");for(int i=MAX;i>MIN;i=i-fruits[item[i]].getSize()){System.out.println(fruits[item[i]].getName()+"\t"+fruits[item[i]].getPrice());}System.out.println("合计\t"+value[MAX]);}}程序运⾏的过程如下：i=0时，放⼊李⼦背包负重12345678s－－－45678p－－－01234value00045004500450045009000item－－－00000item－－－00000i=1时，放⼊苹果背包负重12345678s－－－－5678p－－－－0123value00045005700570057009000item－－－01110i=2时，放⼊橘⼦背包负重12345678s－2345678p－0123456value02250225045005700675079509000item－2201220i=3时，放⼊草莓背包负重12345678s1*******p0*******value11002250335045005700680079509050item32301323i=4时，放⼊甜⽠背包负重12345678s－－－－－678p－－－－－012value11002250335045005700680079509050item32301323由最后⼀个表格可以知道，在背包负重8的时候，最多得到价值9050的⽔果，这个时候可以得到装⼊的⽔果是3号⽔果草莓，那么剩下的（8-1=7）个⼤⼩空间，可以知到为2号⽔果也就是橘⼦，同理下⼀步可以知道放⼊的⽔果是1号⽔果苹果。
背包问题问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解背包问题的基本概念和分类。
2. 掌握不同背包问题的解决算法，如0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
3. 分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率。
4. 通过实验验证算法的正确性和实用性。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm4. 实验数据：随机生成的背包物品数据三、实验内容1. 0-1背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j 的背包中的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值计算dp值。
c. 返回dp[n][C]，即为最大价值。
2. 完全背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大，且每个物品可以重复取。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
3. 多重背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
每个物品有无限个，求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
四、实验结果与分析1. 0-1背包问题实验结果显示，在背包容量为100时，最大价值为298。
部分背包问题的贪心算法正确性证明
部分背包问题的贪⼼算法正确性证明⼀，部分背包问题介绍⾸先介绍下0-1背包问题。
假设⼀共有N件物品，第 i 件物品的价值为 V i，重量为W i，⼀个⼩偷有⼀个最多只能装下重量为W的背包，他希望带⾛的物品越有价值越好，请问：他应该选择哪些物品？0-1背包问题的特点是：对于某件（更适合的说法是：某类）物品，要么被带⾛（选择了它），要么不被带⾛（没有选择它），不存在只带⾛⼀部分的情况。
⽽部分背包问题则是：可以带⾛⼀部分。
即，部分背包问题可带⾛的物品是可以⽆限细分的。
（连续与离散的区别）可以把0-1背包问题中的物品想象的⼀个⾦⼦，你要么把它带⾛，要么不带⾛它；⽽部分背包问题中的物品则是⼀堆⾦粉末，可以取任意部分的⾦粉末⼆，部分背包问题的贪⼼算法部分背包问题可以⽤贪⼼算法求解，且能够得到最优解。
贪⼼策略是什么呢？将物品按单位重量所具有的价值排序。
总是优先选择单位重量下价值最⼤的物品。
单位重量所具有的价值：V i / W i举个例⼦：假设背包可容纳50Kg的重量，物品信息如下：物品 i 重量(Kg) 价值单位重量的价值1 10 60 62 20 100 53 30 120 4按照我们的贪⼼策略，单位重量的价值排序：物品1 > 物品2 > 物品3因此，我们尽可能地多拿物品1，直到将物品1拿完之后，才去拿物品2.....最终贪⼼选择的结果是这样的：物品1全部拿完，物品2也全部拿完，物品3拿⾛10Kg（只拿⾛了物品3的⼀部分）这种选择获得的价值是最⼤的。
在（三）会给出证明。
⽽对于0-1背包问题，如果也按“优先选择单位重量下价值最⼤的物品”这个贪⼼策略，那么，在拿了物品1和物品2之后，就不能在拿物品3了。
因为，在拿了物品1和物品2之后，背包中已经装了10+20=30Kg的物品了，已经装不下物品3了（50-30 < 30）（0-1背包：⼀件物品要么拿，要么不拿，否能只拿⼀部分）,此时得到的总价值是 160。
基于蚁群算法的背包问题优化研究
基于蚁群算法的背包问题优化研究一、背包问题的介绍背包问题作为一个经典的组合优化问题，一直以来吸引着众多学者的关注。
其主要目标是在一定的容量限制下，如何选取具有最大价值的物品组合。
背包问题有多个变种，如 01 背包、完全背包等。
然而，不同变种的背包问题都存在一个共同的特点：对于每个物品，都要考虑是否将其放入背包，这种二选一的决策行为给背包问题带来了很大的挑战。
在实际生活中，背包问题也有着广泛的应用。
如从酒店房间中选择最合适的房间、决策投资方案、打包和运输物品等。
因此，研究背包问题的优化算法具有重要的理论和应用价值。
二、蚁群算法的介绍蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食过程的优化算法，其主要基于群集智能、信息素等模型。
与传统的优化算法不同，蚁群算法能够在多维空间中实现全局搜索，快速找到最优解。
此外，相比于遗传算法，蚁群算法不需要进行进化计算，简化了算法的复杂度。
因此，蚁群算法成为了近年来背包问题优化算法研究中的一种重要算法。
三、基于蚁群算法的背包问题优化算法在蚁群算法应用于背包问题的优化过程中，需要考虑背包问题的特殊性。
具体而言，对于每个可选取的物品，都存在一个重量和一个价值。
整个问题可以定义为最大化价值，同时满足背包的最大重量限制。
在优化过程中，需要对蚂蚁的行为进行建模。
为了方便模型的表达，在算法中通常使用概率分布来代表蚂蚁在选择物品时的决策行为。
同时，还需要考虑信息素的更新策略，以便蚂蚁能够更好地搜索到最优解。
具体而言，在蚁群算法中，蚂蚁会根据信息素大小和物品的价值、重量来决定是否将其放置于背包中。
为了避免局部最优解，还需要在算法中引入随机因素，以扰动蚂蚁的搜索方向。
同时，在蚁群算法的优化过程中，还需要优化信息素更新策略，以实现蚂蚁群体的动态平衡，及时发现和应对任何可能存在的局部最优解。
四、蚁群算法优化背包问题的实践应用在实际应用中，蚁群算法可以有效地提高背包问题的解决效率。
例如，通过应用蚁群算法，可以在旅行商问题的求解中使路径更优，实现节约成本和时间的目的。
背包问题的各种求解方法
背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述： 给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。
因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述 顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。
则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。
如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。
这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。
1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构 顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。
则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。
由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。
因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。
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背包问题贪心方法 实验日志
实验题目：
1）求以下情况背包问题的最优解：n=7，M=15，（71,,p p ）=（10，5，15，7，6，18，3）和（71,,w w ）=（2，3，5，7，1，4，1）。
实验目的：
1. 掌握贪心方法算法思想；
2. 熟练使用贪心算法之背包问题解决相应的问题。
实验思想：
贪心方法是一种改进了的分级处理方法。
它首先根据题意，选取一种量度标准。
然后按这种量度标准对这n 个输入排序，并按排序一次输入一个量。
如果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部分最优解加在一起不能产生一个可行解，则不把此解输入加到这部分解中。
这种能够得到某种度量意义下的最优解的分级处理方法称为贪心方法。
1．背包问题
（1）背包问题的描述：已知有n 种物品和一个可容纳M 重量的背包，每种物品i
的重量为i w 。
假定将物品i 的一部分i x 放入背包就会得到i i x p 的效益，这
里，10≤≤i x , 0>i p 。
显然，由于背包容量是M ，因此，要求所有选中
要装入背包的物品总重量不得超过M.。
如果这n 件物品的总重量不超过M ，
则把所有物品装入背包自然获得最大效益。
现需解决的问题是，这些物品重
量的和大于M ，该如何装包。
由以上叙述，可将这个问题形式表述如下：
极 大 化
∑≤≤n i i x p 1i
约束条件 M x w n i i ≤∑≤≤1i
n i w p x i i i ≤≤>>≤≤1,0,0,10
（2）用贪心策略求解背包问题
首先需选出最优的量度标准。
不妨先取目标函数作为量度标准，即每装入一件物品就使背包获得最大可能的效益值增量。
在这种量度标准下的贪心
方法就是按效益值的非增次序将物品一件件放到背包中去。
如果正在考虑中
的物品放不进去，则可只取其一部分来装满背包。
但这最后一次的方法可能
不符合使背包每次获得最大效益增量的量度标准，这可以换一种能获得最大
增量的物品，将它（或它的一部分）放入背包，从而使最后一次装包也符合
量度标准的要求。
算法如下所示。
算法2．1 背包问题的贪心算法
procedure GREEDY-KNAPSACK(P,W,M,X,n)
//P（1：n）和W（1：n）分别含有按P（i）/W（i）≥P（i+1）/ W （i+1）
排序的n件物品的效益值和重量。
M是背包的容量大笑，而X（1：n）
是解向量。
//
real P(1：n)，W（1：n）,X（1：n），M，cu；
integer i，n;
X←0 //将解向量初始化为零
cu←M //cu是背包剩余容量
for i←1 to n do
if W(i)>cu then exit endif
X(i) ←1
cu←cu-W(i)
repeat
if i≤n then X(i) ←cu/W(i)
endif
end GREEDY-KNAPSACK
实验代码：
#include<iostream>
using namespace std;
void beibao(double *w,double *v,double *x,double n,double *C) {
int i,j,temp;
for(i=0;i<n-1;i++)
for(j=i+1;j<n;j++)
if(v[i]/w[i]<v[j]/w[j])
{
temp=v[i];
v[i]=v[j];
v[j]=temp;
temp=w[i];
w[i]=w[j];
w[j]=temp;
}
for(i=0;i<n;i++)
x[i]=0;
for(i=0;*C!=0;i++)
{
if(w[i]<*C)
{
x[i]=w[i];
*C=*C-w[i];
}
else
{
x[i]=*C;
*C=*C-*C;
}
}
}
void main()
{
int i;
double *w,*v,n,C;
double *x;
cout<<"请输入物品数"<<endl;
cin>>n;
w=new double(n);//动态分配内存
v=new double(n);
x=new double(n);
cout<<"请输入背包的容量"<<endl;
cin>>C;
cout<<"请分别输入"<<n<<"个物品的重量:"<<endl; for(i=0;i<n;i++)
cin>>w[i];
cout<<"请分别输入"<<n<<"个物品的价值:"<<endl; for(i=0;i<n;i++)
cin>>v[i];
beibao(w,v,x,n,&C);
cout<<"装入的物品为:"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(x[i]!=0)
v1.0 可编辑可修改
cout<<"其装的重量为："<<x[i]<<" 其价值为："<<v[i];
}
cout<<endl;
}
}
实验结果：
心得体会：
通过本次使用让我了解了什么是贪心法，什么事背包问题以及如何运用背包问题解决问题。